2020年初高中物理衔接讲义：第12讲 圆周运动

一、学习目标：

1、认识匀速圆周运动的概念，理解线速度的概念，知道它就是物体做匀速圆周运动的瞬时速度；理解角速度和周期的概念，会用它们的公式进行计算； 2、理解线速度、角速度、周期之间的关系； 3、知道向心加速度和线速度、角速度的关系式； 4、理解向心力的概念及其表达式的确切含义； 二、学习要点：

1、线速度、角速度、周期的概念及它们之间的联系； 2、掌握向心加速度的确定方法和计算公式； 3、明确向心力的意义、作用、公式及其变形。 衔接点1

线速度、角速度、转速

【基础知识梳理】 1、线速度

（1）物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢。

（2）定义：质点做圆周运动通过的弧长△s和所用时间△t的比值叫做线速度。（比值定义法，这里是弧长，而直线运动中是位移）

（3）大小：v=△l/△t单位：m/s(s是弧长．非位移)。 （4）方向；在圆周各点的切线上。 2、角速度

（1）物理意义：描述质点转过的圆心角的快慢．

（2）定义：在匀速圆周运动中．连接运动质点和圆心的半径转过△θ的角度跟所用时间△t的比值，就是质点运动的角速度． （3）定义式：ω＝△θ/△ （4）单位：rad/s(弧度每秒)

结论：线速度与角速度的关系：v=rω 3、转速和周期

线速度，角速度、周期间的关系： v=rω=2πr／T ω=2π／T 【典例引路剖析】

【例题1】广州的甲物体和北京的乙物体相对地球静止，随着地球一起自转时 （ ） A. 甲的线速度大，乙的角速度大

B. 甲的角速度大，乙的线速度大 C. 甲和乙的线速度相等 D. 甲和乙的角速度相等 【答案】 D

点晴：甲与乙两物体均绕地轴做匀速圆周运动，周期均为一天，乙的转动半径较大，可根据角速度定义式和线速度与角速度关系公式判断．

【例题2】如图所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为r1、r2、r3。若甲轮的角速度为，则丙轮的角速度为 （ ）

A.

B.

C. D. 【答案】 A

【解析】由甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑知三者线速度相同，其半径分别为

r1、r2、r3，则ω1r1=ω2r2=ω3r3；故，故选A.

点睛：此题考查匀速圆周运动的线速度和角速度的关系式的应用，同时要知道皮带或齿轮连动的角速度相同． 【变式训练】

1、关于匀速圆周运动，下列说法中正确的是 （ ） A. 线速度的方向保持不变 B. 线速度和角速度都保持不变 C. 角速度大小不断变化 D. 线速度的大小保持不变 【答案】 D

【解析】匀速圆周运动的物体的线速度的大小不变，方向不断变化，选项A错误，D正确；线速度不断变化，角速度保持不变，选项BC错误；故选D.

2、甲沿着半径为R的圆周跑道匀速跑步，乙沿着半径为2R的圆周跑道匀速跑步，在相同的时间内，甲乙各自跑了一圈，它们的角速度和线速度分别为1， 2 和v1， v2。则 （ ） A. 12,v1v2 B. 12,v1v2

C. 12,v1v2 D. 12,v1v2 【答案】 C

3、甲、乙两物体都做匀速圆周运动,转动半径之比为1∶2,在相等时间里都转过60°圆心角。则 （ ）

A. 线速度之比为1∶2 B. 线速度之比为2∶1 C. 角速度之比为2∶1 D. 角速度之比为1∶2 【答案】 A

【解析】根据角速度定义式t 角速度之比为1：1，故CD错误；甲、乙两物体转动半径之比为

1：2，角速度之比为1：1，根据线速度与角速度关系公式v=ωr，线速度之比为1：2，故A正确，B错误；故选A． 衔接点2

向心力、向心加速度

【基础知识梳理】

1．向心加速度：描述速度方向变化快慢的物理量．

v242anrv2r

rT22．向心力：作用效果产生向心加速度，Fn＝man. 名师点睛： 1．向心力的来源

向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力． 2．向心力的确定

(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置．

(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力． 3、相互关系：(1) vr22r2rf Tv242v2r42f2r (2) anrrTv242mvm2rm42f2r （3）FnmanmrmrT2【典例引路剖析】

【例题1】如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一个物体随圆筒一起转动而未滑动。当圆筒的角速度增大以后，下列说法正确的是 （ ）

A. 物体所受弹力增大，摩擦力不变 B. 物体所受弹力增大，摩擦力减小了 C. 物体所受弹力和摩擦力都减小了 D. 物体所受弹力和摩擦力都增大了 【答案】 A

点睛：做匀速圆周运动的物体合力等于向心力，向心力可以由重力、弹力、摩擦力中的任意一种力来提供，也可以由几种力的合力提供，还可以由某一种力的分力提供；本题中合力等于支持力，提供向心力．

【例题2】如图所示为A、B两物体做匀速圆周运动时向心加速度a随半径r变化的图线，由图可知 （ ）

A. A物体的线速度大小不变 B. A物体的角速度不变 C. B物体的线速度大小不变 D. B物体的角速度与半径成正比 【答案】 A

v2【解析】A图中a与r成反比，则由向心加速度公式a=可知，A物体的线速度大小不变，故A正

rv2确；A图中a与r成反比，则由向心加速度公式a=可知，A物体的线速度大小不变，由v=ωr角

r速度是变化的．故B错误；B图中a与r成正比，则由向心加速度公式a=ω2r可知，B物体运动的角速度保持不变，由v=ωr线速度是变化的．故C错误；B图中a与r成正比，则由向心加速度公式a=ω2r可知，B物体运动的角速度保持不变，故D错误．故选A. 【变式训练】

1、A、B两个质点分别做匀速圆周运动，在相等时间内，所通过的弧长之比SA:SB=4:3，所转过的圆心角之比θA:θB=3:2，则下列说法中正确的是 （ ） A. 它们的线速度之比vA:vB=3:4 B. 它们的角速度之比ωA:ωB=4:3 C. 它们的周期之比TA:TB=3:2 D. 它们的向心加速度之比aA:aB=2:1

【答案】 D

【点睛】本题关键是记住线速度、角速度、周期和向心加速度的公式，根据公式列式分析，基础题．

2、如图所示，靠摩擦传动做匀速转动的大小两轮接触面相互不打滑，大轮的半径是小轮半径的两倍。A、B分别为大小轮边缘上的点，C为大轮上一条半径的中点，则下列关系正确的是 （ ）

A. vB:vC1:1 B. A:B2:1 C. aA:aC2:1 D. aB:aC2:1 【答案】 C

点睛：本题借助于转盘考察了角速度、线速度、半径之间的关系以及向心加速度公式的应用，理论联系实际，加强了知识在生活中的应用．

3、甲、乙两物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1：2，转动半径之比为1：2，在相等时间里甲转过60°，乙转过45°，则它们所受外力的合力之比为 （ ） A. 1：4 B. 2：3 C. 4：9 D. 9：16 【答案】 C

【解析】试题分析：相同时间里甲转过60°角，乙转过45°角，根据角速度定义：

由题意：考点：向心力。

，

，根据公式：

得：

，可知：

【名师点睛】根据角速度定义求出所受外力的合力之比。 衔接点3

匀速圆周运动

可得甲、乙的角速度之比，再由向心力公式可以

【基础知识梳理】 匀速圆周运动

(1)定义：线速度大小不变的圆周运动 .

(2)性质：向心加速度大小不变，方向总是指向圆心的变加速曲线运动． (3)质点做匀速圆周运动的条件

合力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心． 【典例引路剖析】

【例题1】对于做匀速圆周运动的物体，下列说法不正确的是 （ ） A. 匀速圆周运动的物体处于非平衡状态 B. 运动快慢可用线速度描述，也可用角速度描述 C. 匀速圆周运动的物体是匀速运动，因为其速率保持不变 D. 匀速圆周运动的物体合力不可能为0 【答案】 C

点睛：匀速圆周运动是变速运动，其线速度，向心加速度均是变化的。

【例题2】在水平冰面上，狗拉着雪橇做匀速圆周运动，O点为圆心．能正确地表示雪橇受到的牵引力F及摩擦力Ff的图是 （ ）

A. B.

C.

【答案】 C

D.

【解析】试题分析：滑块做匀速圆周运动，合力指向圆心，对其受力分析，重力和向上的支持力平衡，物体速度方向沿切线方向，滑动摩擦力与相对地面的运动方向相反，沿切线向后，拉力与摩擦力的合力提供向心力，指向圆心，故只有C正确； 故选C．

考点：考查了向心力以及牛顿第二定律的应用

点评：对物体受力分析通常要结合物体的运动情况分析，如果不看运动情况，往往无法将物体的受力情况分析清楚． 【变式训练】

1、对于做匀速圆周运动的物体，下列说法中正确的是 （ ） A. 线速度不变

B. 周期不变 C. 向心力不变 D. 运动状态不变 【答案】 B

【解析】匀速圆周运动的过程中，线速度的大小不变，但方向改变，所以线速度改变，运动状态也就发生改变，周期和转速没有方向也不变。向心力大小不变，方向改变，是个变力，故B正确。 故选：B。 【名师点睛】

速度、向心力、加速度是矢量，有大小有方向，要保持不变，大小和方向都不变。在匀速圆周运动的过程中，速度的方向时刻改变，加速度、向心力的方向始终指向圆心，所以方向也是时刻改变。 2、下列说法正确的是 （ ） A. 做圆周运动的物体所受合力指向圆心 B. 在匀速圆周运动中向心加速度是恒量 C. 匀速圆周运动是线速度不变的运动 D. 向心加速度越大，线速度方向变化越快 【答案】 D

3、A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同的时间内，它们通过的路程之比是4：3，运动方向改变的角度之比为3：2，它们的向心加速度之比为 （ ） A. 2:1 B. 3:2 C. 4:3 D. 8:9 【答案】 A

【解析】试题分析：根据题意可得它们的线速度

vA43，它们的角速度之比为A，根据公式vB3B2a2rv可得向心加速度之比为

aA2，A正确； aB1考点：考查了匀速圆周运动线速度、角速度、加速度之间的关系

【名师点睛】做此类题目的关键是对公式的灵活应用，匀速圆周运动这一块的公式比较多，所以一定要注意通过各个公式之间的联系来记忆， 衔接点4

匀速圆周运动实例

【基础知识梳理】 1、铁路的弯道

在平直铁路上火车匀速运动时：火车受几个力作用？这几个力的关系如何？

（火车受到4个力的作用，各为两对平衡力，即合外力为零。其中重力和支持力的合力为零，牵引

力和摩擦力的合力为零，） 那火车转弯时情况会有何不同呢？

（1）转弯与直线前进有何不同？（2）画出受力示意图，并结合运动情况分析各力的关系？（转弯时火车的速度方向在不断变化，故其一定有加速度，其合外力一定不为零。）

转弯时合外力不为零，即需要提供向心力，而平直路前行不需要，那么火车转弯时是如何获得向心力的？进一步受力分析得：需增加的一个向心力（效果力），由铁轨外轨的轮缘和铁轨之间互相挤压而产生的弹力提供。

挤压的后果会怎样？（由于火车质量、速度比较大，故所需向心力也很大。这样的话，轮缘和铁轨之间的挤压作用力将很大，导致的后果是铁轨容易损坏，轨缘也容易损坏。）

那么应该如何解决这一实际问题，结合学过的知识加以讨论，提出可行的解决方案，并画出受力图，加以定性说明。如图所示：

（火车受的重力和支持力的合力提供向心力，对内外轨都无挤压，这样就达到了保护铁轨的目的。） 2、拱形桥

质量为m的汽车在拱形桥上以速度v行驶，若桥面的圆弧半径为只R，试画出受力分析图，分析汽车通过桥的最高点时对桥的压力？通过分析，你可以得出什么结论？

在最高点，对汽车进行受力分析，确定向心力的来源；由牛顿第二定律列出方程求出汽车受到的支持力：由牛顿第三定律求出桥面受到的压力：F’N=G—mv2/r 可见，汽车对桥的压力F’N小于汽车的重力G，并且压力随汽车速度的增大而减小。

请同学们进一步考虑当汽车对桥的压力刚好减为零时，汽车的速度有多大。当汽车的速度大于这个速度时，会发生什么现象？（把 F’N=0代人上式可得，此时汽车的速度为vgR，当汽车的速度大于这个速度时，就会发生汽车飞出去的现象。这种现象我们在电影里看到过。）

下面再一起共同分析汽车通过凹形桥最低点时，汽车对桥的压力比汽车的重力大些还是小些？（汽车通过凹形桥最低点时，汽车对桥的压力比汽车的重力大。）

如果汽车不在拱形桥的最高点或最低点，前面的结论还是否能用？如果不能直接运用，又如何来研究这一问题呢？（前面的结论能直接运用，不过此时物体的向心加速度不等于物体的实际加速度，即要用上一节研究变速圆周运动的方法来处理。）

【典例引路剖析】

【例题1】如图所示，过山车的轨道可视为竖直平面内半径为R的圆轨道。质量为m的游客随过山车一起运动，当游客以速度v经过圆轨道的最高点时 （ ）

A. 处于超重状态

B. 向心加速度方向竖直向下 C. 速度的大小不能超过gR

v2D. 座位对游客的作用力为m

R【答案】 B

点睛：本题主要考查了向心力公式的直接应用，要求同学们能正确对物体进行受力分析，知道当加速度方向向上时，处于超重状态，当加速度方向向下时，处于失重状态．

【例题2】一辆载重车在丘陵地带行驶，地形如图所示，轮胎已经很旧，为防止爆胎，车在经过何处时应减速行驶： （ ）

A. A处 B. B处 C. C处 D. D处 【答案】 C

v2v2【解析】在A处，重力和支持力相等；在B、D处，根据牛顿第二定律得：mg-N=m，解得：N=mg-m

rrv2v2＜mg，知支持力小于重力；在C处，根据牛顿第二定律得：N−mg＝m，解得：N=mg+m＞mg，

rr可知在C处支持力最大，轮胎受到的压力最大，所以在C处应该减速行驶比较安全．故答案为C． 点睛：本题关键运用超重和失重的观点分析卡车经过圆弧的最高点和最低点处地面的作用力与重力的关系．当物体的加速度方向向下时，物体处于失重状态，当加速度方向向上时，处于超重状态． 【变式训练】

1、铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，如图所示，已知内外轨道平面对水平面倾角为θ，弯道处的圆弧半径为R，在转弯时的速度为下列情况时,正确的是 （ ）

A. B. C.

火车在转弯时不挤压轨道 火车在转弯时挤压内轨道 火车在转弯时挤压外轨道

D. 无论速度为多少,火车都将挤压内轨道 【答案】 A

2、如图所示，在匀速转动的水平转盘上，有一个相对于盘静止的物体，随盘一起转动，关于它的受力情况，下列说法中正确的是 （ ）

A. 只受到重力和盘面的支持力的作用 B. 只受到重力、支持力和静摩擦力的作用 C. 除受到重力和支持力外，还受到向心力的作用 D. 受到重力、支持力、静摩擦力和向心力的作用 【答案】 B

【解析】试题分析：物体做匀速圆周运动，合力指向圆心；对物体受力分析，重力G与支持力N二力平衡，合力等于摩擦力f，充当向心力；B正确，ACD错误 故选B．

考点：考查了对向心力的理解

点评：向心力是按照力的作用效果命名的，在匀速圆周运动中是由合力提供！不能重复受力！本题中静摩擦力会随转速的增大而增大！学#科网

3、公路上的拱形桥是常见的，汽车过桥最高点时的运动可以看做匀速圆周运动．如图所示，汽车通过桥最高点时 （ ）

A. 汽车对桥的压力等于汽车的重力 B. 汽车对桥的压力大于汽车的重力 C. 汽车所受的合力竖直向下 D. 汽车的速度越大，汽车对桥面的压力越大 【答案】 C

【提升练习】

1、如图所示，一个球绕中心轴线OO′以角速度ω转动，则 （ ）

A. 若θ=30°，则vA：vB=1：2 B. 若θ=30°，则vA：vB=2：1 C. A、B两点的角速度相等 D. A、B两点的线速度相等 【答案】 C

【解析】共轴转动的各点角速度相等，故A、B两点的角速度相等；A点的转动半径为Rcos30°=R，B点的转动半径为R，根据v=rω公式，线速度之比为： vA：vB=RA：RB=3 23：2=3：4；故ABD错误，C正确；故选C． 22、如图所示，用细线吊着一个质量为m的小球，使小球在水平面内做圆锥摆运动，关于小球受力，正确的是 （ ）

A. 受重力、拉力、向心力 B. 受重力、拉力 C. 受重力

D. 以上说法都不正确 【答案】 B

【解析】解：小球在水平面内做匀速圆周运动，对小球受力分析，如图

小球受重力、和绳子的拉力，由于它们的合力总是指向圆心并使得小球在水平面内做圆周运动，故在物理学上，将这个合力就叫做向心力，即向心力是按照力的效果命名的，这里是重力和拉力的合力．故B正确，A、C、D错误． 故选B．

【点评】向心力是效果力，匀速圆周运动中由合外力提供．注意向心力不是物体所受到的力． 3、如图，自行车的大齿轮A、小齿轮B、后轮C是相互关联的三个转动部分，且半径 RA＝2RB、 Rc

＝5RB，正常骑行自行车时， A、B、C三轮边缘的向心加速度的大小之比 aA∶ aB∶ aC等于 （ ）

A. 1∶1∶6 B. 3∶1∶6 C. 1∶2∶10 D. 1∶3∶6 【答案】 C

点睛：解决本题的关键知道靠链条传动的轮子边缘点线速度大小相等，共轴转动的点角速度相等，以及掌握向心加速度与线速度、角速度的关系．

4、．圆周运动中，以下关于向心力及其作用说法正确的是 （ ） A. 向心力既改变圆周运动速度的方向，又改变速度的大小 B. 做匀速圆周运动的物体所受的合外力即为物体的向心力

C. 做匀速圆周运动的物体，除了受到别的物体对它的作用力外，一定还受到一个向心力的作用 D. 在匀速圆周运动中向心力是恒力，在变速圆周运动中向心力才是变力 【答案】 B

5、关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是 （ ） A. 它们的方向都是沿半径指向地心

B. 它们的方向都在平行于赤道的平面内指向地轴 C. 北京的向心加速度比广州的向心加速度大 D. 北京的向心加速度与广州的向心加速度大小相同 【答案】 B

【解析】物体无论在北京还是广州，都随地球一起绕地轴转动，它分别在两地的向心加速度方向都是指向地轴且平行于赤道平面，A错误B正确；由a2r知ω一定，到地轴的距离越大加速度越大，故广州的加速度比北京的大，故CD错误．

6、如图所示：一轴竖直的锥形漏斗，内壁光滑，内壁上有两个质量不相同的小球A、B各自在不同的水平面内做匀速圆周运动,已知，则下列关系正确的有 （ ）

A. 线速度vA【解析】设漏斗内壁母线与水平方向的夹角为θ．以任意一个小球为研究对象，分析受力情况：重力mg和漏斗内壁的支持力N，它们的合力提供向心力，如图，

D. 小球对漏斗的压力

点睛：解决这类圆周运动问题的关键是对物体正确受力分析，根据向心力公式列方程进行讨论，注意各种向心加速度表达式的应用．学#科网

7、如图所示，洗衣机的脱水桶采用带动衣物旋转的方式脱水，下列说法中错误的是 （ ）

A. 脱水过程中，衣物是紧贴桶壁的

B. 水会从桶中甩出是因为水滴受到的向心力很大的缘故 C. 加快脱水桶转动角速度，脱水效果会更好

D. 靠近中心的衣物的脱水效果不如周边的衣物的脱水效果好 【答案】 B

【解析】试题分析：脱水过程中，衣物做离心运动而甩向桶壁，所以衣物是紧贴桶壁的，故选项A正确；水滴依附的附着力是一定的，当水滴因做圆周运动所需的向心力大于该附着力时，水滴被甩掉．故B错误；F=ma=

mω2R，ω增大会使向心力F增大，而转筒有洞，不能提供足够大的向心力，水滴就会被甩出去，增大向心力，会使更多水滴被甩出去．故C正确；靠近中心的衣服，R比较小，当角速度ω相同时向心力小，脱水效果差．故D正确．故选：B

8、（多选）如图所示，直径为d的竖直圆简绕中心轴线以恒定的转速匀速转动。一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆简，从心侧射穿圆简后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为h，则 （ ）

A. 子弹在圆筒中的水平速度为0dg 2hg 2hB. 子弹在圆筒中的水平速度为02dC. 圆筒转动的角速度可能为g 2hD. 圆筒转动的角速度可能为3【答案】 ACD

g 2h

9、（多选）如图所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径不一样，它们的边缘有三个点A、B、C。在自行车正常行驶时，下列说法正确的是 （ ）

A. A、B两点的角速度大小相等

B. B、C两点的线速度大小之比等于它们所在圆周的半径之比 C. A、B两点的向心加速度大小之比等于它们所在圆周的半径之比 D. B、C两点的向心加速度大小之比等于它们所在圆周的半径之比 【答案】 BD

点睛：利用同轴转动，角速度相同，同一链条上各点的线速度大小相等；据线速度和角速度的关系；

v22r，知，线速度大小不变，向心加速度与半径成反比，角速度不根据向心加速度的公式ar变，向心加速度与半径成正比。

10、（多选）如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A．B两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，A与B之间的摩擦因数和B与圆盘之间的摩擦因数相等，则下列说法正确的是 （ ）

A. B的向心力是A的向心力的2倍

B. 盘对B的摩擦力的大小是B对A的摩擦力大小的2倍 C. A、B都有沿半径向后滑动的趋势

D. 若缓慢增加圆盘的转速，因为B受到的摩擦力比A大，所以B会先滑动 【答案】 BC

【解析】根据Fn＝mrω2，因为A、B两物体的角速度大小相等，转动半径相等，质量相等，则向心

力相等，故A错误；对AB整体分析，fB＝2mrω2，对A分析，有：fA＝mrω2，可知盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍，故B正确；A所受的静摩擦力方向指向圆心，可知A有沿半径向外滑动的趋势，B受到盘的静摩擦力方向指向圆心，有沿半径向外滑动的趋势，故C正确；因为A与B之

22间的摩擦因数和B与圆盘之间的摩擦因数相等，对B有： fBfAmr，对A有： fAmr，

2当A刚要滑动时， fAmgmr，解得： gr，代入上式解得： fB2mg，由此

可知AB同时滑动，故D错误。所以BC正确，AD错误。

11、如图所示，圆形玻璃平板半径为r，一质量为m的小木块放置在玻璃板的边缘，随玻璃板一起绕圆心O在水平面内做匀速圆周运动．玻璃板转动的周期为T.求：

（1）木块的角速度大小； （2）木块的线速度大小； （3）木块所受摩擦力的大小．

4222r【答案】 （1）（2）（3）m2r

TTT【解析】(1)根据匀速圆周运动的规律可得木块的角速度大小为(2)木块的线速度大小为v2 T2r T22(3)木块所受摩擦力提供木块做匀速圆周运动的向心力，有Ffmr

T12、一根长0.1 m的细线，一端系着一个质量为0.18 kg的小球，拉住线的另一端，使球在光滑的水平桌面上做匀速圆周运动，当小球的转速增加到原转速3倍时，测得线拉力比原来大40 N，此时线突然断裂．求：

(1)线断裂的瞬间，线的拉力； (2)线断裂时小球运动的线速度 【答案】 （1）45 N. （2）5m/s

mv2（2）设线断开时速度为v 由FT 得vRFTRm450.1m/s5m/s 0.18