曲线运动典型例题分析

1、一石英钟的分针和时针的长度之比为 3：2，均可看作是匀速转动，则（ ）

A．分针和时针转一圈的时间之比为 1：60 B．分针和时针的针尖转动的线速度之比为 40：1 C．分针和时针转动的角速度之比为 12：1 D．分针和时针转动的周期之比为 1：6

2、有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的内侧壁高速行驶，做匀速圆周运动．如图所示中虚线圆表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h．下列说法中正确的是（ ）

A．h越高，摩托车对侧壁的压力将越大 B．h越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大 C．h越高，摩托车做圆周运动的周期将越大 D．h越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大

3、 A、B两小球都在水平面上做匀速圆周运动，A球的轨道半径是B球的轨道半径的2倍，A的转速为30 r/min，B的转速为

r/min，则两球的向心加速度之比为：（ ）

A．1：1 B．6：1 C．4：1 D．2：1

4、两个质量相同的小球a、b用长度不等的细线拴在天花板上的同一点并在空中同一水平面内做匀速圆周运动，如图所示，则a、b两小球具有相同的

A．角速度 B．线速度 C．向心力 D．向心加速度 5、关于平抛运动和匀速圆周运动，下列说法中正确的是（ ）

A．平抛运动是匀变速曲线运动 B．平抛运动速度随时间的变化是不均匀的

C．匀速圆周运动是线速度不变的圆周运动 D．做匀速圆周运动的物体所受外力的合力做功不为零 6、在水平面上转弯的摩托车，如图所示，提供向心力是

A．重力和支持力的合力 B．静摩擦力C．滑动摩擦力 D．重力、支持力、牵引力的合力

7、如图所示，在粗糙水平板上放一个物体，使水平板和物体一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，ab为水平直径，cd为竖直直径，在运动过程中木板始终保持水平，物块相对木板始终静止，则（ ）

A．物块始终受到三个力作用 B．只有在a、b、c、d四点，物块受到合外力才指向圆心

C．从a到b，物体所受的摩擦力先减小后增大 D．从b到a，物块处于失重状态

8、如图所示，拖拉机后轮的半径是前轮半径的两倍，A和B是前轮和后轮边缘上的点，若车行进时轮与路面没有滑动，则 ）

A． A点和B点的线速度大小之比为1：2 B． 前轮和后轮的角速度之比为2：

1

C． 两轮转动的周期相等 D． A点和B点的向心加速度相等

9、用一根细线一端系一可视为质点的小球，另一端固定在一光滑锥顶上，如图所示，设小球在水平面内作匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力为T，则T随ω变化的图象是( )

2

A． B． C． D．

10、如图所示，放于竖直面内的光滑金属细圆环半径为R，质量为m的带孔小球穿于环上，同时有一长为R的细绳一端系于球上，另一端系于圆环最低点，绳的最大拉力为2mg．当圆环以角速度ω绕竖直直径转动时，发现小球受三个力作用．则ω可能为( )

A．3 B． C． D．

二、计算题

11、如图所示，在匀速转动的圆盘上，沿半径方向放置着用轻绳相连的质量分别为2m，m的两个小物体A，B（均可视为质点），A离转轴r1=20cm，B离转轴r2=40cm，A、B与圆盘表面之间的动摩擦因数为0.4，重力加速度g=10m/s，求：

（1）轻绳上无张力时，圆盘转动的角速度ω的范围？ （2）A、B与圆盘之间不发生相对滑动时，圆盘转动的角速度ω的最大值？ （3）A、B与圆盘之间刚好不发生相对滑动时，烧断轻绳，则A、B将怎样运动？

2

13、汽车试车场中有一个检测汽车在极限状态下的车速的试车道，试车道呈锥面（漏斗状），如图所示． 测试的汽车质量m=1t，车道转弯半径R=150m，路面倾斜角θ=45°，路面与车胎的动摩擦因数μ为0.25，设路面与车胎的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，（g取10m/s）求 （1）若汽车恰好不受路面摩擦力，则其速度应为多大？ （2）汽车在该车道上所能允许的最小车速．

2

14、如图所示，轻杆长为3L，在杆的A、B两端分别固定质量均为m的球A和球B，杆上距球A为L处的点O装在光滑的水平转动轴上，杆和球在竖直面内转动，已知球B运动到最高点时，球B对杆恰好无作用力．求： （1）球B在最高点时，杆对A球的作用力大小． （2）若球B转到最低点时B的速度vB=

，杆对球A和球B的作用力分别是多大？A球对杆的作用力方向如何？

15、如图所示，光滑杆AB长为L，B端固定一根劲度系数为k、原长为l0的轻弹簧，质量为m的小球套在光滑杆上并与弹簧的上端连接。OO′为过B点的竖直轴，杆与水平面间的夹角始终为θ。则：

（1）杆保持静止状态，让小球从弹簧的原长位置静止释放，求小球释放瞬间的加速度大小a及小球速度最大时弹簧的压缩量△l1；

（2）当球随杆一起绕OO′轴匀速转动时，弹簧伸长量为△l2，求匀速转动的角速度ω；

、如图所示，两绳系一质量为0.1kg的小球，两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处，上面绳长2m，两绳拉直时与轴的夹角分别为30°和45°，问球的角速度在什么范围内两绳始终有张力？（g取10m/s）

2

参

一、选择题

1、解：A、D、分针的周期为T分=1h，时针的周期为T时=12h，两者周期之比为T分：T时=1：12，故A错误，D错误； B、分针的周期为T分=1h，时针的周期为T时=12h，两者周期之比为T分：T时=1：12，由v=针的线速度是时针的18倍，故B错误；

C、分针的周期为T分=1h，时针的周期为T时=12h，两者周期之比为T分：T时=1：12，由ω=的角速度是时针的12倍，故C正确； 故选C．

2、解：A、摩托车做匀速圆周运动，提供圆周运动的向心力是重力mg和支持力F的合力，作出力图．设圆台侧壁与竖直方向的夹角为α，侧壁对摩托车的支持力F=

不变，则摩托车对侧壁的压力不变．故A错误．

研究得知，分针研究得知，分

B、根据牛顿第二定律得Fn=m，h越高，r越大，Fn不变，则v越大．故B正确．

C、根据牛顿第二定律得Fn=m故选：BC

r，h越高，r越大，Fn不变，则T越大．故C正确．

D、如图向心力Fn=mgcotα，m，α不变，向心力大小不变．故D错误．

3、B 4、A 5、A 6、B 7、C 8、B

9、考点：匀速圆周运动；向心力．

分析：分析小球的受力，判断小球随圆锥作圆周运动时的向心力的大小，进而分析T随ω变化的关系，但是要注意的是，当角速度超过某一个值的时候，小球会飘起来，离开圆锥，从而它的受力也会发生变化，T与ω的关系也就变了．

解答： 解：设绳长为L，锥面与竖直方向夹角为θ，当ω=0时，小球静止，受重力mg、支持力N和绳的拉力T而平衡，T=mgcosθ≠0，所以A项、B项都不正确； ω增大时，T增大，N减小，当N=0时，角速度为ω0．

2

2

当ω＜ω0时，由牛顿第二定律得， Tsinθ﹣Ncosθ=mωLsinθ， Tcosθ+Nsinθ=mg，

解得T=mωLsinθ+mgcosθ；

当ω＞ω0时，小球离开锥子，绳与竖直方向夹角变大，设为β，由牛顿第二定律得 Tsinβ=mωLsinβ， 所以T=mLω，

可知T﹣ω图线的斜率变大，所以C项正确，D错误． 故选：C．

点评：本题很好的考查了学生对物体运动过程的分析，在转的慢和快的时候，物体的受力会变化，物理量之间的关系也就会变化．

10、考点：向心力；牛顿第二定律． 专题：牛顿第二定律在圆周运动中的应用．

分析：因为圆环光滑，所以这三个力肯定是重力、环对球的弹力、绳子的拉力，细绳要产生拉力，绳要处于拉升状态，根据几何关系及向心力基本格式求出刚好不受拉力时的角速度，此角速度为最小角速度，只要大于此角速度就受三个力．

解答： 解：因为圆环光滑，所以这三个力肯定是重力、环对球的弹力、绳子的拉力，细绳要产生拉力，绳要处于拉升状态，根据几何关系可知，此时细绳与竖直方向的夹角为60°，当圆环旋转时，小球绕竖直轴做圆周运动，向心力由三个力在水平方向的合力提供，其大小为：F=mωr，根据几何关系，其中r=Rsin60°一定，所以当角速度越大时，所需要的向心力越大，绳子拉力越大，所以对应的第一个临界条件是小球在此位置刚好不受拉力，此时角速度最小，需要的向心力最小，对小球进行受力分析得： Fmin=2mgsin60°，即2mgsin60°=mωminRsin60°

解得：ωmin=．

当绳子拉力达到2mg时，此时角速度最大，对小球进行受力分析得： 竖直方向：Nsin30°﹣（2mg）sin30°﹣mg=0 水平方向：Ncos30°+（2mg）cos30°=m

2

2

2222

2

2

解得：ωmax=

故ACD错误，B正确； 故选：B．

点评：本题主要考查了圆周运动向心力公式的应用以及同学们受力分析的能力，要求同学们能找出临界状态并结合几何关系解题，难度适中．

二、计算题

11、考点：向心力． 专题：匀速圆周运动专题．

分析：（1）当小球的加速度为零时，速度最大，结合平衡求出弹簧的压缩量．

（2）根据牛顿第二定律求出小球做匀速转动时距离B点的距离，求出此时小球的动能，结合最高点的动能，运用动能定理求出杆对小球做功的大小．

解答： 解：（1）当小球加速度为零时，速度最大，此时受力平衡，则有：mgsinθ=k△l1， 解得弹簧的压缩量为：

（2）当杆绕OO′轴以角速度ω0匀速转动时，设小球距离B点L0，此时有：

，

解得：

．

此时小球的动能为：

小球在最高点A离开杆瞬间的动能为：

根据动能定理有：W﹣mg（L﹣l）sinθ=EkA﹣Ek0， 解得：W=

．

．

．

答：（1）当杆保持静止状态，在弹簧处于原长时，静止释放小球，小球速度最大时弹簧的压缩量△l1为0.06m； （2）保持ω0不变，小球受轻微扰动后沿杆上滑，到最高点A时其沿杆对其所做的功W为

．

点评：本题考查了动能定理、胡克定律与圆周运动的综合，知道小球做匀速转动时，靠径向的合力提供向心力，由静止释放时，加速度为零时速度最大，难度适中． 12、考点： 向心力． 专题： 匀速圆周运动专题．

分析： （1）由题意可知当细线上没有张力时，B与盘间的静摩擦力没有达到最大静摩擦力，故由静摩擦力充当向心力，由向心力公式可求得角速度；

（2）当A、B所受静摩擦力均达到最大静摩擦力时，圆盘的角速度达到最大值ωm，超过ωm时，A、B将相对圆盘滑动．分别对两个物体，根据牛顿第二定律和向心力公式列式，即可求得最大角速度． （3）根据离心的知识分析烧断细线后A、B的运动情况．

解答： 解：（1）当B所需向心力 FB≤Ffmax时，细线上的张力为0，即：mωr2≤μmg，

2

解得：ω≤即当ω≤

时，细线上不会有张力．

（2）当A、B所受静摩擦力均达到最大静摩擦力时，圆盘的角速度达到最大值ωm，超过ωm时，A、B将相对圆盘滑动．设细线中的张力为FT． 根据牛顿第二定律得： 对A：2μmg﹣FT=2mωmr1 对B：μmg+FT=mωmr2， 得ωm=

rad/s．

2

2

2

（3）烧断细线时，A做圆周运动所需向心力FA=2mωmr1=0.6mg，又最大静摩擦力为0.4mg，则A做离心运动． B此时所需向心力FB=mωmr2=0.6mg，大于它的最大静摩擦力0.4mg，因此B将做离心运动． 答：（1）若细线上没有张力，圆盘转动的角速度ω应满足的条件是ω≤3.7 rad/s． （2）欲使A、B与圆盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度为4.0 rad/s． （3）A都做离心运动．

点评： 对于圆周运动动力学问题，分析受力情况，确定向心力由什么力提供是解题的关键．本题还要抓住物体刚要滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值．

13、解：（1）汽车恰好不受路面摩擦力时，由重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得：

2

解得：v=

（2）当车道对车的摩擦力沿车道向上且等于最大静摩擦力时，车速最小，根据牛顿第二定律得：

Nsinθ﹣fcos

Ncosθ+fsinθ﹣mg=0 f=μN

解得：

=

答：（1）若汽车恰好不受路面摩擦力，则其速度应为38.7m/s； （2）汽车在该车道上所能允许的最小车速为30m/s．

14、解：（1）球B在最高点时速度为v0，有 得：

．

，

因为A、B两球的角速度相等，根据v=rω知，此时球A的速度为：

设此时杆对球A的作用力为FA，则 FA﹣mg=m解得：FA=1.5mg

（2）若球B转到最低点时B的速度vB=

，则对B球得：

解得：FB=3.6mg

此时A球的速度 vA=vB=，则

则杆对A球作用力的方向向下，牛顿第三定律得，A球对杆作用力的方向向上．

由牛顿第二定律得：解得：FA=0.3mg

答：（1）球B在最高点时，杆对A球的作用力大小为1.5mg．（2）若球B转到最低点时B的速度vB=球A和球B的作用力分别是0.3mg和3.6mg，A球对杆的作用力方向向上． 15、解：（1）小球从弹簧的原长位置静止释放时，根据牛顿第二定律有

，杆对

（1分）

解得

（1分）

小球速度最大时其加速度为零，则

（2分）

解得 （1分）

（2）球做圆周运动的半径为 设弹簧伸长Δl2时，球受力如图所示， 水平方向上有 竖直方向上有

解得 16、解：当上绳绷紧，下绳恰好伸直但无张力时，小球受力如下图

由牛顿第二定律得：mgtan30°=mω2

1r； 又有：r=Lsin30°

解得：ω1=rad/s；

当下绳绷紧，上绳恰好伸直无张力时，小球受力如下图 由牛顿第二定律得：mgtan45°=mω2

2r； 解得：ω2=

rad/s；

2分） （2分） 1分）

（2分）

（ （

故当 rad/s＜ω＜rad/s 时，两绳始终有张力．

答：球的角速度在rad/s＜ω＜rad/s 时，两绳始终有张力．