您好,欢迎来到独旅网。
搜索
您的当前位置:首页六年级下册数学试题-小升初精讲:16讲 数论(二)(含答案)全国通用

六年级下册数学试题-小升初精讲:16讲 数论(二)(含答案)全国通用

来源:独旅网
第十六讲 数 论—整除

一、质数、合数和分解质因数

【基本概念和知识】 1.质数和合数

一个数除了 1 和它本身,不再有别的约数,这个数叫做质数(也叫做素数)。 一个数除了 1 和它本身,还有别的约数,这个数叫做合数。要特别记住:1 不是质数,也不是合数。2.质

因数与分解质因数

如果一个质数是某个数的约数,那么就说这个质数是这个数的质因数。 【例题】

例 1:三个连续自然数的乘积是 210,求这三个数。

∵ 210=2×3×5×7

∴ 可知这三个数是 5、6、7。

例 2:两个质数的和是 40,求这两个质数的乘积的最大值是多少?

解:把 40 表示为两个质数的和,共有三种形式:

40=17+23=11+29=3+37

∵ 17×23==391>11×29=319>3×37=111, ∴ 所求的最大值是 391。

例 3:自然数 1234567 是质数,还是合数?为什么?

解:1234567 是合数。

因为它除了约数 1 和它本身,至少还有约数 3,所以它是一个合数。

例 4:连续 9 个自然数中至多有几个质数?为什么?

解:如果这连续九个自然数在 1 与 20 之间,那么显然其中最多有 4 个质数(如:1~9 中有 4 个质数 2、3、5、7)。

如果这连续的九个自然数中最小的不小于 13,那么其中的偶数显然为合数,而其中奇数的个数最多有 5 个。这 5 个奇数中必只有一个个位数是 5,因而 5 是这个奇数的一个因数,即这个奇数是合数。这样,至多另 4 个奇数都是质数。

综上所述,连续九个自然数中至多有 4 个质数。

例 5:把 5、6、7、14、15 这五个数分成两组,使每组数的乘积相等。

解:∵ 5=5,7=7,6=2×3,14=2×7,15=3×5。

这些数中质因数 2、3、5、7 各共有 2 个,所以如把 14(=2×7)放在第一组,那么 7 和 6(=2× 3)只能放在第二组,继而 15(=3×5)只能放在第一组,则 5 必须放在第二组。

这样,14×15=210=5×6×7。

∴ 这五个数可以分为 14 和 15,5、6 和 7 两组。

例 6:有三个自然数,最大的比最小的大 6,另一个是它们的平均数,且三数的乘积是 42560。求这三个自然数。

分析 先大概估计一下,30×30×30=27000,远小于 42560,40×40×40=000,远大于 42560。

1

因此,要求的三个自然数在 30~40 之间。

解:42560=2×5×7×19

=2×(5×7)×(19×2) =32×35×38(合题意)

∴ 要求的三个自然数分别是 32、35 和 38。

例 7:有三个自然数 a、b、c,已知 a×b=6,b×c=15,a×c=10。求 a×b×c 是多少?

解:∵ 6=2×3,15=3×5,10=2×5。

∴ (a×b)×(b×c)×(a×c) =(2×3)×(3×5)×(2×5) 222222∴ a×b×c=2×3×5

22∴ (a×b×c)=(2×3×5) ∴ a×b×c=2×3×5=30

222222222在例 7 中有 a=2,b=3,c=5,其中 2=4,3=9,5=25,像 4、9、25 这样的数,推及一般情况,我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。

222222如:1=1,2=4,3=9,4=16,…,11=121,12=144,…其中 1,4,9,16,…,121,144,…都叫做完全平方数。

下面让我们观察一下,把一个完全平方数分解质因数后,各质因数的指数有什么特征。 例:把下列各完全平方数分解质因数。 9,36,144,1600,275625。

2222462242解:9=3 36=2×3 144=3×2 1600=2×5 275625=3×5×7 可见,一个完全平方数分解质因数后,各质因数的指数均是偶数。

反之,如果把一个自然数分解质因数之后 ,各个质因数的指数都是偶数,那么这个自然数一定是完全平方数。

2222如上例中,36=6,144=12,1600=40,275625=525。 例 8:一个整数 a 与 1080 的乘积是一个完全平方数,求 a 的最小值与这个完全平方数。

分析 ∵ a 与 1080 的乘积是一个完全平方数。

∴ 乘积分解质因数后,各质因的指数一定全是偶数。

33解:∵ 1080×a=2×3×5×a,

又∵ 1080=2×3×5 的质因数分解中各质因数的指数都是奇数。 ∴ a 必含质因数 2、3、5,因此,a 最小为 2×3×5。 ∴ 1080×a=1080×2×3×5=1080×30=32400。 答:a 的最小值为 30,这个完全平方数是 32400。

例 9:360 共有多少个约数?

32分析 360=2×3×5

2为了求 360 有多少个约数,我们先来看 3×5 有多少个约数,然后再把所有这些约数分别剩以 1、 233222、2、2,即得到 2×3×5(=360)的所有约数。为了求 3×5 有多少个约数,可以先求出 5 有多少个约22数,然后再把这些约数分别乘以 1、3、3,即得到 3×5 的所有约数。

解:记 5 的约数个数为 Y1,3 ×5 的约数个数为 Y2。

32360(=2×3×5)的约数个数为 Y 。 3 由上面的分析可知: Y3=4×Y2,Y2=3×Y1,

显然 Y1=2(5 只有 1 和 5 两个约数)。 因此 Y3=4×Y2=4×3×Y1=4×3×2=24。

2

2

3356所以,360 共有 24 个约数。

Y3=4×Y2 中的“4”即为“1、2、2 、2 ”中数的个数,也就是其中 2 的最大指数加 1,也就是 360=2

232×3×5 中质因数 2 的个数加 1;Y =3×Y 中的“3”即为“1、3、3”中数的个数,也就是 2×3×5 中 2 1

23 2

2 3 3

质因数 3 的个数加 1;而 Y1=2 中的“2”即为“1、5”中数的个数,即 2 ×3 ×5 中质因数 5 的个数加 1。 因此

Y3=(3+1)×(2+1)×(1+1)=24。

32对于任何一个合数,用类似于 2×3×5(=360)的约数个数的讨论方式,我们可以得到一个关于求一个合数的约数个数的重要结论:

一个合数的约数个数,等于它的质因数分解式中每个质因数的个数(即指数)加 1 的连乘积。 例 10:求 240 的约数的个数。

解:∵ 240=2×3×5,

∴ 240 的约数的个数是:

(4+1)×(1+1)×(1+1)=20 个, ∴ 240 有 20 个约数。

请你列举一下 240 的所有约数,再数一数,看一看是否是 20 个?

411二、最大公约数和最小公倍数

【基本概念和知识】 1.公约数和最大公约数

几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数。 2.公倍数和最小公倍数

几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。 3.互质数

如果两个数的最大公约数是 1,那么这两个数叫做互质数。 【例题】

例 1:用一个数去除 30、60、75,都能整除,这个数最大是多少?

分析 ∵ 要求的数去除 30、60、75 都能整除,

∴ 要求的数是 30、60、75 的公约数。要又∵ 求符合条件的最大的数,

∴ 就是求 30、60、75 的最大公约数。

解:(30,60,75)=15 所以,这个数最大是 15。

例 2:一个数用 3、4、5 除都能整除,这个数最小是多少?

分析 由题意可知,要求求的数是 3、4、5 的公倍数,且是最小公倍数。解:∵ [3,4,5]=60,

∴ 用 3、4、5 除都能整除的最小的数是 60。

例 3:有三根铁丝,长度分别是 120 厘米、180 厘米和 300 厘米。现在要把它们截成相等的小段,每根都不能有剩余,每小段最长多少厘米?一共可以截成多少段?

分析 ∵ 要截成相等的小段,且无剩八,

∴ 每段长度必是 120、180、300 的公约数;

3

又∵ 每段要尽可能长, ∴ 要求的每段长度就是 120、180、300 的最大公约数。解:∵ (120,180,300)=60,

∴ 每小段最长 60 厘米。120÷60+180÷60+300÷60=2+3+5=10(段)

答:每段最长 60 厘米,一共可以截成 10 段。

例 4:加工某种机器零件,要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成 3 个零件,第二道工序每个工人每小时可完成 10 个,第三道工序每个工人每小时可完成 5 个。要使加工生产均衡,三道工序至少各分配几个工人?

分析 要使加工生产均衡,各道工序生产的零件总数应是 3、10 和 5 的公倍数。要求三道工序“至少”要多少工人,要先求 3、10 和 5 的最小公倍数。

解:∵ [3,10,5]=30

∴ 各道工序均应加工 30 个零件。 30÷3=10(人) 30÷10=3(人) 30÷5=6(人)

答:第一道工序至少要分配 10 人,第二道工序至少要分配 3 人,第三道工序至少要分配 6 人。 例 5:一次会餐供有三种饮料。餐后统计,三种饮料共用了 65 瓶:平均每 2 个人饮用一瓶 A 饮料,每 3 个人饮用一瓶 B 饮料,每 4 个人饮用一瓶 C 饮料。问参加会餐的人数是多少人?

分析 由题意可知,参加会餐人数应是 2、3、4 的公倍数。

解:∵ [2,3,4]=12

∴ 参加会餐人数应是 12 的倍数。 又∵ 12÷2+12÷3+12÷4=13(瓶) ∴ 可见 12 个人要用 6 瓶 A 饮料,4 瓶 B 饮料,3 瓶 C 饮料,共用 13 瓶饮料。又∵ 65÷13=5

∴ 参加会餐的总人数应是 12 的 5 倍。 12×5=60(人)

答:参加会餐的总人数是 60 人。

例 6:一张长方形纸,长 2703 厘米,宽 1113 厘。要把它截成若干个同样大小的正方形,纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大。问:这样的正方形的边长是多少厘米?

分析 由题意可知,正方形的边长即是 2703 和 1113 的最大公约数。在学校,我们已经学过用短除法求两个数的最大公约数,但有时会遇到类似此题情况,两个数除了 1 以外的公约数一下子不好找到, 但又不能轻易断定它们是互质数。怎么办?在此,我们以例 6 为例介绍另一种求最大公约数的方法。

对于例 6,可做如下图解:

4

从图中可知:在长 2703 厘米、宽 1113 厘米的长方形纸的一端,依次裁去以宽(1113 厘米)为边 长的正方形 2 个,在裁后剩下的长 1113 厘米、宽 477 厘米的长方形中,再裁去以宽(477 厘米)为边长的正方形 2 个,然后又在裁剩下的长方形(长 477 厘米,宽 159 厘米)中,以 159 厘米为边长裁正方形,恰好裁成 3 个,且无剩余。因此可知,159 厘米是 477 厘米、1113 厘米和 2703 厘米的约数,所以裁成同样大的,且边长尽可能长的正方形的边长应是 159 厘米。所以,159 厘米是 2703 和 1113 的最大公约数。

让我们把图解过程转化为计算过程,即:

2703÷1113,商 2 余 477; 1113÷477,商 2 余 159; 477÷159,商 3 余 0。或者写为:

2703=2×1113+477, 1113=2×477+159,

477=3×159。

当除数为 0 时,最后一个算式中的除数 159 就是原来两个数 2703 和 1113 的最大公约数。可见,477=159×3,

1113=159×3×2+159=159×7, 2703=159×7×2+477

=159×7×2+159×3=159×17。

又因为 7 和 17 是互质数,所以 159 是 2703 和 1113 的最大公约数。

我们把这种求最大公约数的方法叫做辗转相除法。辗转相除法的优点在于它能在较短的时间内求 出任意两个数的最大公约数。

例 7:用辗转相除法求 4811 和 1981 的最大公约数。

解:因为 4811=2×1981+849,

1981=2×849+283, 849=3×283。 所以,(4811,1981)=283。

补充说明:如果要求三个或更多的数的最大公约数,可以先求出其中任意两个数的最大公约数,再

求这个公约数与另外一个数的最大公约数,这样求下去,直至求得最后结果。也可以直接观察,依次试 公有的质因数。

例 8:求 1008、1260、882 和 1134 四个数的最大公约数是多少?

解:因为(1260,1008)=252,

(882,1134)=126, 又 (252,126)=126,

所以,(1008,1260,882,1134)=126。

求两个数的最小公倍数,除了用短除法外,是否也有其他方法呢?请看例 9。

例 9:两个数的最大公约数是 4,最小公倍数是 252,其中一个数是 28,另一个数是多少?

解:设要求的数为 x,则有:

所以,x=4×y 28=4×7

所以,28x=4×y×4×7 又因为 4 是 x 和 28 的最大公约数,(y,7)=1,

5

所以 4×y×7 是 x 和 28 的最小公倍数。所以,x×28=4×252

所以,x=4×252÷28=36 所以,要求的数是 36。

通过例 9 的解答过程,不难发现:如果用 a 和 b 表示两个自然数,那么这两个自然数的最大公约数与最小公倍数关系是:

(a,b)×[a,b]=a×b.

这样,求两个数的最小公倍数的问题,即可转化成先求两个数的最大公约数,再用最大公约数除 两个数的积,其结果就是这两个数的最小公倍数。 例 10:求 21672 和 11352 的最小公倍数。

解:因为(21672,11352)=1032

(1032 可用辗转相除法求得)

所以,[21672,11352]=21672×11352÷1032=238392。 答:21672 和 11352 的最小公倍数是 238392。

三、带余数的除法

前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题。除此之外,例如:16÷3=5……1,即 16=5×3+1, 此时,被除数除以除数出现了余数,我们称之为带余数的除法。

一般地,如果 a 是整数,b 是整数(b≠0),那么一定有另外两个整数 q 和 r,0≤r≤b,使得 a=b ×q+r.

当 r=0 时,我们称 a 能被 b 整除。

当 r≠0 时,我们称 a 不能被 b 整除,r 为 a 除以 b 的余数,q 为 a 除以 b 的不完全商(亦简称为商)。 用带余除式又可以表示为 a÷b=q…r,0≤r≤b. 【例题】

例 1:一个两位数去除 251,得到的余数是 41,求这个两位数。

分析 这是一道带余数的除法题,且要求的数是大于 41 的两位数,解题可从带余除式入手分析。解:∵ 被除数÷除数=商…余数,

即 被除数=除数×商+余数, ∴ 251=除数×商+41,

251-41=除数×商, ∴ 210=除数×商。 ∵ 210=2×3×5×7,

∴ 210 的两位数的约数有 10、14、15、21、30、35、42、70,其中 42 和 70 大于 41。所以除数 是 42 或 70,即要求的两位数是 42 或 70。

例 2:用一个自然去除另一个整数,商 40,余数是 16。被除数、除数、商与余数的和是 933,求被除数和除数各是多少。

解:∵ 被除数=除数×商+余数,

即 被除数=除数×40+16。

由题意可知:被除数+除数=933-40-16=877, ∴ (除数×40+16)+除数=877, ∴ 除数×41=877-16=861, 除数=861÷41=21。

6

∴ 被除数=21×40+16=856。 答:被除数是 856,除数是 21。

例 3:某年的十月里有 5 个星期六,4 个星期日,问这年的 10 月 1 日是星期几?

解:十月份共有 31 天,每周共有 7 天。

∵ 31=7×4+3,

∴ 根据题意可知:有 5 天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。 ∴ 这年的 10 月 1 日是星期四。

例 4:3 月 18 日是星期日,从 3 月 17 日作为第一天开始往回数(即 3 月 16 日第二天,3 月 15 日第三 天…)的第 1993 天是星期几?

解:每周有 7 天,1993÷7=284(周)…5(天)

从星期日往回数 5 天是星期二,所以第 1993 天必是星期二。 例 5:一个数除以 3 余 2,除以 5 余 3,除以 7 余 2,求适合此条件的最小数。

这是一道古算题,它早在《孙子算经》中有记载:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何”

关于这道题的解法,在明朝就流传一首解题之歌:“三人同行七十稀,五树梅共廿一枝,七子团圆正半月,除百零五便得知。”意思是,用除以 3 的余数乘以 70,用除以 5 的余数乘以 21,用除以 7 的余数乘以 15,再把三个乘积相加。如果这三个数的和大于 105,那么就减去 105,直至小于 105 为止。这样就可以得到满足条件的解。其解法如下:

方法一:2×70+3×21+2×15=233

233-105×2=23 符合条件的最小自然数是 23。方法二:[3,7]+2=23 23 除以 5 恰好余 3。 所以,符合条件的最小自然数是 23。方法 2 的思路是什么呢?让我们再来看下面两道例题。

例 6:一个数除以 5 余 3,除以 6 余 4,除以 7 余 1,求适合条件的最小自然数。 分析 “除以 5 余 3”即“加 2 后被 5 整除”,同样“除以 6 余 4”即“加 2 后被 6 整除”。解:[5,6]-2=28,即 28 适合前两个条件。

想:28+[5,6]×?之后能满足“被 7 除余 1”的条件? 28+[5,6]×4=148,148=21×7+1, 又 148<210=[5,6,7]

所以,适合条件的最小自然数是 148。

例 7:一个数除以 3 余 2,除以 5 余 3,除以 7 余 4,求符合条件的最小自然数。

解:想 2+3×?之后能满足“被 5 除余 3”的条件?

2+3×2=8。

再想:8+[3,5]×?之后能满足“被 7 除余 4”的条件?

8+[3,5]×3=53。

所以,符合条件的最小的自然数是 53。

归纳以上两例题的解法为:逐步满足条件法。当找到满足某个条件的数后,为了再满足另一个条 件,需做数的调整,调整时注意要加上已满足条件中除数的倍数。

解这类题目还有其他方法,将会在有关“同余”部分讲到。

7

例 8:一个布袋中装有小球若干个。如果每次取 3 个,最后剩 1 个;如果每次取 5 个或 7 个,最后都剩 2 个。布袋中至少有小球多少个?

解:2+[5,7]×1=37(个)

∵ 37 除以 3 余 1,除以 5 余 2,除以 7 余 2, ∴ 布袋中至少有小球 37 个。 例 9:69、90 和 125 被某个自然数 N 除时,余数相同,试求 N 的最大值。分析 在解答此题之前,我们先来看下面的例子: 15 除以 2 余 1,19 除以 2 余 1,

即 15 和 19 被 2 除余数相同(余数都是 1)。但是,19-15 能被 2 整除。

由此我们可以得到这样的结论:如果两个整数 a 和 b,被自然数 m 除的余数相同,那么这两个数之差(大-小)一定能被 m 整除。

反之,如果两个整数之差恰被 m 整除,那么这两个整数被 m 除的余数一定相同。 例 9 可做如下解答: ∵ ∴ ∴ ∵ ∵ ∴

三个整数被 N 除余数相同, N︱(90-69),即 N︱21;N︱( 125-90),即 N︱35; N 是 21 和 35 的公约数。 要求 N 的最大值,∴ N 是 21 和 35 的最大公约数。 21 和 35 的最大公约数是 7, N 最大是 7。

四、最大公约数和最小公倍数

本讲重点解决与最大公约数和最小公倍数有关的另一类问题——有关两个自然数,它们的最大公 约数、最小公倍数之间的相互关系的问题。

定理 1 两个自然数分别除以它们的最大公约数,所得的商互质。即如果(a , b)=d,那么(a÷d , b÷d )=1.

证明:设 a÷d=a1 , b÷d=b1 , 那么 a=a1d , b=b1d . 假设(a1 , b1)≠1,可设(a1 , b1)=m(m>1),于是有 a1=a2m , b1=b2m.(a2 , b2 是整数)所以,a= a1d= a2md , b= b1d= b2md . 那么 md 是 a、b 的公约数。又∵m>1,∴md>d.

这就与 d 是 a、b 的最大公约数相矛盾。因此,(a1 , b1)≠1 的假设是不正确的。所以只能是(a1 , b1)=1,也就是(a÷d , b÷d )=1.

定理 2 两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。(证明略) 定理 3 两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数。(证明略)

下面我们就应用这些知识来解决一些具体的问题。

例 1 甲数是 36,甲、乙两数的最大公约数是 4,最小公倍数是 288,求乙数。解法 1:由甲数×乙数=甲、乙两数的最大公约数×两数的最小公倍数,可得

36×乙数=4×288

乙数=4×288÷36 解出乙数=32 解法 2:因为甲、乙两数的最大公约数为 4,则甲数=4×9,设乙数=4×b1,且(b1,9)=1。

8

因为甲、乙两数的最小公倍数是 288, 则 288=4×9×b1, b1=288÷36 解出 b1=8

所以,乙数=4×8=32 答:乙数是 32。

例 2 已知两数的最大公约数是 21,最小公倍数是 126,求这两个数的和是多少?

解:要求这两个数的和,我们可以先求出这两个数各是多少。设这两个数为 a、b,a<b。因为这两个数的最大公约数是 21,故设 a=21a1 ,b=21b1,且(a1,b1)=1。 因为这两个数的最小公倍数是 126, 所以 126=21×a1×b1 于是 a1×b1=6 解出 a1=1 a1=2

b1=6 b1=3 则 a=21×2=42 a=21×1=21

b=21×3=63 b=21×6=126

因此,这两个数的和为 21+126=147,或 42+63=105。 答:这两个数的和为 147 或 105。

例 3 已知两个自然数的和是 50,它们的最大公约数是 5,求这两个自然数。

解:设这两个自然数分别为 a 与 b,a<b。因为这两个自然数的最大公约数是 5,故设 a=5a1,b=5b1, 且(a1,b1)=1,a1<b1。

因为 a+b=50,所以有 5a1+5b1=50,a1+b1=10。满足(a1,b1)=1,a1<b1 的解有:

a1=1 a1=3 b1=9 b1=7

所以, a=5×1=5 或 a=5×3=15

b=5×9=45 b=5×7=35

答:这两个数为 5 与 45 或 15 与 35。

例 4 已知两个自然数的积为 240,最小公倍数为 60,求这两个数。

解:设这两个数为 a 与 b,a<b,且设(a,b)=d , a=da1 , b=db1 ,其中(a1,b1)=1 。因为两个自然数的积=两数的最大公约数×两数的最小公倍数,所以 240=d×60

解出 d=4

所以 a=4a1 , b=4b1. 因为 a 与 b 的最小公倍数为 60, 所以 4×a1×b1=60, 于是有 a1×b1=15。 解出 a1=1 a1=3 b1=5 b1=15 所以 a=4×1=4 或 a=4×3=12

b=4×5=20 b=4×15=60

答:这两个数为 4 与 60 或 12 与 20。

9

例 5 已知两个自然数的和为 ,它们的最小公倍数与最大公约数的差为 114,求这两个自然数。

解:设这两个自然数分别为 a 与 b,a<b,( a , b )=d,a= da1 ,b=db1,其中(a1 , b1)=1.因为 a+b=,所以 da1+db1=。

于是有 d×(a1+b1)=,因此,d 是 的约数。

又因为这两个数的最小公倍数与最大公约数的差为 114, 所以 da1b1-d=114, 于是有 d×(a1b1-1)=114,因此,d 是 114 的约数。

故 d 为 与 114 的公约数。

由于(,114)=6,6 的约数有:1、2、3、6,根据定理 3,d 可能取 1、2、3、6 这四个值。如果 d=1,由 d×(a1+b1)=,有 a1+b1=;又由 d×(a1b1-1)=114,有 a1b1=115。 115=1×115=5×23,但是 1+115=116≠,5+23=28≠,所以 d≠1. 如果 d=2,由 d×(a1+b1)=,有 a1+b1=27;又由 d×(a1b1-1)=114,有 a1b1=58。 58=1×58=2×29,但是 1+58=59≠27,2+29=31≠27,所以 d≠2. 如果 d=3,由 d×(a1+b1)=,有 a1+b1=18;又由 d×(a1b1-1)=114,有 a1b1=39。 39=1×39=3×13,但是 1+39=40≠18,3+13=16≠18,所以 d≠3. 如果 d=6 ,由 d×(a1+b1)=,有 a1+b1=9;又由 d×(a1b1-1)=114,有 a1b1=20。

20 表示成两个互质数的乘积有两种形式:20=1×20=4×5,虽然 1+20=21≠9,但是有 4+5=9, 所以取 d=6 是合适的,并有 a1=4,b1=5. a=6×4=24 , b=6×5=30. 答:这两个数为 24 和 30。

例 6 已知两个自然数的差为 4,它们的最大公约数与最小公倍数的积为 252,求这两个自然数。

解:设这两个自然数分别为 a 与 b,且 a>b,a = da1 , b = db1 , (a1 , b1)=1. 因为 a-b=4,所以 da1- db1=4,于是有 d×(a1- b1)=4,因此 d 为 4 的约数。

2

因为这两个自然数的最大公约数与最小公倍数的积为 252,所以 d×da1b1=252,于是有 d ×a1b1=(2 2×3)×7,因此 d 为 2×3 的约数。故 d 为 4 与 2×3 的公约数。

由于(4,2×3)=2,2 的约数有 1 和 2,所以 d 可能取 1、2 这两个值。

如果 d=1,由 d×(a1- b1)=4,有 a1- b1=4;又由 d ×a1b1=252,有 a1b1=252。

252 表示成两个互质数的乘积有 4 种形式:252=1×252=4×63=7×36=9×28,但是 252-1=251≠ 4,63-4=59≠4,36-7=29≠4,28-9=19≠4,所以 d≠1.

如果 d=2,由由 d×(a1- b1)=4,有 a1- b1=2;又由 d ×a1b1=252,有 a1b1=63。

63 表示为两个互质数的乘积有两种形式:63=1×63=7×9,但 63-1=62≠2,而 9-7=2,且(9, 7)=1,所以 d=2,并且 a1=9,b1=7.因此 a=2×9=18,b=2×7=14. 答:这两个数为 18 和 14。 在例 2~例 5 的解答中之所以可以在假设中排除 a=b 这种情形在各例中都只假设了 a<b, 分别是由于:例 2 和例 5,若 a=b,则(a , b)=[a , b]=a,与条件(a , b)≠[a , b]矛盾;例 3,若 a=b, 则 a=b=(a , b)=5,因此 a+b=10≠50,与条件矛盾;例 4,a×b=240 不是平方数。

从例题的解答中可以看出,在处理涉及两数的最大公约数或者最小公倍数的很多问题中,经常用到的基本关系是:若两数为 a、b,那么 a=a1d , b=b1d,其中 d=(a , b) , (a1 , b1)=1,因此[a , b]=da1b1, 有时为了确定起见,可设 a≤b。对于很多情形,可以排除 a=b 的情形(如上述所示),而只假设 a<b。

2 2

10

五、同余的概念和性质

你会解答下面的问题吗?

问题 1:今天是星期日,再过 15 天就是“六·一”儿童节了,问“六·一”儿童节是星期几? 这个问题并不难答,因为,一个星期有 7 天,而 15÷7=2…1,即 15=7×2+1,所以“六·一” 儿童节是星期一。

问题 2:1993 年的元旦是星期五,1994 年的元旦是星期几?

这个问题也难不倒我们。因为,1993 年有 365 天,而 365=7×52+1,所以,1994 年的元旦应该是星期六。

问题 1、2 的实质是求用 7 去除一总的天数后所得的余数。在日常生活中,时常要注意两个整数用某一固定的自然数去除,所得的余数问题。这样就产生了“同余”的概念。如问题 1、2 中的 15 与 365 除以 7 后,余数都是 1,那么我们就说 15 与 365 对于模 7 同余。

余同定义:若两个整数 a、b 被自然数 m 除有相同的余数,那么称 a、b 对于模 m 同余,用式子表示为:

( * ) a≡b ( mod m )

上式可读作:

a 同余于 b,模 m。

同余式( * )意味着(我们假设 a≥b): a-b=mk,k 是整数,即 m︱(a-b). 例如:①15≡365(mod 7),因为 365-15=350=7×50。 ②56≡20(mod 9),因为 56-20=36=9×4。 ③90≡0(mod 10),因为 90-0=90=10×9。 由例③我们得到启发,a 可被 m 整除,可用同余式表示为: a≡0( mod m ). 例如,表示 a 是一个偶数,可以写 a≡0(mod 2) 表示 b 是一个奇数,可以写 b≡1( mod 2 ) 补充定义:若 m 不能整除(a-b),就说 a、b 对模 m 不同余,用式子表示是: a b(mod m)

我们书写同余式的方式,使我们想起等式,而事实上,同余式与等式在其性质上相似。同余式有 如下一些性质(其中 a、b、c、d 是整数,而 m 是自然数)。

性质 1:a≡a(mod m),(反身性)

这个性质很显然,因为 a-a=0=m·0.

b≡a(mod m),(对称性)。 性质 2:若 a≡b(mod m),那么

a≡c(mod m),(传递性)。 性质 3:若 a≡b(mod m),b≡c(mod m),那么

a±c≡b±d(mod m),(可加减性)。 性质 4:若 a≡b(mod m),c≡d(mod m),那么

ac≡bd(mod m),(可乘性)。 性质 5:若 a≡b(mod m),c≡d(mod m),那么

nna≡b(mod m),(其中 n 为非 0 自然数)。 性质 6:若 a≡b(mod m),那么

性质 7:若 ac≡bc(mod m),(c,m)=1,那么 a≡b(mod m)。

注意:同余式性质 7 的条件(c,m)=1,否则像普通等式一样,两边约去,就是错的。 例如 6≡10(mod 4),而 3 5(mod 4),因为(2,4)≠1。 请你自己举些例子验证上面的性质。

同余是研究自然数的性质的基本概念,是可除性的符号语言。

11

例 1 判定 288 和 214 对于模 37 是否同余,74 与 20 呢?

解:∵ 288-214=74=37×2,∴ 288≡214(mod 37).

∵ 74-20=,而 37 ,∴ 74 20(mod 37).

例 2 求乘积 418×814×1616 除以 13 所得的余数。

若先求乘积,再求余数,计算量太大。利用同余的性质可以使“大数化小”,减少计算量。解:∵ 418≡2(mod 13),814≡8(mod 13),1616≡4(mod 13),

∴ 根 据 同 余 的 性 质 5 可 得 :

418×814×1616≡2×8×4≡≡12(mod 13). 答:乘积 418×814×1616 除以 13 余数是 12。

例 3 求 143除以 7 的余数。

分析 同余的性质能使“大数化小”,凡求大数的余数问题首先考虑用同余的性质化大为小。这道题先把底数在同余意义下变小,然后从低次幂入手,重复平方,找找有什么规律。

解法 1:∵ 143≡3(mod 7),∴ 143≡3(mod 7). ∵ =+16+8+1,

2而 3≡2(mod 7)

3≡4(mod 7) 83≡16≡2(mod 7) 163≡4(mod 7), 323≡16≡2(mod 7), 3≡4(mod 7).

8

∵ 3≡3 ·316 ·3·3≡4×4×2×3≡5(mod 7),

∴ 143≡5(mod 7).

答:143除以 7 的余数是 5。

解法 2:证得 143≡3(mod 7)后, 3≡3×3≡2×4≡1(mod 7),

84614∴ 3≡(3)≡1(mod 7),

4

∴ 3≡384 ·3·3≡1×4×3≡5(mod 7).

∴ 143≡5(mod 7).

例 4 四盏灯如图所示组成舞台彩灯,且每 30 秒钟灯的颜色改变一次,第一次上下两灯互换颜色,第 二次左右两灯互换颜色,第三次又上下两灯互换颜色,…,这样一直进行下去。请问开灯 1 小时四盏灯的颜色如何排列?

62

44

分析与解答 经观察试验我们可以发现,每经过 4 次互换,四盏灯的颜色排列重复一次。而 1 小时=60 分钟=120×30 秒,所以这道题实质是求 120 除以 4 的余数。因为 120≡0(mod 4),所以开灯 1 小时四盏灯的颜色排列刚好同一开始一样。

12

例 5 设自然数 N  aa0 、 a1 、 a2 、…、 an 分别是个位、十位、…上的数码,再设 n an1...a1a0 ,其中

M  a0  a1  ...  an ,求证:N≡M(mod 9).

证明:

∵ N  an an1...a1a0

= an 100  0(n个0)  an1 100  0(n 1个0)    a1 10(1个0)  a0 = a n 10 a n1 10又∵ 1≡1(mod 9),

10≡1(mod 9), 210≡1(mod 9), … n10≡1(mod 9).

上面这些同余式两边分别同乘以 a0 、 a1 、 a2 、…、 an ,再相加得:

2 a  a 1 10  a 210n 0 10   a n

n

n1

   a 1 10  a 0

≡ a0  a1  ...  an (mod 9),

即 N≡M(mod 9).

这道例题证明了十进制数的一个特有的性质:

任何一个整数模 9 同余于它的各数位上数字之和。

以后我们求一个整数被 9 除的余数,只要先计算这个整数各数位上数字之和,再求这个和被 9 除的余数即可。

例如,求 1827496 被 9 除的余数,只要先求(1+8+2+7+4+9+6),再求和被 9 除的余数。再观察一下上面求和式,我们可以发现,和不一定要求出。因为和式中 1+8,2+7,9 被 9 除都 余 0,求余数时可不予考虑。这样只需求 4+6 被 9 除的余数。因此,1827496 被 9 除余数是 1。

有人时常利用十进制数的这个特性检验几个数相加、相减、相乘的结果对不对,这种检查方法叫: 弃九法。

弃九法最经常地是用于乘法。我们来看一个例子: 用弃九法检验乘式 83×9117=49888511 是否正确? 因为 83≡5+4+8+3≡11≡2(mod 9),

9117≡9+1+1+7≡0(mod 9), 所以 83×9117≡2×0≡0(mod 9).

但是 49888511≡4+9+8+8+8+5+1+1≡8(mod 9), 所以 83×9117≠49888511,即乘积不正确。

要注意的是弃九法只能知道原题错误或有可能正确,但不能保证一定正确。 例如,9875≡9+8+7+5≡2(mod 9),

4873≡4+8+7+3≡4(mod 9),

324756≡3+2+4+7+5+6+8+9≡8(mod 9), 这时,9875×4873≡2×4≡324756(mod 9)。

但观察个位数字立刻可以判定 9875×4873≠324756,因为末位数字 5 和 3 相乘不可能等于 9。 弃九法也可以用来检验除法和乘方的结果。

13

例 6 用弃九法检验下面的计算是否正确: 23372458÷7312=34。

解:把除式转化为:

34×7312=23372458

∵ 34≡3+5+4+4≡7(mod 9),

7312≡7+3+1+2≡4(mod 9), ∴ 34×7312≡7×4≡1(mod 9).

但23372458≡2+3+3+8≡7(mod 9), 而 1 7(mod 9)

∴ 34×7312≠23372458, 即 23372458÷7312≠34。

例 7 求自然数 2+3+4的个位数字。

分析 求自然数的个位数字即是求这个自然数除以 10 的余数问题。

1004×2525解:∵ 2≡2≡6≡6(mod 10),

125 1·3≡3(mod 10), 1014×25 ·3≡13102≡324≡4≡6(mod 10),

102∴ 2100+3101 +4≡6+3+6≡5(mod 10),

100101102

即自然数 2+3 +4的个位数字是 5。

100101

102

14

家庭作业

1.(1)如果两个质数相加等于 16,这两个质数有可能等于多少? (2)如果两个质数相加等于 25,这两个质数有可能等于多少? (3)如果两个质数相加等于 29,这样的两个质数存在吗?

2.请把下面的数分解质因数:(1) 160;(2) 598;(3) 211.

3.三个自然数的乘积为 84,其中两个数的和正好等于第三个数,请求出这三个数.

4.用一个两位数除 330,结果正好能整除,请写出所有可能的两位数.

5.三个连续自然数的乘积等于 39270.这三个连续自然数的和等于多少?

6.请将 2、5、14、24、27、55、56、99 这 8 个数分成两组,使得这两组数的乘积相等.

7.请问:算式 l x2 x3×…×15 的计算结果的末尾有几个连续的 0?

8.请问:连续两个两位数乘积的末尾最多有几个连续的 0?

15

9.一个两位质数的两个数字交换位置后,仍然是一个质数,请写出所有这样的质数.

10.9 个连续的自然数中,最多有多少个质数?

11.(1)两个质数的和是 39,这两个质数的差是多少?

(2)三个互不相同的质数相加,和为 40,这三个质数分别是多少?

12.一请把下面的数分解质因数:(1) 360; (2) 539; (3) 373; (4) 12660.

13.冬冬在做一道计算两位数乘以两位数的乘法题时,把一个乘数中的数字 5 看成了 8,由此得乘积为 1104.正确的乘积是多少?

14.甲、乙、丙三人打靶,每人打三.三人各自中靶的环数之积都是 60,且环数是不超过 10 的自然数.把三个人按个人总环数由高到低排列,依次是甲、乙、丙.请问:靶子上 4 环的那一是谁打的?

15.975×935×972×□,要使这个连乘积的最后 4 个数字都是 0,方框内最小应填什么数?

16.(1)算式 1×2×3×…×29×30 的计算结果的末尾有几个连续的 0?

(2)算式 31×32×33×…×150 的计算结果的末尾有几个连续的 0?

16

17.把从 l 开始的若干个连续的自然数 1,2,3,…,乘到一起.已知这个乘积的末尾 13 位恰好都是 0. 请问:在相乘时最后出现的自然数最小应该是多少?

18.168 乘以一个大于 0 的整数后正好是一个平方数.乘的这个整数至少是多少?所得乘积又是多少的 平方?

19.(1) 请写出 105 的所有约数; (2) 请写出 72 的所有约数.

20.(1) 20000 的约数有多少个? (2) 720 的约数有多少个?

21.计算:(1) (28,72), [28,72]; (2) (28,44,260), [28, 44, 260].

22.两个数的差是 6,它们的最大公约数可能是多少?

23.(1)求 1085 和 1178 的最大公约数和最小公倍数; (2)求 3553,3910 和 1411 的最大公约数.

24.教师节到了,校工会买了 320 个苹果、240 个桔子、200 个香蕉来慰问退休老职工.请问:用这些 水果最多可以分成多少份同样的礼物?在每份礼物中,苹果、桔子、香蕉各有多少个?

25.一块长方形草地,长 120 米,宽 90 米,现在在它的四周种树,要求四个角和各边中点都要求种树, 且相邻两棵树之间的距离都相等,请问:最少要种多少棵树?

17

26.甲数和乙数的最大公约数是 6,最小公倍数是 90.如果甲数是 18,那么乙数是多少?

27.有甲、乙两个数,它们的最小公倍数是甲数的 27 倍.已知甲数是 2、4、6、8、10、12、14、16 的倍数,但不是 18 的倍数;乙数是两位数.乙数是多少?

28.小悦、冬冬、阿奇在黑板上各写了一个自然数,这三个自然数的最大公约数是 35,最小公倍数是 70.这三个数的和可能是多少?

29.72 共有多少个约数?其中有多少个约数是 3 的倍数?

30.00 共有多少个约数?并求出所有约数乘积的质因数分解形式.

31.两数乘积为 2800,已知其中一个数的约数个数比另一个数的约数个数多 1.这两个数分别是多少?

32.计算:(1) (391, 357), [391, 357]; (2) (18, 24, 36), [18, 24, 36].

33.17、1573、1859 这三个数的最大公约数是多少?最小公倍数是多少?

34.张阿姨把 225 个苹果、350 个梨和 150 个桔子平均分给小朋友们,最后剩下 9 个苹果、26 个梨和 6 个桔子没分出去,请问:每个小朋友分了多少个苹果?

18

35.一个数和 16 的最大公约数是 8,最小公倍数是 80.这个数是多少?

36.两个自然数不成倍数关系,它们的最大公约数是 18,最小公倍数是 216.这两个数分别是多少?

37.两个数的最大公约数是 6,最小公倍数是 420,如果这两个数相差 18,那么较小的数是多少?

38.有 4 个不同的正整数,它们的和是 1111.请问:它们的最大公约数最大能是多少?

39.甲、乙两个数的最小公倍数是 90,乙、丙两个数的最小公倍数是 105,甲、丙两个数的最小公倍数是 126.请问:甲数是多少?

40.甲、乙是两个不同的自然数,它们都只含有质因数 2 和 3,并且都有 12 个约数,它们的最大公约数是 12.请问:甲、乙两数之和是多少?

19

因篇幅问题不能全部显示,请点此查看更多更全内容

Copyright © 2019- dcrkj.com 版权所有 赣ICP备2024042791号-2

违法及侵权请联系:TEL:199 1889 7713 E-MAIL:2724546146@qq.com

本站由北京市万商天勤律师事务所王兴未律师提供法律服务