空间向量及其运算(练习)

班级： 姓名： 学号：

学习目标 1. 熟练掌握空间向量的加法，减法，向量的数乘运算，向量的数量积运算及其坐标表示；

2. 熟练掌握空间线段的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并能熟练用这些公式解决有关问题. 例2 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，ABC90,CB1,CA2,AA16,点M是CC1的中点，求证：AMBA1.

学习过程 一、课前准备：（阅读课本p115） 复习： 学习评价 1. 具有 和 的量叫向量， 叫向量的模； 叫零向量，记着 ； ※ 当堂检测 具有 叫单位向量. 2. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则. 3.实数λ与向量a的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝ .

(2)当λ＞0时，λa与A. ；当λ＜0时，λa与A. ；当λ＝0时，λa＝ .

4. 向量加法和数乘向量运算律：

交换律：a＋b＝ 结合律：(a＋b)＋c＝ 数乘分配律：λ(a＋b)＝

5.① 表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也

叫平行向量.

②空间向量共线定理：对空间任意两个向量a,b（b0）， a//b的充要条件是存在唯一实数，使得 ；

③ 推论： l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是 6. 空间向量共面： ①共面向量： 同一平面的向量.

②定理：对空间两个不共线向量a,b，向量p与向量a,b共面的充要条件是存在 ，

使得 .

③推论：空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是：

⑴ 存在 ，使

⑵ 对空间任意一点O，有

7. 向量的数量积：ab .

8. 单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示.

9.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为 x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{x,y,z}，使得axiyjzk，则称有序实数组{x,y,z}为向量a的坐标，记着p .

10. 设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB＝ .

11. 向量的直角坐标运算：设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则

⑴a＋b＝ ； ⑵a－b＝ ；⑶λa＝ ⑷a·b＝ ※ 典型例题

例1 如图，空间四边形OABC中，OAa,OBb，OCc，点M在OA上，且OM=2MA,点N为BC的中点，则MN .

1．在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．其中正确命题的个数为（ ） A．0 B. 1 C. 2 D. 3

2．已知a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），c＝（7，5，λ），若a、b、c三向量共面，则实数λ=

A. 627 B. 637 C. 7 D. 657 3．若a、b均为非零向量，则ab|a||b|是a与b共线的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件

4．已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 5. a3i2jk,bij2k,则5a•3b（ ） A．－15 B．－5 C．－3 D．－1

6．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若CAa，CBb，CC1c， 则A1B（ ）

A. abc B. abc C. abc D.abc

7.ma,mb,向量nab(,R且、0)则（ ）

A．m//n B、m与n不平行也不垂直 C. mn， D．以上情况都可能. 8. 已知a+b+c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝19，则向量a与b之间的夹角a,b为（ ） A．30° B．45° C．60° D．以上都不对

9.已知a1,1,0,b1,0,2,且kab与2ab互相垂直，则k的值是（ ）

A. .1 B.

15 C. 35 D. 75

10. 若A(m＋1，n－1,3)， B. (2m,n,m－2n)，C(m＋3,n－3,9)三点共线，则m+n= 11、如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点. ⑴ 求证：EFCF；

⑵ 求EF与CG所成角的余弦； ⑶ 求CE的长.

1

§第三章 空间向量（复习）

班级： 姓名： 学号：

学习目标 1. 掌握空间向量的运算及其坐标运算；

2. 立体几何问题的解决──熟练掌握向量是很好的工具. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P115－116，找出惑之处）

复习1：如图，空间四边形OABC中，OAa,OBb,OCc.点M在OA上，且OM=2MA, N为BC中点，则MN

复习2：平行六面体ABCDA'B'C'D'中，ABaADb,AA'c，点P,M,N分别是CA',CD',C'D' 的中点，点Q在CA'上，且CQ:QA'4:1,用基底a,b,c表示下列向量：

⑴ AP; ⑵ AM ; ⑶ AN; ⑷ AQ.

※主要知识点：

1. 空间向量的运算及其坐标运算：

空间向量是平面向量的推广, 有关运算方法几乎一样,只是“二维的”变成 “三维的”了.

2. 立体几何问题的解决──向量是很好的工具 ①平行与垂直的判断 ②角与距离的计算

※ 典型例题

例1 如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为500kg，在它的顶点处分别受力F1、F2、F3，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是60，且F1F2F3200kg.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大时，才能提起这块钢板？

小结：在现实生活中的问题，我们可以转化我数学中向量的问题来解决，具体方法有坐标法和直接向量运算法，对能建立坐标系的题，尽量使用坐标计算会给计算带来方便.

例2 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90,CB1,CA2,AA16,点M是CC1的中点，求证：

AMBA1.

例3 如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，点E,F分别在BB1,DD1上，且AEA1B,AFA1D. ⑴ 求证：A1C平面AEF;

⑵ 当AB4,AD3,AA15时，求平面AEF与平面D1B1BD所成的角的余弦值.

※ 动手试试

练1. 如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a. ⑴试建立适当的坐标系，写出点A,B,A1,C1的坐标 ⑵求AC1的侧面ABB1A1所成的角.

2

练2. 已知点A(1,-2,0),向量a3,4,12，求点B的坐标，使得AB//a，且AB2a.

三、总结提升 ※ 学习小结

1. 空间向量的运算与平面向量的方法相同；

2. 向量的数量积和平面的法向量是向量解决立体几何问题常用的方法.

※ 知识拓展

若二面角两个面的法向量分别是n1,n2，二面角为 则coscosn1,n2，而 cosn1,n2n1•n2|n||n.12| 学习评价 ※ 当堂检测 1.已知a1,1,0,b1,0,2，且(kab)(2ab)，则k＝ ；

2. 已知a1t,2t1,0,b2,t,t，则ba的最小值是（ ） A. 5 B.

6 C.

2 D.

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3.空间两个单位向量OAm,n,0,OB0,n,p与OC1,1,1的夹角都等于

4，则cosAOB

4.将正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角后，异面直线AB,CD所成角的余弦值为 .

5. 正方体ABCDA11B1C1D1的棱长为a，AM3AC1,N是BB1的中点，则MN＝（ ）

A. 21615156a B. 6a C.

6a D. 3a

6、如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E,F,G分别为DD1,BD,BB1的中点. ⑴ 求证：EFCF;

⑵ 求EF与CG所成角的余弦值； ⑶ 求CE的长.

7、正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为1，棱长为2，点M是BC的中点，在直线CC1上求一点N，使MNAB.

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