函数的单调性(一)
一、选择题:
1.在区间(0,+∞)上不是增函数的函数是 ( )
A.y=2x+1
2C.y=x
B.y=3x2+1
D.y=2x2+x+1
2.函数f(x)=4x2-mx+5在区间[-2,+∞]上是增函数,在区间(-∞,-2)上是减函数,则f(1)等于
( )
A.-7 B.1
C.17 D.25
3.函数f(x)在区间(-2,3)上是增函数,则y=f(x+5)的递增区间是 ( )
A.(3,8) B.(-7,-2)
C.(-2,3) D.(0,5)
ax14.函数f(x)=x2在区间(-2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是
( )
1A.(0,2)
1B.( 2,+∞)
C.(-2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
5.已知函数f(x)在区间[a,b]上单调,且f(a)f(b)<0,则方程f(x)=0在区间[a,b]内( )
A.至少有一实根 B.至多有一实根
C.没有实根 D.必有唯一的实根
6.已知函数f(x)=8+2x-x2,如果g(x)=f( 2-x2 ),那么函数g(x) ( )
A.在区间(-1,0)上是减函数 B.在区间(0,1)上是减函数
C.在区间(-2,0)上是增函数 D.在区间(0,2)上是增函数
7.已知函数f(x)是R上的增函数,A(0,-1)、B(3,1)是其图象上的两点,那么不等式 |f(x+1)|<1的解集的补集是
( )
A.(-1,2) B.(1,4)
C.(-∞,-1)∪[4,+∞) D.(-∞,-1)∪[2,+∞)
8.已知定义域为R的函数f(x)在区间(-∞,5)上单调递减,对任意实数t,都有f(5
+t)=f(5-t),那么下列式子一定成立的是 ( )
A.f(-1)<f(9)<f(13) B.f(13)<f(9)<f(-1)
C.f(9)<f(-1)<f(13) D.f(13)<f(-1)<f(9)
9.函数f(x)|x|和g(x)x(2x)的递增区间依次是 A.(,0],(,1]
B.(,0],[1,)
( )
C.[0,),(,1] D[0,),[1,)
在区间,4上是减函数,则实数a的取值范围是
10.已知函数( )
fxx22a1x2A.a≤3 B.a≥-3 C.a≤5 D.a≥3
11.已知f(x)在区间(-∞,+∞)上是增函数,a、b∈R且a+b≤0,则下列不等式中正确的是( )
A.f(a)+f(b)≤-f(a)+f(b)] B.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b)
C.f(a)+f(b)≥-f(a)+f(b)] D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)
12.定义在R上的函数y=f(x)在(-∞,2)上是增函数,且y=f(x+2)图象的对称轴是
x=0,则 ( )
A.f(-1)<f(3)
D.f(2)<f(3)
B.f (0)>f(3) C.f (-1)=f (-3)
二、填空题:
13.函数y=(x-1)-2的减区间是___ _.
14.函数y=x-21x+2的值域为__ ___.
yfx315、设yfx是R上的减函数,则的单调递减区间
为 .
16、函数f(x) = ax2+4(a+1)x-3在[2,+∞]上递减,则a的取值范围是__ .
三、解答题:
x17.f(x)是定义在( 0,+∞)上的增函数,且f(y) = f(x)-f(y)
(1)求f(1)的值.
1(2)若f(6)= 1,解不等式 f( x+3 )-f(x) <2 .
18.函数f(x)=-x3+1在R上是否具有单调性?如果具有单调性,它在R上是增函数还是减函数?试证明你的结论.
19.试讨论函数f(x)=
1x2在区间[-1,1]上的单调性.
20.设函数f(x)=∞)上为单调函数.
x21-ax,(a>0),试确定:当a取什么值时,函数f(x)在0,+
21.已知f(x)是定义在(-2,2)上的减函数,并且f(m-1)-f(1-2m)>0,求实数m的取值范围.
22.已知函数f(x)=
x22xax,x∈[1,+∞]
(1)当
1a=2时,求函数
f(x)的最小值;
(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.
参
一、选择题: CDBBD ADCCA BA
1,2 二、填空题:13. (1,+∞), 14. (-∞,3),15.3,, 三、解答题:17.解析:①在等式中令xy0,则f(1)=0.
36)f(36)f(6),f(36)2f(6)2.6
②在等式中令x=36,y=6则
f(
1f(x3)f()f(36),x故原不等式为:即f[x(x+3)]<f(36),又f(x)在(0,+∞)上为增
函数,
故不等式等价于:
x301153300x.2x0x(x3)36
18.解析: f(x)在R上具有单调性,且是单调减函数,证明如下:
设x1、x2∈(-∞,+∞), x1<x2 ,则f(x1)=-x13+1, f(x2)=-x23+1.
x232)2+4x22].
f(x1)-f(x2)=x23-x13=(x2-x1)(x12+x1x2+x22)=(x2-x1)[(x1+
x23而(x1+2)2+4x22>0,∴f(x1)>f(x2).
∵x1<x2,∴x2-x1>0
∴函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.
19.解析: 设x1、x2∈-1,1]且x1<x2,即-1≤x1<x2≤1.
22(1x1)(1x2)(x2x1)(x2x1)f(x1)-f(x2)=
1x12-
1x22=
1x11x222=
1x11x222
∵x2-x1>0,
1x11x222>0,∴当x1>0,x2>0时,x1+x2>0,那么f(x1)>f(x2).
当x1<0,x2<0时,x1+x2<0,那么f(x1)<f(x2).
故f(x)=
1x2在区间[-1,0]上是增函数,f(x)=
1x2在区间[0,1]上是减函数.
20.解析:任取x1、x2∈0,+且x1<x2,则
222x1x2f(x1)-f(x2)=
x112-
x212-a(x1-x2)=
x11x212-a(x1-x2)
x1x2=(x1-x2)(x11x21-a)
22x1x2(1)当a≥1时,∵x11x21<1,
22又∵x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)
∴a≥1时,函数f(x)在区间[0,+∞)上为减函数.
2a2x1=0,x2=1a(2)当0<a<1时,在区间[0,+∞]上存在,满足f(x1)=f(x2)=1
∴0<a<1时,f(x)在[0,+上不是单调函数
注: ①判断单调性常规思路为定义法;
x1x2②变形过程中x11x21<1
22利用了
x112>|x1|≥x1;
x212>x2;
③从a的范围看还须讨论0<a<1时f(x)的单调性,这也是数学严谨性的体现.
21.解析: ∵f(x)在(-2,2)上是减函数
∴由f(m-1)-f(1-2m)>0,得f(m-1)>f(1-2m)
1m32m1231212m2,即m2m112m221212mm,33,∴m的取值范围是(-23∴ 解得2)
22.解析: (1)当
11a=2时,f(x)=x+2x+2,x∈1,+∞)
设x2>x1≥1,则f(x2)-f(x1)=x2+
11x12x22x1=(x2-x1)+
x1x22x1x2=(x2-x1
1)(1-2x1x2)
∵x2>x1≥1,∴x2-x1>0,1-
12x1x2>0,则f(x2)>f(x1)
可知f(x)在[1,+∞)上是增函数.∴f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为
7f(1)=2.
x22xax(2)在区间[1,+∞)上,f(x)=
>0恒成立x2+2x+a>0恒成立
设y=x2+2x+a,x∈1,+∞),由y=(x+1)2+a-1可知其在[1,+∞)上是增函数,
当x=1时,ymin=3+a,于是当且仅当ymin=3+a>0时函数f(x)>0恒成立.故a>-3.
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