【2019年中考数学几何变形题归类辅导】
专题2：倍长中线法
【典例引领】
例题：（2014黑龙江龙东地区）已知ΔABC中，M为BC的中点，直线m绕点A旋转，过B、M、C分别作BD⊥m于E，CF⊥m于F。
（1）当直线m经过B点时，如图1，易证EM= CF。（不需证明）
（2）当直线m不经过B点，旋转到如图2、图3的位置时，线段BD、ME、CF之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明。
【答案】（2）证明见解析
【分析】图2，连接DM并延长交FC的延长线于K ，可证△DBM≌△KCM，再利用三角形中位线即可得出结论。图3同图2证明相同。
【解答】（2）图2的结论为:ME=(BD+CF)
图3的结论为: ME=(CF-BD)
图2的结论证明如下：连接DM并延长交FC的延长线于K
又∵BD⊥m,CF⊥m
∴BD∥CF ∴∠DBM=∠KCM 又∵∠DMB=∠CMK BM=MC
∴△DBM≌△KCM ∴DB=CK DM=MK 由易证知:EM= FK ∴ME= (CF+CK)= (CF+DB)
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图3的结论证明如下：连接DM并延长交FC于K
又∵BD⊥m,CF⊥m
∴BD∥CF ∴∠MBD=∠KCM 又∵∠DMB=∠CMK BM=MC
∴△DBM≌△KCM ∴DB=CK DM=MK 由易证知:EM= FK ∴ME= (CF-CK)= (CF-DB)
【强化训练】
1、（2017黑龙江龙东地区）已知：ΔAOB和ΔCOD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH。 （1）如图1所示，易证OH=
1AD且OH⊥AD（不需证明） 2（2）将ΔCOD绕点O旋转到图2，图3所示位置是，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论。
【答案】（2）证明见解析
【分析】（1）只要证明△AOD≌△BOC，即可解决问题； ①如图2中，结论：OH=
1AD，OH⊥AD．延长OH到E，使得HE=OH，连接BE， 2由△BEO≌△ODA即可解决问题；
②如图3中，结论不变．延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，延长EO交AD于G．由△BEO≌△ODA即可解决问题；
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【解答】（1）证明：如图1中，
∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°， ∴OC=OD，OA=OB，∵在△AOD与△BOC中，，
∴△AOD≌△BOC（SAS），∴∠ADO=∠BCO，∠OAD=∠OBC， ∵点H为线段BC的中点，∴OH=HB，
∴∠OBH=∠HOB=∠OAD，又因为∠OAD+∠ADO=90°， 所以∠ADO+∠BOH=90°所以OH⊥AD
（2）解：①结论：OH=AD，OH⊥AD，如图2中，延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，
易证△BEO≌△ODA∴OE=AD∴OH=OE=AD
由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO∴∠DAO+∠AOH=∠EOB+∠AOH=90°，∴OH⊥AD． ②如图3中，结论不变．延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，延长EO交AD于G．
易证△BEO≌△ODA∴OE=AD∴OH=OE=AD
由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO∴∠DAO+∠AOF=∠EOB+∠AOG=90°，∴∠AGO=90°∴OH⊥AD． 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF． （1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；
（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=2 ，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．
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【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP的长为 或
.
【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；
（2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE； （3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得. 【解答】（1）如图1中，延长EO交CF于K，
∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO， ∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK， ∵△EFK是直角三角形，∴OF= EK=OE； （2）如图2中，延长EO交CF于K，
∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF， ∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF，
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∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF， ∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE；
（3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PH⊥OF于H，
∵|CF﹣AE|=2，EF=2 ，AE=CK，∴FK=2，
在Rt△EFK中，tan∠FEK=，∴∠FEK=30°，∠EKF=60°， ∴EK=2FK=4，OF=EK=2，
∵△OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2， 在Rt△PHF中，PH=PF=1，HF= ，OH=2﹣ ，
∴OP= .
如图4中，点P在线段OC上，当PO=PF时，∠POF=∠PFO=30°， ∴∠BOP=90°， ∴OP=OE=
，
.
综上所述：OP的长为 或3.已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BD作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点。 （1）当点P与点O重合时，如图1，易证OE=OF（不需证明）
（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明。
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【答案】（2）图2中的结论为：CF=OE+AE，图3中的结论为：CF=OE﹣AE，证明见解析 【分析】（1）由△AOE≌△COF即可得出结论．
（2）图2中的结论为：CF=OE+AE，延长EO交CF于点G，只要证明△EOA≌△GOC，△OFG是等边三角形，即可解决问题．
图3中的结论为：CF=OE﹣AE，延长EO交FC的延长线于点G，证明方法类似． 【解答】（1）∵AE⊥PB，CF⊥BP， ∴∠AEO=∠CFO=90°，
在△AEO和△CFO中， ∴△AOE≌△COF，∴OE=OF．
（3）图2中的结论为：CF=OE+AE． 图3中的结论为：CF=OE﹣AE． 选图2中的结论证明如下： 延长EO交CF于点G，
∵AE⊥BP，CF⊥BP， ∴AE∥CF， ∴∠EAO=∠GCO， 在△EOA和△GOC中， ∴△EOA≌△GOC， ∴EO=GO，AE=CG，
在RT△EFG中，∵EO=OG， ∴OE=OF=GO， ∵∠OFE=30°，
∴∠OFG=90°﹣30°=60°， ∴△OFG是等边三角形， ∴OF=GF， ∵OE=OF， ∴OE=FG， ∵CF=FG+CG， ∴CF=OE+AE． 选图3的结论证明如下： 延长EO交FC的延长线于点G，
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∵AE⊥BP，CF⊥BP， ∴AE∥CF， ∴∠AEO=∠G， 在△AOE和△COG中，
∴△AOE≌△COG， ∴OE=OG，AE=CG，
在RT△EFG中，∵OE=OG， ∴OE=OF=OG， ∵∠OFE=30°， ∴∠OFG=90°﹣30°=60°， ∴△OFG是等边三角形， ∴OF=FG， ∵OE=OF， ∴OE=FG， ∵CF=FG﹣CG，∴OE=OF．
4．如图1，点E是正方形ABCD边CD上任意一点，以DE为边作正方形DEFG，连接BF，点M是线段BF中点，射线EM与BC交于点H，连接CM． （1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系；
（2）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°，此时点F恰好落在线段CD上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由；
（3）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90°，此时点E、G恰好分别落在线段AD、CD上，如图3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．
【答案】（1）CM=EM，CM⊥EM，理由见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析；（3）（1）中的结论成立，理由见解析.
【分析】（1）延长EM交AD于H，证明△FME≌△AMH，得到HM=EM，根据等腰直角三角形的性质可得结论；
（2）根据正方形的性质得到点A、E、C在同一条直线上，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半证明即可；
（3）根据题意画出完整的图形，根据平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质证明即可． 【解答】（1）如图1，结论：CM=EM，CM⊥EM．
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理由：∵AD∥EF，AD∥BC， ∴BC∥EF， ∴∠EFM=∠HBM， 在△FME和△BMH中， ＝
＝
，，
＝ ∴△FME≌△BMH， ∴HM=EM，EF=BH， ∵CD=BC，
∴CE=CH，∵∠HCE=90°，HM=EM， ∴CM=ME，CM⊥EM． （2）如图2，连接AE，
∵四边形ABCD和四边形EDGF是正方形， ∴∠FDE=45°，∠CBD=45°， ∴点B、E、D在同一条直线上，
∵∠BCF=90°，∠BEF=90°，M为BF的中点， ∴CM=BF，EM=BF，
∴CM=ME， ∵∠EFD=45°， ∴∠EFC=135°， ∵CM=FM=ME，
∴∠MCF=∠MFC，∠MFE=∠MEF， ∴∠MCF+∠MEF=135°，
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-135°-135°=90°∴∠CME=360°， ∴CM⊥ME．
（3）如图3，连接CF，MG，作MN⊥CD于N，
在△EDM和△GDM中，
＝ ＝ ，
＝ ∴△EDM≌△GDM，
∴ME=MG，∠MED=∠MGD， ∵M为BF的中点，FG∥MN∥BC， ∴GN=NC，又MN⊥CD， ∴MC=MG，
∴MD=ME，∠MCG=∠MGC， ∵∠MGC+∠MGD=180°， ∴∠MCG+∠MED=180°， ∴∠CME+∠CDE=180°， ∵∠CDE=90°， ∴∠CME=90°， ∴（1）中的结论成立．
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