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函数单调性的习题及答案

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函数的单调性(一)

一、选择题:

1.在区间(0,+∞)上不是增函数的函数是 ( )

A.y=2x+1

2C.y=x

B.y=3x2+1

D.y=2x2+x+1

2.函数f(x)=4x2-mx+5在区间[-2,+∞]上是增函数,在区间(-∞,-2)上是减函数,则f(1)等于

( )

A.-7 B.1

C.17 D.25

3.函数f(x)在区间(-2,3)上是增函数,则y=f(x+5)的递增区间是 ( )

A.(3,8) B.(-7,-2)

C.(-2,3) D.(0,5)

ax14.函数f(x)=x2在区间(-2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是

( )

1A.(0,2)

1B.( 2,+∞)

C.(-2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

5.已知函数f(x)在区间[a,b]上单调,且f(a)f(b)<0,则方程f(x)=0在区间[a,b]内( )

A.至少有一实根 B.至多有一实根

C.没有实根 D.必有唯一的实根

6.已知函数f(x)=8+2x-x2,如果g(x)=f( 2-x2 ),那么函数g(x) ( )

A.在区间(-1,0)上是减函数 B.在区间(0,1)上是减函数

C.在区间(-2,0)上是增函数 D.在区间(0,2)上是增函数

7.已知函数f(x)是R上的增函数,A(0,-1)、B(3,1)是其图象上的两点,那么不等式 |f(x+1)|<1的解集的补集是

( )

A.(-1,2) B.(1,4)

C.(-∞,-1)∪[4,+∞) D.(-∞,-1)∪[2,+∞)

8.已知定义域为R的函数f(x)在区间(-∞,5)上单调递减,对任意实数t,都有f(5

+t)=f(5-t),那么下列式子一定成立的是 ( )

A.f(-1)<f(9)<f(13) B.f(13)<f(9)<f(-1)

C.f(9)<f(-1)<f(13) D.f(13)<f(-1)<f(9)

9.函数f(x)|x|和g(x)x(2x)的递增区间依次是 A.(,0],(,1]

B.(,0],[1,)

( )

C.[0,),(,1] D[0,),[1,)

在区间,4上是减函数,则实数a的取值范围是

10.已知函数( )

fxx22a1x2A.a≤3 B.a≥-3 C.a≤5 D.a≥3

11.已知f(x)在区间(-∞,+∞)上是增函数,a、b∈R且a+b≤0,则下列不等式中正确的是( )

A.f(a)+f(b)≤-f(a)+f(b)] B.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b)

C.f(a)+f(b)≥-f(a)+f(b)] D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)

12.定义在R上的函数y=f(x)在(-∞,2)上是增函数,且y=f(x+2)图象的对称轴是

x=0,则 ( )

A.f(-1)<f(3)

D.f(2)<f(3)

B.f (0)>f(3) C.f (-1)=f (-3)

二、填空题:

13.函数y=(x-1)-2的减区间是___ _.

14.函数y=x-21x+2的值域为__ ___.

yfx315、设yfx是R上的减函数,则的单调递减区间

为 .

16、函数f(x) = ax2+4(a+1)x-3在[2,+∞]上递减,则a的取值范围是__ .

三、解答题:

x17.f(x)是定义在( 0,+∞)上的增函数,且f(y) = f(x)-f(y)

(1)求f(1)的值.

1(2)若f(6)= 1,解不等式 f( x+3 )-f(x) <2 .

18.函数f(x)=-x3+1在R上是否具有单调性?如果具有单调性,它在R上是增函数还是减函数?试证明你的结论.

19.试讨论函数f(x)=

1x2在区间[-1,1]上的单调性.

20.设函数f(x)=∞)上为单调函数.

x21-ax,(a>0),试确定:当a取什么值时,函数f(x)在0,+

21.已知f(x)是定义在(-2,2)上的减函数,并且f(m-1)-f(1-2m)>0,求实数m的取值范围.

22.已知函数f(x)=

x22xax,x∈[1,+∞]

(1)当

1a=2时,求函数

f(x)的最小值;

(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.

一、选择题: CDBBD ADCCA BA

1,2 二、填空题:13. (1,+∞), 14. (-∞,3),15.3,, 三、解答题:17.解析:①在等式中令xy0,则f(1)=0.

36)f(36)f(6),f(36)2f(6)2.6

②在等式中令x=36,y=6则

f(

1f(x3)f()f(36),x故原不等式为:即f[x(x+3)]<f(36),又f(x)在(0,+∞)上为增

函数,

故不等式等价于:

x301153300x.2x0x(x3)36

18.解析: f(x)在R上具有单调性,且是单调减函数,证明如下:

设x1、x2∈(-∞,+∞), x1<x2 ,则f(x1)=-x13+1, f(x2)=-x23+1.

x232)2+4x22].

f(x1)-f(x2)=x23-x13=(x2-x1)(x12+x1x2+x22)=(x2-x1)[(x1+

x23而(x1+2)2+4x22>0,∴f(x1)>f(x2).

∵x1<x2,∴x2-x1>0

∴函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.

19.解析: 设x1、x2∈-1,1]且x1<x2,即-1≤x1<x2≤1.

22(1x1)(1x2)(x2x1)(x2x1)f(x1)-f(x2)=

1x12-

1x22=

1x11x222=

1x11x222

∵x2-x1>0,

1x11x222>0,∴当x1>0,x2>0时,x1+x2>0,那么f(x1)>f(x2).

当x1<0,x2<0时,x1+x2<0,那么f(x1)<f(x2).

故f(x)=

1x2在区间[-1,0]上是增函数,f(x)=

1x2在区间[0,1]上是减函数.

20.解析:任取x1、x2∈0,+且x1<x2,则

222x1x2f(x1)-f(x2)=

x112-

x212-a(x1-x2)=

x11x212-a(x1-x2)

x1x2=(x1-x2)(x11x21-a)

22x1x2(1)当a≥1时,∵x11x21<1,

22又∵x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)

∴a≥1时,函数f(x)在区间[0,+∞)上为减函数.

2a2x1=0,x2=1a(2)当0<a<1时,在区间[0,+∞]上存在,满足f(x1)=f(x2)=1

∴0<a<1时,f(x)在[0,+上不是单调函数

注: ①判断单调性常规思路为定义法;

x1x2②变形过程中x11x21<1

22利用了

x112>|x1|≥x1;

x212>x2;

③从a的范围看还须讨论0<a<1时f(x)的单调性,这也是数学严谨性的体现.

21.解析: ∵f(x)在(-2,2)上是减函数

∴由f(m-1)-f(1-2m)>0,得f(m-1)>f(1-2m)

1m32m1231212m2,即m2m112m221212mm,33,∴m的取值范围是(-23∴ 解得2)

22.解析: (1)当

11a=2时,f(x)=x+2x+2,x∈1,+∞)

设x2>x1≥1,则f(x2)-f(x1)=x2+

11x12x22x1=(x2-x1)+

x1x22x1x2=(x2-x1

1)(1-2x1x2)

∵x2>x1≥1,∴x2-x1>0,1-

12x1x2>0,则f(x2)>f(x1)

可知f(x)在[1,+∞)上是增函数.∴f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为

7f(1)=2.

x22xax(2)在区间[1,+∞)上,f(x)=

>0恒成立x2+2x+a>0恒成立

设y=x2+2x+a,x∈1,+∞),由y=(x+1)2+a-1可知其在[1,+∞)上是增函数,

当x=1时,ymin=3+a,于是当且仅当ymin=3+a>0时函数f(x)>0恒成立.故a>-3.

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