函数单调性奇偶性经典例题

1．若函数yf(x)(xR)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数

yf(x)图象上的是（ ）

A.(a，f(a)) B。(a，f(a)) C.(a，f(a)) D。(a，f(a))

a2xa22。 已知函数f(x)2x1(xR)是奇函数,则a的值为( )

A．1 B．2 C．1 D．2 3．已知f（x）是偶函数,g(x）是奇函数，若f(x)g(x)的解析式为_______．

4．已知函数f（x）为偶函数，且其图象与x轴有四个交点，则方程f（x）＝0的所有 实根之和为________．

5.定义在R上的单调函数f(x)满足f（3）=log23且对任意x，y∈R 都有f(x+y)=f（x）+f（y）． (1)求证f（x)为奇函数；

（2)若f（k·3x)+f(3x-9x—2)＜0对任意x∈R恒成立， 求实数k的取值范围．

6.已知定义在区间（0，+∞)上的函数f(x）满足f（（1）求f(1）的值； (2)判断f（x)的单调性；

(3）若f（3)=—1，解不等式f（｜x｜)＜-2。

x1)=f(x1）—f(x2)，且当x＞1时,f（x）＜0。 x21x1，则f（x）

7.函数f（x)对任意的a、b∈R，都有f（a+b）=f(a）+f（b)-1,并且当x＞0时,f（x)＞1. （1)求证：f（x）是R上的增函数；

2

（2）若f(4）=5,解不等式f(3m-m—2)＜3。

8.设f（x）的定义域为(0，+∞），且在（0，+∞）是递增的,f()f(x)f(y)

(1)求证:f(1）=0，f（xy）=f（x）+f（y）; （2）设f(2）=1,解不等式f(x)f(xy1)2。 x3

9.设函数f(x)对xR都满足f(3x)f(3x)，且方程f(x)0恰有6个不同 的实数根，则这6个实根的和为( ）

0 B．9 C．12 D．18

310.关于x的方程 x2(2m8)xm2160的两个实根 x1、x2 满足 x1x2,

2 则实数m的取值范围

11。已知函数yf(x)(xR)满足f(x3)f(x1),且x∈［－1，1]时,f(x)|x|， 则yf(x)与ylog5x的图象交点的个数是( )

A．3 B．4 C．5

D．6

12.已知函数f(x)满足:x4，则f(x)＝()；当x4时f(x)＝f(x1)，则

12xf(2log23)＝

A

1311 B C D

8824121)=－1,当且仅当0〈x〈1时f(x）〈0，且对任意x、 213。已知函数f（x）在(－1,1）上有定义，f(

y∈(－1，1)都有f(x）+f(y）=f(（1)f(x）为奇函数；

（2)f（x)在(－1,1)上单调递减。

xy），试证明： 1xy14.函数f（x)=

1x2x11xx12的图象( ）

B。关于y轴对称 D.关于直线x=1对称

A.关于x轴对称 C.关于原点对称

15。函数f(x）在R上为增函数，则y=f(｜x+1｜）的一个单调递减区间是_________。

16.若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f（0)=f（x1)=f(x2）=0 (0x2x1 （a〉1)。 (1）证明：函数f（x)在(－1，+∞）上为增函数。 (2)用反证法证明方程f（x)=0没有负数根。

（x）=x318。求证函数f(x21)2在区间（1，+∞)上是减函数。

19设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足： （i)f（x(xx1－x2)=

f1)f(2)1f(xf(x；

2)1)（ii)存在正常数a使f(a）=1。求证: (1）f(x）是奇函数。

(2）f（x）是周期函数，且有一个周期是4a。

且在［x2，+∞)上单调递增，

20。已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R，恒有f（m+n）=f(m)+f（n)－1,且 f(－

12)=0,当x〉－12时，f（x)〉0. （1）求证：f(x)是单调递增函数；

（2）试举出具有这种性质的一个函数,并加以验证。

21.已知奇函数f(x）是定义在(－3，3）上的减函数,且满足不等式f(x－3）+f(x2－3）<0， 设不等式解集为A，B=A∪｛x｜1≤x≤5}, 求函数g(x）=－3x2+3x－4（x∈B)的最大值。

22.设f（x)是（－∞，+∞)上的奇函数，f(x+2）=－f（x)，当0≤x≤1时，f（x)=x，则f(7.5)等于（ A。0.5

B。－0.5

C.1。5

D.－1。5

23.已知定义域为(－1，1）的奇函数y=f(x）又是减函数，且f(a－3）+f（9－a2）<0,则a的取值 范围是（ ) A.（22，3） B。(3，10) C.(22,4）

D。（－2，3)

24.若f（x)为奇函数，且在（0，+∞)内是增函数，又f(－3）=0，则xf（x）〈0的解集为_________. 25。如果函数f（x）在R上为奇函数，在（－1,0)上是增函数，且f(x+2)=－f（x）， 试比较f(

13）,f(23),f(1)的大小关系_________。

) 参

6.（1)f（1） = f(1/1） = f（1) — f（1） = 0。

（2）当0 〈 x < y时，y/x > 1，所以f(y） — f(x） = f（y/x) < 0 。故f单调减。

（3）f(3) = -1，f(3) = f(9/3） = f（9） - f（3),f（9) = —2而 f（｜x｜）＜—2 = f(9），且f单调减,所以| x | 〉 9 x＞9或x＜-9

7。（1）设x1,x2∈R，且x1＜x2， 则x2-x1＞0，∴f（x2-x1)＞1。 f(x2)-f(x1)=f（（x2-x1)+x1）—f(x1） =f（x2—x1）+f(x1）—1-f(x1)

=f（x2-x1）—1＞0。 ∴f(x2）＞f（x1）。即f（x)是R上的增函数.

(2）∵f（4）=f（2+2）=f（2)+f（2）—1=5，∴f（2)=3，∴原不等式可化为f(3m2-m—2）＜f(2）, ∵f（x)是R上的增函数，∴3m2-m-2＜2， 441,解得-1＜m＜ ,故解集为 3 . 313。证明:（1)由f(x）+f（y）=f（

xyxx)，令x=y=0,得f(0）=0,令y=－x，得f（x）+f（－x)=f（）=f（0)=0 1xy1x2∴f(x)=－f（－x)。∴f(x）为奇函数. （2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.

令0〈x1x2x1)

1x1x2∵00，1－x1x2>0,∴

x2x1〉0，

1x2x1又(x2－x1）－（1－x2x1）=(x2－1)(x1+1）<0 ∴x2－x1<1－x2x1， ∴0〈

x2x1xx1〈1，由题意知f(2)<0，

1x2x11x1x2即f（x2)∴f(x)在(0，1）上为减函数，又f(x）为奇函数且f（0)=0. ∴f(x）在（－1,1）上为减函数。

14.解析:f（－x)=－f(x),f(x)是奇函数，图象关于原点对称。 答案：C

15.解析：令t=｜x+1｜，则t在(－∞，－1]上递减，又y=f（x）在R上单调递增，∴y=f（|x+1｜)在(－∞,－1]上递减。

答案：（－∞，－1]

16.解析：∵f（0）=f（x1）=f（x2）=0，∴f(0）=d=0.f(x)=ax（x－x1)(x－x2)=ax3－a（x1+x2)x2+ax1x2x， ∴b=－a（x1+x2），又f(x）在［x2,+∞)单调递增，故a>0.又知0＜x1＜x,得x1+x2>0， ∴b=－a（x1+x2)＜0. 答案：（－∞,0）

17.证明：(1）设－1＜x1＜x2＜+∞，则x2－x1〉0, ax2x1>1且ax1〉0, ∴ax2ax1ax1(ax2x11)>0,又x1+1>0，x2+1>0 ∴

x22x12(x22)(x11)(x12)(x21)3(x2x1)〉0, x21x11(x11)(x21)(x11)(x21)x22x12 〉0 x21x11于是f（x2)－f(x1）=ax2ax1+

∴f（x）在(－1，+∞）上为递增函数。

(2）证法一：设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0）=0，则ax0＜2与x0＜0矛盾,故f(x)=0没有负数根。

证法二：设存在x0＜0（x0≠－1)使f（x0)=0，若－1＜x0＜0,则

x2x021且由0＜ax0＜1得0＜－0＜1，即＜x0

x01x012x02＜－2，ax0＜1,∴f(x0）＜－1与f（x0）=0矛x01盾，若x0＜－1,则

x02

>0， ax0>0，∴f(x0）>0与f（x0）=0矛盾，故方程f（x）=0没有负数根。 x01

18.证明：∵x≠0,∴f（x）=

111， (x21)2x(x21)2x(11)2x2x3x41x12设1＜x1＜x2＜+∞,则

1x221,11x2211x120。

x2(11x22)x1(121x12)0.21x2(11x22)21x1(11x12

)2∴f（x1)〉f(x2),故函数f(x)在(1，+∞）上是减函数. 19.证明:(1)不妨令x=x1－x2，则f（－x)=f(x2－x1）=

f(x2)f(x1)1f(x1)f(x2)1

f(x1)f(x2)f(x2)f(x1)=－f(x1－x2)=－f（x）。∴f（x)是奇函数。

(2）要证f(x+4a)=f(x），可先计算f(x+a)，f(x+2a）. ∵f(x+a）=f［x－（－a)]=

f(a)f(x)1f(a)f(x)1f(x)1(f(a)1).

f(a)f(x)f(a)f(x)f(x)1f(x)11f(xa)1f(x)11 f(x2a)f[(xa)a]f(xa)1f(x)1f(x).1f(x)11∴f（x+4a)=f[（x+2a)+2a］==f（x),故f(x）是以4a为周期的周期函数.

f(x2a)20.证明：设x1＜x2,则x2－x1－

111〉－,由题意f(x2－x1－)>0, 2221)－1=f2∵f(x2）－f(x1）=f[（x2－x1)+x1］－f(x1）=f（x2－x1)+f（x1）－1－f（x1）=f（x2－x1）－1=f(x2－x1）+f（－［(x2－x1)－

1]〉0， 2∴f(x）是单调递增函数。 (2）解：f（x)=2x+1。验证过程略.

3x330x621.解：由且x≠0，故00，解得x〉2或x〈－3，综上得222.解析:f（7。5)=f（5.5+2)=－f（5。5)=－f（3。5+2）=f(3.5)=f(1。5+2)=－f（1.5)=－f(－0.5+2)= f(－0。5)=－f(0.5）=－0。5。 答案：B

1213)－知:g(x)在B上为减函数，∴g(x)max=g2423。解析：∵f（x）是定义在(－1，1）上的奇函数又是减函数，且f（a－3)+f（9－a2）＜0. ∴f(a－3）＜f（a2－9）。

1a31∴1a291 ∴a∈(22,3）。 2a3a9答案：A

x0x0或24。解析：由题意可知：xf(x）＜0

f(x)0f(x)0x0x0x0x0 或 或

f(x)f(3)f(x)f(3)x3x3∴x∈(－3,0)∪（0，3) 答案:(－3，0）∪（0，3)

25.解析：∵f（x）为R上的奇函数 ∴f（－

11221）=－f（－），f(）=－f（－）,f(1)=－f（－1），又f（x)在（－1,0)上是增函数且－〉 333332〉－1. 31212∴f（－）>f(－）>f(－1)，∴f（)＜f()＜f（1).

333312答案：f（）＜f（）＜f(1)

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