深度学习中，我们需要沿着梯度下降的方向，更新参数。
偏导数是表明了自变量对因变量产生了多大的影响。最理想的状态是偏导数等于0，没有对误差最终的误差产生影响。 ---- 一阶导与极值的关系
在损失函数所代表的“几何图像”上，用损失函数的梯度能够找到损失函数变化最快的方向。
如果正方向是增加的话，那么反方向就是最快减小的方向。
偏导的定义，是基于某点函数有增量；
第一层是输入层，包含两个神经元
i
1
i_{1}
i1，
i
2
i_{2}
i2 和截距项
b
1
b_{1}
b1 ;
第二层是隐含层，包含两个神经元
h
1
h_{1}
h1，
h
2
h_{2}
h2 和截距项
b
2
b_{2}
b2 ;
第三层是输出
o
1
o_{1}
o1，
o
2
o_{2}
o2 ;
每条线上标的
w
i
w_{i}
wi 是层与层之间连接的权重，激活函数采用sigmoid函数；
由公式wx+b可知：
w
×
x
=
[
w
1
w
2
w
3
w
4
]
[
i
1
i
2
]
=
[
w
1
i
1
+
w
2
i
2
w
3
i
1
+
w
4
i
2
]
\mathbf{w} \times \mathbf{x} = \begin{bmatrix} w_{1} & w_{2} \\ w_{3}& w_{4} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_{1} \\ i_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} w_{1} i_{1}+w_{2} i_{2} \\ w_{3} i_{1}+w_{4} i_{2} \end{bmatrix}
w×x=[w1w3w2w4][i1i2]=[w1i1+w2i2w3i1+w4i2]
通过前向传播得到输出值为[0.75136079, 0.772928465]，
与实际值 [0.01, 0.99] 相差还很远，现在对误差进行反向传播，更新权值，重新计算输出。
计算总误差：
误差公式： E t o t a l = Σ 1 2 （ t a r g e t − o u t p u t ） 2 E_{total} = Σ \frac{1}{2}（target-output）^{2} Etotal=Σ21（target−output）2
有两个输出，所以分别计算 o 1 o_{1} o1 和 o 2 o_{2} o2 的误差，总误差之和为：
E t o t a l = E o 1 + E o 2 = 0.274811083 + 0.023560026 = 0.298371109 E_{total} =E_{o_{1}} +E_{o_{2}} = 0.274811083+0.023560026=0.298371109 Etotal=Eo1+Eo2=0.274811083+0.023560026=0.298371109
隐藏层 → \rightarrow → 输出层的权值更新：
以权重参数 w 5 w_{5} w5 为例，如果我们想知道 w 5 w_{5} w5 对整体误差产生了多少影响，可以用整体误差对 w 5 w_{5} w5 求偏导求出（链式法则）:
∂ E t o t a l ∂ w 5 \frac{\partial E_{total}}{\partial w_{5}} ∂w5∂Etotal = ∂ E t o t a l ∂ o u t o 1 \frac{\partial E_{total}}{\partial out_{o_{1}}} ∂outo1∂Etotal * ∂ o u t o 1 ∂ n e t o 1 \frac{\partial out_{o_{1}}}{\partial net_{o_{1}}} ∂neto1∂outo1 * ∂ n e t o 1 ∂ w 5 \frac{\partial net_{o_{1}}}{\partial w_{5}} ∂w5∂neto1
其中，因为：
E t o t a l = 1 2 ( t a r g e t o 1 − o u t p u t o 1 ) 2 + 1 2 ( t a r g e t o 2 − o u t p u t o 2 ) 2 E_{total} = \frac{1}{2}(target_{o_{1}}-output_{o_{1}})^{2} + \frac{1}{2}(target_{o_{2}}-output_{o_{2}})^{2} Etotal=21(targeto1−outputo1)2+21(targeto2−outputo2)2
即，
∂ E t o t a l ∂ o u t o 1 \frac{\partial E_{total}}{\partial out_{o_{1}}} ∂outo1∂Etotal = ( t a r g e t o 1 − o u t p u t o 1 ) ∗ ( − 1 ) = 0.74136507 (target_{o_{1}}-output_{o_{1}}) * (-1) = 0.74136507 (targeto1−outputo1)∗(−1)=0.74136507 （误差）
因为，
o u t o 1 = s i g m o i d ( n e t o 1 ) out_{o_{1}} = sigmoid(net_{o_{1}}) outo1=sigmoid(neto1)
即，
∂ o u t o 1 ∂ n e t o 1 \frac{\partial out_{o_{1}}}{\partial net_{o_{1}}} ∂neto1∂outo1 = 0.186815602 （sigmoid激活函数）
因为：
n e t o 1 = w 5 o u t h 1 + w 6 o u t h 2 + b 2 net_{o_{1}} = w_{5}out_{h_{1}}+w_{6}out_{h_{2}}+b_{2} neto1=w5outh1+w6outh2+b2
即，
∂ n e t o 1 ∂ w 5 \frac{\partial net_{o_{1}}}{\partial w_{5}} ∂w5∂neto1 = o u t h 1 out_{h_{1}} outh1 = 0.593269992 (conv)
最后可得：
∂ E t o t a l ∂ w 5 \frac{\partial E_{total}}{\partial w_{5}} ∂w5∂Etotal = 0.082167041
更新 w 5 w_{5} w5的值，ŋ 代表学习率，这里取0.5：
w 5 + = w 5 − ŋ ∗ ∂ E t o t a l ∂ w 5 w_{5}^{+} = w_{5} - ŋ * \frac{\partial E_{total}}{\partial w_{5}} w5+=w5−ŋ∗∂w5∂Etotal=0.35891648
隐藏层
→
\rightarrow
→ 输入层的权值更新：
∂
E
t
o
t
a
l
∂
w
1
\frac{\partial E_{total}}{\partial w_{1}}
∂w1∂Etotal =
∂
E
t
o
t
a
l
∂
o
u
t
h
1
\frac{\partial E_{total}}{\partial out_{h_{1}}}
∂outh1∂Etotal *
∂
o
u
t
h
1
∂
n
e
t
h
1
\frac{\partial out_{h_{1}}}{\partial net_{h_{1}}}
∂neth1∂outh1 *
∂
n
e
t
h
1
∂
w
1
\frac{\partial net_{h_{1}}}{\partial w_{1}}
∂w1∂neth1
其中， ∂ E t o t a l ∂ o u t h 1 \frac{\partial E_{total}}{\partial out_{h_{1}}} ∂outh1∂Etotal = ∂ E o 1 ∂ o u t h 1 \frac{\partial E_{o_{1}}}{\partial out_{h_{1}}} ∂outh1∂Eo1 + ∂ E o 2 ∂ o u t h 1 \frac{\partial E_{o_{2}}}{\partial out_{h_{1}}} ∂outh1∂Eo2
其中， ∂ E o 1 ∂ o u t h 1 \frac{\partial E_{o_{1}}}{\partial out_{h_{1}}} ∂outh1∂Eo1 = ∂ E o 1 ∂ n e t o 1 \frac{\partial E_{o_{1}}}{\partial net_{o_{1}}} ∂neto1∂Eo1 * ∂ n e t o 1 ∂ o u t h 1 \frac{\partial net_{o_{1}}}{\partial out_{h_{1}}} ∂outh1∂neto1
其中， ∂ E o 1 ∂ n e t o 1 \frac{\partial E_{o_{1}}}{\partial net_{o_{1}}} ∂neto1∂Eo1 = ∂ E o 1 ∂ o u t o 1 \frac{\partial E_{o_{1}}}{\partial out_{o_{1}}} ∂outo1∂Eo1 * ∂ o u t o 1 ∂ n e t o 1 \frac{\partial out_{o_{1}}}{\partial net_{o_{1}}} ∂neto1∂outo1
即，
∂ E t o t a l ∂ w 1 \frac{\partial E_{total}}{\partial w_{1}} ∂w1∂Etotal = ( ∂ E o 1 ∂ o u t h 1 \frac{\partial E_{o_{1}}}{\partial out_{h_{1}}} ∂outh1∂Eo1 + ∂ E o 2 ∂ o u t h 1 \frac{\partial E_{o_{2}}}{\partial out_{h_{1}}} ∂outh1∂Eo2) * ∂ o u t h 1 ∂ n e t h 1 \frac{\partial out_{h_{1}}}{\partial net_{h_{1}}} ∂neth1∂outh1 * ∂ n e t h 1 ∂ w 1 \frac{\partial net_{h_{1}}}{\partial w_{1}} ∂w1∂neth1
其中，
∂ E o 1 ∂ o u t h 1 \frac{\partial E_{o_{1}}}{\partial out_{h_{1}}} ∂outh1∂Eo1* ∂ o u t h 1 ∂ n e t h 1 \frac{\partial out_{h_{1}}}{\partial net_{h_{1}}} ∂neth1∂outh1 * ∂ n e t h 1 ∂ w 1 \frac{\partial net_{h_{1}}}{\partial w_{1}} ∂w1∂neth1 = ∂ E o 1 ∂ o u t o 1 \frac{\partial E_{o_{1}}}{\partial out_{o_{1}}} ∂outo1∂Eo1 * ∂ o u t o 1 ∂ n e t o 1 \frac{\partial out_{o_{1}}}{\partial net_{o_{1}}} ∂neto1∂outo1 * ∂ n e t o 1 ∂ o u t h 1 \frac{\partial net_{o_{1}}}{\partial out_{h_{1}}} ∂outh1∂neto1* ∂ o u t h 1 ∂ n e t h 1 \frac{\partial out_{h_{1}}}{\partial net_{h_{1}}} ∂neth1∂outh1 * ∂ n e t h 1 ∂ w 1 \frac{\partial net_{h_{1}}}{\partial w_{1}} ∂w1∂neth1
另，
∂ E o 2 ∂ o u t h 1 \frac{\partial E_{o_{2}}}{\partial out_{h_{1}}} ∂outh1∂Eo2* ∂ o u t h 1 ∂ n e t h 1 \frac{\partial out_{h_{1}}}{\partial net_{h_{1}}} ∂neth1∂outh1 * ∂ n e t h 1 ∂ w 1 \frac{\partial net_{h_{1}}}{\partial w_{1}} ∂w1∂neth1 = ∂ E o 2 ∂ o u t o 2 \frac{\partial E_{o_{2}}}{\partial out_{o_{2}}} ∂outo2∂Eo2 * ∂ o u t o 2 ∂ n e t o 2 \frac{\partial out_{o_{2}}}{\partial net_{o_{2}}} ∂neto2∂outo2 * ∂ n e t o 2 ∂ o u t h 1 \frac{\partial net_{o_{2}}}{\partial out_{h_{1}}} ∂outh1∂neto2* ∂ o u t h 1 ∂ n e t h 1 \frac{\partial out_{h_{1}}}{\partial net_{h_{1}}} ∂neth1∂outh1 * ∂ n e t h 1 ∂ w 1 \frac{\partial net_{h_{1}}}{\partial w_{1}} ∂w1∂neth1
上述公式基于：
n e t o 2 = w 7 o u t h 1 + w 8 o u t h 2 + b 2 net_{o_{2}} = w_{7}out_{h_{1}}+w_{8}out_{h_{2}}+b_{2} neto2=w7outh1+w8outh2+b2
雅可比矩阵 是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵, 其行列式称为雅可比行列式。
设函数如下：
是一个从欧式 n 维空间转换到欧式 m 维空间的函数；
这个函数由 m 个实函数组成，这些函数的偏导数(如果存在)可以组成一个 m 行 n 列的矩阵, 这就是所谓的雅可比矩阵：
下面公式中，如果只看两步，即 loss（E） → \rightarrow → 激活函数（out），可以得到以下结论：
变量的梯度 = 上游变量的梯度 ✖ 当前变量的 J 矩阵
∂ E t o t a l ∂ w 5 \frac{\partial E_{total}}{\partial w_{5}} ∂w5∂Etotal = ∂ E t o t a l ∂ o u t o 1 \frac{\partial E_{total}}{\partial out_{o_{1}}} ∂outo1∂Etotal * ∂ o u t o 1 ∂ n e t o 1 \frac{\partial out_{o_{1}}}{\partial net_{o_{1}}} ∂neto1∂outo1 * ∂ n e t o 1 ∂ w 5 \frac{\partial net_{o_{1}}}{\partial w_{5}} ∂w5∂neto1
∂ E t o t a l ∂ w 6 \frac{\partial E_{total}}{\partial w_{6}} ∂w6∂Etotal = ∂ E t o t a l ∂ o u t o 1 \frac{\partial E_{total}}{\partial out_{o_{1}}} ∂outo1∂Etotal * ∂ o u t o 1 ∂ n e t o 1 \frac{\partial out_{o_{1}}}{\partial net_{o_{1}}} ∂neto1∂outo1 * ∂ n e t o 1 ∂ w 6 \frac{\partial net_{o_{1}}}{\partial w_{6}} ∂w6∂neto1
∂ E t o t a l ∂ w 7 \frac{\partial E_{total}}{\partial w_{7}} ∂w7∂Etotal = ∂ E t o t a l ∂ o u t o 2 \frac{\partial E_{total}}{\partial out_{o_{2}}} ∂outo2∂Etotal * ∂ o u t o 2 ∂ n e t o 2 \frac{\partial out_{o_{2}}}{\partial net_{o_{2}}} ∂neto2∂outo2 * ∂ n e t o 2 ∂ w 7 \frac{\partial net_{o_{2}}}{\partial w_{7}} ∂w7∂neto2
∂ E t o t a l ∂ w 8 \frac{\partial E_{total}}{\partial w_{8}} ∂w8∂Etotal = ∂ E t o t a l ∂ o u t o 2 \frac{\partial E_{total}}{\partial out_{o_{2}}} ∂outo2∂Etotal * ∂ o u t o 2 ∂ n e t o 2 \frac{\partial out_{o_{2}}}{\partial net_{o_{2}}} ∂neto2∂outo2 * ∂ n e t o 2 ∂ w 8 \frac{\partial net_{o_{2}}}{\partial w_{8}} ∂w8∂neto2
推理公式如下：
[ ∂ E t o t a l ∂ o u t o 1 ∗ ∂ o u t o 1 ∂ n e t o 1 ∂ E t o t a l ∂ o u t o 2 ∗ ∂ o u t o 2 ∂ n e t o 2 ] = [ ∂ E t o t a l ∂ o u t o 1 ∂ E t o t a l ∂ o u t o 2 ] [ ∂ o u t o 1 ∂ n e t o 1 0 0 ∂ o u t o 2 ∂ n e t o 2 ] \begin{bmatrix} \frac{\partial E_{total}}{\partial out_{o_{1}}} * \frac{\partial out_{o_{1}}}{\partial net_{o_{1}}} & \frac{\partial E_{total}}{\partial out_{o_{2}}} * \frac{\partial out_{o_{2}}}{\partial net_{o_{2}}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\partial E_{total}}{\partial out_{o_{1}}} & \frac{\partial E_{total}}{\partial out_{o_{2}}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{\partial out_{o_{1}}}{\partial net_{o_{1}}} & 0 \\ 0& \frac{\partial out_{o_{2}}}{\partial net_{o_{2}}} \end{bmatrix} [∂outo1∂Etotal∗∂neto1∂outo1∂outo2∂Etotal∗∂neto2∂outo2]=[∂outo1∂Etotal∂outo2∂Etotal][∂neto1∂outo100∂neto2∂outo2]
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容