1.1.2导数的概念(学、教案)

课前预习学案

预习目标：“导数的概念”了解瞬时速度的定义，能够区分平均速度和瞬时速度，理解导数(瞬

时变化率)的概念

预习内容：

问题1 我们把物体在某一时刻的速度称为________。一般地，若物体的运动规律

为sf(t)，则物体在时刻t的瞬时速度v 就是物体在t到tt这段时间内，当_________时平均速度的极限，即

svlim=___________________

x0tht4.9t26.5t10

问题2 函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:

x0limf(x0x)f(x0)flim x0xx我们称它为函数yf(x)在xx0处的______，记作f'(x0)或________，即________________________

提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点 疑惑内容 课内探究学案

学习目标：了解瞬时速度的定义，能够区分平均速度和瞬时速度， 理解导数(瞬时变化率)的

概念

学习重点：导数概念的形成，导数内涵的理解

学习难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵 通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点 学习过程： 一：问题提出

问题： 我们把物体在某一时刻的速度称为________。一般地，若物体的运动规律为sf(t)，则物体在时刻t的瞬时速度v 就是物体在t到tt这段时间内，当_________时平均速度的极限，即vlims=___________________

x0tht4.9t26.5t10

t0时，在2t,2这段时间内

t0时，在2,2t这段时间内 - 1 -

二：导数的概念 函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:

limf(x0x)f(x0)x0xflimx0x 我们称它为函数yf(x)在xx'0处的______，记作f(x0)或________，________________________

三：探究求导数的步骤： (1)求增量yf(x0x)f(x0);

(2)算比值 y f(x0x)f(x0)x x;（即___变化率）

(3)求yxx0yx（在.x0时）四：精讲点拨

课本例1 五：有效训练

求yx22在点x=1处的导数.

反思总结：

附注： ①导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率；与上一节的平均变化率不同

②定义的变化形式：f'x=ylimx(x)f(x0)f(x0x)x；0lim x0 f'x=ylimf(x)f(x0)'xx；fx=limf(x0x)f(x0)xlimx0(x)xx00x0x； xxx0，当x0时，xx0，所以f(xf(x)f(x0)0)limx0xx

0 ③求函数yfx在xx0处的导数步骤：“一差；二比；三极限”。 当堂检测：

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即 1、已知函数yf(x)，下列说法错误的是（ ） A、yf(x0x)f(x0)叫函数增量 B、

yf(x0x)f(x0)叫函数在[x0,x0x]上的平均变化率 xxC、f(x)在点x0处的导数记为y D、f(x)在点x0处的导数记为f(x0)

2、求函数yx在x1处的导数

课后练习与提高

21、若质点A按规律s2t运动，则在t3秒的瞬时速度为（ ）

A、6 B、18 C、 D、81 2、设函数f(x)可导，则limA、f(1) B、3、函数yxx0f(1x)f(1)=（ ）

3x1f(1) C、不存在 D、以上都不对 31在x1处的导数是______________ x124、已知自由下落物体的运动方程是sgt，(s的单位是m,t的单位是s)，求：

2（1）物体在t0到t0t这段时间内的平均速度； （2）物体在t0时的瞬时速度；

（3）物体在t0=2s到t12.1s这段时间内的平均速度； （4）物体在t2s时的瞬时速度。

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1.1.2 导数的概念

教学目标：

1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;

2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵; 3.会求函数在某点的导数. 教学重点：

瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念. 教学难点：

导数的概念. 教学过程： 一、创设情景 (一)平均变化率 (二)探究

探究: 计算运动员在0th 65这段时间里的平均速度,并思考以下问题: 49(1)运动员在这段时间内使静止的吗？

(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 探究过程: 如图是函数h(t)4.9t26.5t10的图像,

结合图形可知,h(65)h(0), 49ot 65)h(0)所以v490(s/m)

6504965虽然运动员在0t这段时间里的平均速度为0(s/m),

49h(但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,

可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.

二、新课讲授 1.瞬时速度

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,t2时的瞬时速度是多少？考察t2附近的情况:

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思考当t趋近于0时,平均速度v有什么样的变化趋势？

结论: 当t趋近于0时,即无论t从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度

v都趋近于一个确定的值13.1.

从物理的角度看,时间t间隔无限变小时,平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度.因此,

运动员在t2时的瞬时速度是13.1m/s

h(2t)h(2)13.1

t0t表示“当t2,t趋近于0时,平均速度v趋近于定值13.1”

为了表述方便,我们用lim小结: 局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似

值过渡到瞬时速度的精确值.

2.导数的概念

从函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是:

f(x0x)f(x0)flim

x0x0xx我们称它为函数yf(x)在xx0出的导数,记作f'(x0)或y'|xx0

lim即f(x0)limx0f(x0x)f(x0)

x说明: (1)导数即为函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率; (2)xxx0,当x0时,xx0,所以f(x0)lim三、典例分析

2例1 (1)求函数y3x在x1处的导数.

x0f(x)f(x0).

xx0(2)求函数f(x)xx在x1附近的平均变化率,并求出该点处的导数. 分析: 先求fyf(x0x)f(x0),再求解: (1)法一 定义法(略)

2yy,最后求lim.

x0xx3x23123(x212)limlim3(x1)6 法二 y|x1limx1x1x1x1x1y(1x)2(1x)23x (2)xxy(1x)2(1x)2lim(3x)3 f(1)limx0xx0x例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第xh2时,原油的温度(单位:C)为f(x)x7x15(0x8),计算第2h时和第6h时,

原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.

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解: 在第2h时和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是f'(2)和f'(6)

f(2x)f(x0)f xx(2x)27(2x)15(227215)x3

xflim(x3)3 同理可得:f(6)5 所以f(2)limx0xx0根据导数定义

在第2h时和第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为3和5, 说明在第2h附近,原油温度大约以3C/h的速率下降

在第6h附近,原油温度大约以5C/h的速率上升.

注: 一般地,f'(x0)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况. 四、课堂练习

21.质点运动规律为st3,求质点在t3的瞬时速度为.

2.求曲线yf(x)x3在x1时的导数.

3.例2中,计算第3h时和第5h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义. 五、回顾总结

1.瞬时速度、瞬时变化率的概念. 2.导数的概念. 六、布置作业 课本第10页：2,4

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