第四章复习

1． 求下列极限：

(1)limx0sin5x2 (2) lim+x0xcotx1x)xlnx1 (4)lim+(ln)xx0x0x11(5)lim+xsinx (6)lim(x)x0x0xe1 (3)lim(1sin(7)lim+x0lntan7xlntan2x3 (8)limxsinxx1(0)(9)limxax3a(a0) (10)lim(exx)xxxa1x1x1x)nx(11)lim(a1a2anxn(其中a1，a2，,an0)1x1x

1xsinxlim(1x)limx0exxsinx （12） （13）

x2sin(14)limx0sinx1x 1 (15)lim()tanxx0x

解

(1)lim(sin5x)'sin5xlimlim5cos5x5.x0x0x0xx'

lnx1sin2xx2limlim0.x0csc2xx0cotxx

1x)xln(1sinx)ex0xlimcosxex01sinxlim(2)limx0(3)lim(1sinx0e.

1(4)lim(ln)xxx01ln(ln)xlim1x0xeln(lnx)1x0xelim 11ln(xxlim1x0x2esinxlnxlimex0limlnxxe01.1xlimcscxcotxlimx0(5)limxsinxex0ex0lnxlimcscxex0esinxtanxx1.x0(6)lim(1x0x1ex1xex1ex1)limx0x(ex1)limx0ex1xex limex1x0exexxex2.1(7)limlntan7xsec27x7limtan7x7tan2xx0lntan2xx0+1limtan2xsec22x22x0tan7x1.

(8)limxsinxxsinxxlim1xsin, 1 xxlim11, 1.xx10, 0 1

3(9)limx3a(3x3xaxalima)(3x23ax3a2)xa(x-a)(3x23ax3a2) 12xlima321a3.x3ax3a231ln(exx)ex1(10)lim(exxx)x exlimxexlimexxe.

(11) 令1xt, 则

nttta1ta2tantnaaan12nlim()tlim(1)tt0t0nnttta1ta2annna1tann由于limlimt0ntt0ttt lim(a1tlna1a2lna2anlnan)t0 lna1a2an故 lim(xaaanx)elna1a2ana1a2an.n1x11x21xn

sinxxsinxx1limlimxxsinxxsinx1x (12)

11(13)lim(1x0e 

11xx)xlim111ln[(1x)x]ex0xe1limln[ex0x1(1x)xe]11lim[ln(1x)1]ex0xx1x02(1x)lime

x0limln(1x)xx2111xlimex02x

ee12.1x limxxsin10.limx0sinxx(14) x0sinx

x2sin1lim()tanxe(15)x0x 2．设x01tanxlnlimxx0e1xlimcotxx0ln1xlim2ex0cscx1.

lim(x3sin3xax2b)0,试确定常数a，b的值.

解 因为

lim(x3sin3xax2b)x0limlimsin3xaxbx3x33cos3xa3bx23x2

x0 所以

x0x00

lim(3cos3xa3bx2)0则3+a=0, 即a = -3.

3x227cos3x6b lim0x06所以 lim(27cos3x6b)0x0x0 又因为 lim3cos3xa3bx2lim9sin3x6bxx06x

9则 -27+6b=0，即b=2.

(tanx)ln(1x),0x1f(x)1, x0， 证明函数f(x)在x=0处右连续. 3. 设

证 因为x0lim(tanx)ln(1x)ex0ln(tanx)[ln(1x)]1limlimln(tanx)[ln(1x)]1，且

x0limln(tanx)xx1ln(1x)x0limln(tanx)x1x0sec2x2 limxlimx0tanxx0x0所以

f(00)lim(tanx)ln(1x)e01x0

f00）又因为 f(0)=1=（, 所以f(x)在x= 0处右连续.

4. 确定下列函数的单调区间：

(1)f(x)(1x2)ex2 (2)f(x)x6x(x3)2,x1x2(3)f(x)(4)f(x) .x11x3x3,解 (1)函数的定义域D（f）=（-∞，+∞）

f'(x)2xex(1x2)ex(2x)2x3ex

222 当x0时,f'(x)0,因此(,0)为函数的单调增区间;当x0时，f'(x)0，因此

(0,)为函数的单调减区间.

(2)函数的定义域D（f）=（-∞，6]

f'(x)6xx26x3(4x)26x

当x4时，f'(x)0,因此(,4)为函数的单调增区间;当4x6时，f'(x)0,因

（4，6）此为函数的单调减区间.

（3）函数的定义域D（f）=（-∞，-1）∪（-1，+∞）

f'(x)x(x2)(1x)2

当x(,2)(0,)时, f'(x)0 , 因此(,2)(0,)为函数的单调增区间；当x(2,1)(1,0)时，f'(x)0,因此(2,1)(1,0)为函数的单调减区间. (4) 函数的定义域D（f）=（-∞，+∞）

因f'(1)lim+x（1）3x343x1lim+x1x（1）x1，则

2x6 ,x1f'(x) 3 ,x1 当x(,3)时，f'(x)0,因此(,3)为函数的单调减区间; 当x(3,)时,

f'(x)0 , 因此x(3,)为函数的单调增区间.

5.求下列函数的极值：

232 (1) yx3x7 (2) y(x3)(x2)

2(3) yxln(1x) (4) y2xx

解（1）函数定义域D(f)R

y'3x26x3x(x2)

令 y'0, 得驻点 x10, x22.

讨论y'在驻点左右两侧符号的变化：

在x1= 0处, 当x<0时, y'>0; 当0在x2= 2处, 当20, 所以x2= 2是f(x)的极小值点, 极小 值为f(2) = 3.

（2）函数的定义域为D(f)R

2y'2(x3)(x2)(x3)(x3)(3x7)

7x1,x233令y'= 0，得驻点.讨论y'在驻点左右两侧符号的变化：

在

x17777x时,y'0;x3时，y'0.x1333处，当3是 所以

74f()f(x)的极大值点，极大值为327.

在x23处，当x3时，y'0.所以x23是f(x)的极小值点, 极 小值为f(3) = 0.

(3) 函数定义域为 D（f）= (-1,+∞)

y'11x1x1x

令y'= 0, 得驻点

x= 0. 讨论y'在驻点左右两侧符号的变化：

当-10时,y'>0. 所以x= 0是f(x)的极小值点, 极小值为f(0) = 0.

(4) 函数的定义域为 D（f）= [-1, 2]

y'12x22xx20

令y'=0,得驻点

x12.讨论y'在驻点左右两侧符号的变化：

当

1x112时,y'0;当2x21时, y'0, 所以

x2是该函数 13f(x)的极大值点, 极大值为f(2)2.

6．确定下列函数的凹性及拐点：

（1）yx2x3 (2) y=1x2

5 (3) yln(1x2) (4) yxx3 解（1）函数的定义域为D(f)R 1 y'2x3x2,y\"26x, 令

y''0,得x3

1 当

x3时，y\"0, 因此(,13)1为函数f(x)的上凹区间;当x3时，此(13,)12为函数f(x)的下凹区间. 拐点为（3，27）.

(2) 函数的定义域为D(f ) = R

y'x y\"130

1x2 ,(1x)2

因此函数在定义域R上是上凹的.

y\"0, 因

(3) 函数的定义域为D(f ) = R

y'

2x1x2,y\"2(1x2)2(1x2)

令y\"0，得x11,x21.

当x1时，y\"0时，因此(,1)为函数的下凹区间;当1x1时, y\"0, 因此（-1，1）为函数的上凹区间. 拐点为（-1，ln2）; 当x1时，y\"0，因此(1,)为函数的下凹区间. 拐点为（1，ln2）. (4) 函数的定义域为D(f ) = R

510y'13x2,y\"x339

1由于在x= 0处二阶导数不存在，但x0时，y\"0;x0时，y\"0， 因此(0,)为函数的上凹区间，(,0)为函数的下凹区间. 拐点为（0，0）.

7.设yf(x)在xx0的某个邻域内具有三阶连续导数. 如果

f'(x0)0,f''(x0)0,f'''(x0)0. 试问xx0是否为极值点？为什么？又点(x0,f(x0))

是否为曲线的拐点，为什么？ 解 xx0不是极值点.

因为yf(x)在xx0的某个邻域内具有三阶连续导数, 所以有

f(x)f(x0)f'(x0)(xx0) (介于x与x0之间)f\"(x0)f\"'()(xx0)2(xx0)32!3!

f\"'()(xx0)3) 3!代入已知条件得 f(x)f(0x

f(x)f(x0), xx0f\"'()0当时，f(x)f(x0), xx0，因此xx0不是极值点;

同理可得f'''()0时,xx0不是函数yf(x)的极值点.但点

(x0,f(x0))是曲线的拐点. 例如曲线f(x)x3上的点(0,0)就是曲线的拐点.

8. 求

yarctanx2的单调性、极值及拐点.

解 函数定义域为D(f ) = R

所以

y'204x2

yarctanx2为单调增函数，无极值.

4x(1x2)2，所以当x0时,y\"0;x0时,y\"0，故点(0,0)为曲线的拐点.

y\"又因为

9．设某产品的价格与销售量的关系为

p10Q5.

(1) 求当需求量为20及30时的总收益R、平均收益R及边际收益R'. (2) 当Q为多少时,总收益最大？ 解 (1) 由题设可知总收益函数为

QQ2RQpQ(10)10Q55

202)120R|Q205则 (1020 -

3021030120R|Q305 .

R平均收益函数为

QR10Q5, 则R(20)6, R(30)4.

2R'10Q5, 则R'(20)2,R'(30)2. 边际收益函数为

(2) 边际总收益函数为

R'102Q5

令R'0,得驻点Q = 25

2又因为R\"0，且驻点唯一，所以当Q25时总收益最大为125.5

2ppQ50000e10.设某商品的需求量Q对价格的函数为.

（1）求需求弹性;

（2）当商品的价格p=10元时,再增加1%，求商品需求量的变化情况. 解 (1)由弹性公式

p（2）由上式得

pp2pQ'(p)(2)50000e2p2pQ50000e

p|p1020

根据需求弹性的经济意义知, 当价格为10元时, 价格p再增加1%, 商品需求量Q将减少20%.

11.已知某企业某种产品的需求弹性在1.3 — 2.1之间, 如果该企业准备明年将价格降低10%, 问这种商品的销售量预期会增加多少?总收入会增加多少?

QPRPP, (1|P|)PRP 解 因为Q于是, 当|p|=1.3时,

Q1.3(0.1)1300Q

R(11.3)(0.1)300R

Q2.1(0.1)2100当|p|=2.1时, Q

R(12.1)(0.1)1100 R

故明年降价10%时, 企业销售量预期将增加约13%—21%; 总收益预期将增加3%—11%.

12．某食品加工厂生产某类食品的成本C（元）是日产量x（公斤）的函数 C(x) = 1600 + 4.5x+0.01x2

问该产品每天生产多少公斤时, 才能使平均成本达到最小值？

解 由题设知平均成本为

C(x)C'(x)C(x)16004.50.01xxx

令

16000.010,得x2驻点，x400 3200x3|x4000又

C\"(400)，且驻点唯一，极小值点为最小值点，所以每天生产400公

斤能使平均成本达到最小.

13．某化肥厂生产某类化肥，其总成本函数为

23 C(x)100060x0.3x0.001x (元)

20销售该产品的需求函数为 x=800-3p (吨), 问销售量为多少时, 可获最大利润, 此时的价

格为多少?

解 设利润函数为 L(x) = R(x) - C(x)

收入函数为

R(x)xpx2400x3x(120200.x15)

23故 L(x)x(1200.15x)100060x0.3x0.001x

2令L'(x)0.003x0.3x600,得驻点x200.

又 L\"(200)0.0062000.30,且驻点唯一, 所以当销售量为200吨时，可获得最大利润，此时价格为90元/吨.