第３７卷第１２期 ２０１４年ｌ２月 测绘与空间地理信息 ＧＥＯＭＡＴＩＣＳ＆ＳＰＡＴＩＡＬ ｌＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ Ｖｏ１．３７，Ｎｏ．１２ Ｄｅｃ．，２０１４ 条件平差和间接平差模型应满足的两个等式关系 张俊 ，袁亮 ，张鹏飞 （１．贵州大学矿业学院，贵州贵阳５５００２５；２．宝鸡市勘察测绘院，陕西宝鸡７２１００１） 摘要：条件平差和间接平差法是两种最基本的测量数据处理的方法，在整个工科数据处理中得到了广泛应用。 但是，实践中，一些工程人员对这两种平差方法的区别与联系并不十分了解。本文基于最小二乘准则解的本质， 推导出了条件平差法与间接平差法系数阵和常数项间应满足的两个等式关系，有助于广大工程人员理解这两种 测量平差的本质与联系。 关键词：测量平差；最小二乘准则；条件平差；间接平差 中图分类号：Ｐ２０７ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７２—５８６７（２０１４）１２—００８６—０２ Ｔｗｏ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ Ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ Ｓａｔｉｓｉｆｅｄ ｉｎ Ａｄｊｕｓｔｍｅｎｔ ｗｉｔｈ Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ Ｍｏｄｅｌ ａｎｄ ｔｈｅ Ａｄｊｕｓｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｉｎｄｉｒｅｃｔ Ｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎ Ｍｏｄｅｌ ＺＨＡＮＧ Ｊｕｎ’，ＹＵＡＮ Ｌｉａｎｇ２ＺＨＡＮＧ Ｐｅｎｇ—ｆｅｉ ，（１．Ｍｉｎｉｎｇ ＣｏＨｅｇｅ ｏｆ Ｇｎｉｚｈｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｇｕｉｙａｎｇ ５５００２５，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｂａｏｊｉ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｓｕｒｖｅ￣ｎｇ ａｎｄ Ｍａｐｐｉｎｇ，Ｂａｌｉ ７２１００１，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ａｄｊｕｓｔｍｅｎｔ ａｎｄ ｉｎｄｉｒｅｃｔ ａｄｊｕｓｔｍｅｎｔ ｍｏｄｅｌ ａｒｅ ｂｏｔｈ ｂａｓｉｃ ｍｏｄｅｌｓ ｏｆ ｓｕｒｖｅｙｉｎｇ ｄａｔａ ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ ａｎｄ ｔｈｅｙ ｈａｖｅ ｂｅｅｎ ｗｉｄｅｌｙ ｕｓｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ｆｉｅｌｄｓ．Ｈｏｗｅｖｅｒ，ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｂｅｅｎ ｔｈｅ ｔｗｏ ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｓ ｎｏｔ ｋｎｏｗｎ ｆｏｒ ｓｏｍｅ ｏｆ ｔｈｅ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ｐｅｒｓｏｎ— ｎｅｌ’Ｓ．Ｔｏ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｗｏ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ａｄｊｕｓｔｍｅｎｔ ｍｏｄｅｌｓ，ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｅｆｉｆｃｉｅｎｔ ｍａｔｉｒｘ ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｔｅｒｍｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ａｄｊｕｓｔｍｅｎｔ ａｎｄ ｉｎｄｉｒｅｃｔ ａｄｊｕｓｔｍｅｎｔ ｈａｖｅ ｂｅｅｎ ｄｅｄｕｃｅｄ ｂｙ ｇｉｖｉｎｇ ｔｗｏ ｓｅｔ ｏｆ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｗｈｉｃｈ ｃａｎ ｈｅｌｐ ｆｏｒ ｕｎｄｅｒ— ｓｔａｎｄｉｎｇ ｔｈｅ ｅｓｓｅｎｃｅ ａｎｄ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｗｏ ａｄｊｕｓｔｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓｕｒｖｅｙｉｎｇ ａｄｊｕｓｔｍｅｎｔ；ｌｅａｓｔ ｓｑｕａｒｅｓ ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ；ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ａｄｊｕｓｔｍｅｎｔ；ｉｎｄｉｒｅｃｔ ａｄｊｕｓｔｍｅｎｔ ０引 言 经典测量平差方法包括条件平差、附有参数的条件 １条件平差和间接平差模型及其解 鉴于许多文献都已系统阐述了条件平差和间接平差 平差、间接平差、附有条件的问接平差。其中，条件 平差和间接平差法是两种最基本的平差方法，现行教材 模型及其平差原理，这里直接给出条件平差和间接平差 相关公式。 对这两种方法的平差原理进行了系统阐述 。 ，但对二者 的区别与联系阐述不多。首先，所有经典平差方法都是 条件平差的函数模型及随机模型为 ： ＋Ｗ＝０ （１） 基于最小二乘准则对观测值的误差进行调整的，因此，无 论模型中是否含有参数，其残差估值都必定相同；其次， 从残差相同出发，一定可以推导出一些关于上述各种经 Ｄ＝０－０２Ｑ＝０－０２Ｐ 平差准则为： ＰＶ＝ｍｉｎ （２） （３） 典平差模型之间的恒等关系，比如模型系数和数项等之 间的关系。基于这种思想，本文仅就条件平差和间接平 差这两种基本平差方法，推导了系数阵和常数项之间应 满足的恒等关系。 其中，Ａ Ｒ…为系数矩阵（ｒ为多余观测数），Ｖ∈ Ｒ 。为观测值改正数，Ｗ∈Ｒ 为常数项，其值为Ｗ＝ＡＬ ＋Ａ。，Ａ。为线性化常数项，Ｄ∈Ｒ 为观钡４值先验方差 阵，Ｑ ｅ Ｒ 为观测值协因数阵，Ｐ ｅ Ｒ 为观测值权阵， －０。 为单位权方差。根据式（１）至式（３）按经典平差方法 收稿日期：２０１４—０４—０７ 基金项目：贵州大学教育教学改革研究项目（ＪＧ２０１３０４５，ＪＧ２０１３０７４）资助 作者简介：张俊（１９７６一），男，宁夏吴忠人，副教授，硕士，２００７年毕业于桂林理工大学大地测量学与测量＿丁程专业，主要从事测绘 数据处理教学和研究Ｔ作。 第１２期 可得其解为 ： Ｖ＝一ＱＡ Ⅳ Ｑ ＝ＱＡ Ⅳ ＡＱ 张俊等：条件平差和间接平差模型应满足的两个等式关系 Ａ（ 一１）＋Ｗ＝０ ８７ （１２） （１３） （４） （５） 顾及式（１１）可得 ｗ＝Ａｌ 上式中， Ｖ＝ａ；ｃ—Ｚ ＝ＡＱＡ 。 （６） 上式即为条件平差和间接平差常数项应满足的关系 式，是两种平差法所得残差估值相同应满足的又一条件。 式（１１）和式（１３）是基于残差最小二乘准则平差时，条件 平差和间接平差必须满足的两个条件，它们从某种意义 上，刻画并给出了二者之间的定量联系。 间接平差的函数模型为 ： 随机模型及平差准则同条件平差。其中Ｂ Ｒ ‘为 系数矩阵，互∈Ｒ“ 为参数改正数，Ｚ Ｒ 为常数项，其 值为ｚ＝Ｌ—Ｌｏ，Ｌｏ ｅ Ｒ 为观测值的近似值，其他量含 义同条件平差。根据经典最小二乘平差理论其解为 ： 曼＝ＮＢ Ｂ‘Ｐｌ Ｑ ＝Ｑ—ＢＮ Ｂ （７） （８） ３结束语 经典测量平差所建立的函数模型都无法直接对未知 量进行求解，需要附加残差最小二乘准则才可以估计出 上式中，Ｎ ＝Ｂ 船。 ２条件平差和间接平差模型应满足的两个 个条件也正是最小二乘准则下残差估值应当相同的具体 等式 众所周知，式（５）和式（８）都是在式（３）所规定的最 优化数学准则下得出的，因此，由式（５）和式（８）给出的观 测值残差估值及其协因数阵也必定相同。由此可得 ＱＡ Ⅳ伽～ＡＱ＝Ｑ—Ｂ？Ｖ￣ＲＢ－１Ｂ （９） 上式两端同乘以ＰＢ得： ＱＡ Ｎ ～ＡＢ＝０ 将式（１０）两边再同乘以Ａ得 ＡＢ＝０ （１０） （１１） 参数唯一解。本文根据在最小二乘准则下，残差估值应 该相同这一条件，推导了条件平差和间接平差模型系数 矩阵和常数项之间应该满足的等式条件，反过来看，这两 表现。条件平差和间接平差模型这两种表面看来是两种 不同的平差方法也因此可以联系起来，这对于理解条件 平差和间接平差模型乃至所有经典平差方法的本质和联 系都将起到较好的作用。 参考文献： ［１］於宗俦，于正林．测量平差原理［Ｍ］．武汉：武汉测绘科 技大学出版社，１９９０． 式（１ １）即为条件平差和间接平差系数阵应满足的关 ［２］ 隋立芬，宋力杰，柴洪洲．误差理论与测量平差基础 ［Ｍ］．北京：测绘出版社，２０１０． 系式，此等式揭示了条件平差与间接平差模型之间应该 满足的条件，是两种平差法在共同数学准则，即残差最小 ［３］ 武汉大学测绘学院测量学科组．误差理论与测量平差基 础［Ｍ］．武汉：武汉大学出版社，２００３． ［４］ 陈西斌，张书毕．经典平差模型的通用模型［Ｊ］．测绘空 二乘准则下所得残差估值及精度相同应满足的条件之 一。下面将导出两种模型常数项应满足的条件。 间地理信息，２０１３，３６（１２）：８６—８８． 将式（６）代入式（１），可得 ［编辑：罗研］ （上接第８５页） ［４］ 中华人民共和国铁道部．ＴＢ１０６０１—２００９高速铁路工程 测量规范［ｓ］．北京：中国铁道出版社，２００９． ［５］ 中华人民共和国国家质量监督检验检疫总局，中国国家 标准化管理委员会．ＧＢ／Ｔ０８３１４—２００１全球定位系统 准测量规范［Ｓ］．北京：中国标准出版社，２００６． ［７］ 陆吉，兰孝奇．ＧＰＳ高程拟合模型在桥梁控制网中的应 用［Ｊ］．测绘与空间地理信息，２０１３，３６（５）：１４６—１４７． ［８］ 李立功，左国栋，牛丽娟．大阳山隧道控制网布设［Ｊ］．测 绘与空间地理信息，２０１４，３７（１１）：１０４—１０６． （ＧＰＳ）测量规范［Ｓ］．：北京：中国标准出版社，２００９． ［６］ 中华人民共和国国家质量监督检验检疫总局，中国国家 标准化管理委员会．ＧＢ／Ｔ １２８９７—２００６国家一、二等水 ［编辑：罗研］
