压轴题训练(一)(解析版)-2020-2021学年八年级数学下学期期中考试压轴题专练(北师大版)

2021年八下期中考试金牌压轴题训练（一）

（时间：60分钟 总分：100） 班级 姓名 得分 一、单选题

OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，1．△AOB＝△COD＝36°．如图，在△AOB和△COD中，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：

△△AMB＝36°，△AC＝BD，△OM平分△AOD，△MO平分△AMD．其中正确的结论个数有（ ）个．

A．4 【答案】B 【分析】

B．3 C．2 D．1

由SAS证明△AOC△△BOD得出△OCA＝△ODB，AC＝BD，△正确；

由全等三角形的性质得出△OAC＝△OBD，由三角形的外角性质得：△AMB+△OBD＝△OAC+△AOB，得出△AMB＝△AOB＝36°，△正确；

作OG△AM于G，OH△DM于H，如图所示：则△OGA＝△OHB＝90°，利用全等三角形对应边上的高相等，得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分△AMD，△正确； 假设MO平分△AOD，则△DOM＝△AOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO△△DMO，得AO＝OD，而OC＝OD，所以OA＝OC，而OA＜OC，故△错误；即可得出结论． 【详解】

解：△△AOB＝△COD＝36°， △△AOB+△BOC＝△COD+△BOC， 即△AOC＝△BOD， 在△AOC和△BOD中，

OAOBAOCBOD OCOD△△AOC△△BOD（SAS），

1

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△△OCA＝△ODB，AC＝BD，故△正确； △△OAC＝△OBD， 由三角形的外角性质得： △AMB+△OBD＝△OAC+△AOB， △△AMB＝△AOB＝36°，故△正确；

作OG△AM于G，OH△DM于H，如图所示，

则△OGA＝△OHB＝90°， △△AOC△△BOD，

所以两个三角形的面积相等， △AC＝BD， △OG＝OH，

△MO平分△AMD，故△正确；

假设MO平分△AOD，则△DOM＝△AOM， 在△AMO与△DMO中，

AOMDOM， OMOMAMODMO△△AMO△△DMO（ASA）， △AO＝OD， △OC＝OD， △OA＝OC，

而OA＜OC，故△错误； 正确的个数有3个； 故选：B． 【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．

2

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x4x42．如果关于x的不等式组3的解集为x4，且整数m使得关于x，y的二

xm0元一次方程组A．-4 【答案】D 【分析】

根据不等式组的解集确定m的取值范围，根据方程组的解为整数，确定m的值． 【详解】

mxy8的解为整数（x，y均为整数），则不符合条件的整数m的有（ ）

3xy1B．2

C．4

D．5

x4x4① 解：3xm0②解不等式△得，x4， 解不等式△得，xm， 因为不等式组的解集是x4， 所以，m4，

mxy87解二元一次方程组得，x，

3xy1m3因为x为整数，所以m31或m31或m37或m37， 则m4或m2或m10或m4， △m4

△m4或m2或m4， 故选：D． 【点睛】

本题考查了一元一次不等式组和二元一次方程组的解，解题关键是熟练运用解方程组和解不等式组方法求解，根据整数解准确进行求值．

3．如图，O是正ABC内一点，OA3，OB4，OC5．将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO，下列结论错误的是（ ）

3

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A．点O与O的距离为4 C．S四边形AOBO′633 【答案】D 【分析】

B．AOB150

D．S△AOBS△AOC343 证明△BO′A△△BOC，得△OBO′是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得△AOO′是直角三角形，进而可判断． 【详解】

解：如图，连接OO′，

由题意可知，△1+△2＝△3+△2＝60°， △△1＝△3，

又△OB＝O′B，AB＝BC， △△BO′A△△BOC， 又△△OBO′＝60°， △△OBO′是等边三角形， △OO′＝OB＝4． 故A正确； △△BO′A△△BOC， △O′A＝5．

在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，

4

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△△AOO′是直角三角形，△AOO′＝90°， △△AOB＝△AOO′+△BOO′＝90°+60°＝150°， 故B正确；

S四边形AOBO′＝S△AOO′+S△OBO′═故C正确； 如图2

132

×3×4+×4＝6+43， 24

将△AOC绕A点顺时针旋转60°到△ABO'位置， 同理可得S△AOC+S△AOB=6+故D错误； 故选D． 【点睛】

此题考查了旋转的性质，等边三角形、直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．

二、填空题

4．如图，Rt△ABC中，△BAC＝90°，分别以△ABC的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD、△ACE、△BCF，若图中阴影部分的面积S1＝6.5，S2＝3.5，S3＝5.5，则S4＝_____．

93， 4

【答案】2.5

5

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【分析】

S△ABGm，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，点H；设AB＝BD＝a，CF于点G、DE分别交BF、

S△ACHn，由a2b2c2，可得S△ABDS△ACES△BCF，由此构建关系式，通过计算即

可得到答案． 【详解】

如图，DE分别交BF、CF于点G、点H

△△ABD、△ACE、△BCF均是等腰直角三角形 △AB＝BD，AC＝CE，BC＝CF，

设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，S△ABGm，S△ACHn △a2b2c2

△S△ABDS△ACES△BCF

△S△ABDS1m，S△ACEnS4，S△BCFS2S3mn △S1mnS4S2S3mn △S4S2S3S1=3.55.56.52.5 故答案为：2.5． 【点睛】

本题考查了等腰三角形、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、勾股定理的性质，从而完成求解．

5．小李和小张大学毕业后准备合伙开一家工作室创业．他们在某写字楼租了一间空高为3米的房间作办公地点（如图），准备装修后开始办公．小李和小张分别提出两套装修方案（如表格）．其中，每平方米木地板的裝修费用与每平方米木质吊顶的装修费用之和等于每平方米复合材料墙面的装修费用；每平方米地砖的装修费用与每平方米乳胶漆的装修费用之和

6

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等于每平方米木质墙面的装修费用，以上各项装修单价均为整数．每平方米木地板、木质墙面、木质吊顶的装修费用之和不少于600元；每平方米复合材料墙面比木质墙面的装修费用多，且差价不大于90元，不少于80元．经测算，小李方案的总装修费用比小张方案的总装修费用多1260元．若x，y均为整数，且满足y小李 小张

地面 木地板 地砖 墙面（含门窗） 木质墙面 复合材料墙面 房顶 木质吊顶 乳胶漆 【答案】340y4140y1260 【分析】

设每平方米木地板a元，木制吊顶b元，地砖m元，乳胶漆n元，则复合材料墙面ab元，木质墙面mn元，根据题意列出不等式组，得到2ab340，根据“小李方案的总

mn345装修费用比小张方案的总装修费用多1260元”列式即可求解． 【详解】

解：设每平方米木地板a元，木制吊顶b元，地砖m元，乳胶漆n元， 则复合材料墙面ab元，木质墙面mn元，

根据题意可得abmn600，

80abmn90ab340解得，

mn345小李的总花费xyaxyb2mn3y3xxyab6mnxy，

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小张的总花费xymxyn2ab3y3xxymn6abxy， △xyab6mnxyxymn6abxy1260， △yx2y，

△xyab6mnxy1260

yy3406345yy1260340y24140y1260，

故答案为：340y4140y1260． 【点睛】

本题考查不等式组的实际应用，根据题意列出不等式是解题的关键．

6．如图，在ABC中，AB3，AC2，BAC60，P为ABC内一点，则

2PAPBPC的最小值为__________．

【答案】19 【分析】

将△APB绕点A顺时针旋转60°，得到△APB，连接PP、CB，作CN△BA交BA的延长线于点N，则△APB△△APB，由题意可证△PAP 是等边三角形，所以

PAPBPCPCPPPB，所以当B、P、P、C 共线时，PAPBPC=BC最小，求出BC【详解】

将△APB绕点A顺时针旋转60°，得到△APB，连接PP、CB，作CN△BA交BA的延长线于点N， 则△APB△△APB，

BN2CN219即可；

△△BAP=△BAP ，

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△ ABAB3 ，APAP ，∠BAB=∠PAP=60 ， △△PAP 是等边三角形， △ APAPPP ，

△ PAPBPCPCPPPB ，

△ 当B、P、P、C 共线时，PAPBPC=BC最小， △△CAN=180°-△BAB∠BAC60 ，CN△AN， △△ACN=30°， △ AN1AC1 ，CN3AN3 ， 2△ BNABAN314 ， △ BCBN2CN219 ，

△ PAPBPC=BC=19 ； 故答案为：19．

【点睛】

本题考查了全等三角形判定与性质，旋转的性质，以及等边三角形的性质和求线段最值的问题，掌握做辅助线是解题的关键．

三、解答题

7．问题背景 如图1，在等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE中，AC＝BC，CE＝CD，△ACB＝△DCE＝90°，求证：AE＝BD．

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尝试应用 如图2，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC，△ACB＝90°，点E是AC边上一点，点F是BE上一点，若△CFE＝45°，EF＝4，△ABE面积为30，求BF的长．

拓展创新 M是等腰Rt△ABC外一点，△ACB＝90°，AC＝BC，若△AMC＝75°，AM＝2，CM＝2，直接写出MB的长．

【答案】问题背景 证明见解析；尝试应用 BF＝6；拓展创新 BM＝23． 【分析】

问题背景：证得△ACE=△BCD，证明△ACE△△BCD（SAS），则可得出答案；

△BFC△△ADC，尝试应用：过点C作DC△CF交BE延长线于点D，连接AD，由问题背景可知：得出BF=AD，△CBF=△CAD，由三角形的面积可得出（BF+4）×BF=60，解出BF=6． 拓展创新：作CH△CM，且CH=CM，连接MH，得出AM=MH，过点M作MG△AH于点G，求出△MAG=30°，得出AG=GH，由直角三角形的性质可求出答案． 【详解】 问题背景：

证明：△△ACB＝△DCE＝90°， △△ACE＝△BCD， 在△ACE和△BCD中，

ACBCACEBCD， CECD△△ACE△△BCD（SAS）， △AE＝BD； 尝试应用：

解：过点C作DC△CF交BE延长线于点D，连接AD，

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由问题背景可知：△BFC△△ADC， △BF＝AD，△CBF＝△CAD， △△BEC＝△AED， △△ADE＝△BCE＝90°， △AD△BE于点D， △△ABE的面积为30， △

BE•AD30， 2△（BF+4）×BF＝60，

解得：BF＝6，BF＝﹣10（舍去）． △BF＝6． 拓展创新：

解：如图3，作CH△CM，且CH＝CM，连接MH，AH，

△△CMH为等腰直角三角形， △△CMH＝45°，

△△CBM△△CAH（SAS）， △BM＝AH， △△AMC＝75°，

△△AMH＝△AMC+△CMH＝75°+45°＝120°， △CM＝2，

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△MH＝2CM＝2， △AM＝2， △AM＝MH，

过点M作MG△AH于点G， △△MAG＝30°，AG＝GH， △MG＝1， △AG＝GH＝3， △AH＝23， △BM＝23． 【点睛】

本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

8．如图，一次函数ykxb的图象经过点A1,5，与x轴交于点B，与正比例函数y3x的图象交于点C，点C的横坐标为1

（1）求AB的函数表达式；

（2）若点D在y轴负半轴，且满足S△COD1S△BOC，求点D的坐标； 3（3）若kxb3x，请直接写出x的取值范围． 【答案】(1)y=-x+4；（2）D（0，-4）；（3）x＞1. 【分析】

（1）根据y=3x确定点C（1,3），利用A(-1,5)，C（1,3）确定直线AB的解析式；

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（2）根据AB的解析式确定点B（4,0），点C的纵坐标是△BOC边OB上的高，可求S利用S△COD=

BOC，

1S3BOC，求得S△COD，根据三角形面积公式求得OD的长即得到点D的坐标；

（3）利用数形结合思想，直接写出答案即可. 【详解】

（1）当x=1时，y=3x=3， △点C（1,3），

△直线y=kx+b经过点A(-1,5)，C（1,3）， △kb3，

kb5k1解得，

b4故AB的函数表达式为y=-x+4；

（2）△y=-x+4与x轴交于点B，△B（4,0），

11OBCy=43=6， 221△S△COD=SBOC，△S△COD=2,

311△ODCx=OD1=2， 22△SBOC=

△OD=4， 故D（0，-4）；

（3）根据图像，得x＞1. 【点睛】

本题考查了一次函数解析式的确定，函数图像的交点意义，三角形的面积计算，一次函数与

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不等式的关系，数形结合思想，熟练运用待定系数法和三角形的面积公式是解题的关键. 9．如图△，点O为直线AB上一点，射线OCAB于O点，将一直角三角板的60°角的顶点放在点O处，斜边OE在射线OB上，直角顶点D在直线AB的下方．

（1）将图△中的三角板绕点O逆时针旋转至图△，使一边OE在BOC的内部，且恰好平分BOC，问：直线OD是否平分AOC？

（2）将图△中的三角板绕点O按每秒15°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线OD恰好平分AOC，求t的值．

（3）将图△中的三角板绕点O顺时针旋转至图△，使OD在AOC的内部，请探究：AOE与DOC之间的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）不平分；（2）1或13；（3）△DOC-△AOE=30° 【分析】

（1）先根据角平分线的性质得到，△BOE=45°，于是△BOD=△DOE-△BOE=15°．进而求出△COM与△AOM的值，△AOM≠△COM．直线OD不平分△AOC； （2）分OD与OD的延长线平分△AOC两种情况；

（3）△AOE=60°-△AOD、△DOC=90°-△AOD，△DOC-△AOE=（90°-△AOD）-（60°-△AOD）=30°． 【详解】

解：（1）直线OD不平分△AOC．

理由如下：延长DO到M． 当OE平分△BOC时，△BOE=45°， △BOD=△DOE-△BOE=15°．

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而△DOM=180°，△BOC=90°． 所以：△COM=180°-90°-15°=75°． △AOM=90°-75°=15°． △AOM≠△COM． 直线OD不平分△AOC； （2）3或39； 延长DO到M，

△△AOC=90°，

当直线OD恰好平分角△AOC， △△AOM=△COM=45°， △△BOD=180°-90°-45°=45°， △△BOE=△DOE-△BOD=15°，

即逆时针旋转15°时DO延长线平分△AOC， 由题意得，15t=15， △t=1，

当DO平分△AOC，

△△DOA=45°， △△AOE=60°-45°=15°， 180°+15°=195°，

即逆时针旋转195°时DO平分△AOC，

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△15t=195°， △t=13， △t=1或13；

（3）△DOC-△AOE=30° △△DOE=60°，△AOC=90°，

△△AOE=60°-△AOD、△DOC=90°-△AOD，

△△DOC-△AOE=（90°-△AOD）-（60°-△AOD）=30°， △△AOE与△DOC之间的数量关系为：△DOC-△AOE=30°． 【点睛】

此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键．

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