函数单调性的习题及答案

函数的单调性（一）

一、选择题：

1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是 （ ）

A．y=2x＋1

2C．y=x

B．y=3x2＋1

D．y=2x2＋x＋1

2．函数f(x)=4x2－mx＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f(1)等于

（ ）

A．－7 B．1

C．17 D．25

3．函数f(x)在区间(－2，3)上是增函数，则y=f(x＋5)的递增区间是 （ ）

A．(3，8) B．(－7，－2)

C．(－2，3) D．(0，5)

ax14．函数f(x)=x2在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是

（ ）

1A．(0，2)

1B．( 2，＋∞)

C．(－2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

5．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)f(b)＜0，则方程f(x)=0在区间[a，b]内（ ）

A．至少有一实根 B．至多有一实根

C．没有实根 D．必有唯一的实根

6．已知函数f(x)=8＋2x－x2，如果g(x)=f( 2－x2 )，那么函数g(x) （ ）

A．在区间(－1，0)上是减函数 B．在区间(0，1)上是减函数

C．在区间(－2，0)上是增函数 D．在区间(0，2)上是增函数

7．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式 |f(x＋1)|＜1的解集的补集是

（ ）

A．(－1，2) B．(1，4)

C．(－∞，－1)∪[4，＋∞） D．(－∞，－1)∪[2，＋∞）

8．已知定义域为R的函数f(x)在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5

＋t)＝f(5－t)，那么下列式子一定成立的是 （ ）

A．f(－1)＜f(9)＜f(13) B．f(13)＜f(9)＜f(－1)

C．f(9)＜f(－1)＜f(13) D．f(13)＜f(－1)＜f(9)

9．函数f(x)|x|和g(x)x(2x)的递增区间依次是 A．(,0],(,1]

B．(,0],[1,)

（ ）

C．[0,),(,1] D[0,),[1,)

在区间,4上是减函数，则实数a的取值范围是

10．已知函数（ ）

fxx22a1x2A．a≤3 B．a≥－3 C．a≤5 D．a≥3

11．已知f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a、b∈R且a＋b≤0，则下列不等式中正确的是（ ）

A．f(a)＋f(b)≤－f(a)＋f(b)］ B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)

C．f(a)＋f(b)≥－f(a)＋f(b)］ D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)

12．定义在R上的函数y=f(x)在(－∞，2)上是增函数，且y=f(x＋2)图象的对称轴是

x=0，则 （ ）

A．f(－1)＜f(3)

D．f(2)＜f(3)

B．f (0)＞f(3) C．f (－1)=f (－3)

二、填空题：

13．函数y=(x－1)-2的减区间是___ _．

14．函数y=x－21x＋2的值域为__ ___．

yfx315、设yfx是R上的减函数，则的单调递减区间

为 .

16、函数f(x) = ax2＋4(a＋1)x－3在[2，＋∞]上递减，则a的取值范围是__ ．

三、解答题：

x17．f(x)是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f(y) = f(x)－f(y)

（1）求f(1)的值．

1（2）若f(6)= 1，解不等式 f( x＋3 )－f(x) ＜2 ．

18．函数f(x)=－x3＋1在R上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R上是增函数还是减函数？试证明你的结论．

19．试讨论函数f(x)=

1x2在区间［－1，1］上的单调性．

20．设函数f(x)=∞)上为单调函数．

x21－ax，(a＞0)，试确定：当a取什么值时，函数f(x)在0，＋

21．已知f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，并且f(m－1)－f(1－2m)＞0，求实数m的取值范围．

22．已知函数f(x)=

x22xax，x∈［1，＋∞］

（1）当

1a=2时，求函数

f(x)的最小值；

（2）若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

参

一、选择题： CDBBD ADCCA BA

1,2 二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.3,， 三、解答题：17.解析：①在等式中令xy0，则f(1)=0．

36)f(36)f(6),f(36)2f(6)2.6

②在等式中令x=36，y=6则

f(

1f(x3)f()f(36),x故原不等式为：即f[x(x＋3)]＜f(36)，又f(x)在(0，＋∞)上为增

函数，

故不等式等价于：

x301153300x.2x0x(x3)36

18.解析： f(x)在R上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：

设x1、x2∈(－∞，＋∞)， x1＜x2 ，则f(x1)=－x13＋1， f(x2)=－x23＋1．

x232)2＋4x22］．

f(x1)－f(x2)=x23－x13=(x2－x1)(x12＋x1x2＋x22)=(x2－x1)［(x1＋

x23而(x1＋2)2＋4x22＞0，∴f(x1)＞f(x2)．

∵x1＜x2，∴x2－x1＞0

∴函数f(x)=－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．

19.解析： 设x1、x2∈－1，1］且x1＜x2，即－1≤x1＜x2≤1．

22(1x1)(1x2)(x2x1)(x2x1)f(x1)－f(x2)=

1x12－

1x22=

1x11x222=

1x11x222

∵x2－x1＞0，

1x11x222＞0，∴当x1＞0，x2＞0时，x1＋x2＞0，那么f(x1)＞f(x2)．

当x1＜0，x2＜0时，x1＋x2＜0，那么f(x1)＜f(x2)．

故f(x)=

1x2在区间［－1，0］上是增函数，f(x)=

1x2在区间［0，1］上是减函数．

20.解析：任取x1、x2∈0，＋且x1＜x2，则

222x1x2f(x1)－f(x2)=

x112－

x212－a(x1－x2)=

x11x212－a(x1－x2)

x1x2=(x1－x2)(x11x21－a)

22x1x2(1)当a≥1时，∵x11x21＜1，

22又∵x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)

∴a≥1时，函数f(x)在区间［0，＋∞)上为减函数．

2a2x1=0，x2=1a(2)当0＜a＜1时，在区间［0，＋∞］上存在，满足f(x1)=f(x2)=1

∴0＜a＜1时，f(x)在［０，＋上不是单调函数

注： ①判断单调性常规思路为定义法；

x1x2②变形过程中x11x21＜1

22利用了

x112＞|x1|≥x1;

x212＞x2；

③从a的范围看还须讨论0＜a＜1时f(x)的单调性，这也是数学严谨性的体现．

21.解析： ∵f(x)在(－2，2)上是减函数

∴由f(m－1)－f(1－2m)＞0，得f(m－1)＞f(1－2m)

1m32m1231212m2,即m2m112m221212mm,33，∴m的取值范围是(－23∴ 解得2)

22.解析： (1)当

11a=2时，f(x)=x＋2x＋2，x∈1，＋∞)

设x2＞x1≥1，则f(x2)－f(x1)=x2＋

11x12x22x1=(x2－x1)＋

x1x22x1x2=(x2－x1

1)(1－2x1x2)

∵x2＞x1≥1，∴x2－x1＞0，1－

12x1x2＞0，则f(x2)＞f(x1)

可知f(x)在［1，＋∞)上是增函数．∴f(x)在区间［1，＋∞)上的最小值为

7f(1)=2．

x22xax(2)在区间［1，＋∞)上，f(x)=

＞0恒成立x2＋2x＋a＞0恒成立

设y=x2＋2x＋a，x∈1，＋∞)，由y=(x＋1)2＋a－1可知其在[1，＋∞)上是增函数，

当x=1时，ymin=3＋a，于是当且仅当ymin=3＋a＞0时函数f(x)＞0恒成立．故a＞－3．