复变函数试题解读

《复变函数》模拟考试试题

《复变函数》考试试题（一）

一、 判断题（4x10=40分）：

1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导。（ ） 2、有界整函数必在整个复平面为常数。（ ）

3、若函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在D内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D内连续。( ) 4、cos z与sin z在复平面内有界。（ ）

5、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点。（ ） 6、若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件，则f(z)在z0解析。（ ） 7、若limf(z)存在且有限，则z0是函数的可去奇点。（ ）

zz08、若f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有f(z)dz0。

C（ ）

9、若函数f(z)是单连通区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数。（ ） 10、若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数，则在区域D内恒等于常数。（ ） 二、填空题（4x5=20分）

1、若C是单位圆周，n是自然数，则1dz__________。

C(zz)n02、设f(z)(x22xy)i(1sin(x2y2),zxiyC，则

z1ilimf(z)_________。

3、设f(z)1，则f(z)的定义域为___________。 2z14、nzn的收敛半径为_________。

n0ez5、Res(n,0)_____________。

z三、计算题（8x5=40分）：

1

《复变函数》期末模拟试题

1、设

f(z)1(z1)(z2)，求f(z)在D{z:0|z|1}内的罗朗展式。

2、求

z1esinzdz|z|11dz2i|z|3(z1)(z4)。

3sin(2z)的幂级数展开式。 3、求函数

4、求f(z)1在2|z|内的罗朗展式。

(z1)(z2)5、求z45z10，在|z|<1内根的个数。

2

《复变函数》期末模拟试题

《复变函数》考试试题（二）

一、判断题（4x10=40分）：

1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续。（ ） 2、有界整函数必为常数。（ ）

3、若{zn}收敛，则{Re zn}与{Im zn}都收敛。( )

4、若f(z)在区域D内解析，且f'(z)0，则f(z)C（常数）。（ ）

5、若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。（ ） 6、若f(z)在z0解析，则f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件。（ ） 7、若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析。（ ） 8、若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析。（ ）

9、若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析。（ ） 10、cos z与sin z的周期均为2k。（ ） 二、填空题（4x5=20分）

dz__________。 1、|zz|1n0(zz0)2、设f(z)1，则f(z)的孤立奇点有__________。 z213、若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是___________。 4、sinzcosz _________。

5、若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________。

三、计算题（8x5=40分）：

221dz. 1、|z|1coszeiz,i). 2、求Res(21z2i3、lim.

n6 3

n《复变函数》期末模拟试题

4、求f(z)1在2|z|内的罗朗展式。

(z1)(z2)9625、求z2zz8z20在|z|<1内根的个数。

4

《复变函数》期末模拟试题

《复变函数》考试试题（三）

一、判断题（3x10=30分）：

1、若函数f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z0解析。（ ） 2、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导。（ ） 3、如z0是函数f(z)的本性奇点，则limf(z)一定不存在。( )

zz04、若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析。（ ）

5、若函数f(z)=u(x,y)+ iv(x,y)在D内连续，则二元函数u(x,y)与(x,y)。（ ） 6、函数sinz与cosz在整个复平面内有界。（ ）

7、若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。（ ） 8、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点。（ ） 9、存在整函数f(z)将复平面映照为单位圆内部。（ ）

10、若函数f(z)是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数，则数f(z)在区域D内为常数。（ ） 二、填空题（2x10=20分） 1、若znn21i(1)n，则limzn__________。

n1nn2、若C是单位圆周，n是自然数，则3、函数sinz的周期为___________。 4、设f(z)1dz__________。

C(zz)n01，则f(z)的孤立奇点有__________。 2z15、幂级数nxn的收敛半径为__________

n06、若z0是f(z)的m阶零点且m>0，则z0是f'(z)的_____零点。

7、若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内_________。、

8、函数f(z)|z|的不解析点之集为________。

ze9、Res(n,0)____________，其中n为自然数。 z 5

《复变函数》期末模拟试题

10、公式eixcosxisinx称为_____________. 三、计算题（8x5=40分）：

3271d，其中C{z:|z|3}，试求f'(1i). 1、设f(z)Cz2、求ez1sinzdz|z|11dz。 |z|32i(z1)(z4)ez3、设f(z)2，求Res(f(z),).

z14、求函数e在0|z|内的罗朗展式。 5、求复数w21zz1的实部与虚部。 z121i1i6、求.

22四、证明题（6+7+7=20分）：

1、设是函数f(z)的可去奇点且limf(z)AC，试证：

zRes(f(z),)limz(f(z)A)。

z2、若整函数f(z)将复平面映照为单位圆内部且f(0)0，则f(z)0(zC)。 3、证明z46z30方程在1|z|2内仅有3个根。

6

《复变函数》期末模拟试题

《复变函数》考试试题（四）

一、判断题（3x10=30分）：

1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导。（ ）

lim2、如果z0是f(z)的本性奇点，则zz0f(z)一定不存在。（ ）

3、若limf(z)存在且有限，则z0是f(z)的可去奇点。( )

zz04、若函数f(z)在z0可导，则它在该点解析。（ ） 5、若数列{zn}收敛，则{Rezn}与{Imzn}都收敛。（ ） 6、若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析。（ ）

7、若幂级数的收敛半径大于0，则其和函数必在收敛圆内解析。（ ） 8、存在整函数f(z)将复平面映照为单位圆内部。（ ）

9、若函数f(z)是区域D内的解析函数，且在D内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D内恒等于常数。（ ） 10、|sinz|1(zC)。（ ） 二、填空题（2x10=20分） 1、函数ez的周期为__________。 2、幂级数

nzn0n的和函数为__________。

3、函数ez的周期为__________。

14、设f(z)，则f(z)的孤立奇点有__________。 21z的收敛半径为_________。 5、幂级数nxn的和函数为____________。

n06、若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________。

zz...zn______________。 7、若limzn，则lim12nnnez8、Res(n,0)________，其中n为自然数。

z9、方程2z5z33z80在单位圆内的零点个数为________。

7

《复变函数》期末模拟试题

1的幂级数展开式为__________。 1z2三、计算题（5x6=30分）：

10、函数f(z)1、zdz.

|z|2(9z2)(zi)eiz,i). 2、求Res(21z2i3、lim.

n64、求函数e在0|z|内的罗朗展式。 5、求方程z84z5z21在单位圆内零点的个数。

1zn1i6、求lim。 n2四、证明题（6+7+7=20分）

1、设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是f(z)在D内解析。

2、如果函数f(z)在D{z:|z|1}上解析，且|f(z)|1(|z|1)，则

|f(z)|1(|z|1)。

n3、设方程z84z5z210 证明：在开单位圆内根的个数为5。

8

《复变函数》期末模拟试题

《复变函数》考试试题（五）

一、判断题（3x10=30分）：

1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续。（ ）

2、若函数f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z0解析。（ ） 3、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件。( ) 4、若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则f'(z)0(zD)。（ ）

5、若f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有f(z)dz0。

C（ ）

6、若f(z)在区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有f(z)dz0。（ ）

C7、若f'(z)0(zD)，则函数f(z)在是D内的单叶函数。（ ） 8、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/ f(z)的m阶极点。（ ） 9、如果函数f(z)在D{z:|z|1}上解析，且|f(z)|1(|z|1)，

则|f(z)|1(|z|1)。（ ）

10、|sinz|1(zC)。（ ） 二、填空题（2x10=20分）

n21i(1)n，则limzn__________。

z1nn12、设f(z)2，则f(z)的定义域为__________。

z11、若zn3、函数sin z的周期为___________。 4、sin2zcos2z________。

5、幂级数nzn的收敛半径为_____________。

n0

6、若z0是f(z)的m阶零点且m>1，则z0是f'(z)的______零点。 7、若函数f(z)在整个复平面处处解析，则称它是_______。 8、函数f(z)=|z|的不解析点之集为__________。

9、方程2z5z33z80在单位圆内的零点个数为_________。

9

《复变函数》期末模拟试题

10、公式eixcosxisinx称为__________。 三、计算题（5x6=30分）：

2i1、lim. n63271d，其中C{z:|z|3}，试求f'(1i). 2、设f(z)Czez3、设f(z)2，求Res(f(z),i).

z1nsinz34、求函数6在0|z|内的罗朗展式。

z5、求复数w6、求ei3z1的实部与虚部。 z1的值。

四、证明题（6+7+7=20分）

1、方程z79z66z310在单位圆内的根的个数为6。

2、若函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在区域D内解析，v(x,y)等于常数，则f(x)在D内恒等于常数。

3、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点。

10

《复变函数》期末模拟试题

《复变函数》考试试题（六）

一、判断题（3x8=24分）

1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导。（ ）

2、若函数f(z)在z0处解析，则f(z)在z0满足Cauchy-Riemann条件。（ ） 3、如果z0是f(z)的可去奇点，则limf(z)一定存在且等于零。( )

zz04、若函数f(z)是区域D内的单叶函数，则f'(z)0(zD)。（ ） 5、若函数f(z)是区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数。（ ） 6、若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数，则在区域D内恒等于常数。（ ）

7、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/ f(z)的m阶极点。（ ） 8、|sinz|1(zC)。（ ） 二、填空题（2x10=20分）

11i(1)n，则limzn__________。

n1nnz2、设f(z)2，则f(z)的定义域为__________。

z11、若znsin3、函数ez的周期为___________。 4、sin2zcos2z________。

5、幂级数n2zn的收敛半径为_____________。

n026、若z0是f(z)的m阶零点且m>1，则z0是f'(z)的______零点。 7、若函数f(z)在整个复平面处处解析，则称它是_______。 8、函数f(z)=|z|的不解析点之集为__________。

9、方程3z8z33z80在单位圆内的零点个数为_________。

ez10、Res(n,0)_____________。

z三、计算题（5x6=30分）

11

《复变函数》期末模拟试题

1i1i1、求.

223271d，其中C{z:|z|3}，试求f'(1i). 2、设f(z)Czez3、设f(z)2，求Res(f(z),0).

z224、求函数

z在1|z|2内的罗朗展式。

(z1)(z2)z1的实部与虚部。 z12dx,(a1). 6、利用留数定理计算积分：0acosx5、求复数w四、证明题（6+7+7=20分）

1、方程24z79z66z3z310在单位圆内的根的个数为7。

2、若函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在区域D内解析， |f(z)|等于常数，则f(z)在D内恒等于常数。

3、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点。 五、计算题（10分）

求一个单叶函数，去将z平面上的上半单位圆盘{z:|z|1,Imz0}保形映射为w平面的单位圆盘{w:|w|1}。

12

《复变函数》期末模拟试题

《复变函数》考试试题（七）

一、 判断题（2x10=20分）

1、若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析。（ ）

2、若函数f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z0解析。（ ） 3、如果z0是f(z)的极点，则limf(z)一定存在且等于无穷大。( )

zz04、若f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有f(z)dz0。

C（ ）

5、若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。（ ） 6、若f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有f(z)dz0。

C（ ）

7、若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某一条曲线上恒为常数，则f(z)在

区域D内恒等于常数。（ ）

8、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/ f(z)的m阶极点。（ ）

9、如果函数f(z)在D{z:|z|1}上解析，且|f(z)|1(|z|1)，则|f(z)|1(|z|1)。（ ）

10、limez。（ ）

z二、填空题（2x10=20分）

n2i(1)n，则limzn__________。 1、若znsinz1nn12、设f(z)，则f(z)的定义域为__________。

sinz3、函数sin z的周期为___________。 4、sin2zcos2z________。

5、幂级数nzn的收敛半径为_____________。

n0

6、若z0是f(z)的m阶零点且m>1，则z0是f'(z)的______零点。

7、若函数f(z)在整个复平面除去有限个极点外，处处解析，则称它是_______。 8、函数 f(z)z的不解析点之集为__________。

9、方程20z811z33z50在单位圆内的零点个数为_________。

13

《复变函数》期末模拟试题

ez10、Res(2,1)_____________。

z1三、计算题（5x6=30分）

2i1、lim. n63271d，其中C{z:|z|3}，试求f'(1i). 2、设f(z)Czez3、设f(z)2，求Res(f(z),i).

z1n4、求函数

z在1|z|2内的罗朗展式。

(z1)(z2)z1的实部与虚部。 z15、求复数w6、利用留数定理计算积分x2x2dx。 42x10x9四、证明题（6+7+7=20分）

1、方程z79z66z310在单位圆内的根的个数为6。

2、若函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在区域D内解析， u(x,y)等于常数，则f(z)在D内恒等于常数。

3、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点。 五、计算题（10分）

求一个单叶函数，去将z平面上的带形区域{z:的单位圆盘{w:|w|1}。

2Imz}保形映射为w平面

14

《复变函数》期末模拟试题

《复变函数》考试试题（八）

二、 判断题（4x10=40分）：

1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导。（ ） 2、如果z0是f(z)的本性奇点，则limf(z)一定不存在。（ ）

zz03、若函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在D内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D内连续。( ) 4、cos z与sin z在复平面内有界。（ ）

5、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点。（ ） 6、若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件，则f(z)在z0解析。（ ） 7、若limf(z)存在且有限，则z0是函数的可去奇点。（ ）

zz08、若f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有f(z)dz0。

C（ ）

9、若函数f(z)是单连通区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数。（ ） 10、若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数，则在区域D内恒等于常数。（ ）

二、填空题（4x5=20分）

1、函数ez的周期为__________。 2、幂级数nzn的和函数为__________。

n03、设f(z)1，则f(z)的定义域为___________。 2z14、nzn的收敛半径为_________。

n0ez5、Res(n,0)_____________。

z三、计算题（8x5=40分）： 1、zdz.

|z|2(9z2)(zi)eizRes(,i).21z2、求

15

《复变函数》期末模拟试题

1i1i22。 3、nn

4 设u(x,y)ln(x2y2)。求v(x,y)，使得f(z)u(x,y)iv(x,y)为解析函数，

且满足f(1i)ln2。其中zD（D为复平面内的区域）。

45、求z5z10，在|z|<1内根的个数

16

《复变函数》期末模拟试题

《复变函数》考试试题（九）

一、判断题。（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，25=10分） 1．当复数z0时，其模为零，辐角也为零。 （ ）

2．若z0是多项式P(z)anznan1zn1a0（an0）的根，则z0也是P(z)

的根。 （ ）

3．如果函数f(z)为整函数，且存在实数M，使得Ref(z)M，则f(z)为 一常数。 （ ） 4．设函数f1(z)与f2(z)在区域D内解析，且在D内的一小段弧上相等，

则对任意的zD，有f1(z)f2(z)。 （ ） 5．若z 是函数f(z)的可去奇点，则Resf(z)0。 （ ）

z二、填空题（每题2分） 1． i2i3i4i5i6____。

rgz，2．设zxiy0，且aargzarctan2arctany，当x0,y0时，x2y_______。 x13．函数w将z平面上的曲线(x1)2y21变成w平面上的曲线

z__________。

4．方程z4a40(a0)的不同的根为________________________。 5．(1i)i__________________________________。

6．级数[2(1)n]zn的收敛半径为________________________。

n07．cosnz在|z|n（n为正整数）内零点的个数为________________________。 8．函数f(z)6sinz3z3(z66)的零点z0的阶数为______。 9．设a为函数f(z)(z)的一阶极点，且(a)0,(a)0,(a)0，则 (z) 17

《复变函数》期末模拟试题

Resf(z)___________________。

za10．设a为函数f(z)的m阶极点，则Reszaf(z)。 ___________________f(z)三、计算题。（50分） 1．设u(x,y)1ln(x2y2)。求v(x,y)，使得f(z)u(x,y)iv(x,y)为解析函数，21且满足f(1i)ln2。其中zD（D为复平面内的区域）。（15分）

22．求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶）。（10分）

e （1） tanz； （5分） （2）z。（5分）

e121z13．计算下列积分。（15分）

z19ddz （1） （8分）， （2）。 01cos2（7分）|z|4(z21)4(z42)34．叙述儒歇定理并讨论方程z75z4z220在|z|1内根的个数。（10分） 四．证明题。（20分）

1．设f(z)u(x,y)iv(x,y)是上半复平面内的解析函数，证明f(z)是下半复平面内的解析函数。（10分）

2．设函数f(z)在|z|R内解析，令M(r)max|f(z)|,(0rR)。证明：M(r)|z|r在区间[0,R)上是一个上升函数，且若存在r1及r2（0r1r2R），使（10分） M(r1)M(r2)，则f(z)常数。

18

《复变函数》期末模拟试题

《复变函数》试卷(十)

一、填空题。(每题2分) 1、设zr(cosisin)，则

1_________________。 z2、设函数f(z)u(x,y)iv(x,y)，Au0iv0，z0x0iy0，则

zz0limf(z)A的充要条件是___________________________。

3、设函数f(z)在单连通区域D内解析，则f(z)在D内沿任意一条简单闭曲线

C的积分f(z)dz_______。

C4、设za为f(z)的极点，则limf(z)______。

za5、设f(z)zsinz，则z0是f(z)的______阶零点。 6、设f(z)1，则f(z)在z0的邻域内的泰勒展式为

1z2_______________________。

7、设|za||za|b，其中a,b为正常数，则点z的轨迹曲线是______。 8、设zsin6icos6，则z的三角表示式为__________________。

9、4zcoszdz___________________。

0ez10、 设f(z)2，则f(z)在z0处的留数为_________。

z二、计算题。

1、计算下列各题。(9分)

(1) cosi; (2) ln(23i); (3) 33i 2、求解方程z380。(7分)

3、设ux2y2xy，验证u是调和函数，并求解析函数f(z)uiv，使之

f(i)1i。(8分)

4、计算积分。(10分)

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《复变函数》期末模拟试题

(1) (2)

C(x2iy)dz，其中C是沿yx2由原点到点z1i的曲线。

1i0[(xy)ix2]dz。积分路径为自原点沿虚轴到i，再由i沿水平方向向

右到1i。 5、试将函数f(z)朗级数。(8分) 6、计算下列积分。(8分)

5z2(1) dz; (2)

|z|2z(z1)21分别在圆环域0|z|1和1|z|2内展开为洛

(z1)(z2)sin2z|z|4z2(z1)dz.

x2dx。(8分) 7、计算积分1x48、求下列幂级数的收敛半径。(6分)

n(1)n1zn （1） nz （2）n!n1n19、讨论f(z)|z|2的可导性和解析性。(6分) 三、 证明题。

1、设函数f(z)在区域D内解析，|f(z)|为常数，证明f(z)必为常数。(5分) 2、试证明azazb0的轨迹是一直线，其中a为复常数，b为实常数。(5分)

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《复变函数》期末模拟试题

《复变函数》考试试卷(十一)

一、填空题。(每题2分)

1、设zr(cosisin)，则zn_________________。

2、设函数f(z)u(x,y)iv(x,y)，Au0iv0，z0x0iy0，则

zz0limf(z)A的充要条件是___________________________。

3、设函数f(z)在单连通区域D内解析，则f(z)在D内沿任意一条简单闭曲线

C的积分f(z)dz_______。

C4、设za为f(z)的可去奇点，则limf(z)为。

za5、设f(z)z2(ez1)，则z0是f(z)的______阶零点。 6、设f(z)1，则f(z)在z0的邻域内的泰勒展式为21z2____________________。__ _7、设|za||za|b，其中a,b为正常数，则点z的轨迹曲线是______。 8、设zsinicos，则z的三角表示式为__________________。 9、zezdz__________。 _________11i110、设f(z)z2sin，则f(z)在z0处的留数为_________。

z二、计算题。

1、计算下列各题。(9分) (1) Ln(34i); (2) e1i6; (3) (1i)1i

2 求解方程z320。(7分)

3设u2(x1)y，验证u是调和函数，并求解析函数f(z)uiv，使之

f(2)i。(8分)

4、计算积分[(xy)ix2]dz。积分路径为(1)自原点到1i的直线段；(2) 自

01i原点沿虚轴到i，再由i沿水平方向向右到1i。(10分)

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《复变函数》期末模拟试题

5、试求f(z)1在z1的邻域内的泰勒展开式。(8分) z26、计算下列积分。(8分) (1)

sinz(z)22|z|2dz; (2)

z22|z|4z2(z3)dz.

7、计算积分20d。(6分)

53cos8、求下列幂级数的收敛半径。(6分)

2(n!)nnnz（1） (1i)z （2） nnn1n09、设f(z)my3nx2yi(x3lxy2)为复平面上的解析函数，试确定l,m,n的值。(8分)

三、 证明题。

1设函数f(z)在区域D内解析，f(z)在区域D内也解析，证明f(z)必为常数。(5分)

2试证明azazb0的轨迹是一直线，其中a为复常数，b为实常数。(5分)

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