高一数学--对数函数综合练习题(答案)

1．例题分析：

x2yxy例1．用logax，logay，logaz表示下列各式： （1）loga； （2）loga．

3zzxy解：（1）loga

zloga(xy)logaz logaxlogaylogaz；

例2．求下列各式的值：

（1）log24725； （2）lg5100 ．

解：（1）原式=log24log22=7log245log22725119； （2）原式=lg1075（2）logax2y3zloga(x2y)loga3z logax2logayloga3z

112logaxlogaylogaz．

2315222lg10 55lg2437lg27lg83lg10； （3）． lg7lg18； （2）

lg93lg1.2例3．计算：（1）lg1421g

解：（1）解法一：lg142lg7lg7lg18lg(27)2(lg7lg3)lg7lg(322) 3lg2lg72lg72lg3lg72lg3lg20；

解法二：lg142lg147727lg=lg14lg()lg7lg18lg7lg187233lg10；

()183说明：本例体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质常常逆用，应引起足够的重视。

lg243lg355lg35（2）； 2lg92lg32lg33(lg32lg21)3lg27lg83lg10lg(3)lg23lg102（3）=． 322lg32lg212lg1.2lg10132312例4．已知lg20.3010，lg30.4771，求lg1.44的值。

分析：此题应注意已知条件中的真数2，3，与所求中的真数有内在联系，故应将1.44进行恰当变形：

1.441.22(322101)2，然后应用对数的运算性质即可出现已知条件的形式。

解：lg1.44lg1.2lg(3210)2(lg32lg21) 2(0.477120.30101)0.1582． 说明：此题应强调注意已知与所求的内在联系。 例5．已知logaxlogacb，求x．

分析：由于x是真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b的存在使变形产生困难，故可考虑将logac移到等式左端，或者将b变为对数形式。

2212解：（法一）由对数定义可知：xalogacbalogacabcab．

（法二）由已知移项可得logaxlogacb，即logaxxb，由对数定义知：ab，∴ xcab． ccbbbb（法三）Qblogaa，∴logaxlogaclogaalogaca，∴ xca．

说明：此题有多种解法，体现了基本概念和运算性质的灵活运用，可以对于对数定义及运算性质的理解。 1．对数的运算性质：

如果 a > 0 ， a  1， M > 0 ，N > 0， 那么（1）loga(MN)logaMlogaN；（2）logan（3）logaMnlogaM(nR)．

M logaM-logaN；

N证明：（性质1）设logaMp，logaNq， 由对数的定义可得 Ma，Na， ∴MNaaapqpqpq（性质3）

设logaMp，

由对数的定义可得 Ma， ∴Ma，

n∴logaMnp，

n即证得logaMnlogaM．

，

pnnp∴loga(MN)pq，

即证得logaMNlogaMlogaN．

练习：证明性质2． 说明：（1）语言表达：“积的对数 = 对数的和”……（简易表达以帮助记忆）；

（2）注意有时必须逆向运算：如 log105log102log10101； （3）注意定义域： log2(3)(5)log2(3)log2(5) 是不成立的，

2 log10(10)2log10(10)是不成立的；

（4）当心记忆错误：loga(MN)logaMlogaN，试举反例， loga(MN)logaMlogaN，试举反例。

例6．（1）已知32，用a表示log34log36；（2）已知log32a，35，用a、b表示 log330． 解：（1）∵32，∴alog32， ∴ log 3 4  log 3 6 = log3（2）∵35， ∴blog35， 又∵log32a，∴log330=

baab2log321a1． 3111log3235log32log33log35(ab1)． 222换底公式

1．换底公式：logaNlogmN ( a > 0 , a  1 ；m0,m1)

logmaxx证明：设logaNx，则aN，两边取以m为底的对数得：logmalogmN，∴xlogmalogmN，

从而得：xlogmNlogmN ， ∴ logaN．

logmalogma说明：两个较为常用的推论：

（1）logablogba1 ； （2）logambnn． logab （a、b0且均不为1）

mlgbnnlgbnlgblganlogab． 1；证明：（1） logablogba（2） logambmlgamlgamlgalgb2．例题分析： 例1．计算：（1） 5解：（1）原式 =

1log0.23； （2）log43log92log2432．

515； 1log0.231log55533115153 （2） 原式 = log23log32log22．

224442b55例2．已知log1a，185，求log35（用 a, b 表示）． 解：∵log1a， ∴log18181log182a， ∴log1821a， 2log1845log1log185ab．

log18361log1822ab又∵185， ∴log185b， ∴log35例3．设346t1 ，求证：

xyz111． zx2ylgtlgtlgt，y，z， lg3lg4lg6xyz证明：∵346t1，∴ x ∴

11lg6lg3lg2lg41． zxlgtlgtlgt2lgt2y例4．若log83p，log35q，求lg5．

解：∵log83p， ∴log233plg33plg23p(1lg5)， 又∵ log35lg53pqq，∴ lg5qlg33pq(1lg5)， ∴ (13pq)lg53pq ∴ lg5．

13pqlg34例5．计算：(log43log83)(log32log92)log1232．

12115log23)(log32log32) 324解：原式(log223log233)(log32log322)log12 (log232 535555log23log32． 624442例6．若 log34log48log8mlog42，求m．

解：由题意可得：

lg4lg8lgm11， ∴lgmlg3，∴m3． lg3lg4lg822对数函数

例1．求下列函数的定义域：

22（1）ylogax； （2）yloga(4x)； （3）yloga(9x)．

分析：此题主要利用对数函数ylogax的定义域(0,)求解。

22解：（1）由x>0得x0，∴函数ylogax的定义域是xx0；

（2）由4x0得x4，∴函数yloga(4x)的定义域是xx4；

22（3）由9-x0得-3x3，∴函数yloga(9x)的定义域是x3x3．

说明：此题只是对数函数性质的简单应用，应强调学生注意书写格式。

11例2．求函数y2和函数y25xxx212(x0)的反函数。

1解：（1）y2 ∴f1(x)log1(x2) (x-2)；

55 （2） 12x215y-2 ∴f-1(x)log1(x-2) (2x)．

22例4．比较下列各组数中两个值的大小：

（1）log23.4，log28.5； （2）log0.31.8，log0.32.7； （3）loga5.1，loga5.9. 解：（1）对数函数ylog2x在(0,)上是增函数，

于是log23.4log28.5；

（2）对数函数ylog0.3x在(0,)上是减函数，

于是log0.31.8log0.32.7；

（3）当a1时，对数函数ylogax在(0,)上是增函数，

于是loga5.1loga5.9，

当oa1时，对数函数ylogax在(0,)上是减函数，

于是loga5.1loga5.9．

例5．比较下列比较下列各组数中两个值的大小：

（1）log67，log76； （2）log3，log20.8； （3）1.1，log1.10.9，log0.70.8； （4）log53，log63，log73．

0.9解：（1）∵log67log661， log76log771，∴log67log76； （2）∵log3log310， log20.8log210，∴log3log20.8． （3）∵1.1∴1.10.91.101， log1.10.9log1.110， 0log0.71log0.70.8log0.70.71， log0.70.8log1.10.9．

0.9 （4）∵0log35log36log37， ∴log53log63log73． 例6．已知logm4logn4，比较m，n的大小。 解：∵logm4logn4， ∴

1111，当m1，n1时，得0，

log4mlog4nlog4mlog4n110，

log4mlog4n∴log4nlog4m， ∴mn1．当0m1，0n1时，得

∴log4nlog4m， ∴0nm1．当0m1，n1时，得log4m0，0log4n， ∴0m1，n1， ∴0m1n．

综上所述，m，n的大小关系为mn1或0nm1或0m1n． 例7．求下列函数的值域：

22（1）ylog2(x3)；（2）ylog2(3x)；（3）yloga(x4x7)（a0且a1）．

解：（1）令tx3，则ylog2t， ∵t0， ∴yR，即函数值域为R． （2）令t3x，则0t3， ∴ylog23， 即函数值域为(,log23]．

（3）令tx4x7(x2)33， 当a1时，yloga3， 即值域为[loga3,)， 当0a1时，yloga3， 即值域为(,loga3]． 例8．判断函数f(x)log2(x21x)的奇偶性。

解：∵x21x恒成立，故f(x)的定义域为(,)， f(x)log2(x21x)

222log21x21x23log2x21x(x21)2x2log2x21xf(x)，所以，f(x)为奇函数。

例9．求函数y2log1(x3x2)的单调区间。 解：令ux3x2(x)22322133在[,)上递增，在(,]上递减，

224又∵x3x20， ∴x2或x1，

2故ux3x2在(2,)上递增，在(,1)上递减， 又∵y2log1u为减函数，

3所以，函数y2log1(x3x2)在(2,)上递增，在(,1)上递减。

32说明：利用对数函数性质判断函数单调性时，首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断方法来求单调

区间。

2例10．若函数ylog2(xaxa)在区间(,13)上是增函数，a的取值范围。

解：令ug(x)xaxa， ∵函数ylog2u为减函数，

2a132∴ug(x)xaxa在区间(,13)上递减，且满足u0，∴2，解得223a2，

g(13)0所以，a的取值范围为[223,2]．

对数函数

1 如图，曲线是对数函数 的图象，已知 的取值 ，则相应于曲线 的 值依次为( )．

（A）

（B）

（C）

（D）

2.函数y=logx－1(3－x)的定义域是 如果对数logx7(x26x5)有意义，求x的取值范围；

解：要使原函数有意义，则

x26x50 x70x71解之得： -7-1

∴原函数的定义域为-7，-6)U(-6，-5) U(-1，+) 函数

5ylg[x2(k2)x]的定义域为一切实数，求k的取值范围。

452k52

利用图像判断方程根的个数 3．已知关于x的的方程

log3xa，讨论a的值来确定方程根的个数。

作出函数与为0个； 为1个； 为2个。

如ya的图象，

解：因为

log3x(x1)ylog3x在同一直角坐标系中

log3x(0x1)图可知：①当a②当a

0时，两个函数图象无公共点，所以原方程根的个数

0时，两个函数图象有一个公共点，所以原方程根的个数

③当a0时，两个函数图象有两个公共点，所以原方程根的个数

4．若关于x的方程lg(ax)lg(ax解：由原方程可化为

2)4的所有解都大于1，求a的取值范围．

(lgalgx)(lga2lgx)4，变形整理有 2lg2x3lgalgxlg2a40（*）

x1，lgx0，由于方程（*）的根为正根，则

9lg2a8(lg2a4)013lga0解之得，从而 lga20a100212(lga4)02

5．求函数．解：设

ylog1(x22x3)的单调区间．

2ylog1u，ux22x3，由u0得x22x30，知定义域为

2(,1)(3,)又u(x1)24，则当x(,1)时，u是减函数；当x(3,)时，u是增函数，而ylog1u2在R上是减函数

ylog12(x23x3)的单调增区间为(,1)，单调减区间为(3,)

题目2】求函数

ylog（12125-3x+）的单调区间。 2x2正解】由

125125y（-3x+）得x＜1或x＞5，即函数的定义域为{x| x＜1或x＞5}， -3x+0log1xx22222当x＜1时，t125125y（-3x+）是减函数，是减函数，所以是增函数； -3x+ytlog1log1x222x222125125y（-3x+）是增函数，是减函数，所以是减函数； -3x+ytlog1log1xx222222当x＞5时，t所以

ylog（12125-3x+）的增区间是（-∞，1）；减区间是（5，∞，）。 2x2 6、设函数

分析：由值域为 解： 令

，若

的值域为

，求实数

的取值范围．

能取遍所有正实数的问题．

应取遍一切正实数即函数值域是正实数集的子集．则有

或

和对数函数的单调性可将问题转化为

，依题意

，解得

．

已知函数f(x)=lg［(a－1)x+(a+1)x+1］. (1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围； (2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围. 解：(1)(a－1)x+(a+1)x+1＞0对x∈R恒成立.

2

2

22

a2－1=0时，a=±1，经检验a=－1时恒成立；

a2－1≠0时，

a＜－1或a＞ ，

∴a≤－1或a＞

2

.

(2)a－1=0，即a=1时满足值域为R；

a2－1≠0时，

1＜a≤ .

∴1≤a≤

7

.

2ylog（ax+ax1）的定义域为R，求a的取值范围。

2【正解】①当a=0时，y=0，满足条件，即函数y=0的定义域为R；

a00a4； ②当a≠0时，由题意得：2a4a0由①②得a的取值范围为[0，4）。

【评注】参数问题，分类要不重不漏，对于不等式ax+bxc>0不一定是一元二次不等式。

2

28.函数y=log1［(1－x)(x+3)］的递减区间是( )

2A.(－3,－1) B.(－∞,－1) C.(－∞,－3)

2

D.(－1，＋∞)

【解析】设t＝(1－x)(x＋3)＝－x－2x＋3＝－(x＋1)＋4由(1－x)(x＋3)＞0得－3＜x＜1当x∈(－3，－1)时，t＝(1－x)(x＋3)递增∴y＝log1［(1－x)(x＋3)］的递减区间是(－3，－1)

29.已知函数y＝loga(2－ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是( ) A.0＜a＜1 B.a＞1 C.1＜a＜2

D.1＜a≤2

【解析】若0＜a＜1，则函数在定义域上是增函数；若a＞1，则当0≤x≤1时，2－ax＞0恒成立即x＜10.求函数y=loga(2-a-a)的值域。

【解】由于2-a-a>0，得-2x

2x

x

x

2x

x

x

2x

22，因此＞1∴1＜a＜2 aa19)+∈（0，2）。 242

又当a>1时，y=logat递增，∴yloga2。 故当a>1时，所求的值域为（-∞，loga2）；当0xx·log(x∈［1,8］)的最大值和最小值. 242

【解】 令t=log2x,x∈［1,8］,则0≤log2x≤log28即t∈［0,3］ ∴y=(log2x－1)(log2x－2)=(t－1)(t－2)=t－3t+2=(t－

32

31)－242

t∈［0,3］

331∴当t=,即logx=,x=22=22时，y有最小值=－

2242

.

当t=0或t=3，即log2x=0或log2x=3,也即x=1或x=8时，y有最大值=2.

12.设函数y=f(x),且lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x),（1）求f(x)的表达式及定义域；（2）求f(x)的值域。 【解】（1）若lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x)有意义，

x0,0x3,则3x0,即又∵lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x),∴lgy=3x(3-x)。∴y=10lgy0,y1.32727（2）∵3x(3-x)=-3x+9x=-3(x-)+(02442

2

2

3x(3-x)

(0274。

∴y=f(x)的定义域为（0，3），值域为（1，10

274）。

13函数

14已知函数

在区间 上的最大值比最小值大2，则实数 =___．或 ；

．① 判断函数的单调区间及在每一个单调区间内的单调性； ② 当

值．

时，求

的最大值，最小值及相应的

①在

上单调递减，在 上单调递增．②当 时， ，当 时， ．

x

15、已知函数y=loga(1－a)(a＞0且a≠1)。(1)求函数的定义域和值域；(2)证明函数图象关于直线y=x对称。 (1)当a＞1时，函数的定义域和值域均为(－∞，0)；当0＜a＜1时，函数的定义域和值域均为(0，+∞)。 xxyxyy－1x

(2)由y=loga(1－a)，得1－a=a，即a=1－a，∴x=loga(1－a)，∴f(x)=loga(1－a)=f(x)。 x－1

∵f(x)与f的图象关于直线y=x对称，函数y=loga(1－a)的图象关于直线y=x对称。

x11x,f(x)log3(log33x)27279，求函数16、.设的最大值。

、12

17、已知函数

f(x)log2x1log2(x1)log2(px)x1。

(1)求函数f(x)的定义域；(2)求函数f(x)的值域。

(1)函数的定义域为(1，p)。(2)当p＞3时，f(x)的值域为(－∞，2log2(p+1)－2)； 当1＜p=时，f(x)的值域为(－，1+log2(p+1))。

2(log1x)27log1x3018、已知

22 ， 求函数

x4y(log2)•(log1)2x22,的最大值和最小值 、）

14

19：已知y的减函数，则a的取值范围是（ log(2ax)在0，1上是xa A．（0，1） B．（1，2） C．（0，2） D．

 2，答案：B。

0，a1解析：本题作为选择题，用排除法求解较简，由于这里虽然有a，故u在[0，1]上定为减函数，依题设必有2ax2，3，故应排除A和C，在B、D中要作选择，可取a，则已知函数为y，但是此函数的定义域为，log(23x)a133它当然不可能在区间[0，1]上是减函数，故又排除了D，从而决定选B。 20．函数

（

）图象的对称轴方程为

对称，则

，求 ，即

的值．

解：解法一：由于函数图象关于

解法二：偶函数，即

函数

，解得 ，

的图象关于直线

或 又 ，

的图象关于

轴对称，则它为

对称，则函数

21 已知f(x)=

2

［3－(x－1)］，求f(x)的值域及单调区间.

，

分析：分清内层与外层函数.

2

解：令u(x)=－(x－1)+3≤3，则f(x)≥ 3=－1，∴f(x)值域为［－1，+∞).

，1+

).u(x)在(1－

，1］上递增，在(1，1+

)上递减.

f(x)的定义域u(x)＞0，即－(x－1)2+3＞0，x∈(1－

∵0＜ ＜1，∴f(x)在(1－ ，1］上递减，在(1，1+ )上递增.

22已知y=log0.5(x－ax－a)在区间(－∞，－

2

)上是增函数，求实数a的取值范围.

解：函数y=log0.5(x－ax－a)由y=log0.5t与t=x－ax－a复合而成，其中y=log0.5t为减函数，又y=log0.5(x－ax－a)在(－∞，－

222

)上

是增函数，故t=x－ax－a在区间(－∞，－

2

2

)上是减函数.从而 a∈［－1， ］.

23.已知函数f(x)=loga(ax－x)， 是否存在实数a，使它在区间［2，4］上是增函数?如果存在，说明a可取哪些值;如果不存在，说明理由.

解：设g(x)=ax－x.当a＞1时，为使函数y=f(x)=loga(ax－x)在x∈［2，4］上为增函数，只需g(x)

2

2

=ax－x在［2，4］上为增函数，故应满足

2

2

得a＞ .∴a＞1.

2

当0＜a＜1时，为使函数y=f(x)=loga(ax－x)在x∈［2，4］上为增函数，只需g(x)=ax－x在x∈［2，4］上为减函数，

故

4］上为增函数.

无解.∴a不存在.∴当a＞1时，f(x)=loga(ax－x)在x∈［2，

2

对数函数的图象变换及在实际中的应用

对数函数图象是对数函数的一种表达形式，形象显示了函数的性质。为研究它的数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径、获得问题结果的重要途径。 一． （一）

利用对数函数图象的变换研究复杂函数图象的性质 图象的平移变换

画出函数

例1．

ylog2(x2)与ylog2(x2)的图像，并指出两个

图像之间的关系？

解：函数

ylog2x的图象如果向右平移2个单位就得到ylog2(x2)的图像；如果向左平移2个单位就得到ylog2(x2)ylog2(x2)的图象向右平移4个单位得到ylog2(x2)的图象

的图像，所以把

注：图象的平移变换：1.水平平移：函数而得到.

2.竖直平移：函数

yf(xb)，(a0)的图像，可由yf(x)的图像向左（+）或向右平移a个单位

yf(x)b，(b0)的图像，可由yf(x)的图像向上（+）或向下平移b个单位而得到.

（二）图像的对称变换 例2．画出函数解：当xylog2x2的图像，并根据图像指出它的单调区间.

0时，函数ylog2x2满足f(x)log2(x)2log2x2f(x)，所以ylog2x2是偶函数，它的图象关于yx0时，ylog2x22log2x。因此先画出

轴对称。当（xy2log2x，

0）的图象为c1，再作出c1关于y轴对称c2，c1与c2构成函数

ylog2x2的单调减区间是,0，单调增区间

ylog2x2的图像，

如图：

由图象可以知道函数例3．画出函数

是(0,) 的关系？

ylog3x与ylog1x的图像，并指出两个图像之间

3解：图象如图：把函数

ylog3x的图象作关于x轴对称得到

ylog1x的图像

3注：图象的对称变换：①②③

yf(x)与yf(x)关于y轴对称

yf(x)与yf(x)关于x轴对称 yf(x)与yf(x)关于原点轴对称 yf1④⑤

(x)与yf(x)关于直线yx轴对称

yf(x)的图像可将 yf(x)，x0的部分作出，再利用偶

函数的图像关于二． （一）

y轴对称，作出x0的图像.

利用对数函数的图象解决有关问题 利用图像求参数的值

例4．已知函数

yloga(xb)的图像如图所示，求函数a与b的值.

解：由图象可知，函数的图象过

(3,0)点与(0,3)点，所以得方程0loga(3b)与

3logab，解出a2，b4。

（二）利用图像比较实数的大小 例5．已知logm2logn2，m,n1，试确定实数m和n的大小关系.

ylogmx与ylognx的图象，再作x2的直线，可得

解：在同一直角坐标系中作出函数

mn。

注：不同底的对数函数图象的规律是：①底都大于1时，底大图低（即在x图高（即在01的部分底越大图象就越接近x轴）②底都小于1时，底大

x1的部分底越大图象就越远离x轴）

x1

（三）利用图像解有关的不等式 例6．解关于x的不等式log2(x6)解：在同一直角坐标系中作出函数

ylog2(x6)与

yx1的图象，如

图：两图象交点的横坐标为2，所以原不等式的解集为（四）利用图像判断方程根的个数 例7．已知关于x的的方程

xx2

定方程根的个数。

log3xa，讨论a的值来确

log3x(x1)解：因为ylog3x在同一直

logx(0x1)3与

角坐标系中作出函数

ya的图象，如图可知：①当a0时，两个函数图象无公共点，

②当a所以原方程根的个数为0个； 为1个； 为2个。

函数的性质。运用数形结合的

0时，两个函数图象有一个公共点，所以原方程根的个数

③当a0时，两个函数图象有两个公共点，所以原方程根的个数

能准确地作出对数函数的图象，利用平移、对称的变换来研究复杂数学思想，来研究对数函数的有关问题。