对策试题

一 选择题

1 关于矩阵对策，下列说法错误的是（D） A．矩阵对策的解可以不是唯一的

B．对任一矩阵对策G=S1,S2;A，一定存在混合策略意义下的解

C．矩阵对策中，当局势达到均衡时，任何一方单方面改变自己的策略，都意味着自己更少的赢得和更大的损失

D．矩阵对策的对策值，相当于进行若干次对策后，局中人Ⅰ的平均赢得或局中人Ⅱ的平均损失值

-61-8324 则对策值为（A） 2 若某一矩阵对策之对策矩阵A=9-1-10-306A.2 B.-8 C.-3 D.1 3.关于矩阵对策，下列说法不正确的是 （A）

A.矩阵对策中，如果最优解要求一个局中人采取纯策略，则另一局中人也必须采取纯策略

B.在二人有限零和对策的认一局势中，两个局中人的得失之和为零 C.矩阵对策的对策值是唯一的

D.如果矩阵对策存在最优纯策略意义下的解，则决策问题中必存在一个鞍点 4．下列选项中不是对策行为的基本要素的是（C） A.策略集 B.赢得函数 C.鞍点 D.局中人

a12a5．矩阵对策A=11的鞍点不存在条是有一条对角线的每一个元素均大于a21a22另一条对角线上的每一个元素的（D）

A.非充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.充要条件 计算题

1.甲、乙两个儿童玩游戏，双方可分别出拳头（代表石头）、手掌（代表布）、两个手指（代表剪刀），规则是石头赢剪刀，布赢石头，剪刀赢布，赢者得一分。

若双方所出的相同算和局 均不得分。试列出儿童甲的赢得矩阵。 解：儿童甲的赢得矩阵为

0-11 A=10-1-110

2甲、乙二人游戏，每人出一个或两个手指，同时又把猜测对方所出的手指叫出来。如果只有一个人猜测正确，则他所赢得的数目为二人所出指数之和，否则重新开始，写出该对策中各局中人的策略集合及甲的赢得矩阵，并回答局中人是否存在某种出法比其他出法更为有利。

解答：甲乙二人的 策略集合均为{出1猜1，出1猜2，出2猜1，出2猜2}。根据题意，甲的赢得矩阵为

02-30-2003 A=300-40-340根据赢得矩阵，有 1 a1 a2 a3 a4 2 2 0 0 -3 2 3 -3 0 0 4 4 4 0 3 -4 0 3 minaij j0 -2 3 0 3 -3 -2 -4 -3 maxaij i因为maxminaij=-2 ，minmaxaij=2 ，maxminaij≠minmaxaij ，所以局中人不存

ijjiijji在某种出法比其他出法更为有利。 3 证明：

（1）若(i1,j1)和(i2,j2)是对策G的两个解，则i1j1=i2j2；

（2）若(i1,j1)和(i2,j2)是对策G的两个解，则(i1,j2)和(i2,j1)也是对策G的两个解。

证明：（1）（用反证法）。

不妨令i1j1i2j2 ，则Ⅰ会选择i1而不会选i2 ，相应地Ⅱ会选择j1而不选

j，从而(i,j)不是G的解，同理，若ijij，则(i,j)不是G的解。

222112211这与已知条件矛盾，故必有i1j1=i2j2。证毕。

（2）由于(i1,j1)和(i2,j2)是对策G的两个解，所以i1j1=i2j2且

ijijij,i1112222j2i2j1i1j1，从而i1j2i2j2i1j1i2j1 。

再由(i1,j1)和(i2,j2)是对策G的两个解可知，ij1i1j1i1j,ij2i2j2i2j从而ij1i2ji1j,ij2i1j2i1j ，故(i1,j2)和(i2,j1)也是对策G的两个解。证毕。

4.求解下列矩阵对策，其中赢得矩阵A分别为

2124221 （2）344

148（1）523216

932721652234

 （4）24（3）

354456231632解：（1）根据赢得矩阵，有 1 a1 a2 a3 180467338



221354

2 12 4 2 12 3 -4 8 3 8 minaij j-2 1 -5 1 -4 1 -5 maxaij iijj 因为maxminaij=minmaxaij=1 ，所以G的解为（a2，1），VG1。

i（2）根据赢得矩阵，有

maxmian，VG3 ij=minmaxaij=3，所以G的解为（a2，1）

ijji（3）根据赢得矩阵，有

maxmian，VG3 ij=minmaxaij=3，所以G的解为（a3，1）

ijji（4）根据赢得矩阵，有

maxmian，VG4 ij=minmaxaij=4，所以G的解为（a2，3）

ijji5.利用优超原则求解下列矩阵对策

1-1（1）A=2030345401 （2）A=722344116403002593959

68760883解：（1）原矩阵对策的解为（a3，1），VG2。

（2）由于第3行优超于第2行，第4行优超于第1行，故可划去第1、2行，得

到新的赢得矩阵

73959 A14687860883对于A1，第2列优超于第3、4、5列，故可去掉第3、4、5列，得到

73 ； 对于A，第1行优超于第3行，故可划去第3行，得到 A24626073 易知A3没有鞍点，故求解 A3467x34x4v3x36x4v xx1347y13y2v4y16y2v yy112

1211得x3*，x4*，y1*，y2* , v=5

33221211所以原矩阵对策的一个解为x0,0,,,0,y*,,0,0,0，VG5

3322*****,x2)和y*(y1,y2)是G的6．设G为22对策，且不存在鞍点，证明若x*(x1TT解，则

xi*0 i=1,2

y*j0 j=1,2

**证明：用反证法。不妨令x1*=0，则x2=1。此时，若a21a22，则y1*=0，y2=1，*即G存在鞍点，最优纯策略为(2,2)；若a21a22，则y1*=1，y2=0，即G存在

鞍点，最优纯策略为(2,1)。这与G不存在鞍点相矛盾，从而必有xi*0 i=1,2；

y*j0 j=1,2。证毕。

7．在两人零和对策G中，局中人Ⅰ和Ⅱ分别有四种和两种策略可供选择。局中人Ⅰ的赢得矩阵如下表所示。 Ⅱ 1 2 1 -1 -1 Ⅰ 2 0 1 3 0 -3/2 4 0 1/2 解答：根据优势原则，矩阵中的第一、第三行劣于第四行，故划去。矩阵变为

Ⅱ 1 2 Ⅰ 2 0 1 4 0 1/2 显然，上述对策无鞍点，故求解具有混合策略的对策

122故所求的解为：Ⅰ分别以0，，0，的概率使用策略1，2，3，4，Ⅱ分别以，

33311的概率使用策略1，2；此时Ⅰ的期望赢得为。 338.甲、乙两个企业生产同一种电子产品，两个企业都想通过改革管理获取更多的市场销售份额。

甲企业的策略措施有（1）降低产品价格；（2）提高产品质量，延长保修年限；（3）推出新产品。

乙企业考虑的策略措施有：（1）增加广告费用；（2）增设维修网点，扩大维修服

务；（3）改进产品性能。

假定市场份额一定，由于各自采取的策略措施不同，通过预测，今后两家企业的市场份额变动情况如下表所示（正值为甲企业增加的市场占有份额，负值为减少的市场占有份额）。试通过对策分析，确定两个企业最优的策略。

甲企业策略 1 2 3 解：根据赢得矩阵，有

1 2 3 1 10 12 6 乙企业策略 2 -1 10 8 3 3 -5 5 1 10 12 6 12 2 -1 10 8 10 3 3 -5 5 5 minaij jmaxaij i-1 -5 5 因为maxminaij=minmaxaij=5，所以G的角为（3,3），VG5，即甲企业的最优

ijji策略是“推出新产品”；乙企业的最优策略是“改进产品性能”。