八年级数学上(人教版)期末培优检测卷

期末培优检测卷

一、选择题（每题3分，共24分） 1.下列运算正确的是（ ） A．

xy112111 D．31 B．a÷b×=a C．yxbabab32.若等腰三角形有两条边的长分别是3和1，则此等腰三角形的周长是（ ）

A．5 B．7 C．5或7 D．6

3.若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如abc就是完全对称式．下列四个代数式：①abc；②abbcca；③a2bb2cc2a；④ab．其中是完全对称式的是( )

2A．①②④ B．①③ C．②③ D．①②③ 4.若x2x20,则x32x2x2012的值是（ ）

A．2014 B．2013 C． 2014 D．2013 5.若n为整数，则能使

n1也为整数的n有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 n16.如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6 cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为( )

A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1 cm

图1 图2 图3 图4

7.如图2所示，在直角三角形ABC中，已知∠ACB＝90°，点E是AB的中点，且DE⊥AB，DE交AC的延长线于点D、交BC于点F，若∠D＝30°，EF＝2，则DF的长是（ ） A.5 B.4 C.3 D.2 8.如图3所示，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下四个结论：①△ACD≌△BCE；②AD=BE；③∠AOB=60°；④△CPQ是等边三角形．其中正确的是（ ）

A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 二、填空题（每题3分，共24分）

102014329.因式分解：a6a9a =___________． 10.计算：20141 =___________．

22111.按图所示程序计算： a→×2→a→÷a→a→结果,请将上面的计算程序用代数式表示出来并化简__ 12.如图4，将△ABC纸片沿DE折叠，图中实线围成的图形面积与原三角形面积之比为2∶3，若图中实线围成的阴影部分面积为2，则重叠部分的面积为__________.

13.已知等边三角形ABC的高为4，在这个三角形所在的平面内有一点P，若点P到AB的距离是1，点P到AC的距离是2，则点P到BC的最小距离和最大距离分别是__________． 14.在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，3），若△ABC的面积为6，且点C在坐标轴上，则符合条件的点C的坐标为___________．

4关于y轴的对称点为D．把15.如图6所示，在平面直角坐标系中，点A(2，2)关于y轴的对称点为B，点C2，

一条长为2 014个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处，并按A→B→C→D→A→…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是__________．

图6 图7 图8

16.如图7的钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架．若AP1P1P2P2P3P13P14P14A，则∠A的度数是________．

三、解答题（17、18题每题5分，23、25题每题9分，24题8分，26题12分，其余每题6分，共72分） 17.如图8均为2×2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．请分别在两个图中各画出一个与△ABC成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形．

18.如图9，△ABC中，∠A=40°，∠B=76°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE交CE于F，求∠CDF的度数．

图9

a241119.在解题目：“当a=2 014时，求代数式a1的值”时，小明认为a只要任取一个使原式有a3a2意义的值代入都有相同的结果，你认为他说的有道理吗？请说明理由．

20.已知M=4x12xy10y4y9，当式中的x、y各取何值时，M的值最小？求此最小值.

21.是否存在实数x，使分式

224x105x4的值比分式的值大1？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由.

x23x6

22.如图10所示，AB∥DC，AD⊥CD，BE平分∠ABC，且点E是AD的中点，试探求AB、CD与BC的数量关系，并说明你的理由.

23.如图11，某船在海上航行，在A处观测到灯塔B在北偏东60°方向上，该船以每小时15海里的速度向东航行到达C处，观测到灯塔B在北偏东30°方向上，继续向东航行到D处，观测到灯塔B在北偏西30°方向上，当该船到达D处时恰与灯塔B相距60海里 （1）判断△BCD的形状；.

（2）求该船从A处航行至D处所用的时间；

（3）若该船从A处向东航行6小时到达E处，观测灯塔B，灯塔B在什么方向上？

图11

24.某地为某校师生交通方便，在通往该学校原道路的一段全长为300 m的旧路上进行整修铺设柏油路面．铺设120 m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务．(1)求原计划每天铺设路面的长度；

(2)若市政部门原来每天支付工人工资为600元，提高工效后每天支付给工人的工资增长了30%，现市政部门为完成整个工程准备了25 000元的流动资金．请问，所准备的流动资金是否够支付工人工资？并说明理由．

25.如图12所示，已知△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点．

（1）如果点P在线段BC上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过3秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ （2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

26.〈探究题〉如图16，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°,∠BOC=,将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD.（1）求证：△COD是等边三角形; （2）当=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由 (3)探究：当为多少度时，△AOD是等腰三角形？

参考答案及点拨 期末选优拔尖自测卷

一、1.C 点拨：因为Ｂ错误；因为

1a1bab111a，所以A错误；因为a÷b×=a××=2，所以

bbbbabxyxy11，所以C正确；因为31，所以D错误．应选C． yxxy32.B 点拨：分底边长为3和底边长为1两种情况讨论．

（1）若底边长为1，则这个等腰三角形的周长为7；（2）若底边长为3，这个等腰三角形不存在．故选B．

3.A 点拨：根据完全对称式的定义可知abc、abbcca、ab2是完全对称式，而

a2bb2cc2a不是完全对称式，应选A．

解答本题的关键是按照新定义，将四个代数式进行变换，然后对照确定正确选项． 4.A 点拨：方法1:由x2x20得x2x2， 所以原式xx2xx2x20122xx2x2012 x2x201222012

2014.

方法2：由x2x20得x22x，x2x2,

所以原式x2x2x2x2012x2x2012220122014. 5.D 点拨：原式n121n12n12，要使为整数，则必须为整数，因此n12n1n1n1或2或1或1，解得n3或1或2或0；因此整数n的值有4个， 应选D．

6.C 点拨：如答图1，连接MA、NA.∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，∴BM=AM，CN=AN，∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C，∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∴∠BAM=∠CAN=30°，∴∠AMN=∠ANM=

60°，∴△AMN是等边三角形，∴AM=AN=MN，∴BM=MN=NC，∴MN=BC=2 cm，故选C．

13 答图1

7.B 点拨：在Rt△AED中，因为∠D＝30°，所以∠DAE＝60°；在Rt△ABC中，因为∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，所以∠B＝30°；在Rt△BEF中，因为∠B＝30°，EF＝2，所以BF＝4；

连接AF，因为DE是AB的垂直平分线，所以FA＝FB＝４，∠FAB＝∠B＝30°；因为∠BAC＝60°，所以∠DAF＝30°，因为∠D＝30°，所以∠DAF＝∠D， 所以DF＝AF＝４.故应选B.

8. A 点拨：由正△ABC和正△CDE，可知AC=BC，∠ACB=

∠DCE=60°，CD=CE，所以∠ACD=∠BCE，所以△ACD≌△BCE，从而AD=BE，∠CAD=∠CBE；在△ACP和△BPO中，因为∠APC=∠BPO，∠CAD=∠CBE，所以由三角形内角和定理可得∠AOB=

∠ACB＝60°；由条件可证△PCD≌△QCE，所以PC＝QC，又∠PCQ＝60°，所以△CPQ是等边三角形．应选A．

二、9. aa32 点拨：原式aa26a9aa32．因式分解时，首先考虑提取公因式，再考虑运用乘法公式分解，同时注意要分解到不能分解为止．

10. 2 点拨：原式1212．在无括号的实数混合运算中，先计算乘方，再计算乘

除，最后进行加减运算．

11.2aa2aa2 点拨：由流程图可得2aa2aa2aa2．

12. 2 点拨：设重叠部分的面积为x, 则实线围成的图形面积为2+x，三角形ABC面积为2+2x．由题意得2x22x，解得x=2．

13. 1和7 点拨：点P可在三角形内和三角形外，需要分情况求解．设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．（1）当点P在等边三角形ABC内时：连接PA、PB、PC，利用面积公式可得h1h2h3h，则h31，所以点P到BC的最小距离是1；（2）当点P在等边三角形ABC外时（只考虑P离BC最远时的情况）：同理可得h1h2hh3，此时h37.综上可知，点P到BC的最小距离和最大距离分别是1和7.

14.（2,0）、（6,0）、（0,3）、（0,9）点拨：分点C在x轴上和点C在y轴上两种情况讨论，可得符合条件的点C的坐标．（1）当点C在x轴上时，设点C的坐标为(x，0)，则

1、（6,0）；（2）当点C在y轴x236，解得x=6或2，因此点C的坐标为（2,0）

21上时，设点C的坐标为(0，y)，则y326，解得y=3或9，因此点C的坐标为（0,3）、

223（0,9）；综上得点C的坐标为（2,0）、（6,0）、（0,3）、（0,9）.

15.（2,4） 点拨：因为A(2，2)关于y轴的对称点为B，所以点B的坐标为（2,2）；因为C（2,4）关于y轴的对称点为D，所以点D的坐标为（2,4），所以四边形ABCD的周长为20，因为2 014÷20=100……14，说明细线绕了100圈，回到A点后又继续绕了14个单位长度，故细线另一端到达点的坐标为（2,4）.本题利用周期的规律求解，因此求得细线绕四边形ABCD一圈的长度是解题的关键. 16. 12° 点拨：设∠A=x，∵AP1P1P2P2P3P13P14P14A， ∴∠A=∠AP2P1=∠AP13P14=x，∴∠P2P1P3=∠P13P14P12=2x， ∴∠P3P2P4=∠P12P13P11=3x，…，∠P7P6P8=∠P8P9P7=7x， ∴∠AP7P8=7x，∠AP8P7=7x，

在△AP7P8中，∠A+∠AP7P8+∠AP8P7=180°，即x+7x+7x=180°， 解得x=12°，即∠A=12°．

三、17. 解：如答图2所示，画出其中任意两个即可．

答图2

点拨：对称轴可以是过正方形对边中点的直线，也可以是正方形对角线所在的直线．本题可以通过折叠操作找到对称轴，从而确定轴对称图形． 18. 解：∵∠A=40°，∠B=76°，∴∠ACB=180407664，

∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE=32°，∴∠CED=∠A+∠ACE=40°+32°=72°，∵DF⊥CE，CD⊥AB，∴∠CFD =∠CDE=90°，

∴∠CDF+∠ECD=∠ECD+∠CED=90°，∴∠CDF=∠CED =72°． 19. 解：小明说的有道理．

a2a2a3a1a2a13.a2411理由： a1a3a2a3a2所以只要使原式有意义，无论a取何值，原式的值都相同，为常数3． 20. 解：M4x212xy9y2y24y452x3y2y225，

因为2x3y2≥0，y22≥0，所以当2x3y0且y20，即x3且y2时，M的值最小，最小值为5. 21. 解：不存在. 理由：若存在，则

4x105x41. 3x6x2方程两边同乘3x2，得4x1035x43x2， 解这个方程，得x2.

检验：当x2时，3x20，原方程无解． 所以，不存在实数x使分式

4x105x4的值比分式的值大1．

x23x6点拨：先假设存在，得到分式方程，再解分式方程，由分式方程的结果可说明理由. 22. 解：AB+CD=BC.

理由：如答图3，过点E作EF⊥BC于点F. 因为AB∥DC，AD⊥CD， 所以AD⊥AB.

因为BE平分∠ABC，所以EA=EF.

在Rt△ABE和Rt△FBE中，因为EA=EF，BE=BE， 所以Rt△ABE≌Rt△FBE. 所以AB=BF.

因为E是AD的中点，所以AE=ED，所以ED=EF. 在Rt△EDC和Rt△EFC中，因为ED=EF，EC=EC， 所以Rt△EDC≌Rt△EFC. 所以DC=FC.

所以AB+DC=BF+CF=BC，即AB+CD=BC.

答图3

23. 解：（1）由题意得：∠BCD=∠BDC=60°，∴∠CBD=60°. ∴△BCD是等边三角形.

（2）由题意得：∠BAC=30°，∠ACB=120°， ∴∠ABC=∠BAC=30°，

∴AC=BC= BD=60海里，

∴AD= AC+ CD=60+60=120（海里）， ∴t=120÷15=8（小时）.

∴该船从A处航行至D处所用的时间为8小时. （3）若该船从A处向东航行6小时到达E处，连接BE. 此时AE=15×6=90（海里），∴CE=90-60=30（海里）. ∴CE=DE=30海里. ∵△BCD是等边三角形， ∴BE是CD的垂直平分线. ∴灯塔B在该船的正北方向上.

24. 解：(1)设原计划每天铺设路面的长度为x m． 根据题意得

12030012030．解之得x＝9． 120xx经检验：x＝9是原方程的根,且符合题意． 答：原计划每天铺设路面的长度为9 m． (2) 所准备的流动资金够支付工人工资． 理由：共支付工人工资为

30012012013060080001300021000(元) ． 60012099因为21000＜25000，所以所准备的流动资金够支付工人工资． 25. 解：（1）①因为t=3秒， 所以BP=CQ=1×3=3(厘米)，

因为AB=10厘米，点D为AB的中点， 所以BD=5厘米．

又因为PC=BCBP，BC=8厘米，

所以PC=835(厘米)， 所以PC=BD．

因为AB=AC，所以∠B＝∠C， 所以△BPD≌△CQP． ②因为vP≠vQ，所以BP≠CQ，

当△BPD≌△CPQ时，因为∠B＝∠C，AB=10厘米，BC=8厘米， 所以BP=PC=4厘米,CQ=BD=5厘米， 所以点P，点Q运动的时间为4秒，

所以vQ厘米/秒，即当点Q的运动速度为厘米/秒时，能够使 △BPD与△CQP全等.

（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇， 由题意，得xx210， 解得x80．

所以点P共运动了80厘米．

因为80=2×28+24，所以点P、Q在AB边上相遇， 所以经过80秒点P与点Q第一次在△ABC的边AB上相遇. 26. 解：（1）＝ （2）＝；

在等边三角形ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC， 因为EF∥BC，

所以∠AEF=∠AFE =60°=∠BAC． 所以△AEF是等边三角形， 所以AE=AF=EF，

所以ABAEACAF，即BE=CF. 因为ED=EC，

545454

所以∠EDB=∠ECB，

又因为∠ABC=∠EDB+∠BED=60°, ∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°, 所以∠BED=∠FCE， 所以△DBE≌△EFC， 所以DB=EF， 所以AE=DB. (3)1或3.

点拨：(1)利用等边三角形三线合一知，∠ECB=30°，又ED=EC，则∠D=30°，所以 ∠DEC=120°，则∠DEB=30°=∠D,所以DB＝EB＝AE；(2)先证

△AEF为等边三角形，再证△EFC≌△DBE，可得AE=DB；(3)当E在射线AB上时，如答图4（1），AB＝BC＝EB＝1，∠EBC＝120°，所以∠BCE＝30°，因为ED＝EC，所以∠D＝30°，则∠DEB＝90°，所以DB＝2EB＝2，所以CD＝2+1＝3； 当E在射线BA上时，如答图4（2），过点E作EF⊥BD于点F，则∠BEF＝30°，所以BF＝BE＝1.5,

所以CF＝0.5，因为EC＝ED，EF⊥CD， 所以CD＝2CF＝1.

综上，CD的长为1或3．

12 答图4