福建省三明市优质高中校2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题

联考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题1．下列函数的求导正确的是（ ）1A．(lne)¢=eB．(xcosx-sinx)¢=-xsinxC．(x-2¢)=-2xD．2ex¢=ex()2．上午要上语文、数学、体育和外语四门功课，而数学老师因故不能上第二节和第四节，则不同排课方案的种数是（ ）A．24B．22C．20D．12222253．在(2x-1)的展开式中，若二项式系数最大值为n，则C2+C3+C4+L+Cn=（ ）A．1806B．165C．120D．5．æ1-1öæ2x-1ö的展开式中，常数项为（ ）ç÷3÷çxøèxøèA．-300B．-180C．180D．3005．针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生.女生人数均为5m(mÎN*)人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的43H，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为0：喜欢短视55频和性别相互.若我们推断H0不成立，此推断犯错误的概率不超过5%，则m的最小值为（ ）试卷第11页，共33页

附：c=a+bc+da+cb+d，()()()()2n(ad-bc)2附表：0.050.01P(c2>k0)k03.8416.635B．8C．9D．10A．76．小明买了4个大小相同颜色不同的冰墩墩（北京冬奥会吉祥物）随机放入3个不同袋子中，则每个袋子至少放入一个冰墩墩的概率是（ ）A．34B．227C．916D．497．若函数f(x)=x2+alnx+a2[1,+¥)在上为单调递增函数，则的取值范围为（ ）xA．(-¥,0)B．(-¥,4]C．(-4,+¥)D．[0,+¥)8．已知a=ln1.21，b=0.21，c=e0.2-1，则（）A．a>b>cC．B．c>a>bc>b>aD．b>c>a二、多选题

9．下列说法正确的是（ ）

A．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于1B．经验回归方程为$xy

y=0.3-0.7x时，变量和负相关

C．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高D．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据x，(x，L，,y(1,y))122(x10,y10)，其经验回归方程$y=$bx+$a必过点(4,5)，则

试卷第21页，共33页

x1+x2+L+x10=y1+y2+L+y10-10=40210．已知函数f(x)=x，则下列选项正确的是（ ）exx=0A．过原点作f(x)图象的切线是B．函数h(x)=f(x)-1有三个零点2C．f(e)>f(3)D．若函数f(x)£m在[1,3]上恒成立，则m³9e311．下列命题中，正确的命题的序号为（ ）A．若P(A)=7112，P(BA)=，PBA=，则P(B)=24243()B．已知随机变量X服从二项分布B(n,p)，若E(X)=30，D(X)=20，则p=23x1C．设随机变量服从正态分布N(0,1)，若P(x>1)=p，则P(-1三、填空题13．若Cn+1=C3n+7nÎN*，则n=_____________.2020()14．第十四届“中华人民共和国全国人民代表大会”和“中国人民政治协商会议”分别于2023年3月5日和3月4日胜利召开，为实现新时代新征程的目标任务汇聚智慧和力量.某市计划开展“学，争当新时代先锋”知识竞赛活动.某单位初步推选出3名和5名民主党派人士，并从中随机选取4人组成代表队参赛.在代表队中既有又有民主党派人士的条件下，则甲被选中的概率为_____________.52nn215．已知æx2+3ö的展开式中各项系数和为1024，则(x+x+y)展开式中不含xyç÷xøè的所有项系数和等于_____________.16．已知函数f(x)=aex-ln(x+2)+lna-2，若f(x)³0恒成立，则a的取值范是______________.四、解答题17．若2x-a4=a+ax+1+ax+12+L+ax+17，且a4=-560.()01()2())7((1)求实数a的值；(2)求a+a+a+L+a+a的值.1236718．由0，1，2，3，4，5这六个数字组成的无重复数字的自然数.求：(1)有多少个含2，3的五位数？(2)有多少个含数字1，2，3且必须按由大到小顺序排列的六位数？19．“稻草很轻，但是他迎着风仍然坚韧，这就是生命的力量，意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”……当读到这些话时，你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量．为了解某普通高中学生的阅读时间，从该校随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．试卷第41页，共33页

(1)求a的值；(2)为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在(12,14]，(14,16]，(16,18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在(14,16]内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；(3)以样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取20名学生，用P(k)表示这20名学生中恰有k名学生周平均阅读时间在(8,12]内的概率，其中k=0,1,2,×××,20．当P(k)最大时，写出k的值．20．已知函数f(x)=4lnx-ax+a+3a³0（）．x(1)当a=1，求f（x）的极值．2afx1＞（）gx21ù（）é，若存在x1,x2Î,2，，求实数的êú2ëû(2)当a³1时，设xgx=（）2e－＋4x2a取值范围．（e为自然对数的底数，e＝2.71828¼）21．疫情期间，某校使用一家公司的三种软件来上网课，分别为在线课堂、视频会议、在线直播.根据效果，首选在线课堂，当在线课堂进不去时选视频会议，当在线课堂和试卷第51页，共33页

视频会议均进不去后再选在线直播.当该校不是该软件的会员时，老师们上网课能够进入在线课堂、视频会议、在线直播的概率分别为114，，；当该校充值为会员时，4353老师们上网课能够进入在线课堂、视频会议、在线直播的概率均为，设在线课堂、5视频会议、在线直播的网课效果得分分别为5分，3分，2分.(1)调查知前7天能完成全部网课的班级数y如表所示：已知y与t具有线性相关关系，求y关于t的经验回归方程；（t的系数精确到0.01）第t天y916919361234567(2)请你计算后判断学校充值为会员后，网课效果得分的数学期望是否有提高.$y=$bx+$a（参考公式：在线性回归方程$=中，båxy-nxyiii=1nn$a=y-$bx，）åxi=12i-nx222．已知函数f(x)=a2x-x-xlnx(aÎR)．2(1)若a=2，求方程f(x)=0的解；(2)若f(x)有两个零点且有两个极值点，记两个极值点为x1,x2，求a的取值范围并证明f(x1)+f(x2)<1．2e试卷第61页，共33页

参：

1．B

【分析】根据导数公式表和求导法则可得答案.【详解】对于A，(lne)¢=0，故A不正确；

=-xsinx对于B，(xcosx-sinx)¢=(xcosx)¢-(sinx)¢=cosx+x×(-sinx)-cosx，故B正确；

对于C，(x-2)¢=-2x-3，故C不正确；

对于D，(2ex)¢=2ex，故D不正确.故选：B2．D

【分析】按照特殊元素优先的原则先排数学课再对其余三门功课全排列即可.【详解】因为数学教师因故不能上第二节和第四节课，所以先排数学老师的课，共有C1=2种排课方案，

2然后再排剩下三位老师的课，共有A3=6种排课方案，

3由分步计数乘法原理可得共有2´6=12种排课方案，故选：D.3．B

【分析】先求出n,再由性质Cr+Cr+×××+Cr=Cr+1直接计算可得.

rr+1nn+12,【详解】在(2x-1)5的展开式中，若二项式系数最大值为C5=C35=10=n由于Cm+Cm-1=Cm，

nnn+1答案第11页，共22页

222\\C22+C3+C4+L+C10222=C33+C3+C4+L+C1022=C34+C4+L+C1022=C35+C5+L+C1022=C36+C6+L+C1022=C37+C7+L+C10322=C8+C8+L+C1022=C39+C9+C1032=C10+C103=C113C11=11´10´9=33´5=165.1´2´3故选:B.4．B【分析】本题考查二项式定理的应用，考查分类讨论思想，体现了数算、逻辑推理等核心素养．-rr6-r【详解】æ2x-1ö的展开式的通项为Tr+1=(-1)r26-r×C6xx2=(-1)26-r×Cr6xç÷xøè6r12-3r2．r当Tr+1=(-1)r26-r×C6x12-3r2为常数时，424r=412-3r，则T5=(-1)´2´C6=60；=0，解得26-3rr=26-3r1r6-rr当-Tr+1=-(-1)2×C6x2为常数时，=0，解得，则2x36124211æöæö的展开式中常数项为-3T3=-(-1)´2´C6=-240，所以1-2x-ç÷3÷çxxøèxøè60-240=-180．故选：B．5．C答案第21页，共22页

【分析】根据题意得2´2列联表，根据公式计算c2，结合题意列式求出m的范围可得答案.【详解】依题意得男生中喜欢短视频的人数为4m（人），男生中不喜欢短视频的人数为

m（人），

女生中喜欢短视频的人数为3m（人），女生中不喜欢短视频的人数为2m（人），所以2´2列联表为：

喜欢短视频人数男生人数女生人数合计不喜欢短视频人数合计4m3mm2m5m5m10m7m3m零假设为H0：喜欢短视频和性别相互，10m(8m2-3m2)210m，c==5m×5m×7m×3m212因为推断H0不成立犯错误的概率不超过5%，所以m³8.066110m，³3.841，解得21因为mÎN*，所以m的最小值为9.故选：C6．D【分析】由计数原理可求出4个冰墩墩随机放入3个不同袋子的种数，利用组合中的分组分配问题求出每个袋子至少放入一个冰墩墩的种数，根据古典概型概率公式可求得结果.【详解】小明将4个大小相同颜色不同的冰墩墩随机放入3个不同袋子中，有34=81种不同的放法，若每个袋子至少放入一个冰墩墩，则分2步进行分析：①将4个冰墩墩分为3组，有C2=6种分组方法，②将分好的3组放入3个不同的袋子中，4答案第31页，共22页

36´6=363A有3=6种情况，则有种方法，所以所求的概率为=.819故选：D7．Df¢(x)³0【分析】转化为，即a³2-2x2在[1,+¥)上恒成立，再根据右边构造函数，利用x导数求出最大值可得结果.3a22x+ax-2，【详解】f¢(x)=2x+-=xx2x2因为f(x)在[1,+¥)上为单调递增函数，所以f¢(x)³0在[1,+¥)上恒成立，2x3+ax-2³0则，即a³2-2x2在[1,+¥)上恒成立，x设g(x)=g(x)[1,+¥)22在上为减函数，-2x2(x³1)，则g¢(x)=-2-4x<0，xxg(x)£g(1)=0，所以a³0.故选：D8．C【分析】构造函数f(x)=ln(1+x)-x，利用导数研究其单调性，从而得到ab12，由此得解.x-x-1,xÎ[0,1]，进而得到2【详解】令f(x)=ln(1+x)-x，xÎ[0,+¥)，答案第41页，共22页

则f¢(x)=1-xfx0,+¥)上单调递减，-1=£0，故()在[1+x1+x所以f(0.21)g(0)=0，所以c=e0.2-1>0.22>0.21，所以bb>a.故选：C.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．9．BCD【分析】对于A，线性相关系数r的性质可得A不正确；对于B，根据斜率小于0，可得B正确；对于C，根据残差分析结论可得C正确；对于D，根据经验回归方程$y=$bx+$a必过点(x,y)，可得D正确.【详解】对于A，若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的绝答案第51页，共22页

对值越接近于1，故A不正确；对于B，因为斜率小于0，所以变量x和y负相关，故B正确；对于C，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，故C正确；$$$x+x+L+x10对于D，因为经验回归方程y=bx+a必过点(x,y)，所以x=12=4，10y=y1+y2+L+y10x+x+L+x10=y1+y2+L+y10-10=40，故D正确.=5，所以1210故选：BCD10．BC【分析】根据导数的几何意义可得A不正确；根据零点存在性定理可得B正确；根据单调性可得C正确；根据单调性求出f(x)在区间[1,3]上的最大值可得D不正确.f(x)R的定义域为，【详解】f¢(x)=2x×ex-x2×ex(e)x22x-x2=ex，对于A，设切点为(x0,y0)22x-x00，则f¢(x0)=，x0e22x-x00则切线方程为y-y0=(x-x0)，x0e将(0,0)222代入得-y0=2x0-x0×(-x0)，得-x0=2x0-x0×(-x0)，ex0ex0ex0得x0=0或x0=1，y=0所以切线方程为1或y=x，故A不正确；e答案第61页，共22页

h¢(x)=2x×ex-x2×ex对于B，(e)x22x-x2=ex，由h¢(x)<0，得x<0或x>2，由h¢(x)>0，得0022e2又h(-1)=e2-191>0，h(3)=3-<0，e22所以函数h(x)在(-1,0)、(0,2)、(2,3)上各有一个零点，1所以函数h(x)=f(x)-有三个零点，故B正确；2对于C，由B知，h(x)在(2,+¥)上为减函数，所以h(e)>h(3),所以f(e)-11>f(3)-，即f(e)>f(3)，故C正确；22对于D，由B知，h(x)=f(x)-(2,3]1[1,2)在上为增函数，在上为减函数，2所以f(x)在[1,2)上为增函数，在(2,3]上为减函数，所以f(x)在区间[1,3]224，上的最大值为f(2)==e2e2所以m³4，故D不正确.e2故选：BC11．ACD答案第71页，共22页

【分析】根据对立事件、和事件和条件概率公式求解可知A正确；根据二项分布期望和方差公式可构造方程求得B错误；根据正态分布曲线的对称性可知C正确；根据Y所有可能的取值，及P(Y=-i)=P(Y=i)(i=0,1,2,×××,n)，结合数学期望公式可求得结果.2111，\\P(AB)=PBAP(A)=´=，3232【详解】对于A，QP(A)=1-P(A)=()\\P(AUB)=1-P(AB)=1112，又P(AB)=P(BA)P(A)=´=，4283\\P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=1127，A正确；+P(B)-=，\\P(B)=283241ïE(X)=np=30对于B，QX:B(n,p)，\\ì，解得：p=，B错误；í3ïîD(X)=np(1-p)=2011对于C，Qx:N(0,1)，\\P(-11)=-p，C正确；22对于D，QY所有可能的取值为-n,-(n-1),×××,-2,-1,0,1,2,×××,n-1,n，且P(Y=-i)=P(Y=i)(i=0,1,2,×××,n)，=0，\\E(Y)=-nP(Y=-n)+éë-(n-1)ùûPéëY=-(n-1)ùû+×××+(n-1)P(Y=n-1)+nP(Y=n)D正确.故选：ACD.12．ACD【分析】要使甲赢得比赛，则甲至少赢n+1局，据此根据事件概率计算方法和二项式定理的性质可求P(n)，由此可判断ABC，判断P(n+1)和P(n)的大小即可判断P(n)的单调性，从而判断D．答案第81页，共22页

【详解】由题意知：要使甲赢得比赛，则甲至少赢n+1局，æ1öP(n)=ç÷è2ø2n(Cn+12nn+22n．+C2n+L+C2n)∵C0+C1+L+Cn-1+Cn+Cn+1+L+C2n=22n，2n2n2n2n2n2n又C0+C1+L+Cn-1=Cn+1+Cn+2+L+C2n-1+C2n，2n2n2n2n2n2n2n∴C+C+L+C02n12nn-12n=Cn+12n+Cn+22n+L+C2n-12n22n-Cn2n，+C=22n2n2nnn∴P(n)=1×2-C2n=1-C2n，故C正确；22n2222n+113∴P(1)=1-C2=1，故A正确；P(3)=1-C6=11，故B错误；223422732nnC2n∵P(n)=1-C2n=1æç1-2n2n＋1222è2+1ö，∴1æCn2n+2P(n+1)=ç1-2n+2÷2è2øö，÷ø(2n)!Cn2n24×n4(n+1)2(n+1)n!n!22n=4C2n===>1，又∵n+1+12n+2!C2n+2Cn2n+22n+12n+1()()()2n+22n+22(n+1)!(n+1)!+1CnCn2n2n+2∴2n>2n+2，∴P(n)【详解】由Cn+1=C3n+7得n+1=3n+7或n+1+3n+7=20，2020得n=-3（舍）或n=3.故答案为：3.14．713【分析】设事件A表示“甲被选中”，事件B表示“代表队中既有又有民主党派人士”，根据已知求出P(B),P(AB)的值，然后根据条件概率的公式，计算即可得出答案.【详解】设事件A表示“甲被选中”，事件B表示“代表队中既有又有民主党派人士”，312213CC+CC+C13，53535C3则P(B)==4C8142112C315+C5C2+C5C2,P(AB)==4C821P(AB)27PA|B===.)所以，(P(B)131314故答案为：7.1315．213【分析】直接利用二项式的展开式和项的系数及赋值法的应用求出结果．3【详解】因为(x2+)n的展开式中各项系数和为1024，x答案第101页，共22页

令x=1，整理得4n=1024，解得n=5；25(x+x+y)故的展开式满足T5-rr+12=Cr5(x+x)×yr，令r=2时，(x2+x)3的展开式满足Tk+1k=C3×x6-k，令6-k=5，解得k=1，2故含x5y2的所有项系数为C5，×C13=30由于(x2+x+y)5的所有项的系数和满足当x=1，y=1时，所有项的系数和为35=243，故不含x5y2的所有项系数和等于243-30=213．故答案为：213．16．[e,+¥)【分析】转化为ex+lna+x+lna³eln(x+2)+ln(x+2)，令g(x)=ex+x，利用导数判断出g(x)在R上单调递增，可得lna³ln(x+2)-x在x>-2时恒成立，令t(x)=ln(x+2)-x(x>-2)，再利用导数求出t(x)最大值可得答案.【详解】若f(x)³0，可得ex+lna+x+lna³ln(x+2)+x+2=eln(x+2)+ln(x+2)，令g(x)=ex+x，则g¢(x)=ex+1>0，则g(x)在R上单调递增，由ex+lna+x+lna³eln(x+2)+ln(x+2)得x+lna³ln(x+2)(x>-2)，即lna³ln(x+2)-x在x>-2时恒成立，令t(x)=ln(x+2)-x(x>-2)，则t¢(x)=-20t(x)-(x+1)1，当时，单调递增，-1=x+2x+2答案第111页，共22页

当x>-1时t¢(x)<0，t(x)单调递减，所以t(x)£t(-1)=1，即lna³1，解得a³e， 所以a的取值范围是[e,+¥).故答案为：[e,+¥).【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是转化为ex+lna+x+lna³eln(x+2)+ln(x+2)，然后构造函数利用导数求出参数的取值范围，考查了学生的分析问题问题、解决问题的能力.17．(1)a=-1(2)2186【分析】（1）换元后，利用展开式的通项公式可求出结果；（2）根据通项公式判断各项系数的符号，去掉绝对值，再根据赋值法可求出结果.【详解】（1）令x+=1t，则x=t-1，有é2(t-1)-aù7=(-2-a+2t)7=a+at+L+at7，017ëûkTk+1=C7×(-2-a)7-kk×(2t)=2k×C7×(-2-a)k7-k×tk，令k=4，得a=24×C4×(-2-a)7-4=560(-2-a)3=-560，解得a=-1.47（2）由（1）知，(-1+2t)770607，17=a0+a1t+L+a7t7=C07(-1)(2t)+C7(-1)(2t)+L+C7(-1)(2t)对照系数知，a1>0，a2<0，a3>0，a4<0，a5>0，a6<0，a7>0.令t=0，得a=-1，0令t=-1，得(-3)7=a-a+a-a+a-a+a-a=-2187，01234567故a+a+a+L+a+a=a-a+a-a+a-a+a=2186.123671234567答案第121页，共22页

18．(1)408个(2)100个【分析】（1）按照五位数中是否含0分两类计数，再相加可得结果；（2）先将数字1，2，3按由大到小顺序排好，再分别插入4,5,0可得结果.【详解】（1）若五位数中含有0，则共有C2C1A4个数；344若五位数中不含0，则共有A5个数；5则共有C2C1A4+A5=408个五位数.3445（2）先将数字1，2，3按由大到小顺序排好，只有一种排法，再将数字插入，有种插法，然后插入数字5，有5种插法，最后插入0，不能插到最左44边，有5种插法，根据分步乘法计数原理得共有4´5´5=100个六位数.19．(1)a=0.165(2)分布列见解析；数学期望E(X)=(3)k=10【分析】（1）根据频率和为1，可构造方程求得a的值；（2）根据分层抽样原则可确定10人中，周平均阅读时间在(12,14]，(14,16]，(16,18]的人数，则可确定X所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得X每个取值对应的概率，答案第131页，共22页

由此可得分布列；根据数学期望公式可求得期望值；（3）根据频率分布直方图可求得周平均阅读时间在(8,12]内的概率，利用二项分布概率公式可表示出P(k)，由此可确定结果.【详解】（1）Q(0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a+0.05+0.04+0.01)´2=1，\\a=0.1.（2）由频率分布直方图可得：周平均阅读时间在(12,14]，(14,16]，(16,18]三组的频率之比为0.05:0.04:0.01=5:4:1，\\1045人中，周平均阅读时间在(12,14]的人数为10´=5人；在(14,16]的人数为10´=41010人；在(16,18]的人数为10´1=1人；10则X所有可能的取值为0,1,2,3，12C2C1C3601；363201；6C46C46P(X=1)=3==P(X=2)=3==；\\P(X=0)=3==C101202C1012010C101206C341；P(X=3)=34==C1012030\\X的分布列为：X0123P112631103011316+1´+2´+3´=6210305\\数学期望E(X)=0´.答案第141页，共22页

（3）用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取1名学生，周平均阅读时间在(8,12]内的概率p=(0.15+0.1)´2=0.5=1；2Ck1120-kkk20，则P(k)=Ck=C20´k´20-k=2020p(1-p)222若P(k)最大，则Ck最大，\\当k=10时，P(k)取得最大值.2020．(1)极小值为3；极大值为4ln7－3(2)[1,4)【分析】（1）利用导数判断单调性，求出极值即可；（）fx1＞（）gx211（2）存在x1,x2Îé,2ù，使，转化为在区间é,2ù上f(x)max>g(x)min,即可ê2úêë2úûëû求解.【详解】（1）f(x)的定义域为（，）0+¥，1x7时，f(x)=4lnx-+，222x当a=x-1)(x-7)∴f¢(x)=4-1-7=-(，22x22x2x令f¢(x)＞0 ，可得1＜x＜7，令f＇（x）＜0，可得0＜x＜1或x＞7，∴函数的单调减区间为（0，1），（7，＋∞），单调增区间为（1，7）∴x＝1时，函数取得极小值为3；x＝7时，函数确定极大值为4ln7－3；2hx=-＋ax24x-(a+3)，（2）f¢(x)=-ax+4x-(a+3)(x>0)，令（）x2答案第151页，共22页

若a³1，则D=16-4a2-12a=-(a-1)(a+4)£0，∴f（x）在区间（0，＋∞）上单调递减，∴当a³11ù时，f（x）在éê2,2ú上单调递减，ëû1∴f（x）在é,2ù上的最大值为ê2úëû3æ1öfç÷=-4ln2+a+6，2è2øg¢(x)＝－2ex4，令g¢(x)＝0，得x=ln2，1ö时，g¢(x)<0，∴g(x)单调递减，当xÎé,ln2÷ê2ëø当xÎ(ln2,2]时，g¢(x)>0，∴g（x）单调递增，14＋-4ln22a，∴g(x)在é,2ù上的最小值为g(ln2)=ê2úëûa<43由题意可知-4ln2+a+6>4-4ln2+2a，解得，2又∵a³1，∴实数a的取值范围为[1，4）．21．(1)$y=0.67t2+2.82t+2.96(2)可以提高【分析】（1）根据题中数据和公式求回归方程；（2）根据题意分别求充值前、后的分布列与期望，比较大小分析理解.【详解】（1）由题意：设u=i77yi，∴u=5，t=4åtiui=163，7tu=140，åti2=140i=1i=1答案第161页，共22页

$=所以båtiui-7tui=177$=y-bt$»5-0.82´4»1.72aåti2-7ti=12=163-140»0.82，140-112所以u关于t的经验回归直线方程为u$=0.82t+1.72，2.所以$y=(0.82t+1.72)»0.67t2+2.82t+2.96（2）设该校不是会员时，网课效果得分为X，则X的所有可能取值为5，3，2，0，P(X=5)=131132423211，P(X=3)=´=，P(X=2)=´´=，P(X=0)=´´=44344353510故X的分布列XP5322501414110112114所以E(X)=´5+´3+´2+´0=445105设该校是会员时，网课效果得分为Y，则Y的所有可能取值为5，3，2，0，323236282312æöæö，P(Y=0)=P(Y=5)=，P(Y=3)=´=，P(Y=2)==´=ç÷ç÷55525è5ø125è5ø5125故Y的分布列YP5320356121825125125361284.所以E(Y)=´5+´3+´2+´0=5251251251214>，所以该校充值为会员后，网课效果得分的数学期望有了提高.1255因为22．(1)解为x=1答案第171页，共22页

(2)aÎ(0,2)，证明见解析aö用导数研究gx=ax-1-lnx的单调性与极值，只有【分析】（1）f(x)=æx-1-lnx()ç÷x2è2ø在极值点处满足g(x)=0；（2）由f(x)及f¢(x)分别有两个零点，分离参数a，数形结合得到a的取值范围，由f¢(x1)=f¢(x2)消去a代入fx+fx<1得-1xlnx+xlnx<1，结合x2>1进一步(1)(2)(1122)2e22e1转化为证明x1lnx1>-，结合x1的范围，考察j(x)=xlnx的最值得证.e【详解】（1）f(x)=a2æaö(0,+¥)，x-x-xlnx=çx-1-lnx÷x=0，定义域为2è2ø令a1x-1-lnx=0，设g(x)=x-1-lnx,g¢(x)=1-，2x故g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+¥)上单调递增，g(1)=0，故方程f(x)=0的解为x=1.a1+lnx1+lnxlnx（2）令f(x)=0，得=，设h(x)=,h¢(x)=-2，2xxx故h(x)在(0,1)单调递增，在(1,+¥)单调递减，h(1)=1，当xÎ(0,1)时h(x)Î(-¥,1)，当xÎ(1,+¥)时h(x)Î(0,1)，答案第181页，共22页

a若f(x)有两个零点，则Î(0,1)，故aÎ(0,2)，2f¢(x)=ax-2-lnx，令f¢(x)=0，得a=2+lnx，x设H(x)=2+lnx-1-lnx，则H¢(x)=，xx21öæ1ö单调递减，æ1ö故H(x)在æ单调递增，在0,,+¥Hç÷=e，ç÷ç÷èeøèeøèeø1öH(x)Î(-¥,e)æ1ö时H(x)Î(0,e)，当xÎæ时，当0,xÎ,+¥ç÷ç÷èeøèeø若f(x)有两个极值点，则aÎ(0,e)，综上，aÎ(0,2).x1要证f(x1)+f(x2)<1a1，即证(x12+x22)-(x1+x2)-(x1lnx1+x2lnx2)<，22e2e即证：-11(x1lnx1+x2lnx2)<，22e由于x2>1，所以x2lnx2>0 ，1111只需证-x1lnx1<，即证x1lnx1>-，（0jæ，故，得证.xlnx>-=-11ç÷eeèeø【点睛】关键点点睛：由x1,x2为f¢(x)=0的两根得ax1-2-lnx1=0……①，ax2-2-lnx2=0 ……②，对含参双零点常用处理方法：4+lnx1+lnx2……③，用此式可代入消参，x1+x2lnx1-lnx2……④，也用此式可代入消参，x1-x2①+②得a=①－②得a=由③④得4+lnx1+lnx2lnx1-lnx2，可直接消参.=x1+x2x1-x2本题中以上方法均不适合，结合要证的结论要想消参需要在①②两式分别乘x1,x2构造出答案第201页，共22页

a21即可.(x1+x22)代入f(x1)+f(x2)<22e答案第211页，共22页