一、质数、合数和分解质因数
【基本概念和知识】 1．质数和合数
一个数除了 1 和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。 一个数除了 1 和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。要特别记住：1 不是质数，也不是合数。2．质
因数与分解质因数
如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 【例题】
例 1：三个连续自然数的乘积是 210，求这三个数。
∵ 210=2×3×5×7
∴ 可知这三个数是 5、6、7。
例 2：两个质数的和是 40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？
解：把 40 表示为两个质数的和，共有三种形式：
40=17＋23=11＋29=3＋37
∵ 17×23==391＞11×29=319＞3×37=111， ∴ 所求的最大值是 391。
例 3：自然数 1234567 是质数，还是合数？为什么？
解：1234567 是合数。
因为它除了约数 1 和它本身，至少还有约数 3，所以它是一个合数。
例 4：连续 9 个自然数中至多有几个质数？为什么？
解：如果这连续九个自然数在 1 与 20 之间，那么显然其中最多有 4 个质数（如：1~9 中有 4 个质数 2、3、5、7）。
如果这连续的九个自然数中最小的不小于 13，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有 5 个。这 5 个奇数中必只有一个个位数是 5，因而 5 是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数。这样，至多另 4 个奇数都是质数。
综上所述，连续九个自然数中至多有 4 个质数。
例 5：把 5、6、7、14、15 这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。
解：∵ 5=5，7=7，6=2×3，14=2×7，15=3×5。
这些数中质因数 2、3、5、7 各共有 2 个，所以如把 14（=2×7）放在第一组，那么 7 和 6（=2× 3）只能放在第二组，继而 15（=3×5）只能放在第一组，则 5 必须放在第二组。
这样，14×15=210=5×6×7。
∴ 这五个数可以分为 14 和 15，5、6 和 7 两组。
例 6：有三个自然数，最大的比最小的大 6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是 42560。求这三个自然数。
分析 先大概估计一下，30×30×30=27000，远小于 42560，40×40×40=000，远大于 42560。
1
因此，要求的三个自然数在 30~40 之间。
解：42560=2×5×7×19
=2×（5×7）×（19×2） =32×35×38（合题意）
∴ 要求的三个自然数分别是 32、35 和 38。
例 7：有三个自然数 a、b、c，已知 a×b=6，b×c=15，a×c=10。求 a×b×c 是多少？
解：∵ 6=2×3，15=3×5，10=2×5。
∴ (a×b)×(b×c)×(a×c) =(2×3)×(3×5)×(2×5) 222222∴ a×b×c=2×3×5
22∴ (a×b×c)=(2×3×5) ∴ a×b×c=2×3×5=30
222222222在例 7 中有 a=2,b=3,c=5，其中 2=4，3=9，5=25，像 4、9、25 这样的数，推及一般情况，我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。
222222如：1=1，2=4，3=9，4=16，…，11=121，12=144，…其中 1，4，9，16，…，121，144，…都叫做完全平方数。
下面让我们观察一下，把一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数有什么特征。 例：把下列各完全平方数分解质因数。 9，36，144，1600，275625。
2222462242解：9=3 36=2×3 144=3×2 1600=2×5 275625=3×5×7 可见，一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数均是偶数。
反之，如果把一个自然数分解质因数之后 ，各个质因数的指数都是偶数，那么这个自然数一定是完全平方数。
2222如上例中，36=6，144=12，1600=40，275625=525。 例 8：一个整数 a 与 1080 的乘积是一个完全平方数，求 a 的最小值与这个完全平方数。
分析 ∵ a 与 1080 的乘积是一个完全平方数。
∴ 乘积分解质因数后，各质因的指数一定全是偶数。
33解：∵ 1080×a=2×3×5×a，
又∵ 1080=2×3×5 的质因数分解中各质因数的指数都是奇数。 ∴ a 必含质因数 2、3、5，因此，a 最小为 2×3×5。 ∴ 1080×a=1080×2×3×5=1080×30=32400。 答：a 的最小值为 30，这个完全平方数是 32400。
例 9：360 共有多少个约数？
32分析 360=2×3×5
2为了求 360 有多少个约数，我们先来看 3×5 有多少个约数，然后再把所有这些约数分别剩以 1、 233222、2、2，即得到 2×3×5（=360）的所有约数。为了求 3×5 有多少个约数，可以先求出 5 有多少个约22数，然后再把这些约数分别乘以 1、3、3，即得到 3×5 的所有约数。
解：记 5 的约数个数为 Y1，3 ×5 的约数个数为 Y2。
32360（=2×3×5）的约数个数为 Y 。 3 由上面的分析可知： Y3=4×Y2，Y2=3×Y1，
显然 Y1=2（5 只有 1 和 5 两个约数）。 因此 Y3=4×Y2=4×3×Y1=4×3×2=24。
2
2
3356所以，360 共有 24 个约数。
Y3=4×Y2 中的“4”即为“1、2、2 、2 ”中数的个数，也就是其中 2 的最大指数加 1，也就是 360=2
232×3×5 中质因数 2 的个数加 1；Y =3×Y 中的“3”即为“1、3、3”中数的个数，也就是 2×3×5 中 2 1
23 2
2 3 3
质因数 3 的个数加 1；而 Y1=2 中的“2”即为“1、5”中数的个数，即 2 ×3 ×5 中质因数 5 的个数加 1。 因此
Y3=（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）=24。
32对于任何一个合数，用类似于 2×3×5（=360）的约数个数的讨论方式，我们可以得到一个关于求一个合数的约数个数的重要结论：
一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数（即指数）加 1 的连乘积。 例 10：求 240 的约数的个数。
解：∵ 240=2×3×5，
∴ 240 的约数的个数是：
（4＋1）×（1＋1）×（1＋1）=20 个， ∴ 240 有 20 个约数。
请你列举一下 240 的所有约数，再数一数，看一看是否是 20 个？
411二、最大公约数和最小公倍数
【基本概念和知识】 1．公约数和最大公约数
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。 2．公倍数和最小公倍数
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 3．互质数
如果两个数的最大公约数是 1，那么这两个数叫做互质数。 【例题】
例 1：用一个数去除 30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？
分析 ∵ 要求的数去除 30、60、75 都能整除，
∴ 要求的数是 30、60、75 的公约数。要又∵ 求符合条件的最大的数，
∴ 就是求 30、60、75 的最大公约数。
解：（30，60，75）=15 所以，这个数最大是 15。
例 2：一个数用 3、4、5 除都能整除，这个数最小是多少？
分析 由题意可知，要求求的数是 3、4、5 的公倍数，且是最小公倍数。解：∵ [3，4，5]=60，
∴ 用 3、4、5 除都能整除的最小的数是 60。
例 3：有三根铁丝，长度分别是 120 厘米、180 厘米和 300 厘米。现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？
分析 ∵ 要截成相等的小段，且无剩八，
∴ 每段长度必是 120、180、300 的公约数；
3
又∵ 每段要尽可能长， ∴ 要求的每段长度就是 120、180、300 的最大公约数。解：∵ （120，180，300）=60，
∴ 每小段最长 60 厘米。120÷60＋180÷60＋300÷60=2＋3＋5=10（段）
答：每段最长 60 厘米，一共可以截成 10 段。
例 4：加工某种机器零件，要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成 3 个零件，第二道工序每个工人每小时可完成 10 个，第三道工序每个工人每小时可完成 5 个。要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？
分析 要使加工生产均衡，各道工序生产的零件总数应是 3、10 和 5 的公倍数。要求三道工序“至少”要多少工人，要先求 3、10 和 5 的最小公倍数。
解：∵ [3，10，5]=30
∴ 各道工序均应加工 30 个零件。 30÷3=10（人） 30÷10=3（人） 30÷5=6（人）
答：第一道工序至少要分配 10 人，第二道工序至少要分配 3 人，第三道工序至少要分配 6 人。 例 5：一次会餐供有三种饮料。餐后统计，三种饮料共用了 65 瓶：平均每 2 个人饮用一瓶 A 饮料，每 3 个人饮用一瓶 B 饮料，每 4 个人饮用一瓶 C 饮料。问参加会餐的人数是多少人？
分析 由题意可知，参加会餐人数应是 2、3、4 的公倍数。
解：∵ [2，3，4]=12
∴ 参加会餐人数应是 12 的倍数。 又∵ 12÷2＋12÷3＋12÷4=13（瓶） ∴ 可见 12 个人要用 6 瓶 A 饮料，4 瓶 B 饮料，3 瓶 C 饮料，共用 13 瓶饮料。又∵ 65÷13=5
∴ 参加会餐的总人数应是 12 的 5 倍。 12×5=60（人）
答：参加会餐的总人数是 60 人。
例 6：一张长方形纸，长 2703 厘米，宽 1113 厘。要把它截成若干个同样大小的正方形，纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大。问：这样的正方形的边长是多少厘米？
分析 由题意可知，正方形的边长即是 2703 和 1113 的最大公约数。在学校，我们已经学过用短除法求两个数的最大公约数，但有时会遇到类似此题情况，两个数除了 1 以外的公约数一下子不好找到， 但又不能轻易断定它们是互质数。怎么办？在此，我们以例 6 为例介绍另一种求最大公约数的方法。
对于例 6，可做如下图解：
4
从图中可知：在长 2703 厘米、宽 1113 厘米的长方形纸的一端，依次裁去以宽（1113 厘米）为边 长的正方形 2 个，在裁后剩下的长 1113 厘米、宽 477 厘米的长方形中，再裁去以宽（477 厘米）为边长的正方形 2 个，然后又在裁剩下的长方形（长 477 厘米，宽 159 厘米）中，以 159 厘米为边长裁正方形，恰好裁成 3 个，且无剩余。因此可知，159 厘米是 477 厘米、1113 厘米和 2703 厘米的约数，所以裁成同样大的，且边长尽可能长的正方形的边长应是 159 厘米。所以，159 厘米是 2703 和 1113 的最大公约数。
让我们把图解过程转化为计算过程，即：
2703÷1113，商 2 余 477； 1113÷477，商 2 余 159； 477÷159，商 3 余 0。或者写为：
2703=2×1113＋477， 1113=2×477＋159，
477=3×159。
当除数为 0 时，最后一个算式中的除数 159 就是原来两个数 2703 和 1113 的最大公约数。可见，477=159×3，
1113=159×3×2＋159=159×7， 2703=159×7×2＋477
=159×7×2＋159×3=159×17。
又因为 7 和 17 是互质数，所以 159 是 2703 和 1113 的最大公约数。
我们把这种求最大公约数的方法叫做辗转相除法。辗转相除法的优点在于它能在较短的时间内求 出任意两个数的最大公约数。
例 7：用辗转相除法求 4811 和 1981 的最大公约数。
解：因为 4811=2×1981＋849，
1981=2×849＋283， 849=3×283。 所以，（4811，1981）=283。
补充说明：如果要求三个或更多的数的最大公约数，可以先求出其中任意两个数的最大公约数，再
求这个公约数与另外一个数的最大公约数，这样求下去，直至求得最后结果。也可以直接观察，依次试 公有的质因数。
例 8：求 1008、1260、882 和 1134 四个数的最大公约数是多少？
解：因为（1260，1008）=252，
（882，1134）=126， 又 （252，126）=126，
所以，（1008，1260，882，1134）=126。
求两个数的最小公倍数，除了用短除法外，是否也有其他方法呢？请看例 9。
例 9：两个数的最大公约数是 4，最小公倍数是 252，其中一个数是 28，另一个数是多少？
解：设要求的数为 x，则有：
所以，x=4×y 28=4×7
所以，28x=4×y×4×7 又因为 4 是 x 和 28 的最大公约数，（y，7）=1，
5
所以 4×y×7 是 x 和 28 的最小公倍数。所以，x×28=4×252
所以，x=4×252÷28=36 所以，要求的数是 36。
通过例 9 的解答过程，不难发现：如果用 a 和 b 表示两个自然数，那么这两个自然数的最大公约数与最小公倍数关系是：
(a，b)×[a，b]=a×b.
这样，求两个数的最小公倍数的问题，即可转化成先求两个数的最大公约数，再用最大公约数除 两个数的积，其结果就是这两个数的最小公倍数。 例 10：求 21672 和 11352 的最小公倍数。
解：因为（21672，11352）=1032
（1032 可用辗转相除法求得）
所以，[21672，11352]=21672×11352÷1032=238392。 答：21672 和 11352 的最小公倍数是 238392。
三、带余数的除法
前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题。除此之外，例如：16÷3=5……1，即 16=5×3＋1， 此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。
一般地，如果 a 是整数，b 是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数 q 和 r，0≤r≤b，使得 a=b ×q＋r.
当 r=0 时，我们称 a 能被 b 整除。
当 r≠0 时，我们称 a 不能被 b 整除，r 为 a 除以 b 的余数，q 为 a 除以 b 的不完全商（亦简称为商）。 用带余除式又可以表示为 a÷b=q…r，0≤r≤b. 【例题】
例 1：一个两位数去除 251，得到的余数是 41，求这个两位数。
分析 这是一道带余数的除法题，且要求的数是大于 41 的两位数，解题可从带余除式入手分析。解：∵ 被除数÷除数=商…余数，
即 被除数=除数×商＋余数， ∴ 251=除数×商＋41，
251－41=除数×商， ∴ 210=除数×商。 ∵ 210=2×3×5×7，
∴ 210 的两位数的约数有 10、14、15、21、30、35、42、70，其中 42 和 70 大于 41。所以除数 是 42 或 70，即要求的两位数是 42 或 70。
例 2：用一个自然去除另一个整数，商 40，余数是 16。被除数、除数、商与余数的和是 933，求被除数和除数各是多少。
解：∵ 被除数=除数×商＋余数，
即 被除数=除数×40＋16。
由题意可知：被除数＋除数=933－40－16=877， ∴ （除数×40＋16）＋除数=877， ∴ 除数×41=877－16=861， 除数=861÷41=21。
6
∴ 被除数=21×40＋16=856。 答：被除数是 856，除数是 21。
例 3：某年的十月里有 5 个星期六，4 个星期日，问这年的 10 月 1 日是星期几？
解：十月份共有 31 天，每周共有 7 天。
∵ 31=7×4＋3，
∴ 根据题意可知：有 5 天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。 ∴ 这年的 10 月 1 日是星期四。
例 4：3 月 18 日是星期日，从 3 月 17 日作为第一天开始往回数（即 3 月 16 日第二天，3 月 15 日第三 天…）的第 1993 天是星期几？
解：每周有 7 天，1993÷7=284（周）…5（天）
从星期日往回数 5 天是星期二，所以第 1993 天必是星期二。 例 5：一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，求适合此条件的最小数。
这是一道古算题，它早在《孙子算经》中有记载：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何”
关于这道题的解法，在明朝就流传一首解题之歌：“三人同行七十稀，五树梅共廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。”意思是，用除以 3 的余数乘以 70，用除以 5 的余数乘以 21，用除以 7 的余数乘以 15，再把三个乘积相加。如果这三个数的和大于 105，那么就减去 105，直至小于 105 为止。这样就可以得到满足条件的解。其解法如下：
方法一：2×70＋3×21＋2×15=233
233－105×2=23 符合条件的最小自然数是 23。方法二：[3，7]＋2=23 23 除以 5 恰好余 3。 所以，符合条件的最小自然数是 23。方法 2 的思路是什么呢？让我们再来看下面两道例题。
例 6：一个数除以 5 余 3，除以 6 余 4，除以 7 余 1，求适合条件的最小自然数。 分析 “除以 5 余 3”即“加 2 后被 5 整除”，同样“除以 6 余 4”即“加 2 后被 6 整除”。解：[5，6]－2=28，即 28 适合前两个条件。
想：28＋[5，6]×？之后能满足“被 7 除余 1”的条件？ 28＋[5，6]×4=148，148=21×7＋1， 又 148＜210=[5，6，7]
所以，适合条件的最小自然数是 148。
例 7：一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 4，求符合条件的最小自然数。
解：想 2＋3×？之后能满足“被 5 除余 3”的条件？
2＋3×2=8。
再想：8＋[3，5]×？之后能满足“被 7 除余 4”的条件？
8＋[3，5]×3=53。
所以，符合条件的最小的自然数是 53。
归纳以上两例题的解法为：逐步满足条件法。当找到满足某个条件的数后，为了再满足另一个条 件，需做数的调整，调整时注意要加上已满足条件中除数的倍数。
解这类题目还有其他方法，将会在有关“同余”部分讲到。
7
例 8：一个布袋中装有小球若干个。如果每次取 3 个，最后剩 1 个；如果每次取 5 个或 7 个，最后都剩 2 个。布袋中至少有小球多少个？
解：2＋[5，7]×1=37（个）
∵ 37 除以 3 余 1，除以 5 余 2，除以 7 余 2， ∴ 布袋中至少有小球 37 个。 例 9：69、90 和 125 被某个自然数 N 除时，余数相同，试求 N 的最大值。分析 在解答此题之前，我们先来看下面的例子： 15 除以 2 余 1，19 除以 2 余 1，
即 15 和 19 被 2 除余数相同（余数都是 1）。但是，19－15 能被 2 整除。
由此我们可以得到这样的结论：如果两个整数 a 和 b，被自然数 m 除的余数相同，那么这两个数之差（大－小）一定能被 m 整除。
反之，如果两个整数之差恰被 m 整除，那么这两个整数被 m 除的余数一定相同。 例 9 可做如下解答： ∵ ∴ ∴ ∵ ∵ ∴
三个整数被 N 除余数相同， N︱（90－69），即 N︱21；N︱（ 125－90），即 N︱35； N 是 21 和 35 的公约数。 要求 N 的最大值，∴ N 是 21 和 35 的最大公约数。 21 和 35 的最大公约数是 7， N 最大是 7。
四、最大公约数和最小公倍数
本讲重点解决与最大公约数和最小公倍数有关的另一类问题——有关两个自然数，它们的最大公 约数、最小公倍数之间的相互关系的问题。
定理 1 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。即如果(a , b)=d，那么(a÷d , b÷d )=1.
证明：设 a÷d=a1 , b÷d=b1 , 那么 a=a1d , b=b1d . 假设(a1 , b1)≠1，可设(a1 , b1)=m(m＞1)，于是有 a1=a2m , b1=b2m.(a2 , b2 是整数)所以，a= a1d= a2md , b= b1d= b2md . 那么 md 是 a、b 的公约数。又∵m＞1，∴md＞d.
这就与 d 是 a、b 的最大公约数相矛盾。因此，(a1 , b1)≠1 的假设是不正确的。所以只能是(a1 , b1)=1，也就是(a÷d , b÷d )=1.
定理 2 两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。（证明略） 定理 3 两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数。（证明略）
下面我们就应用这些知识来解决一些具体的问题。
例 1 甲数是 36，甲、乙两数的最大公约数是 4，最小公倍数是 288，求乙数。解法 1：由甲数×乙数=甲、乙两数的最大公约数×两数的最小公倍数，可得
36×乙数=4×288
乙数=4×288÷36 解出乙数=32 解法 2：因为甲、乙两数的最大公约数为 4，则甲数=4×9，设乙数=4×b1，且（b1，9）=1。
8
因为甲、乙两数的最小公倍数是 288， 则 288=4×9×b1， b1=288÷36 解出 b1=8
所以，乙数=4×8=32 答：乙数是 32。
例 2 已知两数的最大公约数是 21，最小公倍数是 126，求这两个数的和是多少？
解：要求这两个数的和，我们可以先求出这两个数各是多少。设这两个数为 a、b，a＜b。因为这两个数的最大公约数是 21，故设 a=21a1 ,b=21b1，且（a1，b1）=1。 因为这两个数的最小公倍数是 126， 所以 126=21×a1×b1 于是 a1×b1=6 解出 a1=1 a1=2
b1=6 b1=3 则 a=21×2=42 a=21×1=21
b=21×3=63 b=21×6=126
因此，这两个数的和为 21＋126=147，或 42＋63=105。 答：这两个数的和为 147 或 105。
例 3 已知两个自然数的和是 50，它们的最大公约数是 5，求这两个自然数。
解：设这两个自然数分别为 a 与 b，a＜b。因为这两个自然数的最大公约数是 5，故设 a=5a1，b=5b1， 且（a1，b1）=1，a1＜b1。
因为 a＋b=50，所以有 5a1＋5b1=50，a1＋b1=10。满足（a1，b1）=1，a1＜b1 的解有：
a1=1 a1=3 b1=9 b1=7
所以， a=5×1=5 或 a=5×3=15
b=5×9=45 b=5×7=35
答：这两个数为 5 与 45 或 15 与 35。
例 4 已知两个自然数的积为 240，最小公倍数为 60，求这两个数。
解：设这两个数为 a 与 b，a＜b，且设（a，b）=d , a=da1 , b=db1 ,其中（a1，b1）=1 。因为两个自然数的积=两数的最大公约数×两数的最小公倍数，所以 240=d×60
解出 d=4
所以 a=4a1 , b=4b1. 因为 a 与 b 的最小公倍数为 60， 所以 4×a1×b1=60, 于是有 a1×b1=15。 解出 a1=1 a1=3 b1=5 b1=15 所以 a=4×1=4 或 a=4×3=12
b=4×5=20 b=4×15=60
答：这两个数为 4 与 60 或 12 与 20。
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例 5 已知两个自然数的和为 ，它们的最小公倍数与最大公约数的差为 114，求这两个自然数。
解：设这两个自然数分别为 a 与 b，a＜b，( a , b )=d,a= da1 ,b=db1,其中(a1 , b1)=1.因为 a＋b=，所以 da1＋db1=。
于是有 d×(a1＋b1)=，因此，d 是 的约数。
又因为这两个数的最小公倍数与最大公约数的差为 114， 所以 da1b1－d=114, 于是有 d×(a1b1－1)=114,因此，d 是 114 的约数。
故 d 为 与 114 的公约数。
由于（，114）=6，6 的约数有：1、2、3、6，根据定理 3，d 可能取 1、2、3、6 这四个值。如果 d=1，由 d×(a1＋b1)=，有 a1＋b1=；又由 d×(a1b1－1)=114，有 a1b1=115。 115=1×115=5×23，但是 1＋115=116≠，5＋23=28≠，所以 d≠1. 如果 d=2，由 d×(a1＋b1)=，有 a1＋b1=27；又由 d×(a1b1－1)=114，有 a1b1=58。 58=1×58=2×29，但是 1＋58=59≠27，2＋29=31≠27，所以 d≠2. 如果 d=3，由 d×(a1＋b1)=，有 a1＋b1=18；又由 d×(a1b1－1)=114，有 a1b1=39。 39=1×39=3×13，但是 1＋39=40≠18，3＋13=16≠18，所以 d≠3. 如果 d=6 ，由 d×(a1＋b1)=，有 a1＋b1=9；又由 d×(a1b1－1)=114，有 a1b1=20。
20 表示成两个互质数的乘积有两种形式：20=1×20=4×5，虽然 1＋20=21≠9，但是有 4＋5=9， 所以取 d=6 是合适的，并有 a1=4,b1=5. a=6×4=24 , b=6×5=30. 答：这两个数为 24 和 30。
例 6 已知两个自然数的差为 4，它们的最大公约数与最小公倍数的积为 252，求这两个自然数。
解：设这两个自然数分别为 a 与 b，且 a＞b，a = da1 , b = db1 , (a1 , b1)=1. 因为 a－b=4，所以 da1－ db1=4，于是有 d×(a1－ b1)=4，因此 d 为 4 的约数。
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因为这两个自然数的最大公约数与最小公倍数的积为 252，所以 d×da1b1=252，于是有 d ×a1b1=(2 2×3)×7,因此 d 为 2×3 的约数。故 d 为 4 与 2×3 的公约数。
由于（4，2×3）=2，2 的约数有 1 和 2，所以 d 可能取 1、2 这两个值。
如果 d=1，由 d×(a1－ b1)=4，有 a1－ b1=4；又由 d ×a1b1=252，有 a1b1=252。
252 表示成两个互质数的乘积有 4 种形式：252=1×252=4×63=7×36=9×28，但是 252－1=251≠ 4，63－4=59≠4，36－7=29≠4，28－9=19≠4，所以 d≠1.
如果 d=2，由由 d×(a1－ b1)=4，有 a1－ b1=2；又由 d ×a1b1=252，有 a1b1=63。
63 表示为两个互质数的乘积有两种形式：63=1×63=7×9，但 63－1=62≠2，而 9－7=2，且（9， 7）=1，所以 d=2，并且 a1=9，b1=7.因此 a=2×9=18，b=2×7=14. 答：这两个数为 18 和 14。 在例 2～例 5 的解答中之所以可以在假设中排除 a=b 这种情形在各例中都只假设了 a＜b, 分别是由于：例 2 和例 5，若 a=b，则（a , b）=[a , b]=a，与条件（a , b）≠[a , b]矛盾；例 3，若 a=b， 则 a=b=（a , b）=5，因此 a＋b=10≠50，与条件矛盾；例 4，a×b=240 不是平方数。
从例题的解答中可以看出，在处理涉及两数的最大公约数或者最小公倍数的很多问题中，经常用到的基本关系是：若两数为 a、b，那么 a=a1d , b=b1d，其中 d=(a , b) , (a1 , b1)=1，因此[a , b]=da1b1， 有时为了确定起见，可设 a≤b。对于很多情形，可以排除 a=b 的情形（如上述所示），而只假设 a＜b。
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五、同余的概念和性质
你会解答下面的问题吗？
问题 1：今天是星期日，再过 15 天就是“六·一”儿童节了，问“六·一”儿童节是星期几？ 这个问题并不难答，因为，一个星期有 7 天，而 15÷7=2…1，即 15=7×2＋1，所以“六·一” 儿童节是星期一。
问题 2：1993 年的元旦是星期五，1994 年的元旦是星期几？
这个问题也难不倒我们。因为，1993 年有 365 天，而 365=7×52＋1，所以，1994 年的元旦应该是星期六。
问题 1、2 的实质是求用 7 去除一总的天数后所得的余数。在日常生活中，时常要注意两个整数用某一固定的自然数去除，所得的余数问题。这样就产生了“同余”的概念。如问题 1、2 中的 15 与 365 除以 7 后，余数都是 1，那么我们就说 15 与 365 对于模 7 同余。
余同定义：若两个整数 a、b 被自然数 m 除有相同的余数，那么称 a、b 对于模 m 同余，用式子表示为：
( * ) a≡b ( mod m )
上式可读作：
a 同余于 b，模 m。
同余式( * )意味着（我们假设 a≥b）: a－b=mk，k 是整数，即 m︱(a－b). 例如：①15≡365（mod 7），因为 365－15=350=7×50。 ②56≡20（mod 9），因为 56－20=36=9×4。 ③90≡0（mod 10），因为 90－0=90=10×9。 由例③我们得到启发，a 可被 m 整除，可用同余式表示为： a≡0( mod m ). 例如，表示 a 是一个偶数，可以写 a≡0(mod 2) 表示 b 是一个奇数，可以写 b≡1( mod 2 ) 补充定义：若 m 不能整除（a－b），就说 a、b 对模 m 不同余，用式子表示是： a b(mod m)
我们书写同余式的方式，使我们想起等式，而事实上，同余式与等式在其性质上相似。同余式有 如下一些性质（其中 a、b、c、d 是整数，而 m 是自然数）。
性质 1：a≡a(mod m)，（反身性）
这个性质很显然，因为 a－a=0=m·0.
b≡a(mod m)，（对称性）。 性质 2：若 a≡b(mod m)，那么
a≡c(mod m)，（传递性）。 性质 3：若 a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，那么
a±c≡b±d(mod m)，（可加减性）。 性质 4：若 a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么
ac≡bd(mod m)，（可乘性）。 性质 5：若 a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么
nna≡b(mod m)，（其中 n 为非 0 自然数）。 性质 6：若 a≡b(mod m)，那么
性质 7：若 ac≡bc(mod m)，(c，m)=1，那么 a≡b(mod m)。
注意：同余式性质 7 的条件(c，m)=1，否则像普通等式一样，两边约去，就是错的。 例如 6≡10(mod 4)，而 3 5(mod 4)，因为（2，4）≠1。 请你自己举些例子验证上面的性质。
同余是研究自然数的性质的基本概念，是可除性的符号语言。
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例 1 判定 288 和 214 对于模 37 是否同余，74 与 20 呢？
解：∵ 288-214=74=37×2，∴ 288≡214（mod 37）.
∵ 74-20=，而 37 ，∴ 74 20(mod 37).
例 2 求乘积 418×814×1616 除以 13 所得的余数。
若先求乘积，再求余数，计算量太大。利用同余的性质可以使“大数化小”，减少计算量。解：∵ 418≡2（mod 13），814≡8(mod 13)，1616≡4(mod 13),
∴ 根 据 同 余 的 性 质 5 可 得 ：
418×814×1616≡2×8×4≡≡12(mod 13). 答：乘积 418×814×1616 除以 13 余数是 12。
例 3 求 143除以 7 的余数。
分析 同余的性质能使“大数化小”，凡求大数的余数问题首先考虑用同余的性质化大为小。这道题先把底数在同余意义下变小，然后从低次幂入手，重复平方，找找有什么规律。
解法 1：∵ 143≡3(mod 7)，∴ 143≡3(mod 7). ∵ =＋16＋8＋1，
2而 3≡2(mod 7)
3≡4(mod 7) 83≡16≡2(mod 7) 163≡4(mod 7), 323≡16≡2(mod 7), 3≡4(mod 7).
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∵ 3≡3 ·316 ·3·3≡4×4×2×3≡5(mod 7),
∴ 143≡5(mod 7).
答：143除以 7 的余数是 5。
解法 2：证得 143≡3(mod 7)后， 3≡3×3≡2×4≡1(mod 7),
84614∴ 3≡(3)≡1(mod 7),
4
∴ 3≡384 ·3·3≡1×4×3≡5(mod 7).
∴ 143≡5(mod 7).
例 4 四盏灯如图所示组成舞台彩灯，且每 30 秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互换颜色，第 二次左右两灯互换颜色，第三次又上下两灯互换颜色，…，这样一直进行下去。请问开灯 1 小时四盏灯的颜色如何排列？
62
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分析与解答 经观察试验我们可以发现，每经过 4 次互换，四盏灯的颜色排列重复一次。而 1 小时=60 分钟=120×30 秒，所以这道题实质是求 120 除以 4 的余数。因为 120≡0（mod 4），所以开灯 1 小时四盏灯的颜色排列刚好同一开始一样。
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例 5 设自然数 N aa0 、 a1 、 a2 、…、 an 分别是个位、十位、…上的数码，再设 n an1...a1a0 ，其中
M a0 a1 ... an ，求证：N≡M(mod 9).
证明：
∵ N an an1...a1a0
= an 100 0(n个0) an1 100 0(n 1个0) a1 10(1个0) a0 = a n 10 a n1 10又∵ 1≡1(mod 9),
10≡1(mod 9), 210≡1(mod 9), … n10≡1(mod 9).
上面这些同余式两边分别同乘以 a0 、 a1 、 a2 、…、 an ，再相加得：
2 a a 1 10 a 210n 0 10 a n
n
n1
a 1 10 a 0
≡ a0 a1 ... an (mod 9)，
即 N≡M(mod 9).
这道例题证明了十进制数的一个特有的性质：
任何一个整数模 9 同余于它的各数位上数字之和。
以后我们求一个整数被 9 除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被 9 除的余数即可。
例如，求 1827496 被 9 除的余数，只要先求（1＋8＋2＋7＋4＋9＋6），再求和被 9 除的余数。再观察一下上面求和式，我们可以发现，和不一定要求出。因为和式中 1＋8，2＋7，9 被 9 除都 余 0，求余数时可不予考虑。这样只需求 4＋6 被 9 除的余数。因此，1827496 被 9 除余数是 1。
有人时常利用十进制数的这个特性检验几个数相加、相减、相乘的结果对不对，这种检查方法叫： 弃九法。
弃九法最经常地是用于乘法。我们来看一个例子： 用弃九法检验乘式 83×9117=49888511 是否正确？ 因为 83≡5＋4＋8＋3≡11≡2(mod 9),
9117≡9＋1＋1＋7≡0(mod 9)， 所以 83×9117≡2×0≡0(mod 9).
但是 49888511≡4＋9＋8＋8＋8＋5＋1＋1≡8(mod 9)， 所以 83×9117≠49888511，即乘积不正确。
要注意的是弃九法只能知道原题错误或有可能正确，但不能保证一定正确。 例如，9875≡9＋8＋7＋5≡2(mod 9)，
4873≡4＋8＋7＋3≡4(mod 9)，
324756≡3＋2＋4＋7＋5＋6＋8＋9≡8(mod 9)， 这时，9875×4873≡2×4≡324756(mod 9)。
但观察个位数字立刻可以判定 9875×4873≠324756，因为末位数字 5 和 3 相乘不可能等于 9。 弃九法也可以用来检验除法和乘方的结果。
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例 6 用弃九法检验下面的计算是否正确： 23372458÷7312=34。
解：把除式转化为：
34×7312=23372458
∵ 34≡3＋5＋4＋4≡7(mod 9)，
7312≡7＋3＋1＋2≡4(mod 9)， ∴ 34×7312≡7×4≡1(mod 9).
但23372458≡2＋3＋3＋8≡7(mod 9)， 而 1 7(mod 9)
∴ 34×7312≠23372458, 即 23372458÷7312≠34。
例 7 求自然数 2＋3＋4的个位数字。
分析 求自然数的个位数字即是求这个自然数除以 10 的余数问题。
1004×2525解：∵ 2≡2≡6≡6(mod 10)，
125 1·3≡3(mod 10)， 1014×25 ·3≡13102≡324≡4≡6(mod 10)，
102∴ 2100＋3101 ＋4≡6＋3＋6≡5(mod 10)，
100101102
即自然数 2＋3 ＋4的个位数字是 5。
100101
102
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家庭作业
1．(1)如果两个质数相加等于 16，这两个质数有可能等于多少？ (2)如果两个质数相加等于 25，这两个质数有可能等于多少？ (3)如果两个质数相加等于 29，这样的两个质数存在吗？
2．请把下面的数分解质因数：(1) 160；(2) 598；(3) 211.
3．三个自然数的乘积为 84，其中两个数的和正好等于第三个数，请求出这三个数．
4．用一个两位数除 330，结果正好能整除，请写出所有可能的两位数．
5．三个连续自然数的乘积等于 39270.这三个连续自然数的和等于多少？
6．请将 2、5、14、24、27、55、56、99 这 8 个数分成两组，使得这两组数的乘积相等．
7．请问：算式 l x2 x3×…×15 的计算结果的末尾有几个连续的 0?
8．请问：连续两个两位数乘积的末尾最多有几个连续的 0?
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9．一个两位质数的两个数字交换位置后，仍然是一个质数，请写出所有这样的质数．
10．9 个连续的自然数中，最多有多少个质数？
11．(1)两个质数的和是 39，这两个质数的差是多少？
(2)三个互不相同的质数相加，和为 40，这三个质数分别是多少？
12．一请把下面的数分解质因数：(1) 360; (2) 539; (3) 373; (4) 12660.
13．冬冬在做一道计算两位数乘以两位数的乘法题时，把一个乘数中的数字 5 看成了 8，由此得乘积为 1104．正确的乘积是多少？
14．甲、乙、丙三人打靶，每人打三．三人各自中靶的环数之积都是 60，且环数是不超过 10 的自然数．把三个人按个人总环数由高到低排列，依次是甲、乙、丙．请问：靶子上 4 环的那一是谁打的？
15．975×935×972×□，要使这个连乘积的最后 4 个数字都是 0，方框内最小应填什么数？
16．(1)算式 1×2×3×…×29×30 的计算结果的末尾有几个连续的 0？
(2)算式 31×32×33×…×150 的计算结果的末尾有几个连续的 0？
16
17．把从 l 开始的若干个连续的自然数 1，2，3，…，乘到一起．已知这个乘积的末尾 13 位恰好都是 0． 请问：在相乘时最后出现的自然数最小应该是多少？
18．168 乘以一个大于 0 的整数后正好是一个平方数．乘的这个整数至少是多少？所得乘积又是多少的 平方？
19．(1) 请写出 105 的所有约数； (2) 请写出 72 的所有约数．
20．(1) 20000 的约数有多少个？ (2) 720 的约数有多少个？
21．计算：(1) (28,72), [28,72]; (2) (28,44,260), [28, 44, 260].
22．两个数的差是 6，它们的最大公约数可能是多少？
23．(1)求 1085 和 1178 的最大公约数和最小公倍数； (2)求 3553，3910 和 1411 的最大公约数．
24．教师节到了，校工会买了 320 个苹果、240 个桔子、200 个香蕉来慰问退休老职工．请问：用这些 水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、桔子、香蕉各有多少个？
25．一块长方形草地，长 120 米，宽 90 米，现在在它的四周种树，要求四个角和各边中点都要求种树， 且相邻两棵树之间的距离都相等，请问：最少要种多少棵树？
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26．甲数和乙数的最大公约数是 6，最小公倍数是 90.如果甲数是 18，那么乙数是多少？
27．有甲、乙两个数，它们的最小公倍数是甲数的 27 倍．已知甲数是 2、4、6、8、10、12、14、16 的倍数，但不是 18 的倍数；乙数是两位数．乙数是多少？
28．小悦、冬冬、阿奇在黑板上各写了一个自然数，这三个自然数的最大公约数是 35，最小公倍数是 70.这三个数的和可能是多少？
29．72 共有多少个约数？其中有多少个约数是 3 的倍数？
30．00 共有多少个约数？并求出所有约数乘积的质因数分解形式．
31．两数乘积为 2800，已知其中一个数的约数个数比另一个数的约数个数多 1．这两个数分别是多少？
32．计算：(1) (391, 357), [391, 357]; (2) (18, 24, 36), [18, 24, 36].
33．17、1573、1859 这三个数的最大公约数是多少？最小公倍数是多少？
34．张阿姨把 225 个苹果、350 个梨和 150 个桔子平均分给小朋友们，最后剩下 9 个苹果、26 个梨和 6 个桔子没分出去，请问：每个小朋友分了多少个苹果？
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35．一个数和 16 的最大公约数是 8，最小公倍数是 80.这个数是多少？
36．两个自然数不成倍数关系，它们的最大公约数是 18，最小公倍数是 216.这两个数分别是多少？
37．两个数的最大公约数是 6，最小公倍数是 420，如果这两个数相差 18，那么较小的数是多少？
38．有 4 个不同的正整数，它们的和是 1111.请问：它们的最大公约数最大能是多少？
39．甲、乙两个数的最小公倍数是 90，乙、丙两个数的最小公倍数是 105，甲、丙两个数的最小公倍数是 126.请问：甲数是多少？
40．甲、乙是两个不同的自然数，它们都只含有质因数 2 和 3，并且都有 12 个约数，它们的最大公约数是 12.请问：甲、乙两数之和是多少？
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