复变函数解析的判定及其应用【开题报告】

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毕业论文开题报告

数学与应用数学

复变函数解析的判定及其应用

一、选题的背景、意义

复变函数论是数学中既古老又成熟的一门学科，复变函数论随着它的领域不断扩大而发展成为一门重要的数学分支，在复变函数的解析性质，多值性质，随机性质以及多复变函数方面都取得了重要成果。而复变函论研究的中心对象就是解析函数。

在18世纪，欧拉和达朗贝尔在研究水力学时已发现平面不可压缩流体的无旋场的势函数(x,y)与流函数(x,y)有连续的偏导数，且满足偏微分方程组

，， yxxy并指出f(z)(x,y)i(x,y)是可微函数，这一命题的逆命题也成立。柯西把区域上处处可微的复变函数称为单演函数，后人又把它们称为全纯函数、解析函数。黎曼从这一定义出发对复变函数的微分作了深入的研究，后来，就把上述的偏微分方程组称为柯西-黎曼方程（简称C.-R.方程），或柯西-黎曼条件。魏尔斯特拉斯将一个在圆盘上收敛的幂级数的和函数称为解析函数，而区域上的解析函数是指在区域内每一小圆邻域上都能表成幂级数的和的函数。关于解析函数的不同定义在20世纪初被证明是等价的。

解析函数的研究之所以如此至关重要，是因为它具有很好的性质，例如无穷可微性，唯一性以及可以用幂级数展开等，数学分析的工具几乎都可以对解析函数加以应用。解析函数的零点，奇异性质，边界值问题以及在边界附近的增长受到某种等问题都是复变函数论研究的主要内容和重要课题。

如果设函数f(z)在z平面上的单连通区域D内解析，C为D内任一条周线，则

cf(z)dz0。这就是著名的柯西积分定理。这个定理告诉我们，解析函数在单连通区域

内的积分与路径无关。

解析函数在其定义域中某点领域内的取值情况完全决定着它在其他部分的值。有如下定

理：设（1）函数f1(z)和f2(z)在区域D内解析；（2）D内有一个收敛于aD的点列

zn(zna)，在其上f1(z)和f2(z)等值，则f1(z)和f2(z)在D内恒等。[1] 这个定理有

两个推论，一是设在区域D内解析的函数f1(z)和f2(z)在D内的某一子区域（或一小段弧）上相等，则它们必在区域D内恒等；另一个是一切在实轴上成立的恒等式在z平面上也成立，只要这个恒等式的等号两边在在z平面上都是解析的。[1] 它们统称为解析函数的惟一性定理，揭示了函数在区域D内的局部值确定了函数在区域D内整体的值，即局部与整体之间有着十分紧密的内在联系。另一方面，由柯西积分公式，我们还知道，从解析函数在边界C上的值可以推得它在C的内部的一切值。

此外，解析函数的无穷可微性是指一个区域内的解析函数在这个区域内有任意阶导数。这个性质是由柯西积分公式证明的。这样如果我们知道函数在某个区域内解析，就可以求出其在该区域的任一阶导数，而数学分析中区间上的可微函数，在此区间上不一定有二阶导数，更谈不上有高阶导数了。

由于解析函数有着如上种种重要性质，解析函数的研究成为复变函数论发展的一个主要动力。随着人们更深入的研究，复变函数解析的理论将更趋完善，应用也将更加广阔。本课题的研究，笔者希望在前人的研究基础上，对解析函数的知识做一个系统的整理。

二、研究的基本内容与拟解决的主要问题

本文研究的基本内容为：

一、引言，主要包括课题研究的背景、研究意义等；

二、归纳总结复变函数在区域内解析的各种判定条件，包括充分条件、必要条件和充要条件；

三、研究解析函数具备的性质，辨析解析函数与可导函数的区别和联系；四、解析函数在积分，微分，幂级数展开以及留数计算等方面的应用；五、通过几个实例讲解复变函数解析的应用。

在收集资料，阅读相关文献之后，要解决的主要问题是形成系统材料。本课题的研究主要是回顾复变函数解析的知识，对其的判定条件、性质及应用做一个整体的归纳总结。

三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标

一、先采用文献研究法，搜集和阅读大量的相关文献，了解国内外的研究现状，吸收新理念，并对资料进行分类整理。总结前人对复变函数解析的研究成果之后，再通过实例分

析，了解解析函数的相关应用。

二、研究的主要难点：给定一个复变函数，如何判断其在某个区域内是否解析。三、预期达到的目标：通过本课题的研究，全面总结复变函数解析的判定条件，解析函数的性质以及解析函数在积分、微分、幂级数展开以及留数运算中的诸多应用，并且结合具体例题，给出解析函数的各种应用，尤其是应用函数解析的性质解决一些实际问题。

四、论文详细工作进度和安排

第七学期第10周至第11周：收集资料，阅读相关文献，形成系统材料，完成文献综述；翻译