辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟考试 数学理(解析版)

辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟考试

数学理

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合A. 【答案】B

【解析】分析：求出集合详解：

故选B.

点睛：本题考查集合的交集运算，属基础题. 2. 若复数满足

（为虚数单位)，则的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限是（ ）

，即可得到

.

，

B.

，

C.

，则

D.

（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B

【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求的共轭复数，即可得到在复平面内对应的点所在的象限． 详解：由题意，

则的共轭复数对应的点在第二象限.

故选B.

点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 3. 已知实数A. 【答案】D

【解析】分析：利用指数函数即可得出

的大小关系，进而判断出结论．

满足 B.

，则下列关系式中恒成立的是（ ）

C.

D.

详解：由题对于A，当

B．若 C．当

D．当故选D.

时，

， 时，满足

，但

不成立． 成立，当不成立．

时，满足

，但

不成立．

，则等价为时，满足

恒成立，

，但

点睛：本题考查了函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键．属于基础题． 4. 已知双曲线

，若过一、三象限的渐近线的倾斜角

，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】分析：求得双曲线的渐近线方程，由题意可得范围． 详解：双曲线

的渐近线方程为

，再由离心率公式和

的关系，即可得到所求

由一条渐近线的倾斜角的取值范围[，则

即为 即有即

则故选A．

即

点睛：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，考查运算能力，属于中档题． 5. “样本点

”是计算机软件产生随机数的函数，每调用一次，其中

函数，就产生一个在区间

内的随机数.我们产生个

.在这个样本点中，满足 的样本点的个数为，当足够

大时,可估算圆周率的近似值为（ ） A.

B. C. D.

【答案】A

【解析】分析：由题可知本题利用随机模拟实验的方法求任取生的概率，代入几何概型公式，即可得到答案． 详解：

发生的概率为

，即

，在这个样本点中，满足

.

的样本点的个数为，当足够大

上的

，求

的概率，计算

发

时,可估算圆周率的近似值为，故选A．

点睛：本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，属中档题． 6. 已知函数

的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A. 函数B. 函数C. 函数D. 函数【答案】B

的周期为

为奇函数 在

上单调递增

对称

的图象关于点

【解析】分析：观察图象由最值求，然后由函数所过的点数性质即可得出结论．

详解：观察图象可得，函数的最小值-2，所以

，求出 ，可求函数的解析式，进而研究函

，又由图像可知函数过，

即 结合可得，则 ，显然A选项错误；

对于B，对于D ,，当由此可知选C.

不是偶函数； 故D错误，

点睛：本题主要考查了由函数的部分图象求函数的解析式，进而研究函数性质，属于中档题．

7. 王老师的班上有四个体育健将甲、乙、丙、丁，他们都特别擅长短跑，在某次运动会上，他们四人要组成一个

米接力队，王老师要安排他们四个人的出场顺序，以下是他们四人的对话： 甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；

丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒；

王老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求， 据此我们可以断定，在王老师安排的出场顺序中，跑第三棒的人是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C

【解析】分析：本题假设丙跑第三棒，看有没有矛盾，若有矛盾再假设乙跑第三棒的推测是正确的，从而排出出场顺序．

详解：由题乙，丙均不跑第一棒和第四棒，则跑第三棒的人只能是乙，丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这是丁第一棒，甲第四棒，符合题意. 故跑第三棒的人是丙. 选C.

点睛：本题考查合情推理，可以假设丙跑第三棒，看有没有矛盾，若有矛盾再假设乙跑第三棒，得到正确结果． 8. 在

中，内角

的对边分别为 D.

.若

，且

，则

（ ）

A. B. C. 【答案】A 【解析】∵

∵∴∵∴∴

，即

，即为锐角

故选A 9. 条形码见的条形码是“

是将宽度不等的多个黑条和空白，按照一定的编码规则排列，用以表达一组信息的图形标识符。常

”通用代码，它是由从左到右排列的13个数字（用

表示）组成，其中

是校验码，

用来校验前12个数字代码的正确性.下面的框图是计算第13位校验码的程序框图，框图中符号大整数(例如（ ）

).现有一条形码如图（1)所示

表示不超过的最

,其中第6个数被污损， 那么这个被污损数字是

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B

【解析】分析：由已知中程序框图可得：S是条件形码中前12偶数位数字的和，T是条件形码中前12奇数位数字的和，

表示的个数数字，结合

可得答案．

点睛：本题考查的知识点是程序框图，根据已知分析出框图中各个变量的意义，是解答的关键．

10. 某几何体的三视图如图所示，坐标纸上的每个小方格的边长为1，则该几何体的外接球的表面积是（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是侧面垂直于底面，且底面是直角三角形的三棱锥，求出该三棱锥外接球的直径，即可求出外接球的表面积．

详解：根据几何体的三视图，得；

该几何体是如图所示的三棱锥，三棱锥的高且侧面

底面

∴

的外接球的球心为设则解得

，∴外接球的表面积

故选C．

外接球的半径为

底面

，

，

，

的外接圆的圆心为斜边

的中点 ，设该几何体

．

点睛：本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图还原出几何体的结构特征，是基础题． 11. 在长方体为

中点，

中，底面

是边长为的正方形，侧棱

，三棱锥

为矩形

的体积的最大值记为

内部（含边界）一点，，则关于函数

，

为空间任一点且

下列结论确的是（ ） A. C. 【答案】D

【解析】分析：根据Rt△ADP∽△Rt△PMC，PD=2PC，利用体积公式求解得出PO⊥CD，求解OP最值，根据勾股

22

定理得出：3h=-3x+48x-144，0≤x≤6，利用函数求解即可

为奇函数 B.

D.

在

上不单调；

详解：∵在长方体

，则

中，为中点，

为矩形内部（含边界）一点，

即

在以为球心的球面上，而到面的距离为，则

由此可知A,B,C选项都不正确，

而故选D.

点睛：本题考查了空间几何体中的最值问题，关键是列出式子，转化为距离问题，借助函数求解即可，属于难题． 12. 已知函数范围是（ ） A. 【答案】D 【解析】分析：由

且

详解：∵函数由

∴∵在区间

上任取三个数

，①

均存在以

得x=1，

时，

时，

为边长的三角形， ，

，，

得

，由导数性质得

由题意得

B.

C.

D.

，在区间

上任取三个数

均存在以

为边长的三角形，则的取值

.

由此能求出的取值范围．

，

②

联立①②，得故选D．

点睛：本题考查实数的求值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．

．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 若【答案】84

【解析】分析：由定积分的求出积分值，从而求出的值，再用展开式的通项求常数项．

，则在

的展开式中，的系数是__________．(用数字作答）

详

解：由题

，则

的展开式的通项公式为

，令

则的系数是

即答案为84.

点睛：本题考点是定积分，以及二项展开式的通项公式是解决二项展开式特殊项问题的方法． 14. 已知

满足约束条件

当目标函数

在该约束条件下取到最小值4,

的最小值

为__________． 【答案】

，．再

【解析】分析：由约束条件正常可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到由乘1法和基本不等式，即可得到所求的最小值．

详解：由约束条件，作可行域如图，

联立解得： ．

时，最小．

由图可知，当目标函数过点则即有

，

（当且仅当

取得最小值）． 即答案为

.

点睛：本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了基本不等式的应用，是中档题． 15. 下列说法： ①线性回归方程②命题“

必过

；

”

”的否定是“

③相关系数越小，表明两个变量相关性越弱； ④在一个

列联表中，由计算得

，则有

的把握认为这两个变量间有关系；

其中正确的说法是__________．(把你认为正确的结论都写在横线上） ．．本题可参考性检验临界值表：

【答案】①④

【解析】分析：根据性回归方程，性检验，相关关系，以及命题的否定等知识，选出正确的，得到结果．

详解：线性回归方程命题“

必过样本中心点

”的否定是“

，故①正确． ” 故②错误

③相关系数r绝对值越小，表明两个变量相关性越弱，故不正确； ④在一个

列联表中，由计算得

，则有

的把握认为这两个变量间有关系，正确.

故答案为①④.

点睛：本题以命题真假的判断为载体，着重考查了相关系数、命题的否定、性检验、回归直线方程等知识点，属于中档题． 16. 如图，已知且

，则

为

中点，以

为直径在

同侧作半圆，

分别为两半圆上的动点，（不含端点

)，

的最大值为__________．

【答案】

【解析】分析：以为坐标原点，直径的半圆方程，以可得

所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，求得

的坐标，可得以

为

为直径的半圆方程，设出的坐标，由向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变换

，再由余弦函数、二次函数的图象和性质，计算可得最大值．

详解：以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，可得

以以设可得即有即为即有则

可得

，即

，

为直径的半圆方程为为直径的半圆方程为（

，

可得

即β

的最大值为，

故答案为．

点睛：本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的坐标表示以及圆的参数方程的运用，三角函数的恒等变换，考查余弦函数的性质，考查运算能力，属于中档题．

时，

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 设等差数列（1）求数列

的前项和为，且的通项公式；

成等差数列，

.

（2）设，求数列的前项和.

【答案】(1) an=2n-1 (2) 【解析】分析：设等差数列

的首项为,公差为, 由

成等差数列，可知的通项公式；

, 由

得：

， 由此解得，，即可得到数列

令详解： 设等差数列

，利用错位相减法可求数列的前项和.

的首项为,公差为, 由

，解得:

成等差数列，可知 , 由得：

因此:

(2)令.则 ，

∴① ②

①—②,得

所以

点睛：本题考查等差数列的公差及首项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质、错位相减法的合理运用． 18. 如图，在多面体四边形

是菱形，

中，底面.

是梯形，

,

，平面

平面

，

（1）求证：（2）求二面角

；

的平面角的正切值.

中，

，

，利用勾股定理可证

，可证

，又平

即

【答案】（1）见解析（2）

【解析】分析：(1）依题意，在等腰梯形面可证明(2）取

平面

； 的中点，可证

，以

，故

，即得，由四边形ACEF是菱形，

、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，求得平面BEF和平的平面角的余弦值，进而得到二面角

的平面角

面DEF的一个法向量，由向量夹角公式得到二面角的正切值. 详解：

(1）题意，在等腰梯形

中，

∵连接

，

，∵四边形ACEF是菱形，

，，

，

(2） 取的中点，连接，因为四边形是菱形，且.

所以由平面几何易知故此可以

、

、

，∵，∴.

分别为、、轴建立空间直角坐标系，各点的坐标依次为：

设平面BEF和平面DEF的法向量分别为

∵

同理，

故二面角的平面角的正切值为

点睛：本题考查了空间线面垂直的判定，及向量法求二面角，属于中档题．

19. 海水养殖场使用网箱养殖的方法，收获时随机抽取了 100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位:)，其频率分布直方图如图： 定义箱产量在

(单位:)的网箱为“稳产网箱”， 箱产量在区间

之外的网箱为“非稳产网箱”.

（1）从该养殖场（该养殖场中的网箱数量是巨大的）中随机抽取3个网箱.将频率视为概率，设其中稳产网箱的个数为，求的分布列与期望

；

与

的大小.

（2）从样本中随机抽取3个网箱，设其中稳产网箱的个数为，试比较的期望【答案】(1) E(X)=(2)相等 【解析】分析：(1)设事件

“从该养殖场中随机取出1个稳产网箱”则

；

由此可得的分布列与期望

（2）稳产网箱的频数为100·=60 依题意Y～H(100,60,3)，由此可得详解：

(1)设事件A=“从该养殖场中随机取出1个稳产网箱”则

，易知则

P(X=k)=C ()k·()3−k=故X的分布列为 X P

X的期望E(X)=3=

(2)稳产网箱的频数为100·=60

0 (k=0,1,2,3)

1 2 3

依题意Y～H(100,60,3) 故E(Y)=

==E(X)

点睛：本题考查了频率分布直方图与二项分布列的应用问题，是基础题． 20. 已知椭圆任意一条直径，

的焦距为，离心率为，圆

面积的最大值为2.

，

是椭圆的左右顶点，

是圆的

（1）求椭圆及圆的方程；

（2）若为圆的任意一条切线，与椭圆交于两点【答案】(1) 椭圆方程为

，圆的方程为

，求

(2)，

的取直范围.

，结合

【解析】分析：(1)易知当线段AB在y轴时，可求

，可求椭圆方程和圆的方程；

（2）设直线L方程为：y=kx+m,直线为圆的切线，，

直线与椭圆联立，，得，利用弦长公式

可得详解：

，然后利用换元法求其范围即可.

解：(1) 设B点到x轴距离为h,则

，

所以椭圆方程为

，圆的方程为

，易知当线段AB在y轴时，

（2）设直线L方程为：y=kx+m,直线为圆的切线，，

直线与椭圆联立，，得

判别式，由韦达定理得：，

所以弦长，令，

所以

点睛：本题考查椭圆方程的求法，主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，是难题． 21. 已知函数（1）当（2）当

时，讨论

，其中常数

的单调性；

在区间

内有解？若存在，求出整数．．的最小

.

时，是否存在整数．．使得关于的不等式

值；若不存在，请说明理由. 参考数据:

，

.

【答案】(1) f(x)在(0,1)↑,(1,+∞)↓(2) −1 【解析】分析：(1)求导得

的单调性；

时,设

,且

),使得lnx0=x0−2

x−x0)

，

，

，设

，讨论其值域，可

(2)当在

可知在(0,)内,唯一x0∈(,

并且F(x)在(0,x0)↓,(x0,e)↑,(e,+∞)↓当x∈(0,e)时,F(x)min =e3(因∈(0,e),使2m≥F(x)成立,故需2m≥F(x)min=e3(由此可求m的最小整数值. 详解： 解：(1) 求导g(1)=0

，设

x−x0)

明显g(x)在(0,+∞)↓,且

故f(x)在(0,1)↑,(1,+∞)↓ 当

时,设

,且

注意F′()=−3<0,F′(

)=e3(1−ln2−e−2)≈0.1e3>0

),使得lnx0=x0−2

，

，

在

故在(0,)内,唯一x0∈(,

并且F(x)在(0,x0)↓,(x0,e)↑,(e,+∞)↓ 当x∈(0,e)时,F(x)min =F(x0)=e3(x0lnx0−

x+x0)=e3(

3

x−x0) x−x0)

因∈(0,e),使2m≥F(x)成立,故需2m≥F(x)min=e(当x0∈(,

)时,F(x)min=e(

3

x−x0)∈(−,−e)≈(−3.32,−2.51)

因2m为偶数,故需2m≥−2m≥−1,即m的最小整数值为−1

点睛：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于难题．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. 选修4-4：坐标系与参数方程 直角坐标系

中，直线的参数方程为

(为参数)，在极坐标系（与直角坐标系

.

取相同的长度单位，

且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为（1）求圆的直角坐标方程； （2）设圆与直线交于点【答案】（1）【解析】分析：（1）将

，若点的坐标为（2）

，求

的最小值.

两边同乘，根据直角坐标与极坐标的对应关系得出直角坐标方程；

．

（2）将直线的参数方程代入圆的普通方程，根据参数的几何意义与根与系数的关系得出详解： （1）由即

（2）将l的参数方程带入圆C的直角坐标方程，得因为

，可设

，

，化为直角坐标方程为

，

又因为（2，1）为直线所过定点，

所以

点睛：本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程的几何意义与应用，属于基础题． 23. 选修4-5：不等式选讲 已知函数（1）求不等式（2）若不等式【答案】（1）

. 的解集；

的解集非空，求的取值范围. （2）

的分段函数的形式，解不等式

可分

与

，

三类讨论即可解得不等

【解析】分析：（1）求出式

的解集；

（2）原式等价于存在设

详解：（1）当当当

时，

的解集为 时，

，求出时，

，使成立，即 ，

的最大值即可得到的取值范围.

，无解

∴

.

，使

综上所述

（2）原式等价于存在成立，即 设由（1）知

当时，，其开口向下，对称轴为x=>-1,所以g(x)≤g(-1)=-8,

当-1点睛：本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、

函数与方程思想的综合运用．