第1课时 算术平方根
1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；(重点)
2．根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根；(重点)
3．了解算术平方根的性质．(难点)
一、情境导入
上一节课我们做过：由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长为a的大正方形，那么有a2
＝2，a＝________，2是有理数，而a是无理数．在前面我们学过若x2
＝a，则a叫做x的平方，反过来x叫做a的什么呢？
二、合作探究
探究点一：算术平方根的概念 【类型一】 求一个数的算术平方根 求下列各数的算术平方根： (1)64；(2)2122
4；(3)0.36；(4)41－40.
解析：根据算术平方根的定义求非负数的算术平方根，只要找到一个非负数的平方等于这个非负数即可．
解：(1)∵82＝64，∴64的算术平方根
是8；
(2)∵(32)2＝94＝211
4，∴24的算术平方根是3
2
； (3)∵0.62
＝0.36，∴0.36的算术平方根是0.6；
(4)∵412
－402
＝81，又92
＝81，∴ 81＝9，而32
＝9，∴412
－402
的算术平方
根是3.
方法总结：
(1)求一个数的算术平方根时，首先要弄清是求哪个数的算术平方根，分清求81与81的算术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑．
(2)求一个非负数的算术平方根常借助平方运算，因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用．
【类型二】 利用算术平方根的定义求值 3＋a的算术平方根是5，求a的
值．
解析：先根据算术平方根的定义，求出3＋a的值，再求a.
解：因为52
＝25，所以25的算术平方根是5，即3＋a＝25，所以a＝22.
方法总结：已知一个数的算术平方根，可以根据平方运算来解题．
探究点二：算术平方根的性质 【类型一】 含算术平方根式子的运算 计算：49＋9＋16－225. 解析：首先根据算术平方根的定义进行开方运算，再进行加减运算．
解：49＋9＋16－225＝7＋5－15＝－3.
方法总结：解题时容易出现如9＋16＝9＋16的错误．
【类型二】 算术平方根的非负性 已知x，y为有理数，且x－1＋
3(y－2)＝0，求x－y的值．
解析：算术平方根和完全平方式都具有非负性，即a≥0，a≥0，由几个非负数相加和为0，可得每一个非负数都为0，由此可求出x和y的值，进而求得答案．
解：由题意可得x－1＝0，y－2＝0，所
2
2
以x＝1，y＝2.所以x－y＝1－2＝－1.
方法总结：算术平方根、绝对值和完全平方式都具有非负性，即a≥0，|a|≥0，a≥0，当几个非负数的和为0时，各数均为0.
三、板书设计 算
术
平
方
a 根
2
概念：非负数a的算术平方根记作
a≥0，性质：双重非负性
a≥0
让学生正确、深刻地理解算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化．概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有帮助的．概念教学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化．
第2课时 平方根
1．了解平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根；(重点)
2．了解开平方与平方是互逆运算，会用开平方运算求非负数的平方根．(难点)
一、情境导入
24
填空：(1)3的平方等于9，那么9的算术平方根就是________；(2)的平方等于，那5254
么的算术平方根就是________；(3)展厅的地面为正方形，其面积是49平方米，则边长为25
________米．
4
平方等于9，，49的数还有吗？
25二、合作探究
探究点一：平方根的概念及性质 【类型一】 求一个数的平方根 求下列各数的平方根：
242
(1)1；(2)0.0001；(3)(－4)；(4)81.
25
解析：把带分数化为假分数，含有乘方运算先求出它的幂．注意正数有两个互为相反数的平方根．
24497249247
解：(1)∵1＝，(±)＝，∴1的平方根为±，即±
2525525255
2
1
247
＝±； 255
(2)∵(±0.01)＝0.0001，∴0.0001的平方根是±0.01，即±0.0001＝±0.01； (3)∵(±4)＝(－4)，∴(－4)的平方根是±4，即±（－4）＝±4； (4)∵(±3)＝9＝81，∴81的平方根是±3.
方法总结：正确理解平方根的概念，明确是求哪一个数的平方根．如(4)中就是求9的平方根．
【类型二】 利用平方根的性质求数的值
一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，求这个数．
解析：因为一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，所以2a＋1和a－4互为相反数，根据互为相反数的两个数的和为0列方程求解．
解：由于一个正数的两个平方根是2a＋1和a－4，则有2a＋1＋a－4＝0.即3a－3＝0，解得a＝1.所以这个数为(2a＋1)＝(2＋1)＝9.
方法总结：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，即它们的和为零． 探究点二：开平方及相关运算
求下列各式中x的值．
(1)x＝361；(2)81x－49＝0；(3)(3x－1)＝(－5).
解析：若x＝a(a≥0)，则x＝±a，先把各题化为x＝a的形式，再求x.其中(3)中可将(3x－1)看作一个整体，先通过开平方求出这个整体的值，然后解方程求出x.
解：(1)∵x＝361，∴开平方得x＝±361＝±19；
22
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
4922
(2)整理81x－49＝0，得x＝，∴开平方得x＝±81
2
2
497＝±； 819
(3)∵(3x－1)＝(－5)，∴开平方得3x－1＝±5；当3x－1＝5时，x＝2；当3x－1＝44
－5时，x＝－；综上所述，x＝2或－. 33
方法总结：利用平方根的定义进行开平方解方程，从而求出未知数的值，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；开平方时，不要漏掉负平方根．
三、板书设计
1．平方根的概念：若x＝a，则x叫a的平方根，x＝±a.
2．平方根的性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
3．开平方及相关运算：求一个数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数．开平方与平方互为逆运算．
为学生提供有趣且富有数学含义的问题，让学生进行充分的探索和交流．如把正方形的面积不断地扩大为原来的2倍、3倍、n倍，引导学生充分进行交流、讨论与探索，从中感受学习平方根的必要性．
2
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