5-3-5 分解质因数(二).教师版

5-3-4.分解质因数

教学目标

1. 2.

能够利用短除法分解

整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为△☆△☆...△☆的结构，而且表达形式唯一”

知识点拨

一、质因数与分解质因数

（1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. （2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.

（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.

例如：30235.其中2、3、5叫做30的质因数.又如12223223，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. （4）.分解质因数的方法：短除法

212例如：26，（┖是短除法的符号） 所以12223；

3二、唯一分解定理

a3a1a2p2p3任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即：np1a1a2ak为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n的质因子分解式.

akpk其中为质数，

例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.

三、部分特殊数的分解

111337；100171113；1111141271；1000173137；199535719；1998233337；

200733223；2008222251；10101371337.

例题精讲

模块一、分数的拆分

111＋＋＝1”中，不同的汉字表示不同的自然数，则“希＋望＋杯”＝ 。 希杯望【考点】分数的拆分 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，初赛，第19题，6分 【解析】 三个分数中一定有大于三分之一的，那个数是二分之一，剩下的两个数必有一个大于四分之一，即【例 1】 算式“

是三分之一，那么剩下的只能是六分之一.希+望+杯=2+3+6=11

【答案】11

1661【例 2】 3个质数的倒数之和是，则这3个质数之和为多少．

1986【考点】分数的拆分 【难度】3星 【题型】解答

111【解析】 设这3个质数从小到大为a、b、c，它们的倒数分别为、、，计算它们的和时需通分，且通

abc分后的分母为abc，求和得到的分数为

F,如果这个分数能够约分，那么得到的分数的分母为a、abc1661，分母198623331，所以一定是a2，b3，c331，1986检验满足.所以这3个质数的和为23331336．

【答案】23331336

【例 3】 一个分数，分母是901，分子是一个质数．现在有下面两种方法：⑴ 分子和分母各加一个相同的

一位数；⑵ 分子和分母各减一个相同的一位数．用其中一种方法组成一个新分数，新分数约分后7是．那么原来分数的分子是多少． 13【考点】分数的拆分 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为新分数约分后分母是13，而原分母为901，由于90113694，所以分母是加上9或者减

去4．若是前者则原来分数分子为7709481，但4811337，不是质数；若是后者则原来分数分子是6974487，而487是质数．所以原来分数分子为487．

【答案】487

1【例 4】 将1到9这9个数字在算式的每一个括号内各填入一个数字，使得算式成立，并

b、c或它们之间的积.现在和为

且要求所填每一个括号内数字均为质数? 【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 本题中括号内所填的数字要求为个位质数，那么只能是2，3，5，7.将原始代入字母分析有

bdcbad1，即有cbad1，那么很容易发现只有3×5-2×7=1。符合原式的填法为acacac321。 7535【答案】

321 7535111的a、b的值(a、b都是四位数)． ab1001【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 取1001的两个不同约数x、y(xy)，得到：

1xyxy11，因为x、y都是1001的约10011001(xy)1001(xy)1001(xy)1001(xy)1001(xy)xy1001（x+y）100110011001（x+y）数，所以、都是整数．所以只需令a，b就可以了．而a、b

yyxx都要大于1001，要保证a、b都是四位数，所以a、b的比值都要小于10，即x、y的比值小于10．而1001的两个互质且比值小于10的约数有以下几组：、、、、、（1,7）（7,11）（7,13）（11,13）（11,91）．所以我们依次取x、y为上面所列的数对中的数，代入a、b的表达式，得到本题的答案： （13,77）【例 5】 求满足条件

a8008,2574,2860,2184,9282,6930 b1144,1638,1540,1848,1122,1170a8008,2574,2860,2184,9282,6930【答案】

b1144,1638,1540,1848,1122,1170

111，其中a、b都是四位数，且a11211 20042004(12)2004(12)6012300611311 20042004(13)2004(13)8016267212311 20042004(23)2004(23)5010334013411 20042004(34)2004(34)4676350711211【答案】 20042004(12)2004(12)6012300611311 20042004(13)2004(13)8016267212311 20042004(23)2004(23)5010334013411 20042004(34)2004(34)46763507【巩固】 若

【例 6】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．

11111111111（1）； 102020（2）

111 10【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 单位分数的拆分，主要方法是从分母N的约数中任意找出两个数m和n，有：

1mnmn11 ，

NN(mn)N(mn)N(mn)AB从分母n的约数中任意找出两个m和n (mn)，有： 1mnmn11 NN(mn)N(mn)N(mn)AB⑴ 本题10的约数有：1，10，2，5．

1121211例如：选1和2，有：；

1010(12)10(12)10(12)3015 从上面变化的过程可以看出，如果取出的两组不同的m和n，它们的数值虽然不同，但是如果m和n 的比值相同，那么最后得到的A和B也是相同的．本题中，从10的约数中任取两个数， 共有2C4410种，但是其中比值不同的只有5组：(1，1)；(1，2)；(1，5)；(1，10)；(2，5)，所以本题共可拆分成5组．具体的解如下：

11111111111 ． 10202011110126014351530⑵ 10的约数有1、2、5、10，我们可选2和5：

1525211 1010(52)10(52)10(52)615 另外的解让学生去尝试练习．

11111111111【答案】（1） 10202011110126014351530

（2）

111 10615111，B均为正整数，则B最大是多少？ ，A2009AB【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】101中学，分班考试

111【解析】 从前面的例题我们知道，要将按照如下规则写成的形式：

NAB1mnmn11，其中m和n都是N的约数。 NN(mn)N(mn)N(mn)AB 如果要让B尽可能地大，实际上就是让上面的式子中的n尽可能地小而m尽可能地大，因此应当 m取最大的约数，而n应取最小的约数，因此m2009，n1，所以B20092008.

【答案】B20092008

11111111111【巩固】  45【例 7】 如果

【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空

11111111111【解析】  457212018304051358191545【答案】

11111111111 457212018304051358191545

【例 8】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．

1111111 10【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 先选10的三个约数，比如5、2和1，表示成连减式521和连加式521．

1111111则： 10410208040161111111． 103615173485另外，对于这类题还有个方法，就是先将单位分数拆分，拆成两个单位分数的和或差，再将其中的一个单位分数拆成两个单位分数的和或差，这样就将原来的单位分数拆成了3个单位分数的和或差

1111111了．比如，要得到，根据前面的拆分随意选取一组，比如，再选择10101260如果选10、5、2，那么有：其中的一个分数进行拆分，比如

【答案】

1111111，所以． 12131561013601561111 101360156111其中a，b是非零自然数，求a+b的最大值。 15ab【考点】分数的拆分 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，决赛，第13题 【例 9】 已知等式

1mnmn，令（m，n）为互质的一对数，现在要让分母为1，只1515(mn)15(mn)15(mn)需m，n是15的一对互质的约数即可。

111当(m，n)=（1，1）时，，此时，a+b=60；

153030111，此时，a+b=80； 当(m，n)=（1，3）时，156020111，此时，a+b=108； 当(m，n)=（1，5）时，159018111，此时，a+b=256； 当(m，n)=（1，15）时，1524016111当(m，n)=（3，5）时 ，，此时，a+b=64；所以，a+b的最大值为256。

154024【答案】256

【解析】 易知，

模块四、分解质因数的综合应用

【例 10】 A，B都是整数，A大于B，且AB2009,那么AB的最大值为 ，最小值

为 。

【考点】 【难度】 【题型】填空 【关键词】走美杯，3年级，初赛 【解析】 20092009128774941

最大值为200912008 最小值为49418

【答案】最大为2008，最小为8

【例 11】 写出所有数字和为11，数字乘积为20的四位偶数：________． 【考点】 【难度】 【题型】填空 【关键词】走美杯，3年级，初赛 【解析】 本题属于数字拆分，目的就是讲11拆成四个数字和，20拆成4个数字的乘积，需要确定的是个位

数字为偶数。根据拆分的特点应该从20开始拆分。先将20分解质因数为：20225，所以各个数位数字乘积为20的数字有：2、2、5、1；4、5、1、1；数字和分别为10和11，符合条件的是4、5、1、1这四个数字组成的四位偶数，所以答案为1154、1514、5114这3个答案。

【答案】1154、1514、5114

【例 12】 在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字5看成8，由此得乘积为1872．那

么原来的乘积是多少?

【考点】分解质因数的综合应用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 1872=2×2×2×2×3×3×13=口口×口口，其中某个口为8，一一验证只有：1872=48×39，1872=78×24满

足．当为1872=48×39时，小马虎错把5看成8，也就是错把45看成48，所以正确的乘积应该是45×39=1755．当为1872=78×24时，小马虎错把5看成8，也就是错把75看成78，所以正确的乘积应该是75×24=1800．所以原来的积为1755或1800．

【答案】1755或1800

【例 13】 两个学生抄写同一个乘法算式，两个乘数都是两位数，他们各抄错了一个数字，于是得到两个不

同的算式，但巧合的是，他们计算的结果都是936.如果正确的乘积不能被6整除，那么它等于多少？

【考点】分解质因数的综合应用 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 注意936中有质因数13，故易见将其分解成两个两位数相乘的形式有1372，2636，3924，

5218，7812这5种可能，由于两人各抄错了一个数字，因此两人的算式中应有两个位置上的数字相同.经枚举可知，他们所抄错的算式可能是(1372，(1372，(2636，1852)，1278)，2439)或(5218，1278).对于第一种情况，两人抄错的是第一个乘数的个位数字和第二个乘数的十位数

字，正确的算式应是1352或1872，后者乘积是6的倍数，与题意不符，故原算式应为前者，正确的乘法算式是1352676.对后三种情况作类似分析，可得出236种可能的原乘法算式，但它们的结果都是6的倍数，不合题意.因此676即为所求.

【答案】676

【例 14】 在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶)，或者是不超过10的自然数．甲、乙两名运

动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环．求甲、乙的总环数各是多少？

【考点】分解质因数的综合应用 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 应对应为5个小于10的自然数乘积．通常我们会考虑将1764的6个质因数组合为5个因数，从而

这5个因数一定都是大于1的，于是得到了如下几种分解情况1764=4×3×3×7×7 =2×6×3×7×7=2×2×9×7×7但是发现其中任何两组的和的差均不是4.原因是我们忽略了在题目叙述实际环境中还会有1环存在，从而要考虑含有因数1的另外2种情况1784=1×6×6×7×7=1×4×9×7×7．所以总的情况对应的和依次为4+3+3+7+7=24，2+6+3+7+7=25，2+2+9+7+7=27，1+6+6+7+7=27，l+4+9+7+7=28．对应的和中只有24，28相差4，所以甲的5箭环数为4、3、3、7、7，乙的5箭环数为1、4、9、7、7．所以甲的总环数为24，乙的总环数为28。

【答案】甲的总环数为24，乙的总环数为28

【例 15】 某校师生为贫困地区捐款1995元．这个学校共有35名教师，14个教学班．各班学生人数相同且

多于30人不超过45人．如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元?

【考点】分解质因数的综合应用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 这个学校最少有35+14×30=455名师生，最多有35+14×45=665名师生，并且师生总人数能整除

1995．1995=3×5×133，在455～665之间的约数只有5×133=665，所以师生总数为665人，则平均每人捐款1995÷665=3元．

【答案】3

【例 16】 张老师带领同学们去种树，学生的人数恰好等分成三组.已知老师和学生共种树312棵，老师与学

生每人种的树一样多，并且不超过10棵.问：一共有多少学生？每人种了几棵树？

【考点】分解质因数的综合应用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为总棵数是每人种的棵数和人数乘积，而每个人种的棵数又不超过10所以通过枚举法来解(注意

人数是减去1后是3的倍数)：1312，3121311不是3的倍数；2156，1561155不是3的倍数；3104，1041103不是3的倍数；478，78177不是3的倍数；652，52151是3的倍数；839，39138不是3的倍数；共有51个学生，每个人种了6棵树.

【答案】共有51个学生，每个人种了6棵树

【巩固】 某班同学在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果老师与学生每人种树一样多，

共种了1073棵，那么平均每人种了棵树？

【考点】分解质因数的综合应用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为总棵数是每人种的棵数和人数的乘积，所以首先想到的是把1073数相乘，一个数为人数一个数

为每人种的棵数，10732937，注意到人数是减去1是3倍数，所以人数是37均每人种了29棵。

【答案】29

【例 17】 幼儿园里给小朋友分苹果，420个苹果正好均分。但今天刚好又新人园一位小朋友，这样每个小朋

友就要少分2个苹果。原来有 个小朋友。

【考点】分解质因数的综合应用 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】走美杯，6年级，决赛，第8题，10分

4202235722103140584670760 【解析】

1042123514301528

2021上式中只有14×30=(14+1)(30-2)=15×28符合题意，所以原有14个小朋友。

【答案】14

【例 18】 2006个弹珠，平均分给若干个人，正好分完．若有1人退出，不参加分球，并且弹珠增加10个，

则每人可以多分8个．原来有 人．

【考点】分解质因数的综合应用 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】走美杯，5年级，决赛，第4题，8分

【解析】 对2006进行分解质因式，得到2006=2×17×59；对2016进行分解质因式得到， 2016=2579，

发现只有16到17相差1人。经验证符合条件，所以原来有17人。

【答案】17人

【例 19】 已知，a、b、c、d、e这5个质数互不相同，并且符合下面的算式：(ab)(cd)e2890，那

么，这5个数当中最大的数至多是 。

【考点】分解质因数的综合应用 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，5年级，第4题

(ab)(cd)e289025172，所以ab、cd、e中只有一个偶数。如果a、b、c、d中没【解析】

有2，那么ab、cd均为偶数，矛盾，所以a、b、c、d中有一个为2，不妨设a2，那么e只能为5或17。如果e5，那么(2b)(cd)2172，而21721(2172)22891734，由于2b、cd均大于2，只有分解成1734才有可能，但此时2b17，得b15为合数，与题意不符；如果e17，那么(2b)(cd)2517，可能为1017和534。若为前者，b将为合数，所以只能是后者，得2b5，cd34，那么b3，c、d至少为5，所以最大为34529。

【答案】29