【试题】高中数学导数理科数学试题含答案

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高二年级导数理科数学试题

一、选择题：（每题5分，共60分） 1． 若，则等于（ C ）

A．2 B．－． D． 2．物体运动方程为，则时瞬时速度为（D ）

A．2 B．． 6 D．8 3．函数的图象上一点处的切线的斜率为（ D ）

A．1 B． C． D．

4．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有( C )

A．f(0)＋f(2)<2f(1) C．f(0)＋f(2)≥2f(1)

B．f(0)＋f(2)≤2f(1) D．f(0)＋f(2)>2f(1)

5．曲线在点处的切线的倾斜角为（ B ） A．30° B．45° C．60° D．120° 6．若上是减函数，则的取值范围是（ C） A. B. C. D.

7.已知函数有极大值和极小值，则实数a的取值范围是( C ) （A）-1(B) -3（C）a<-3或a>6

(D) a<-1或a>2

8.已知f（x）是定义域R上的增函数，且f（x）<0,则函数g(x)=x(x)的单调情况一定是( A ) (A) 在(-∞，0)上递加 （B）在(-∞，0)上递减 （C）在R上递加 （D）在R上递减 9.曲线上的点到直线的最短距离是 （ A ） A. B. C. D. 0

10．如果函数y=f(x)的图象如图所示，那么导函数y=的图象可能是 (A ) 11. 已知x≥0,y≥0，x+3y=9,则x2y的最大值为 （ A ） A.36 B.25 D.42 12.设函数则

A在区间内均有零点 B在区间内均无零点 C在区间内有零点，在区间内无零点. D在区间内无零点，在区间内有零点.

解析：由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在点处有极小值；又，故选择D。

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上） 13．若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1没有极值，则a的取值范围为 [-1,2] . 14.已知，函数定义域中任意的，有如下结论：

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①； ③

②； ④

上述结论中正确结论的序号是 ①③ .

15．对于函数

（1）是的单调递减区间；

（2）是的极小值，是的极大值； （3）有最大值，没有最小值； （4）没有最大值，也没有最小值．

其中判断正确的是___________(2)(4)_____.

16．若函数在区间（）上既不是单调递加函数，也不是单调递减函数，则实数a的取值范围是___.( )___________________ 。

三、解答题（本题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17． (12分) 已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的单调区间.

（Ⅰ）由的图象经过，知，

所以.所以.

由在处的切线方程是， 知，即，.

所以 即 解得. 故所求的解析式是. （Ⅱ）因为， 令，即，

解得 x112，x212. 当x12或x12时，f(x)0， 当12x12时，f(x)0，

故f(x)x3x3x2在(, 12)内是增函数，在(12, 12)内是减函数，在(1是增函数.

18.(12分)已知函数f(x)x3x （I）求函数f(x)在[3,]上的最大值和最小值. （II）过点P(2,6)作曲线yf(x)的切线，求此切线的方程. 解：（I）f'(x)3(x1)(x1)， ……………………………………………2分 当x[3,1)或x(1,]时，f'(x)0，

3322,)内

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3[3,1],[1,]为函数f(x)的单调增区间

2当x(1,1)时，f'(x)0，

[1,1]为函数f(x)的单调减区间

39又因为f(3)18,f(1)2,f(1)2,f()，………………………………5分

28所以当x3时，f(x)min18

当x1时，f(x)max2 ………………………………………………6分

3（II）设切点为Q(x,x3x)，则所求切线方程为

y(x33x)3(x21)(xx) ………………………………………………8分

32由于切线过点P(2,6)，6(x3x)3(x1)(2x)，

解得x0或x3 ………………………………………………10分 所以切线方程为y3x或y624(x2)即

3xy0或24xy0 ………………………………………………12分 19.(12分)已知函数f(x)=x-x+bx+c.

(1)若f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求b的取值范围;

2

(2)若f(x)在x=1处取得极值，且x∈［-1,2］时，f(x)22

解 （1）f(x)=3x-x+b,因f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，则f(x)≥0.即3x-x+b≥0, ∴b≥x-3x在（-∞，+∞）恒成立.设g(x)=x-3x. 当x=时，g(x)max=

1611,∴b≥.12122

2

3

122

(2)由题意知f(1)=0，即3-1+b=0，∴b=-2.

222

x∈［-1,2］时，f(x)2332

∴f(x)max=f(2)=2+c,∴2+c2或c<-1，所以c的取值范围为（-∞，-1）∪（2，+∞）.

x3a222ax(a1)x和g(x)x 20．(本小题共12分) 给定函数f(x)3x(I)求证: f(x)总有两个极值点;(II)若f(x)和g(x)有相同的极值点,求a的值. 证明: (I)因为f'(x)x2ax(a1)[x(a1)][(x(a1)],

令f'(x)0,则x1a1,x2a1,------------------------------------------2分

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则当xa1时, f'(x)0,当a1xa1, f'(x)0

所以xa1为f(x)的一个极大值点, -----------------------4分 同理可证xa1为f(x)的一个极小值点.-------------------------------------5分 另解：(I)因为f'(x)x22ax(a21)是一个二次函数，

且(2a)24(a21)40，-------------------------------------2分 所以导函数有两个不同的零点， 又因为导函数是一个二次函数，

所以函数f(x)有两个不同的极值点.---------------------------------------5分

a2(xa)(xa) (II) 因为g'(x)12， 2xx 令g'(x)0,则x1a,x2a ---------------------------------------6分 因为f(x)和g(x)有相同的极值点, 且x1a和a1,a1不可能相等,

所以当aa1时, a经检验, a11， 当aa1时, a, 2211和a时, x1a,x2a都是g(x)的极值点.--------------8分 2221．(12分)把边长为a的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后,用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝)，设容器的高为x，容积为V(x). （Ⅰ）写出函数V(x)的解析式，并求出函数的定义域； （Ⅱ）求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积.

解：（Ⅰ）因为容器的高为x，则做成的正三棱柱形容器的底边长为(a23x)----1分. 则V(x)3(a23x)2x . -------------------------3分 4函数的定义域为(0,3a). ------------------------- 4分 63a)上的最大值点. 6（Ⅱ）实际问题归结为求函数V(x)在区间(0,先求V(x)的极值点.

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332a)内，V'(x)93x26axa--------------------6分 3233令V'(x)0，即令93x26axa0，解得x1a, x2a(舍去).

418633因为x1a在区间(0,a)内，x1可能是极值点. 当0xx1时，V'(x)0；

1863当x1xa时，V'(x)0. ---------------------8分

633因此x1是极大值点，且在区间(0,a)内，x1是唯一的极值点，所以xx1a是V(x)的最大值

61831点，并且最大值 f(a)a3

1813即当正三棱柱形容器高为a时，容器的容积最大为a3.----

18在开区间(0,22．(14分)已知x1是函数f(x)mx3(m1)xnx1的一个极值点，其中m,nR,m0， （I）求m与n的关系式；

（II）求f(x)的单调区间；

（III）当x1,1时，函数yf(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围. 解(I)f(x)3mx6(m1)xn因为x1是函数f(x)的一个极值点,所以f(1)0,即

2323m6(m1)n0，所以n3m6 ……………………………………3分

2（II）由（I）知，f(x)3mx6(m1)x3m6=3m(x1)x12……4分 m当m0时，有11 - 2，当x变化时，f(x)与f(x)的变化如下表： m 0 + 1 0 - 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 ………………………………………………………………………………………………8分 故有上表知，当m0时，f(x)在,1在(12单调递减， m2,1)单调递增，在(1,)上单调递减.……………………………………………9分 m2（III）由已知得f(x)3m，即mx2(m1)x20…………………………10分

2222又m0所以x2(m1)x0即x2(m1)x0,x1,1①

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12)x，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，……11分 mm22g(1)012044所以解之得m又m0所以m0 mm33g(1)010设g(x)x22(1即m的取值范围为,0………

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