第二章 轴向拉压(习题解答)

440kN(a)4321350kN225kN120kN(a)420kN32440kN350kN25kN120kN2120kN(b)N111(b')N2(c)225kN220kN(c')20kN25kN(d)N3350kN325kN20kN(d')50kN25kN20kN4(e)40kN40kN50kN25kN20kN(e')50kN25kN20kNN444520(f)N(kN)(f')5520N(kN)5题2-1a5

解：方法一：截面法

（1）用假想截面将整根杆切开，取截面的右边为研究对象，受力如图(b)、(c)、(d)、(e)所示。列平衡方程求轴力： (b) 图：(c) 图：(d) 图：(e) 图：

X020N10N120kN(拉)

2X02025N0N220255kN(压)

3X0202550N0N320255045kN(拉)

4X020255040N0N4202550405kN(拉)

（2）杆的轴力图如图（f）所示。

方法二：简便方法。（为方便理解起见，才画出可以不用画的 (b‘)、(c‘)、(d‘)、(e‘) 图，作题的时候可用手蒙住丢弃的部份，并把手处视为固定端）

（1）因为轴力等于截面一侧所有外力的代数和：NF一侧。故：

N120kN(拉)

N220255kN(压)

1

N320255045kN(拉)

NN4202550405kN(拉)

（2）杆的轴力图如图（f‘）所示。

2-2b作图示杆的轴力图。

解：（1）用1-1截面将整个杆切开，取左边部分为研究对象；再用x-x截面整个杆切开，取右边部分为研究对象，两脱离体受力如图(b)、(c)，建立图示坐标。 （2）列平衡方程求杆的轴力 (c)图：

P1xq=P/l(a)1xxlxl/21PN11xNxxq=P/l(b)(c)Pxxx(d)N图X0N1P0N1P(拉)0xl/2(b)图：

题2-2bX0q(xl/2)Nx0Nxq(xl/2)(拉)l/2x3l/2

（3）杆的轴力图如图（d）所示。

2-5 图示两根截面为100mmⅹ100mm的木柱，分别受到由横梁传来的外力作用。试计算两柱上、中、下三段的应力。

3kN

AB9kNEFGH6kN3kN1m9kN(b)3kN2m3kN(a)CD1m(c)1m1m4kN2m1kN3kN(d)31m1.5kN2m4.5kN1.5m1m2m1.5m3kNN图（kN）6kNN图（kN）6EFA4kNB-108.51kNG4.5kN-26.5(f)C1.5kND(e)H题2-5

解：（1）梁与柱之间通过中间铰，可视中间铰为理想的光滑约束。将各梁视为简支梁或外伸梁，柱可视为悬臂梁，受力如图所示。列各梁、柱的平衡方程，可求中间铰对各梁、柱的约束反力，计算结果见上图。 （2）作柱的轴力图，如(e)、(f)所示。 （3）求柱各段的应力。

2

NAB6103Pa0.6MPaABA0.010.01NBC10103左柱BCPa1MPaA0.010.01NCD8.5103Pa0.85MPaCDA0.010.01

NEF3103Pa0.3MPaEFA0.010.01NFG2103右柱FGPa0.2MPaA0.010.01NGH6.5103Pa0.65MPaGHA0.010.012-6一受轴向拉伸的杆件，横截面面积A=200mm2，力P=10kN，求法线与杆轴成30o及45o的斜截面上的正应力和剪应力。

解：（1）求轴向拉压杆横截面应力

N10103Pa50MPa

A200106cos2（2）由轴向拉压杆斜截面上应力公式：求得： sin2230cos250cos23037.5MPa45cos250cos24525MPa 和505030sin2sin(230)21.65MPa45sin2sin(245)25MPa2222

2-9(1)证明轴向拉伸（或压缩）的圆截面杆，其横截面上沿圆周方向的线应变s等于沿直径方向的线应变

d。(2)一圆截面钢杆，直径d=10mm，在轴向拉力P作用下，直径减少了0.0025mm，试求拉力P。

（1）证明：s'dddddd，故，sd dd0.0025'2.51044'2.510，又v0.01 (2)解：因dd10v0.25故，PAEA200100.001

2-11图示结构中，刚性杆AB由两根弹性杆AC和BD悬吊。已知：P、l、E1A1和E2A2 ，试求x等于多少时可使AB杆保持水平？

分析：两根杆的反力和x，三个未知量，仅凭列AB的平衡方程，无法求解。显然要列变形协调方程。

解：（1）研究AB杆，列平衡方程

940.0121.57104N15.7kN

CaAxN1DE1A1E2A2PB(a)lPN2A题2-11

3

B(b)PxNBDl0，………（a） NCANBDP三个未知量，仅凭平衡方程无法求解。

（2）列变形协调方程

AB杆位置要水平,lAClBD 而:lACNCDaNalBDBD，

EAEANCDaNBDa………………………………………………（b） EAEA即lAClBD(3)联解平衡方程式组和变形协调方程，可得：x

E1A1l

E1A1E2A22-13 图示三角支架中，杆AB由两根不等边角钢L63ⅹ40ⅹ4组成，当W=15kN时，校核杆AB的强度。

解：（1）拉紧的柔性约束对滑轮的作用，只相当

B于一个力矢2W，而无主矩。研究销钉，假设AB、

2L63 40 4AC为拉杆，受力如图(b)，所示。（注意：拉杆施与

销钉的拉力是沿“背离销钉，指向杆内”） A 30°（2）列平衡方程，求AB杆内力。 C(a) PW Y0NABsin302W0NAB60kN(拉) NAB2

（3）强度校核：经查表，等边角钢的面积为4.058cm。

B30°3(b) N6010NACABABPa73.9MPa160MPa题2-134 2WA24.05810

故，AB杆的拉压强度足够。

2-14 图示桁架中，每根杆长均为1m，并均由两根 P1Q235等边角钢组成。设P=400kN，试选择AC杆和CD ABC杆所用角钢的型号。

解：（1）求支反力RA、RB：因屋架及荷载左右对称，

所以：RARBP/2P/2P1400200kN 22(a)DANAC1CNDCE（2）求AC杆和CD杆的内力：用截面法1-1切开， 取截面的左边部分为研究对象，设三杆是拉杆，内力 沿截面外法线方向，脱离体受力如图（b）所示。

P/260(b)NDE 4

题2-14D列平衡方程求AC杆和CD杆的内力：

PPNAC(1sin60)(1cos30)0NACm(F)023 D2PPNsin600NY0DCDC23（3）由强度条件选择等边角钢的型号：

NACNAC400103122AmACAC262AA3.61cm1601023ACAC A7.22cm23NDCNDC400101DC2ADCm262ADC160103故，AC杆选两根Ｌ40405的等边角钢：。CD杆选两根Ｌ63636的等边角钢。 2-15图示三角架中，已知：A16001160MPa,A2900mmmm，222100MPa，试求结，60°60°构的许可荷载[P]。

解：（1）求杆件的容许轴力[N]

①N11A116010660010696000N96kN

N22A210010690010690000N90kN

（2）求出内力N与P的关系，研究节点，受力如图(b)： 由于结构对称，荷载对称，所示N1=N2

②(a)PN160°60°N2P(b)Y02N1cos6P0N1N2P(拉)

题2-15（3）由强度条件确定P：

N1P[N1]96kNP96kNP90kN NP[N]90kNP90kN22故，结构的容许荷载P90kN

2-16 图示钢筋混凝土短柱，边长a400mm，

柱内有四根直径为d30mm的钢筋。已知，柱 受压后混凝土的应力值为h6MPa，试求轴 向压力P及钢筋的应力g。

解：方法一：钢筋混凝土短柱，下端固定，上端 为盖板覆盖，可认为短柱是由无数根纵向纤维组

5

Pa(b)(a)题2-16a成，各纵向纤维的线应变相同。即hg。

gEggEg21011由胡虎定理E可得：10

hEhhEh0.21011故，g10h10660MPa

故， PhAhgAg6100.4460106260.03241129.6kN

方法二： 由胡虎定理lNglNhlNl可得：lh ，lgEAEhAhEgAg而，钢筋和混凝土的纵向绝对伸长量相等。

NglNgEgAgEgd2/4Nhl210110.032/4 0.044156EhAhEgAgNhEhAhEha20.210110.42故：Nh6100.4N960kN62Ng0.044156Nh0.04415696042.39N

PNh4Ng960442.391129.6kN

42.39103由轴向拉压杆的应力公式得：gPa60MPa 2AG0.0342-24 图示为低碳钢的曲线，若超过屈服极限后继续加载，当试件横截面上应力300MPa时，

3测得其轴向线应变3.510，然后立即卸载至0，试求试件的轴向塑性应变P。

Ng解：（1）卸载遵循弹性规律：卸E卸。

查表可知低碳钢的弹性模量：E=200GPa

卸E卸30010621011ee1.5103

（2）卸载前的轴向线应变3.510，则Pe2103

3300MPal=1.5mGKεa=10OO1O2εPεeP题2-24题2-256

a=10

2-25 图示拉杆为钢杆，测得表面上K点处的横向线应变210，试求荷载P和总伸长量l。

'4'解：（1）在弹性范围内，杆的横向线应变与轴向线应变之比的绝对值为一常量，即v；查表可得

钢材的泊松比v0.25。

21048104 故，轴向线应变v0.25（2）求总伸长量l

'lll81041.5m1.2mm lPllPEA210110.0128104N16kN EAl（3）求荷载P 由胡克定理l2-29 图示铆钉连接件，t18mm,t210mm，P200kN求铆钉的直径。

解：（1）每一个铆钉受力情况是相同的，发生剪切、挤压变形，受单剪；铆钉左上、右下的半圆柱面是挤压面，剪切面界于两相反外力作用区的交界处面。如图(c)所示。

（2）按剪切强度设计铆钉的直径d。

VP/5200103/5200103/56210010d0.0226m22.6mm 26Ad/4d/4/410010（3）按挤压强度设计铆钉的直径d。

因t18mmt210mm，故，铆钉上半部的挤压应力大于下半部分，

上P/5200103/5200103/56bs24010dbs0.0208m20.8mm 6dbst10.008dbs0.00824010故，取两直径的最大值。dmax(d,dbs)22.6mm 故，设计直径为22.6mm的铆钉，安全可靠。

dt230P150P=200NPt1R''铜(a)PP(a)R'铜铜丝销钉200N(b)''R销P=200NR铜(b)P/5P/5(c)'R销R销题2-29

7

题2-30

2—30 图示剪刀，a30mm,b150mm，销子c的直径d5mm。当力P=0.2kN剪刀与销子直径相同的铜丝时，求铜丝与销子横截面上的平均剪应力。

解：（1）取半边夹钳为研究对象，受力如图(b)所示。 （2）列平衡方程求R销、R铜

mA(F)0P150R铜300R铜5P1000N R铜R销P0R销R铜P1200NY0（3）由于铜丝、销钉都被夹钳单剪。故，

1000Pa50.93MPa22Ad/40.005/4

V销R销1200销2Pa61.11MPa2Ad/40.005/4铜V铜R铜2-32 试选择图示铆钉连接件每块主板上所需钢铆钉的数目及钢板宽度。

d=16102010d=16100kN100kN100kN102010100kN(a)d=16(a)d=16PbP=100kNPbP=100kN(b)121(b)P/3P/3PP/3P/6P/6P/3P/3PP/3P/3P/6P/6P/31(d)2(c)1(c)(d)

P2P/3PN图+30(e)P/6P/6N图+P/3023(e)P/6P/6P/63P/6P/6P/6P/6P/6P/6P/623(f)P/2(f)P/2N图0P/6+P/60(g)P/3N图0+P/30(g)

情况一 情况二

题2—32图

8

解：图示铆接件为对接，每一个铆钉有两个剪切面，发生双剪。每个铆钉受力如图(c)，铆钉的剪切面上承受的剪力为：VP/6。

（1）按剪切强度计算来确定每块主板所需铆钉的个数n：

P100103V2n22n100106n2.49 Ad/40.01624取，n=3

(2)校核挤压强度：

由于主板厚度是盖板厚度的两倍，故，铆钉中段、上段、下段的挤压应力相同。

bsPbs100103/3104.167106Pa104.167MPabs240106 Abs0.020.016挤压强度足够。

（3）由钢板的抗拉压强度确定钢板宽度b。

第一种情况：主板与盖板的受力图及其轴力图分别如图2-36(e)、(g) 所示。应分别从主板的1-1、2-2截面和盖板的3-3截面作强度条件算起。

11N11P100103105616010b0.0160.047mA11(bd)t主(b0.016)0.02162105N222P/32100103/32105616010b0.0320.053m5A22(b2d)t主(b20.016)0.02316210N33P/2100103/2105616010b0.0320.063m 5A33(b2d)t盖(b20.016)0.01216102233故，钢板的宽度可取b=63mm。

（3‘）由钢板的抗拉压强度确定钢板宽度b。

第二种情况：主板与盖板的受力图及其轴力图分别如图2-36(e)、(g) 所示。应分别从主板的1-1截面和盖板的2-2、3-3截面作强度条件算起。

11N11P100103105616010b0.0320.063mA11(b2d)t主(b20.016)0.02162105N22P/3100103/3105616010b0.0320.053m5A22(b2d)t盖(b20.016)0.0131610N33P/2100103/2105616010b0.0160.047m A33(bd)t盖(b0.016)0.012161052233故，钢板的宽度可取b=63mm

（3‘‘）由钢板的抗拉压强度确定钢板宽度b。

9

d=16102010100kN100kNP2P/3+N主图P/3(a)d=16(e)22'PbP=100kNP/6P/6P/6P/6P/6P/6(b)122'(f)P/6PP/3P/3P/3P/6P/6P/3N盖图0P/6P/3P/2+P/30(g)1(c)(d)

第三种情况 题2—32图

第三种情况：主板与盖板的受力图及其轴力图分别如图2-36(e)、(g) 所示。应分别从主板的1-1截面和盖板的2-2、2‘-2‘截面作强度条件算起。

11N11P100103105616010b0.0160.047m5A11(bd)t主(b0.016)0.0216210N22P/2100103/2105616010b0.0160.047m 5A22(bd)t盖(b0.016)0.012161022故，钢板的宽度可取b=47mm

2-34 图示一正方形截面的混凝土柱，浇注在混凝土基础上，基础分两层，每层厚度为t。已知P=200kN，假定地基对混凝土基础底板的反力均匀分布，混凝土的1.5MPa，试求为使基础不被剪坏所需的厚度t值。

解：（1）取将剪坏而未剪坏时的矩形饼为研究对象，受力如图(c)、(d) 所示。 （2）先研究上层基础饼(c)：

V上Pq上S上Pq上0.22，

P（均布荷载集度可认为是上层基础受下层基础挤压的压强） 20.3P20.2(40.2)t上 即，上(40.2)t上P20.3q上故，t上

10

20.3m92.6mm

0.81.5106P10.22（3）研究下层基础饼（d）

V下Pq下S下Pq下0.32,

q下P 0.82即，下(40.3)t下P故，t下95.5mm

P20.3(40.3)t下 20.8故，tmax(t上,t下)95.5mm

PP0.2t0.30.8(a)P=400kN(b)tPq下tdPP(c)Pv上v下q下(b)(d)q上(c)(a)

题2-34图 补充题图

补充：冲床的最大冲力为400kN，冲头材料的许用440MPa，被冲剪板的剪切强度极限

b360MPa。求出最大冲力作用下所能冲剪的圆孔的直径和板的最大厚度。

(dmin34mm,tmin10mm)

解：（1）在冲头冲剪板的过程中，冲头受轴向压缩，钢板受剪切和挤压。挤压面是钢板与冲床接触的下圆环区域，以及与冲头接触的中上部圆形区域，钢板受力如图(b)。剪切面是钢板的两挤压面的交界面，即将被冲出来的“铁饼”薄圆柱的侧面。

（2）由轴向拉压强度确定圆孔的直径

maxNmax400103440106d2Ad440010340.034m34mm

440106（3）由板的剪切强度确定板的最大厚度t

取将剪坏而未剪坏时的薄圆柱为研究对象，受力如图(c) 所示。由薄圆柱的平衡条件知：dtVP

VPP400103bt0.0104m10.4mm 6Adtdb0.03436010

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