SARS 数学建模

问题重述

SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：

（1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性(假设的合理，分析的合理，结果的合理)和实用性（对于实际应用上的作用）。

（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。

（3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件3提供的数据供参考。

（4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。

第一问

早起模型的评析

一、 早期模型的重述

① 模型的假设：

根据附件一中的模型，我们可以得出此模型具有如下假设

1) 不考虑“非典”的潜伏期，感染非典后立即具有传染性； 2) 当感染者有效接触健康者时，使健康者被感染；

3) 整个“非典”发病期间不采取任何预防措施和隔离治疗措施； 4) 忽略“非典病人的个体差异”，假设传染期为常数；

② 早期模型建立：

假定初始时刻的病例数为N0，平均每位病人每天可传染K个人（K一般为小数），平均每个病人可以直接感染他人的时间为L天。则在L天之内，病例数目的增长随时间t(单位天)的关系是：

N（t）= N0 (1+K)t

如果不考虑对传染期的，则病例数将按照指数规律增长。考虑传染期限L的作用后，变化将显著偏离指数律，增长速度会放慢。我们采用半模拟循环计算的办法，把到达L天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉。为了简单起见，从开始至到高峰期间均采用同样的K值（从拟合这一阶段的数据定出）。到达高峰期后，在10天的范围内逐步调整K值到比较小，然后保持不变，拟合其后在控制阶段的全部数据。

二、 早起模型的合理性和实用性的简评

A. 早期模型的优点：

1.

模型简明

本模型主要有三个参数N0 、K、 L，且都具有实际意义。L可理解为平均每个病人在被发现前后可以造成直接传染的期限，在此期限后失去传染能力，可能原因是被隔离、病愈或死去等等。K表示某种社会条件下平均每位病人每天传播的人数（但并非文中所述的一个病人的感染他人的平均概率）。整个模型抓住了SARS传播过程中两个主要特征：传染期L和传染率K，反映了SARS的传播过程。使人很容易理解该模型。 2. 模型灵活

通过调整N0 、K、 L值，就可以描述不同地区，不同环境下SARS的初期传播规律 3. 预测准确 通过模型对北京、广东与的疫情进行了分析，得到的预测值与实际统计数据较接近。可大致预测出疫情的爆发点和发展趋势。 B. 早期模型的缺点：

1. 对于如何确定对于三个参数N0 、K、 L，未给出一般的原则或算法，只能通过对于

已发病地区的数据进行拟合得出。按照作者的表述，K值是以病发高峰为界取各段的平均值作为传染概率，虽然简化了运算，但是在现实情况下，不同地区的K值是不同的。在实际应用中，如果没有一定量的数据，是无法得出K值的。在我们对该模型进行拟合事发现，对于N0 、K、 L作者未给出调整的标准和相关理论，所以我们很难重复该求解过程。

2. 当需要对某一地区进行疫情分析时，还需考虑到该地区相对于北京、广州、这

类人口密集，人员流动性大的城市之间的差异。地域因素会造成不同地区的K值不同（如人口密度和人口流动大的城市若爆发传染病，初期的K值会比人口密度和人口流动小的城市大，等等），而很难找到地域因素几乎相同的两城市。所以此作法

可能导致预测结果相差较大。

综上所述，该模型能较好的反映非典传染的特征性，具有一定的实际意义。但是，参数的取值包含有一定的主观因素，且需要大量的数据进行拟合，且未给出调整的标准和相关理论，在实际应用中实用价值不大。

第二问，

模型一， 模型假设

1， 在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，既不考虑生死，，也不考虑迁移。

人群分为易感染者和已感染者两类，时刻t这两类人在总人数中所占比例分别记为s（t）和i（t）。

2， 每个病人每天有效接触的平均人数是常数k，k称为日接触率。当病人与健康

者有效接触时，使健康者受感染为病人。

问题分析

根据假设，可知，人群分为两类，一是健康者，二是病人，只要一类人群随时间的变化规律知道，这另一类人群也可马上求解。由于传染病过程中通常取病人为研究对象，所以决定求解病人随时间的变化规律。

模型求解

对于t时刻，病人的增加率为Nisk，即

NdikNsi （1） dt又因为

S（t）+i（t）=1 （2） 再令初始时刻的病人比例为i0，这

diki(1i),i(0)i0 （3） dt显然此为logistic模型，它的解为 i(t)1 （4）

1(1/i01)ekt参数的确定

通过对北京的累计病例数用spss进行曲线拟合，结果如下

模型汇总和参数估计值 因变量:累计病例数 模型汇总 方程 Logistic 自变量为 时间。 R 方 .926 F df1 1 df2 63 Sig. .000 参数估计值 常数 .001 b1 .865

可得拟合的函数关系式为

y1，y=N*i

1/25250.001(0.865)t通过取一系列t来估计出相应的k值，结果如下 时间

20

30

40

50

60

k值大小

由图像可知，当t较大时，曲线拟合的数据与实际测量值越接近，所以就取t=60时所对应的k值，即。此值可以近似看做当没有采取措施，即传染病的自然传染能力大小。但同时根据附件1的求解方法，我们计算了4月20日到4月29日期间每日的k值大小，再求平均，得k=（消息内容请看附件1）。对于k和k之间的差异，这是由于模型1并未考虑到控制前和控制后k值将改变，且k1>k2。所以由于k只考虑控制前，所以比k要略大，我们考虑传染病的每天平均自然传染人数时，取值为k=。但由于此模型未考虑到病人会被

治愈而成为健康者，所以在模型1的基础上进行改进，建立了模型2。 模型2

在模型1的假设条件下增加的条件为，

3， 每天被治愈的病人数或死于该传染病人数占病人总数的比例为常数p。病人治

愈后由于获得了免疫能力，同时也由于心理作用，更加保护自己，所以可以假设治愈后再次感染的几率为0，且该种人群在总人群中所占有的比例为u（t）。 不难看出，考虑到假设3，模型1中的（1）式应修改为

NdikNsipNi,i(0)i0 （5） dt 而且对于健康者，其增加率为

dsksi,s(0)s0 （6） dtdupNi （7） dt 对于移出者而言，其增加率为 N 由于人群只由健康者，病人和移出者组成，所以

S(t)+i(t)+u(t)=1 (8) 模型求解

查资料，得到2003年北京市市区总人口数目为万人

从而可以得到初始条件i0= 339/（*10^(-4)）=*10^(-5 ) ，s0= 0.(取4月20号为初始条件) 同时根据附件2中的死亡累计和治愈累计，求得每日的移出率p，在求平均值得到p=。 在模型一中求得k=；将上述参数代入（5）式和（6））式，求得数值解和绘制的图像（详细内容见附件1）

10.90.80.70.60.50.40.30.20.10050100150200250300i(t)s(t)

0.350.30.250.20.150.10.050i(s)00.20.40.60.81

2.5x 1062能感染的病人数1.510.50050100时间150200

由图像可得i（t）随时间的推移先逐渐变大，之后变小，趋向于0，s(t)随时间的推移而逐渐减小，根据常识，一种传染病中的病人比例最终是为0，由此模型2还是比较符合客观事实的，但从图像中大致可以判断i（t）=0时大约要经过225多天。这与实际过程中大约经过100多天北京的sars就平息存在较大误差，仔细分析，我们发现该模型忽略了sars的潜伏期，实际上健康人与sars患者接触后虽然被感染了，但还处于潜伏期，没有传染能力。所以将模型2进行改进，得到模型3。 模型3 模型假设

1， 将人群分为四类，分别为健康人群，能感染的sars病人，sars潜伏者和移

出者（包括sars的死亡者和治愈者），他们在人群中的比重分别为 s(t),i(t),w(t),u(t);其中已确诊病人和sars潜伏者统称为sars病毒携带者，记 为x1（t）,表示其t时刻的人数，人口总人数为N。

2 ，每个病人每天有效接触的平均人数是常数k，k称为日接触率。当病人与

健康者有效接触时，使健康者受感染为病人。

3，sars潜伏者无传染能力，但最终会成为病人，具有传染能力。

问题分析

该模型比起模型2更为复杂，在该模型中还必须将sars病毒携带者分为两类，显然增加了计算难度，在此中还应该考虑潜伏周期T。 模型求解

在t时刻sars病毒携带者x1(t)=Ni(t)+Nw(t) (9) sars病毒携带者的增长率为

dx1(t)Ni(t)ks(t)Ni(t)p （10） dt健康人的增长率为

dsi(t)ks(t) （11） dt移出者的增长率为 潜伏者的增长率为

duip （12） dtdw(t)i(t)ks(t)i(tT)ks(tT) （13） dtdi(t)dw(tT)i(t)p dtdt确诊病人的增长率为

（14）

除此之外，还有一条公式，为

S(t)+i(t)+w(t)+u(t)=1 (15) 由（9）到（16）式联立，可得到

di(t)i(tT)ks(tT)i(t)p （16） dt 将（14）和（17）式联立，可得

dw(tT)i(tT)ks(tT) （17） dtdw(t)i(t)ks(t) （18） dt 将t-T用t代替，可得

在对（16）式两边对t进行求导，可得

ds(t)di(t)dw(t)du(t)0 dtdtdtdt（19）

结合（11），（12），（18）可求得

di(t)i(t)p dt（20）

最终对（11），（18），（20）联立的方程组进行数值求解，可得图像如下

1.21s(t)0.80.60.40.20-0.2w(t)i(t)050100150200

0.50.450.40.350.30.250.20.150.10.05000.20.40.60.81i(s)

3.532.5x 106能感染的病人数21.510.50050100时间150200

从图像中我们可以观察到在300多天时i（t）会接近于0，这比模型2还要久，，因此，我们还把的干预考虑进来，也就得到了模型4。

由于时间，模型4中考虑的因素更多，所以一时没能解决，也就导致了第二问实际上还不能完全解决，但是我们已经有了思路，即再引入一类人群，就是隔离人群，通过引入该人群，实际上是改变了病人的有效接触人数k，我们根据北京4月29日之后的实际数据，求得每日的k值，再求平均，得k2=；我们想采用分段函数，即确定一个时刻t，为k值改变的时刻，在这个时刻前与后都可以适用模型3。只是在考虑t时刻后，它的初始条件为4月29日的数据。通过t的改变，可以解决第二问中早五天和晚五天的差别。

第三问

附件3：北京市接待海外旅游人数（单位：万人）

年 1月 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

建立灰色预测模型GM（1,1）

由附件3，建立1997—2002年的矩阵,计算每年的年平均值，记为 ,

求得级比σ（i）=/(i) 对

=,=(i=2,3…6)，

记

,

求均值数列

2月 26 3月 4月 21 5月 21 29 6月 28 7月 23 26 8月 9月 10月 11月 12月 表格1- 1

(k=2,3…6)，

即=(…).于是建立灰色微分方程为

(k)+a=b

1- 1

相应的白化微分方程为

1- 2

记u=,=,B=,则由最小二乘法，求得达到最小值的=. 于是求解方程错误!未找到引用源。，得 则

1- 3

由错误!未找到引用源。式可以得到2003年的平均值为x，则观测2004年的总产值为X=12·x.根据历史数据，可以统计计算出2003年第i个月的指标值占全年总值的比例为u，即

1- 4

则,于是可得2003年每一个月的指标值为Y=X·u

模型的求解：

由错误!未找到引用源。的数据，可以求得年平均值、一次累加值分别为 ，，，，，） =（，，，，，）

可求得的所有级比为（,,,,）

也就是说的所有级比都在可容区域,内

取参数α= 求得均值数列=（，，，，）

由错误!未找到引用源。式进行最小二乘法拟合可得

从而得到：