第3章 测度理论(习题)

第三章 测度理论

习题3-1-P54 P54

1、证明若E有界,则m*E.

证明：因E有界,则K0s.t.EI{(x1,,xn)| |xi|K,iN(n)},

于是m*E|I|(2K)n.

n2、证明任何可数点集ER的外测度都是零.

(k)(k)证明：设E{xk|xk(a1,,an),kN}为可数点集,0,取

Ik{(x1,,xn)|ai(k)显然xkIk,kN,E1n1n(k)xa,iN(n)}, iikk2222Ik,0mE|Ik|*k1k1kk12,

*由的任意性,知mE0.

23、证明对有界ER,若0m*E,必DEs.t.m*D. 证明：因为E有界,于是K0s.t.EN(0,K),令

f(t)m*{x|(x,0)t,xE},0tK,

显然f(0)0,f(K)m*E.

0, 下面证明f(t)C[0,K].0,取2Kst[0,K],由于{x|(x,0)s,xE}{x|(x,0)t,xE}, 只要|st|,有

|f(t)f(s)|f(t)f(s) m{x|s(x,0)t}(t2s2)2K(ts),

* 可见f(t)C[0,K],因0f(0)f(K)mE,

所以[0,K]s.t.f(),令D{x|(x,0),xE}E,有

m*Dm*{x|(x,0),xE}f().

4、设实函数f(x)在[a,b]上连续,E{(x,y)|yf(x),axb}, 证明m*E0.

证明：因为f(x)C[a,b],于是f(x)在[a,b]上一致连续,那么

0, 0, s.t. 当|st|,时,|f(t)f(s)|.

ba,将[a,b]进行n等分,其分点为取

nax0x1xnb,

记Ii[xi1,xi],Ji[f(xi),f(xi)],显然,

E{(x,y)|yf(x),xIi}(IiJi),

i1i1nn 0m*Em(IJ)[m(I)m(J)]

iiiii1i1nn

(i1nba2)2(ba),于是,由的任意性,知m*E0. n P55.

n5、ER,a0,aE{(ax1,,axn)|(x1,,xn)E},

证明:m(aE)amE.

证明：0,开区间Ik{(x1,,xn)|ai(k)xibi(k),iN(n)},

*n*ank1k1而 aIk{(ax1,,axn)|ai(k)xibi(k),iN(n)}

s.t. EIk,mE|Ik|m*E*,

{(x1,,xn)|aai(k)xiabi(k),iN(n)},

显然aE*aIk1k,|aIk|an|Ik|,于是

nm(aE)|aIk|ak1由的任意性,知m*(aE)amE,

k1n*|Ik|anm*E,

11*n**m(aE),有amEm(aE), naa*n*所以, m(aE)amE.

当然mEm[(aE)]**

6、m*E0,证明必xE,s.t.0,都有m*(EN(x,))0. 证明：反证.假设xE,x0,使得m*(EN(x,x))0,

当然存在以有理数为端点的区间Ixs.t.xIxN(x,x), 由于{Ix}至多有可数个,记作{Jk},有E*(EJk1k)那么

0mEm*(EJk)0,这与条件m*E0不符,

k1说明必xE,s.t.0,都有m*(EN(x,))0.

7、试就二维空间R证明外测度在旋转变换下也是不变的.

证明：(1)设I{(x,y)|axb,cyd},由于II,有m*I|I|,

反过来, 0,开区间{Ik}, |I|*2Ik1kI, s.t.

|Ik1k|m*I,让0,有|I|m*I,

所以mI＝|I|(ba)(dc),

由于矩形I经过旋转变换后得到的矩形I的面积是不会改变的,

**因此mImI.

(2)ER, 0,开区间{Ik},

m*E2Ik1kE, s.t.

|Ik1k|m*E,

,显然IkE,m*Ikm*Ik,于是 E,Ik经过旋转后为E,Ikm*Ik|Ik|m*E, mEmIk***让0,有mEmE,当然E经过的逆旋转后为E,

k1k1*k1k1****有mEmE, 所以mEmE.

习题3-2-P66

P66

1、举例说明两个不可测集合的并、交、差既可以是不可测集合也可以是可测集合.

ˆ均不可测.因为如果Sˆ可测,则 解：由P57讨论可知,Smmˆ)m(Sˆm*Sm(Sˆm)mSˆm,由此已经推出矛盾. mm*m1m1m1m1ˆ的并也不可测. 同时,任何有限个Smˆ设TˆSi1kmiˆ}中任取的不同的k个Sˆ之并, 为{Smmˆ{t|tsr,sTˆ}(1,2), {rm}为(1,1)内全体有理数, Tmmˆ},(0,1)同样{TmTˆm1mˆ均不能可测. ,同理,TmˆSˆ,ESˆSˆ为两个不可测集合, (1)取E1S12223ˆ均不可测. ˆ,EESˆSˆSˆ,EES显然E1E2S122121123ˆ,ESˆc为两个不可测集合, (2)取E1S121ˆSˆ均可测. 显然E1E2R,E1E2,S11

22、试在二维空间R中作出一不可测集合来.

ˆ同P56中的Sˆ,取Tˆ(0,1),Tˆ(0,1),由P57讨论知 ˆSˆS解：设Smmˆ(1,2)(0,1) (0,1)(0,1)Tmm1ˆ可测,由于{Tˆ},则 如果Tmmˆm[(1,2)(0,1)]3, 1m[(0,1)(0,1)]mTmm1ˆ0,或mTˆ,都与上式冲突, ˆmTˆ,这样mT而mTmmmm1m1ˆ(0,1)在R不可测. ˆS所以Tmm2

*3、举例说明定理6的结果对使mT的T可以不成立.

*定理6：设{Ek}M,kNTR,若mT, 恒有

nm*(limTEk)limm*(TEk).

kk解：取TR,Ek(k,)M,kN,

TEkEk(k,),m*(TEk),

klimTEklimEkEk,m*(limTEk)m*()0,

k*可见m(limTEk)m()0limm(TEk).

kkk1*k*

4、设A,BM,证明

m(AB)m(AB)m(A)m(B).

证明：因A,BM,有A(ABc)(AB),那么

mAm(ABc)m(AB), 又AB(ABc)B,所以

m(AB)m(AB)m(ABc)mBm(AB) m(ABc)m(AB)mBmAmB.

n**5、证明对ER,0,GO s.t. mGmE. 证明：0,开区间{Ik}, E 所以m*Gm*(Ik1kGO s.t.

|Ik1k|m*E,

Ik1k)m*Ik|Ik|m*E.

k1k1

6、设{Em}M,证明m(liminfEm)liminfmEm.

mm又m(证明：因

Em1m),证明m(limsupEm)limsupmEm.

mmkmEmkEm,有

m(liminfEm)m(Ek)limEkliminfmEm.

又因

kmEkEm,m(Em),有

m1m1kmmkmmm(limsupEm)m(Ek)limEklimsupmEm.

mm1kmmkmm

7、设{Em}M,证明：因

m(Em1m),证明limsupmEm0.

mkmEkEm,m(Em)m(Em),有

m1m1mm0m(limsupEm)m(Ek)limm(Ek)limm(Ek)0mm1kmkmkm,

所以limsupmEm0.

m

习题3-3-P70 P70

1、证明Cantor集合的测度为零,并在[0,1]上作一测度大于零的无处稠密的完备集,进而证明存在开集G,使mGmG.

证明：(1)设A0[0,1],将Ak1中剩下的闭区间都均分成三段并将所有中间段

的开区间之并记为Bk,令AkAk1Bk,kN,Cantor集合

C[0,1]Bk,

k1显

2k12k1BkOM,mBkk,m(Bk)mBkk1,

3k1k13k1然

而[0,1]CBk1k,有1m[0,1]mCm(B)mC1,

kk1所以mC0.

(2)设A0[0,1],将Ak1中剩下的每一个闭区间中均匀插入k个点并去掉以此点为中心长度均相同的开区间,要求这些开区间的总长度为

12k1,记这些

开区间的并为Bk,令AkAk1Bk,kN,记GBk1k,F[0,1]G,

111显然BkOM,mBkk1,m(G)mBkk1,

22k1k121而[0,1]FG,有1m[0,1]mFm(G)mF,

21所以mF0,由F的构造可知F是无处稠密的完备集.

21(3)显然G[0,1],所以mG1mG.

2 P71 2、证明：只要E可测,0,就有开集GE,闭集FE,使m(GE), m(EF).

证明：(1)设EKM,0,开区间{Ik},G mGIi1kEs.t.

mI|Iki1k1k|mE,

显然,G(GE)E,mGm(GE)mE,于是

m(GE)mGmE. (2) 设EM,令Im{(x1,x2,,xn)| |xi|m,iN(n)},

有EmEImKM,

0,开集GmEms.t.m(GmEm)取G2m,mN,

Gm1mEmE,有

m1GEGmEm[GmEkc],

m1m1m1k1cc于是m(GE)m[GmEk]m(GmEm)

m1k1m1m(GmEm)m. m1m12(4)设EM,则EcM,那么开集GEcs.t.m(GEc),

取FGcE,FC,有

m(EF)m(EFc)m[Fc(Ec)c]m(GEc).

3、证明有界集合E可测的充要条件是

inf{mG;G为开集,GE}sup{mF;F为闭集,FE} .

证明：“必要性”因为EKM,0,开集GE,闭集FE,

s.t.m(GE),m(EF),那么

mEinf{mG;G为开集,GE}mGmE, mEsup{mF;F为闭集,FE}mFmE, 让0,有mE,mE,所以.

“充分性”显然m*Em*E,有m*E,

TRn,mN,闭集FmE,开集GmE,s.t.

111mFmm*E,mGmm*EmG1,

mmm由于 m*(EFm)m*Fmm*E, (FmM)

cccm*(G1EcG1Gm)m*G1Gmm*G1Ec, (G1GmM)

1***于是 m(EFm)mEmFm,

mcccm*(EcGm)m*(G1EcG1Gm) (EcGmEcGmG1)

cm*G1Ecm*G1Gmm*G1m*E(m*G1mGm),

1mGmm*E,

m而 m*TEm*[T(EFm)]m*TFmm*(EFm)m*TFm

那么

cccc,m*TEcm*[T(EcGm)]m*TGmm*(EcGm)m*TGm

m*TEm*TEc

ccm*(TETFm)m*TFmm*(TEcTGm)mTGm

ccm*(EFm)m*TFmm*(EcGm)mTGm

ccm*(TFmTGm)m*(EFm)m*(EcGm)c(Fm,GmM)

m*Tm*(EFm)m*(GmE)cm*T1, 2m让m,有m*TEm*TEcm*T,所以E可测.

4、证明有界集合E可测的充要条件是对任意0,都有可测集合E1,E2使

E1EE2,m(E2E2).

证明：“必要性”因为EKM,0,开集GE,闭集FE,

 G,FMs.t.m(GE),m(EF),那么

22mEmFmEmGmE,

22于是m(GF)mGmF.

“充分性”0,E1,E2Ms.t.E1EE2,m(E2E1)， 当然开集GE2,闭集FE1s.t.

m(GE2),m(E1F),

而 GF(GE2)(E2E1)(E1F),于是

0inf{mG;GO,GE}sup{mF;FC,FE} mGmFm(GE2)m(E2E1)m(E1F)3, 让0,有,所以E可测.

5、证明：对于Rn中任意一串点集Em,mN*m,只要

E1E2Em,便有m(Em)limm*Em.

m1证明：由于E1E2Em,有mEm, Em***Em1m,

*mEmm(Em),mN, 于是 limmEmm(Em)；

*m1mm1cEmEm反过来,取G0E0,mN,开集Gm1 s.t.

cEmEmm*(Gm1)2mcGm1EmEm取GmGm1Em1Em,GmGm1,于是

cccGm1)EmEm GmEm(GmGmGm1Em,

ccccc(EmGmEm1)Gm1Em1Gm(EmEm1)Gm1Em1, 这样

m1m**cc*c(EmEm1)]m(Gm1Em1)mkkm(GmEm)m[Gm2k02k02,

当然mGmmEmm(GEm)mEm****2k0mk,于是

mm(Em)m(Gm)limmGmlim(mE*m1m1mmkk02)

limmEm*m2kmlimm*Em2,

m让0,有m*(所以m(

*Em1k0)limm*Em,

mEm1m)limm*Em.

m6、证明：如果E是R中的可测点集,a0,则

naE{(ax1,ax2,,axn)|(x1,x2,,xn)E}

也是可测的,并且m(aE)anmE. 证明：因为EM,F集FFk1k及NM,mN0s.t.

EFN.

由P55.5知m(aN)amNamN0,于是aNM, 因FkC,由P38.11知aFkCM,kN, 所

以

*n*naE(aFk)aNMk1,且

m(aE)m*(aE)anm*EanmE.

下面证明a(E)aEkk1k1k1k.

axa(Ek)xEkkNs.t.xEk

k1kNs.t.axaEkaxaEkk1,所以

a(Ek)aEk.

k1k1

7、证明：如果已知开集都是可测的,则从外测度的基本性质(ⅰ)、(ⅱ)、(ⅲ)可推出基本性质(ⅳ),这说明什么？ (ⅰ) m*E0, m*0. (ⅱ) AB  m*Am*B. (ⅲ) m(*A)mA*kk1k1k.

(ⅳ) (A,B)0  m*(AB)m*Am*B. 证明：如果已知开集都是可测的,ER,可定义

nm*Einf{mG GE,GO}.

(

ⅰ

)

ERn,

GE,GO,

mG0,所以

m*EinmG f G{E,GO}0.

(ⅱ) AB,GB,GO,GA,那么

m*Ainf{mG GA,GO}mG

所以mAinf{mG GB,GO}mB.

*(ⅲ) 0,kN,GkE,GkOs.t.mGkmAk**2k,

显然

AGkk1k1*k1kO,于是

m(Ak)m(Gk)mGkm*Ak,

k1k1k1所以m(*A)mA*kk1k1k.

(ⅳ) 令d(A,B)0,D1{x|(x,A)dd},D2{x|(x,B)}, 22GAB,AG1GD1O,BG2GD2O,G1G2,

m*Am*BmG1mG2m(G1G2)mG,

于是mAmBinf{mG GAB,GO}m(AB), 而m*(AB)m*Am*B,所以m*(AB)m*Am*B. 可见,开集具有隔离性.

8、证明：M2c.

证明：设C为Cantor集合,已知Cc,mC0,

令CnCRn1Rn,有mCnm(CRn1)0,显然C~Cn,

由于零测度的任何子集均为零测度可测集合,从而2nn***CnM2R,

nCCcCRRc于是222n2nM222,所以M2c.

9、证明对于任何闭集F,都可作一完备集F1F,使mF1mF.

证明：令E{x|xF,0,N(x,)Fa},F1FE,FF1E.

(1) 先证明Ea,从而EM,且mE0,那么F1M,且

mF1mF.

xE,x0,s.t.N(x,x)Fa,

那么{N(x,x)}是E的一个覆盖,由P38.5.知{xk}s.t.

{N(xk,xk)}是E的一个覆盖,即EN(xk,xk),有

kEEF[N(xk,xk)F],于是Ea.

k(2) 再证明F1是完备集.

xF1,xF,xE,0,N(x,)Fa,当然

N(x,)F1N(x,)(FE)a,

于是N(x,)F1,这样xF1,从而F1F1； 反过来,xF1FF,0,N(x,)F1, 可见xF1,若不然,xF1,xE,那么10s.t. N(x,1)Fa,这样tN(x,1)F,20s.t. tN(t,2)FN(x,1)F,于是N(t,2)Fa, 有tE,tF1,这样N(x,1)F1,

这与N(x,1)F1冲突,于是F1F1. 总之,F1F1,所以F1是完备集.

10

、

设

A,B是

R

中两个有界闭

集,x0,y0R,A1A(,x0]A2A[x0,),

B1B(,y0]B2B[y0,),证明m(AB)m(A`1B1)m(A2B2),此处“”表示两个点集的向量和.

证明：(1)A1B1(AB)(,x0y0] ,因为

xyA1B1xA1,yB1 xA(,x0],yB(,y0]

xA,yB,x(,x0],y(,y0] xyAB,xy(,x0y0] xy(AB)(,x0y0],

(2)A2B2(AB)[x0y0,),因为

xyA2B2xA2,yB2 xA[x0,),yB[y0,)

xA,yB,x[x0,),y[y0,) xyAB,xy[x0y0,) xy(AB)[x0y0,),

(3) (A1B1)(A2B2){x0y0}N,显然mN0,

m(A1B1)m(A2B2)m[(A1B1)Nc]m[(A2B2)Nc] m{[(A1B1)(A2B2)]Nc}, (4) (A1B1)(A2B2)

{(AB)(,x0y0]}{(AB)[x0y0,)}AB,

(5) m(A1B1)m(A2B2)m{[(A1B1)(A2B2)]N}

cm[(AB)Nc]m(AB).

11、设A和B都是R中有限多个相互没有公共内点的有界闭区间的并,则 m(AB)mAmB,此处“”表示两个点集的向量和.

证明：不妨设AAk1m1k1mk,BBk1mk (补充空集可使两个m相同),

并可不妨设Ak在R上依顺从小到大排列,Bk也如此. 当m1时,结论显然成立,假设结论对m1成立,记

AAk,BBk

k1m1显然A与Am,B与Bm没有公共内点,由上题知

m(AB)m(AB)m(AmBm), 由于m(AB)mAmB,m(AmBm)mAmmBm,那么

mAmBm(AAm)m(BBm) mAmBmAmmBm

m(AB)m(AmBm)m(AB),

所以结论成立.

12、设A,B是R中两个有界闭集,证明对01有

m[A(1)B]mA(1)mB.

cc证明：(1)由于A[a,b],AC,AO,又AR,则开区间{Ik}s.t.

AIk,有Am[a,b]Ik,同样可有Bm,都是有限多个相互没有

ck1k1m公

m内点的有界闭区间

limAmA,limBmB,lim(AmBm)AB.

mm共的并,且

(2)由上题知,m(AB)m(AmBm)mAmmBm,于是

m(AB)limmAmlimmBm

mmm(limAm)m(limBm)mAmB.

mm(3) 对01有

m[A(1)B]m(A)m[(1)B]mA(1)mB.

习题3-4-P79 P79

1、举例说明对R的可测集.

pq中的可测集E,确实有可能存在xR使Ex不是R中

1pqˆ在R不可测,令EQSˆR11Rpq, 解：由P57 及P66.1讨论可知,S11ˆQ(1,2),可见0m*EmQm(1,2)0, 由于EQS1R11中的可测集,

ˆ均不是RqR1中的可测集. 然而xQRpR1,ExS1有m*E0,因此E是R

2、试在二维平面R中作一开集G,使G的边界点构成的集合的测度大于零. 解：由P70.1.讨论(2)知G1O,G1[0,1],mG12pq1, 22令GG1(0,1),显然G是R中的开集,G[0,1][0,1],

1mGmG1m(0,1),mGm[0,1]m[0,1]1,

21由于G的边界点集GGG,有m(G)mGmG0.

2