第四章 可测函数

教学目的：

1.熟练掌握可测函数的定义及其基本性质，可测函数的一些重要性质. 2.掌握通过Egoroff定理证明Lusin定理,它表明Lebesgue可测函数可以用性质较好的连续函数逼近.

3.掌握几乎处处收敛,依测度收敛和几乎一致收敛，以及几种收敛性之间的蕴涵关系.通过学习使学生对可测函数列的几种收敛性和相互关系有一个较全面的了解. 重点难点：

1.可测函数有若干等价的定义.它是一类范围广泛的函数,并且有很好的运算封闭性.

2.可测函数可以用简单函数逼近,这是可测函数的构造性特征. 3.引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛性.一方面, L 可测集上的连续函数是可测的,另一方面,Lusin 定理表明, Lebesgue 可测函数可以用连续函数逼近. Lusin 定理有两个等价形式. 4.依测度收敛是一种全新的收敛,与熟知的处处收敛有很大的差异.Egoroff定理和Riesz定理等揭示了这几种收敛之间的关系.Riesz定理在几乎处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁.

§4.1 可测函数及相关性质

由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——

Lebesgue 可测函数，并讨论其性质和结构.

设f是可测集D上的函数,若对任何R,xD:f(x)D是可测集,则称f是可测集D上的可测函数.

我们知道,f在D上连续R,xD:f(x)、xD:f(x)都是开集.所以由可测函数的定义,区间D上的连续函数f是可测函数.

又如:设E是D的可测子集.则E上的特征函数为

xE1 f(x)E(x)

xDE0记

由于 DxD:f(x)

1E 01 D0

是可测集,所以E是D上的可测函数.即

定理4.1.1 可测集的特征函数是可测的.

今后,在不致混淆时,将xD:f(x)简记为f.类似, f、

f 、f、f、f等的意义同上. 问:定义中f可否换成f?答:可以.

定理4.1.2 设函数f定义在可测集D上,则下面四件事等价. (i)f在D上可测;

(ii)对任何R,f可测; (iii)对任何R,f可测; (iv)对任何R,f可测.

其证明就是利用集合的运算. 证明:

11ff(i)(ii) f,由(i), 可测,从而n1nn1f可测,即f可测.同理可证 n1nab0,ab (ii)(iii)fDf

1证明:“”abb f(iii)(iv)f n1n “”(反证)若ab,设abk0,取k,(iv)(i) fDf

定理4.1.3 设函数f和g都是可测集aD上的可测函数,则 bkab(i)f、f、f、f、f都是可测集,其中,是广义实数. (ii)fg是可测集.

证明: (i)先设是实数,则fff是可测集;

若,则ffn可测;

n1若,则ffn可测.

n1可见, 对任何广义实数,f是可测集.

对于其它集的可测性由定理3.1.2与集合的运算立即可得.

(ii)分析:fgx,使f(x)g(x),若f(x),则g(x),可,不管怎样,f、g之间可以插进有理数.即:若rnn1是有理数全体,则

fgfrnrng

n1再利用函数f和g都是可测函数,可得右侧为可测集,即fg是可测集.

在数学分析中,我们已经知道连续函数对于极限运算不封闭,即连续函数的极限可能不是连续函数,只有一致收敛的连续函数列的极限

y函数连续,否则未必.

如:fn(x)xn,x[0,1].

x11fn(x)f(x)

0x1001

不连续.而可测函数对于极限运算是封闭的,这点也体现了它的优越性.

定理4.1.4 设fn(x)n1是可测集D上的一列可测函数,则函数supfn(x)、inffn(x)、limfn(x)、limfn(x)都是可测函数. nn1n1xn证明:任取R,则{supfn(x)}{fn(x)}可测.(此等式表明

n1n1至少有一个fn(x),否则都,就说明为上界,由上确界是最小上界,便会得出supfn(x))

n1{inffn(x)}{fn(x)}可测.

n1n1(至少有一个fn(x),否则都,为下界,其最大下界inffn(x))

n1fn(x)infsupfk(x)、limfn(x)supinffk(x)知limfn(x)、再由limnnn1knknnn1limfn(x)都是可测函数.

nxninfsupxk,supxk;xn的下极限(xn的上极限limnn1knknlimxnsupinfxk,infxk)

nn1knkn实变函数的第一个“差不多”是可测集与开集、闭集差不多;第

二个“差不多”就是可测函数与连续函数差不多. 为研究实变函数中的第二个“差不多”,前述内容中最重要的是定理4.1.4—可测函数对极限运算封闭.

§4.2 可测函数的其它性质

设D是可测集,p(x)是一个与D中每一点有关的命题.若除了D的一个零测子集E外,使p(x)对每一xDE都成立,则称p(x)在D上几乎

处处成立,用a.e.表示.(即almost everywhere).

sinnx0a.e.在R(因例如,sinnx在R上几乎处处收敛于0或说limn为只有xk时,极限不为0,其为可数集,当然为零测集);Cantor集

2上的特征函数C(x)0 a.e.在[0,1](因为Cantor集为零测集).

若说f(x)在R上a.e.有限,意即f(x)不有限的点的集合为零测集. 为讲第二个“差不多” ,先讲连续函数,其值域为区间. 数学分析中求R积分时,把曲的变成直的, an并称其为阶梯函数,此处我们称为简单函数, a5a4它是由特征函数决定的. a3a2a1设f是可测集D上的一个函数,若f(D)

是由有限个实数a1,a2,…,an组成,并且

E1E2E3E6EkxD:f(x)ak k1,2,,n

都是可测集,则我们称f是D上的一个简单函数.由此f可以表示为

f(x)akEK(x)

k1nEn其中E(x)可记作k(x),为Ek上的特征函数.

由可测函数定义,简单函数都是可测的.(定理3.3.4至多可数个可测集之并可测).

易知,若f、g都是简单函数,则f、|f|、fg、fg、fg等都是简单函数(因其值域是有限个实数),当然都是可测的.

下面说明可测函数一定是简单函数的极限.

定理4.2.1 设f是可测集D上的可测函数,则有D上的简单函数列kk1,使对每一xD,k(x)f(x),此外

(i)当f0时,可使上述kk1满足对每一xD,kk1单增收敛于f(x);

(ii)当f有界时, 可使上述kk1在D上一致收敛于f. (即对任何0,有K,kK,有|k(x)f(x)|)

提问:试举例说明,一列函数在每一点都收敛于f(x),但不一致收敛.

k答:如fk(x)xk D[0,1],则f(x)

10x1,这时fk(x)在每一

0x1点都收敛,但不一致收敛.其原因是极限函数不连续.

上述定理说明,可测函数和简单函数“差不多”.通过上图,我们形象地描述一下上述定理的证明思路.

第一次:在-1和1之间取阶梯函数,每段长; 第二次:在-2和2之间取阶梯函数,每段长

1,其中-1和1之间是22

12将第一次的段分一半,分细了,这段的一部分向上移了,所以-1和1之间的第二个阶梯函数部分比第一个大……,即

1k11(x)1

21f(x)1k1kf(x) k1,0,1,2 1122f(x)1

(k的取法可由中间一段得出,因此时f(x)必在-1和1之间,左等右不等,由

k1k得,由k111得k2,所以k1,0,1,2.第二次k的取法类1122似).

2k12(x)2

22f(x)2k1kf(x) k7,6,,8 2222f(x)2

证明:对每一n1,令

若f(x)nnk1k1kn(x)n 若nf(x)n kn2n1,,n2n

222若f(x)nn

(i)显然nn1是一列简单函数,现固定xD.

若f(x),则对每一n1,有n(x)n,从而n(x)f(x); 若f(x),则对每一n1,有n(x)n,从而n(x)f(x); 最后,若f(x)是一个实数,则当n充分大时,存在唯一的kn,使得

n2n1knn2n,并且

kn1knf(x) 2n2n于是n(x)增.

kn11,.令n,即得n(x)f(x). 0f(x)(x)n2n2n特别,设f非负.由n(x)的构造方法(如图x轴上方),易知:n(x)单

(ii)最后若f有界,M是|f|的一个上界,则当nM时,fn及

fn都是空集,从而对一切xD,有n(x)f(x)1,故n(x)n1一致2n收敛于f(x).

注1.由可测函数的定义,f在可测集D上是否可测,与f在D上的一个零测子集上的值无关.

f可测xD:f(x) R 是可测集.

若m(E)0,ED,即使f在E上乱动,对xD:f(x)可测没有影响.即只要f在DE上可测,就说f在D上可测(在E上无定义也可).

说明:若f1(x)f2(x) a.e.D ,则当f1,f2中有一个可测时,另一个也可测.而连续函数斤斤计较,动一点则不连续.

注2.设是D上的可测函数列, m(E)0,ED.若对每一个xDE,

fn(x)f(x),由定理4.1.4知f在DE上可测,从而由注1, f在D上可测.这个结论也可以说成“可测函数列fnn1在D上几乎处处收敛的极限f在D上可测”.

注3.设f和g都是D上的可测函数,若对某xD,f(x),且g(x)或f(x)且g(x),则f(x)g(x)就没有意义.但如果所有使f(x)g(x)没有定义的点x的全体是零测集,则我们同样可以讨论fg的可测性,对fg也如此.

定理4.2.2 设f和g都是可测集D上的可测函数,是实数,则f、f、fg都是可测函数.此外若fg和fg几乎处处有定义,则它们也是可测的.

证明思路.以f为例.因f是可测集D上的可测函数,从而有简单函数列fn(x)f(x),进而简单函数列fn(x)f(x),所以极限函数f可测.再如证fg可测,由已知,因fn(x)f(x),gn(x)g(x),fn(x)、gn(x)为简单函数列,所以fn(x)gn(x)也是简单函数列,且fn(x)gn(x)f(x)g(x),因此极限函数f(x)g(x)可测.

一定注意:可测与否与零测集无关.

例题4.2.1 [0,1]上的实函数是否一定可测?

答:不一定.找[0,1]中的不可测子集E,其上的特征函数不可测.即:取不可测集合E[0,1],令

xE1 f(x)E(x)

x[0,1]E0

1则x[0,1]:f(x)E 01 ——→不可测.

[0,1]0

所以E(x)在[0,1]上不可测.

例题4.2.2 零测集上的实函数是否一定可测?

答:因xE:f(x)E,故也是零测集,从而零测集上的实函数一定可测.

例题4.2.3 设ED,其中D可测,m(E)0.若f在DE上可测,是否f在D上可测?

答:xD:f(x)xDE:f(x)xD:f(x)可测. 复述定理4.2.1

f在D上可测有D上的简单函数列fn(x)f(x),xD且 (i)f0时,fn(x)f(x)

(ii)当f有界时, fn(x) f(x).

之后三个“注”说明可测函数与零测集无关.这样,若可测函数列fn(x)f(x) a.e.,则f(x)是可测函数.可见,对可测函数来说,总的要求是宽的.

重复定理4.2.2

设f和g都是可测集D上的可测函数,是实数,则f、f、fg都是可测函数.此外若fg和fg几乎处处有定义,则它们也是可测的.

什么叫fg几乎处处有定义?

即f(x)g(x)f(x)g(x)是零测集. 其证明思路:

①可测函数一定是一列简单函数列处处收敛的极限. ②也可用定义.如f由{f}(0)或{f}(0)来证. 此处用方法①最清楚.

简单函数fn(x)f(x),gn(x)g(x),则fn(x)f(x),fn(x)f(x), fn(x)gn(x)f(x)g(x),fn(x)gn(x)f(x)g(x)a.e.D

(简单函数是处处有定义的,有限个实数是其值域,无的情况,简单函数不允许取)fg在DE可测,m(E)0,由注1, fg在D可测(即例题3).

例题4.2.4 f在D上可测,sinf在D上是否可测? 答:因f可测,则有简单函数列fn(x)f(x)xD 所以 sinfn(x)sinf(x)

由于fn是简单函数,取有限个实数,当然sinfn(x)也取有限个实数,因而sinfn也是简单函数,所以sinf可测.

由此可见,不光可测函数的“＋、－、×、数乘、绝对值”可测,还有些复合函数也可测,但复合函数比较复杂.sin连续故必可测.但若随便问g(f(x))可测吗?一下子说不清楚.

f 、g可测,则有简单函数fnf、gng,这时gn(fn(x))也是简单函数,但gn(fn(x))g(f(x)) g若连续,有g(fn(x))g(f(x))

g若不连续,则没有g(fn(x))g(f(x)),更不用说gn(fn(x))g(f(x))了.

所以,连续函数的复合还连续,而可测函数的复合却不一定可测. 要点: 1.可测函数与零测集无关.

2.可测函数是简单函数列处处收敛的极限.

§4.3 可测函数用连续函数来逼近

称F是一个紧集,若F的任何开覆盖存在有限子覆盖.其充分必要

条件是F是有界闭集.

定理4.3.1 设F是一个紧集,fnn1是一列沿F连续的函数.若fnn1在F上一致收敛于f,则f也沿F连续(xF,limf(x)f(x0)).

xx0xF前面曾提到xn

1x1x[0,1],由极限函数不连续xn不一

00x1致收敛.定理的证明思路与数学分析同.

问: 数分怎样证明“连续函数fn(x)在[a,b]一致收敛f(x)连续?” 证明:x0[a,b],0,0,x(x0,)

f(x)f(x0)f(x)fn(x)fn(x)fn(x0)fn(x0)f(x0)

f(x)fn(x)fn(x)fn(x0)fn(x0)f(x0)

 333若改为(a,b)也一样.

本节中非常重要的一个结果:

定理4.3.2(Egoroff)设f和fn(n1)都是测度有限的集D上几乎处处有限的可测函数.若fn在D上几乎处处收敛于f,则对任何0,有D的闭子集F,使m(DF),并且fn在F上一致收敛于f.(也称基本上一致收敛,有点象数分中的内闭一致收敛)

证明:令D1xD:fn(x)和f(x)都有限且limfn(x)f(x),则由条件

n知,D1是可测集且m(DD1)0.令

1AD1fk(x)f(x) n,r1,2,

rkn1f(x)f(x)(An(r)是D1里那样的点: k与k,r有关, r不动,取

rkn,n1,,现在看这种集合有什么性质)

(r)n对每一r1,An(r)n1D1,且每一个An(r)都可测.(首先,每一个An(r)都是D1子集,由An1(r)nn1知limAn(r)n(r)A,也就是要证AnD1),易见n1(r)nn1(r)(r)D1,现在对xD1,取D1，这是因为每个AnAn10,由rlimfn(x)f(x)n知N,kN,有

fk(x)f(x)1r,说明

11(r).所以x{fk(x)f(x)},当然xD1[{fk(x)f(x)}]ANnNnNrr(r)(r)D1. xA,因此D1A,于是得到AnD1.即limAnn1(r)nn1(r)nn1n由测度性质(定理3.3.6(i))

(r)(r)limm(An)m(limAn)m(D1)…………………(1) nn又m(D1)m(D),所以对每一r1,有nr,使

(r)(r)m(D1)m(An)m(DA)1nrr2r1………………(2)

(对 (1)式利用极限定义,再根据测度的减法,m(A)时,m(BA)m(B)m(A))

此时fn在EAn(r)上一致收敛于f.

r1r(即0有N,nN,xE,有fn(x)f(x)(下证)

0 ,有r00,使

fn(x)f(x)1(r0),从而当nnr0时,对一切xAn,有r0r0

1(r0)所以上述结论对xE都成立.即fn在.显然EAnr0r0(r)上一致收敛于f.) EAnrr1m(DE)m(D1E)

(r)m(D1An) rr1(r)m((D1An))rr1 (由

D1Ar1(r)nr(r)(D1An)) rr1(r)m(D1An) rr12r1r1

此时有E的闭子集F,使m(EF),则fn在F上一致收敛于f且

2m(DF)m[(DE)(EF)]m(DE)m(EF).

 2思路是:几乎处处收敛处处收敛一致收敛闭集上

↑ ↑ ↑ ↑ D  D1  E  F

注:上述定理中要求D测度有限即m(D).此条件非常重要.若m(D),则没有上述定理.

如:fn(x)(n,)(x),fn(x)0f(x)(n).问:是否有闭集F使m(RF)1而且fn在F上一致收敛于0?

这是不可能的.因为mxR:fn1做不到fn0 a.e.R

n引理4.3.1 设F是R中的闭集,函数f沿F连续,则f可以开拓成R上的连续函数f*,并且supf*(x)supf(x).

xRxFR证明:此时F(an,bn),其中an,bn两两不交.(f在F上有定义,

cn1不妨设在Fc上没有定义,故f在端点an,bn上有定义,在其内部无定义,重新定义:将端点连成线段即可) .(可能f在Fc有定义不连续,同样重新定义) 今定义

f(x)线性* f(x)f(an)f(bn)xFx(an,bn),其中an,bn有限x(an,bn),其中bnx(an,bn),其中anf(bn)f(an)f(a)(xa)nn bnan

f*[anffff[a1b1Fa2bnFb2......Fak[bkF......an[

显然f*是R上的连续函数.它是f的开拓,且supf*(x)supf(x).

xRxFbn

引理4.3.2 设f是可测集D上的简单函数,则对任何0,有沿D连续的函数f*,使mff*.

(是说简单函数和连续函数“差不多”,为可测函数与连续函数“差不多”作准备)

证明:设f(D)ak1kn(因f为简单函数),其中ak都是实数且两两不同.令

Ekfkak k1,2,,n,则Ek可测,其中Ek1kn两两不相交,DEk.

k1n对每一k,有闭集FkEk,使m(EkFk)(因可测集与闭集“差不多”)

n则f沿FkF连续.

k1n(对x0FFkx0Fk

k10nanx充分接近x0时即 d(x,x0)mind(x0,Fk)

k1,2,,nkk00a6a4a3a2a1F1F2F3F4F5...FnxFkEk所以f(x)ak.

00从而limf(x)f(x0).

xx0xF即f沿F连续.)

由引理4.3.1,f可以开拓成D上的连续函数f*.

mf*fm(DF)

m(EkFk)

k1nk1nnm[(EkFk)]

k1m(EkFk)

k1n

(由第一章习题:AnBn (AnBn),由于在F上,f*f,所以可能不等的地方在F外,即f*fDF).

定理4.3.3(Lusin)设f是可测集D上几乎处处有限的可测函数,则对任何0有沿D连续的函数f*使mf*f,并且supf*(x)supf(x).

xDxDn1n1n1证明:不妨设f处处有限.

先设m(D)(为了应用Egoroff定理),此时有简单函数列fn,使对任何xD,fn(x)f(x).现对每一个n1,由引理4.3.2,存在沿D连续的函数fn*,使

mfnfn*2n1n1,2,

令Efnfn*,则

n1m(E)mfnfn1n1*n2n1n1 2此时对每一xDE(即fnfn*),有

fn(x)fn*(x) n1,2,

从而对每一xDE,

fn*(x)f(x) (因m(DE)故可用Egoroff定理)

由Egoroff定理,,有有界闭集FDE使

m(DEF)2

而且fn*在F上一致收敛于f.由定理4.3.1,f在F上连续,再由引理4.3.1,f可以开拓成D上的连续函数f*.此时

mf*fm(DF)

mDEFE

m(DEF)m(E) 

这样我们在m(D)即D有界的条件下证明了定理.

若m(D),令

DnD[n,n1) n0,1,2,

则m(Dn).

由已证,对每一n,有Dn的闭子集Fn,使f沿Fn连续,而且

m(DnFn)n2|n|2 n0,1,2,

此时,FFn是闭集而且f沿Fn连续.

(一般,可数个闭集的并不一定是闭集,称F集.如:[,2](0,2].开集

n11n11是F集是由于(a,b)[a,b].此处FFn是闭集是因

n1nnnxnF,xnx有xF(下证)由于xR,故x[n0,n01).现xnx,故又

由xnF,当n充分大时xnFn.由Fn闭且xnx知xFnF.)

[)...n0- 1n0n0+1...由引理4.3.1,f作为F上函数可以开拓成D上的连续函数f*,并且

mff*m(DF)

000m(DnFn)

nnm[(DnFn)]

n2|n|2n



对于supf*(x)supf(x),由引理4.3.1supf*(x)supf(x)supf(x)而得

xDxDxDxFxD(因FD).

记住:只有Egoroff定理限定m(D).

推论:若f是[a,b]上几乎处处有限的可测函数,则对任何0,有[a,b]上的连续函数f*,使mff*,并且maxf*(x)supf(x).

x[a,b]x[a,b]例:D(x)

mD(x)D*(x)0.

10x有理数x无理数 处处不连续.令D*(x)0,则

这提供了一种方法,研究可测函数命题可以先研究连续函数,二者“差不多”.

§4.4 测度收敛

Dfn(x)f(x)已经学过三种,即

n1逐点收敛2几乎处处收敛 3一致收敛4测度收敛xDxDE,m(E)00,N,nN,xDfnf0,0,N,nNmfnf

第四种即今天要学习的测度收敛.

设f和fn(n1)都是D上几乎处处有限的可测函数.若对任何0,

mfnf0n,则称fn在D上测度收敛于f.记为fnf. 例4.4.1.对每一n1,把[0,1]n等分,得到n个小区间

[k1k,],k1,2,,n.令 nnf0

f1(x)[0,1](x)1

f7f8f5f4f2f9f6f3f1f101f2(x)1[0,]2(x) f3(x)1(x)

[,1]20[,1]31f4(x)1[0,]3(x) f5(x)12(x) f6(x)2(x)

[,]33………………图形见演示文稿《测度收敛反例》 此时对任何0

0n.(因n越大,fn等于1的区间越mfnfmfn小)即fnf.但对任何x[0,1],fn(x)n1中有无穷项为1,无穷项为0,可

见fn不收敛.

例4.4.2.对每一n1,令fn(x)[n,)(x),f(x)0,xR.此时对

xR,fn(x)f(x),但对

111,m({|fnf|})m({fn})m((n,)).所以fnf.

222以上二例说明:测度收敛与几乎处处收敛和逐点收敛没有因果关

系.但还是有关系的.即

定理4.4.1(Riesz)设f和fn(n1)都是可测集D上的几乎处处有限的可测函数,则(i)若fnf,则fnn1中有子列fnk1几乎处处收敛于f.

k(ii)若m(D),并且fn几乎处处收敛于f,则fnf. 证明:

(i)此时对每一k1,m({|fnf|m({|fnkf|1})0(n),因此有nk使 k211k1,2,n1n2nk })2k2k令E({|fnf|p1kpk1})(即集合序列的上极限) 2k则对每一p1

m(E)m({|fnkf|kpm({|fnkkp1}) k21f|k})

21 kkp21p1 2令p得m(E)0.即E为零测集.

此时 EDE({|fnf|cp1kpk1}) 2kk从而对每一xEDE,必有p01使x{|fnf|ckp01},即kp0k2有

|fnk(x)f(x)|k1. k2也即fn(x)f(x) (k).

说明fn在Ec上处处收敛于f,也就是说fn在D上几乎处处收敛于f.

kk (ii) (注意条件m(D),否则即使fn处处收敛于f,也未必fnf)

任给0,0,由于m(D),由Egoroff定理,有D的可测子集E使

m(DE)并且fn在E上一致收敛于f.于是有N,使

|fn(x)f| xE nN

此时 fn(x)f(x)DE

故 mfn(x)f(x)mDE nN 即fnf.

例4.4.3.设fn(x)f(x),fn(x)g(x),则f(x)g(x)在E上几乎处处成立.

证明:由于

f(x)g(x)f(x)fk(x)fk(x)g(x),

故对任何自然数

111n,{xE:|fg|}{xE:|ffk|}{xE:|fkg|},

n2n2n从

111m({xE:|fg|})m({xE:|ffk|})m({xE:|fkg|})

n2n2n而

令k,即得m({xE:|fg|})0. 但是

1{xE:fg}{xE:|fg|}

n1n故m({xE:fg})0,即f(x)g(x) a.e.于E.

1n讲可测函数最重要的一条是其与连续函数“差不多”,即Lusin定理.我们所说的“差不多”是mf*f而不是f*f a.e. 不要混同.