梅涅劳斯定理

来源：独旅网

第一课时：梅涅劳斯定理

1．背景：

Menelaus定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的.

2．定理：

如果一直线顺次与三角形ABC的三边BC、AC、AB或其延长线交于D、E、F三点， AFBDCE1 则

EFBDCEAA

FA F

BCD DBC

3．说明：

（1）不过顶点的直线与三角形3 边的关系有两种情况：

①若直线与三角形的一边交于内点，则必与第二边交于内点，与第三边交于外点（延长线上的点）；

②直线与三角形的三边均交于外点，因而本定理的图形有两个.

（2）定理的结构是：三角形三边上6条被截线段的比，首尾相连，组成一个比值为1 的等式. （3）这个定理反映了形与数的转化，是几何位置的定量描述：“三点共线”量化为比值等于“1”；反过来，若比值等于“1”成立时，可证“三点共线”（逆定理也成立）.

4．记忆：

A点到分点B点到分点C点到分点1.

分点到B点分点到C点分点到A点5．证明：

BCDFEA

6．推广：

（1）逆定理：（常用于证明三点共线）如果有三点D、E、F分别在三角形ABC的三

AFBDCE1，则三点D、E、F在同一直线上. 边或其延长线，且满足：

FBDCEA

7．定理的应用：

例题1：已知过ABC顶点C的直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E，

求证：

AE2AF. EDFBA

变式练习１：在△ABC 中，AG是角平分线，D是BC

中点，DG⊥AG交AB于E，交AC延长线与F，求证：

EBDCFABDCFE1BE=CF=(ABAC)．

例题2：已知过ABC重心G的直线分别交边AB、AC及CB延长线于点E、F、D，

求证：

GEFBECF1. EAFAADBMC

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