线性规划在工商管理中的应用

摘 要 线性规划是运筹学的一个重要分支，它被广泛应用于工业、农业、商业等领域，来解决实际中的问题。本文通过介绍线性规划及其在工商管理中应用的实例，来说明它在工商管理中的重要作用。 关 键 词 运筹学；线性规划 ；方法；应用

1.线性规划在工商管理中运用的广泛性

工商管理[1]是研究工商企业经济管理基本理论和一般方法的学科，它通过运用现代管理的方法和手段来进行有效的企业管理和经营决策，保证企业的生存和发展。在当今社会，随着市场竞争的日益加剧，如何统筹安排，合理利用有限的人力、物力、财力等资源，使总的经济效益最好，已经成为企业经营管理过程中实现利益最优必须解决的问题。例如：

人力资源分配：用最少的劳动力来满足工作的需要? 产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大? 套裁下料：如何在保证生产的条件下，下料最少? 配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润? 投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大? 运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小?

这样的问题常常可以化成或近似地化成“线性规划”（Linear Programming, 简记为LP）问题。线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好。一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题[2]。利用线性规划我们可以解决很多问题，例如上述人力资源分配、计划安排、套裁下料等诸多方面的问题，在本文的后面我们将用线性规划方法对企业在生产中的具体问题进行探讨。

2.线性规划的模型

线性规划[2]是运筹学的一个重要分支。自1947年丹捷格（G. B. Dantzig）提出了一般线性规划问题求解的方法——单纯形法之后，线性规划在理论上趋向

1

成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在电子计算机能处理成千上万个约束条件和决策的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，它已是现代科学管理的重要手段之一了。

建模过程[3]：

（1）理解要解决的问题，了解解题的目标和条件；

（2）定义决策变量（1，x2 ，…，xn），每一组值表示一个方案； （3）用决策变量的线性函数形式写出目标函数，确定最大化或最小目标； （4）用一组决策变量的等式或不等式表示解决问题过程中必须遵循的约束条件。

线性规划问题的一般形式为 目标函数：

max (min) 错误!未找到引用源。

约束条件：

a11x1a12x2anxn,b1a21x1a22x2a2nxn,b2s.t. 

axaxax,bmmnnm11m22x1,x2,,xn0标准形式

max zc1x1c2x2cnxn

a11x1a12x2anxnb1a21x1a22x2a2nxnb2 axaxaxbmm22mnnm11x1,x2,,xn0用矩阵表示即

maxzcjxj

j1n2

naijxjbi,i1,2,,m j1x0,j1,2,nj系数组成的矩阵称为约束矩阵

a11a12aa22A=21am1am2a1na2n amn一般讲，一个经济、管理问题需满足以下条件，才能建立线性规划模型。 （1） 要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且为线性函数； （2） 存在多种方案和有关数据；

（3） 要求达到的目标是在一定的约束条件下实现的，这些条件可用线性式或不等式来描述。

3.求解线性规划问题常用的方法

3.1图解法

对于只有两个决策变量的线性规划问题，可以在平面直角坐标系上作图表示，取公共部分，然后作出目标函数，使其在公共部分移动至取到最优解。 3.2单纯形法[1]

单纯形法的基本思路：从可行域中某一个顶点开始，判断此顶点是否是最优解，如不是，则再找另一个使得其目标函数值更优的顶点，称之为迭代，再判断此点是否是最优解。直到找到一个顶点为其最优解，就是使得其目标函数值最优的解，或者能判断出线性规划问题无最优解为止。

单纯形法的计算步骤： （a）建立初始单纯形表；

（b）检验所得的基本可行解是否为最优解：若所有的j≤0，则已获得最优解，停止计算，否则，转入下一步；

（c）基变换：确定kmaxj|j0所对应的非基变量xk为换入变量（变

1jn为基变量），确定lminimin1inbibl|aik0 a所对应的基变量xl为换出变量；alkik3

（d）进行迭代得新的单纯形表。 3.2.1 大M法[3]

把人工变量“强行”地加到原来的约束方程中去，就令人工变量在求最大值的目标函数里的系数为－M，这个方法叫做大M法。 3.2.2 两阶段法[3]

将加入人工变量后的线性规划划分两阶段求解。 第一阶段：要判断原线性规划是否有基本可行解；

第二阶段：将第一阶段的最终单纯形表中的人工变量取消，将目标函数换成原问题的目标函数，把此可行解作为初始可行解进行计算。

利用单纯形法来解决线性规划问题计算量大，尤其是变量较多的情况下，现在随着科技发展，计算机应用日益广泛，用运筹学软件来解决线性规划问题被广泛运用，但由于实际情况多变且复杂，不可能用机器来得到最佳方案最优解，因此我们也应根据实际情况来权衡利弊，以实现利益最优。 3．3计算机求解[1]

利用MATLAB求解：使用matlab中Optimization Toolbox中的linprog关键字。[x，fval]=linprog(f，A，b，Aeq，beq，lb，ub)，其中，x为最优解，fval为取得最优解时目标函数的取值，f表示目标函数中决策变量的系数矩阵，A表示约束条件的系数矩阵，b表示约束条件不等式右边的常量，Aeq表示约束条件有等式时的系数矩阵，beq表示约束条件有等式时的常量，lb、ub分别表示决策变量的最小、最大取值，即错误!未找到引用源。[lb，ub]。

如线性规划问题

max z2x13x2

x14x2x812 x23x1,x20解：matlab代码为： f=[-2;-3];

A=[1 0;1 2;0 1]; b=[4;8;3];

4

lb=zeros(2,1);

[x,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb); 求解出来的结果为x14；x22。

由于电子计算机应用的飞速发展，应用计算机处理线性规划问题使求解变得越来越容易，各种应用软件也被开发出来，同时也被企业广泛应用。 “管理运筹学”软件[2]可以解决含有100个变量50个约束方程的线性规划问题，可以解决工商管理中大量的问题。在计算机相应软件如下图，输入所求问题的变量个数、约束条件个数、目标函数，点击“确定”后，再在表中输入Cj，bi错误!未找到引用源。和aij等值，并确定变量的正负约束。点击“解决”按钮，即可得出计算结果。Lindo软件是解决线性规划问题的有力工具，它可用于解决50000个约束条件，20000个变量的线性规划问题。

4.线性规划在工商管理中的应用

随着经济的发展，运筹学的应用受到越来越多专家学者的重视，由国际运筹与管理科学协会（INFORMS）和它的管理科学实践学会（College for the Practice of the Management Sciences）主持评奖的负有盛名的弗兰茨·厄德曼（Frany Edlman）奖，就是为奖励优秀的运筹学在管理中的应用的成就设立的，该奖每年举行一次，在对大量富有竞争力的入围者进行艰苦的评审后，一般有六位优胜

5

者获奖。关于这些获奖项目的文章都在第二年发表在著名刊物Interface的第一期上。下图4-1为中美国家线性规划方法在企业中的使用情况。通过对比，我们发现，我国对线性规划的应用还应更为广泛。 图4-1 下面我们就以一家农用批发零售商店为例，来看看如何用线性规划来解决实际中的问题。 例 一家中型的农用批发零售商店，它对售货员的需求经过统计分析如下表4-1-1所示。为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，且为连休。问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？ 时间 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 6

所需销售员人数 20 13 16 18 16 23 星期六 表4-1-1

22 解：设 错误!未找到引用源。( i = 1，2，…，7)表示星期一至日开始休息的人数，这样我们建立如下的数学模型。

目标函数： min zx1x2x3x4x5x6x7

约束条件：s.t.

x1x2x3x4x520xxxxx1323456x3x4x5x6x716x4x5x6x7x118 xxxxx1656712x6x7x1x2x323x7x1x2x3x422x1,x2,,x70例 该商店根据多年的经销经验，预测经营某化肥今后4个月购进与销出价格如表4-2-1所示（数据参见中国化肥网），该种化肥可以完全销出，该店每月初销货，月中进货，且进货款完全靠销售收入，该店第一个月库存200吨，且购入价为2020元/吨，从第一个月开始一直保存10万元的应急储备金; 问：如何制定购销计划可以使四个月后总盈利达到最大? 月份 1 2 3 4 购入价（元/吨） 2070 2100 2200 2370 表4-2-1

解：设xi1(i=1，2，3，4)错误!未找到引用源。表示第i个月的采购量，错误!未找到引用源。表示xi2（i=1，2，3，4）第i个月的销售量。

售出价（元/吨） 2120 2170 2300 2430 7

约束条件：每月的销售量xi2（i=1，2，3，4）不能超过上月的采购量。可得

x12200 x22200x12x11 x32200x12x11x22x21 x42200x12x11x22x21x32x31

每月采购量需要用月初销售收入而定，第一个月末需扣除一万元用于储备金。可得

2070x112120x12100000

2100x212120x122070x112170x22100000

2200x312120x122070x112170x222100x212300x32100000

2370x412120x122070x112170x222100x212300x322200x312430x42100000

整理得，约束条件为

x12200x22x12x11200x32x12x11x22x21200x42x12x11x22x21x32x31200 2070x112120x121000002100x212120x122070x112170x221000002200x312120x122070x112170x222100x212300x321000002370x2120x2070x2170x2100x2300x2200x2430x1000004112112221323142xi1i140,xi2i140目标函数：

y2120x122170x222300x322430x422070x112100x212200x312020200

例 随着商店规模的扩大，销售领域也随之扩大，开设了若干分店，根据市场消费需求要从两个分店A1、A2将商品配送到三个城区B1、B2、错误!未找到引用源。根据店的规模及员工人数等，两个分店的最大销量、最大配送

8

量和各分店配送到各销地所在城区每件商品的运费如下表4-3-1所示，问：应如何安排调运可使总运输费用最小？ A1 A2 B1 B2 B3 最大配送量 2000 3000 6 6 1500 4 5 1500 表4-3-1 6 5 2000 销量 解：设 xij 为从分店Ai运往销地所在城区Bj的运输量，得到下列运输量表： A1 A2 B1 x11 x21 B2 x12 x22 B3 x13 x23 最大配送量 2000 3000 销量

数学模型为

1500 1500 2000 min 错误!未找到引用源。

x11x12x132000xxx3000232122x11x211500 xx15001222x13x232000xij0,(i1,2;j1,2,3)上述是一家商店在经营过程中运用线性规划解决实际问题的三个例子，分别反映了线性规划在人力资源分配问题、经营计划问题、运输问题三个方面的应用。可见线性规划在经营管理中的实用性。同样，在一些厂家产品生产计划、套裁下料、配料问题、投资问题等方面也可利用线性规划来解决实际问题。

5.线性规划在工商管理中应用的重要意义

把线性规划的知识应用到企业经营管理中去，可以使企业适应市场激烈的竞

9

争，及时、准确的制定生产计划、投资计划，对资源进行合理配置等。过去企业在调整分配方面需要很长时间，运用线性规划并利用计算机进行测算简便易行，提高了企业的效率；并且是运用大量的基础数据，经严格的数学运算，建立在严格的理论基础之上得到的，所以也提高了决策的科学性和可靠性。

参考文献

[1] 韩伯棠. 管理运筹学（第三版）[M]. 北京: 高等教育出版社，2010. [2] 吴方. 线性规划初步[M]. 沈阳: 辽宁教育出版社，1985.

[3] 运筹学教材编写组. 运筹学（第三版）[M]. 北京: 清华大学出版，2005. (6). [4] 郎艳怀. 经济数学方法与模型教程[M]. 上海: 上海财经大学出版社，2004. （10）.

10