托勒密定理

【定理内容】

圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和． 即：若四边形ABCD内接于圆，

则有ABCDADBCACBD.

CBDA[评]等价叙述：四边形的两组对边之积的和等于两对角线之积的充要条件是四顶点共圆。

【证法欣赏】

证明：如图，过C作CP交BD于P，使12,

∵34,∴ACD∽BCP, ∴

ACAD，即ACBPBCAD ① BCBPACAB，即ACDPABDC ② DCDP又ACBDCP，56，∴ACB∽DCP, ∴

∴①＋②得：AC(BPDP)BCADABDC 即ABCDADBCACBD 【定理推广】 托勒密定理的推广：

在四边形ABCD中，有ABCDADBCACBD；当且仅当四边形ABCD内接于圆时，等式成立。

[证] 在四边形ABCD内取点E，使BAECAD，ABEACD

则ABE∽ACD ∴

ADABBEAE， ACCDADE∴ABCDACBE；

ABAE∵，且BACEAD ACADBC∴ABC∽AED ∴

BCED，即ADBCACED； ACAD∴ABCDADBCAC(BEED) ∴ABCDADBCACBD

当且仅当E在BD上时“=”成立，

即当且仅当A、B、C、D四点共圆时成立；

【定理推广】 托勒密定理的推论：

等腰梯形一条对角线的平方等于一腰的平方加上两底之积． 即：若四边形ABCD是等腰梯形，且AD//BC， 则AC2AB2ADBC.

分析：因为等腰梯形必内接于圆，符合托勒密定理的条件，其对角线相等，两腰相等，结论显然成立。 【定理应用】

【例1】 如图，P是正ABC外接圆的劣弧BC上任一点(不与B、C重合)，

求证：PAPBPC． 证明：由托勒密定理得：

APABCPBACPCAB ∵ABBCCA ∴PAPBPC.

BPC [注]此例证法甚多，如“截长”、“补短”等，详情参看《初中数学一题多解欣赏》． 【定理应用】

【例2】 证明“勾股定理”：

已知：在RtABC中，B90， 求证：AC2AB2BC2。

证明：如图，以RtABC的斜边AC为对角 线作矩形ABCD，则ABCD是圆内接四边形． 由托勒密定理，得

中学数学中的著名定理 ~ 1 ~

ACBDABCDADBC ① ∵ABCD是矩形，

∴ABCD，ADBC，ACBD ② 把②代人①，得：AC2AB2BC2． 【定理应用】

【例3】 如图，在ABC中，A的平分线交外接圆于D，连结BD，

求证：ADBCBD(ABAC)． 证明：连结CD，由托勒密定理，得

ADBCABCDACBD． ∵BADCAD，∴BDCD． 故ADBCBD(ABAC)．

【定理应用】

【例4】 若a、b、x、y是实数，且a2b21，x2y21．

求证：axby1．

证明：如图，作直径AB1的圆，在AB两侧任作RtACB和RtADB， 使ACa，BCb，BDx，ADy． 由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的． 据托勒密定理，有ACBDADBCABCD． ∵CDAB1，

∴ACBDADBCABCD1，即axby1．

【定理应用】

【例5】 已知a、b、c是ABC的三边，且a2b(bc)，

求证：A2B．

证明：∵a2b(bc)，∴aabbbc， 由托勒密定理，构造圆内接四边形。

中学数学中的著名定理 ~ 2 ~

如图 ，作ABC的外接圆，以A为圆心，BC为半径作弧交圆于D，连结BD、CD、AD．

∵ADBC，∴ABDBAC，则12， ∴BDACb

由托勒密定理得：BCADABCDBDAC 即aacDCbb①

又∵a2b(bc)，∴aabbbc， ② 比较①②得CDBDb，则312， ∴BAC2ABC

【定理应用】

【例6】 在ABC中，已知A:B:C1:2:4，求证：

111. ABACBC证明：如图，作ABC的外接圆，作弦BDBC，连结AD、CD． ∵A:B:C1:2:4，

∴CADCBACDA，ABDADB3CAB ∴ABAD，CDAC，

在圆内接四边形ADBC中，由托勒密定理，得：

ACBDBCADABCD ∴ACBCBCABABAC， 则

111. ABACBC【定理应用】

【例7】 由ABC外接圆的弧BC上一点P分别向边BC、AC与AB作垂线PK、

PL和PN，求证：

BCACAB. PKPLPM证：连接PA、PB、PC，

四边形ABPC，由托勒密定理得：

BCAPACBPABCP

即

BCACABAPPKBPPLCPPM ① PKPLPM∵KBPLAP， ∴RtKBP∽RtLAP

中学数学中的著名定理 ~ 3 ~

∴

PKPB，∴APPKBPPL② PLPABCACAB. PKPLPM同理可得BPPLCPPM③ ②③代人①得：

【练习】

[1] 已知ABC中，B2C。求证：AC2AB(ABBC). [2] 已知正七边形A1A2A7。

求证：

111. A1A2A1A3A1A4（第21届全苏数学竞赛）

[提示]1. 过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D，连结BD。 则CD=DA=AB，AC=BD。

由托勒密定理，AC·BD=AD·BC+CD·AB。

2．

中学数学中的著名定理 ~ 4 ~