高考复数专题及答案.pdf

1.【2015高考新课标2，理2】若a为实数且(2+ai)(a−2i)=−4i，则a=（ ） A．−1 B．0 C．1 D．2 【答案】B

【解析】由已知得4a+(a2−4)i=−4i，所以4a=0,a2−4=−4，解得a=0，故选B． 【考点定位】复数的运算．

【名师点睛】本题考查复数的运算，要利用复数相等列方程求解，属于基础题．

22.【2015高考四川，理2】设i是虚数单位，则复数i3−( )

i（A）-i （B）-3i （C）i. （D）3i 【答案】C 【解析】

i3−22i=−i−2=−i+2i=i，选C. ii【考点定位】复数的基本运算.

【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可.

3.【2015高考广东，理2】若复数z=i(3−2i) ( i是虚数单位 )，则z=（ ）

A．3−2i B．3+2i C．2+3i D．2−3i 【答案】D．

【解析】因为z=i(3−2i)=2+3i，所以z=2−3i，故选D． 【考点定位】复数的基本运算，共轭复数的概念．

【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算，共轭复数的概念和运算求解能力，属于容易题；复数的乘法运算应该是简单易解，但学生容易忘记和混淆共轭复数的概念，z=a+bi的共轭复数为z=a−bi． 4.【2015高考新课标1，理1】设复数z满足

1+z=i，则|z|=( ) 1−z（A）1 （B）2 （C）3 （D）2

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【答案】A 【解析】由

1+z−1+i(−1+i)(1−i)==i，故|z|=1，故选A. =i得，z=1−z1+i(1+i)(1−i)【考点定位】本题主要考查复数的运算和复数的模等.

【名师点睛】本题将方程思想与复数的运算和复数的模结合起来考查，试题设计思路新颖，本题解题思路为利用方程思想和复数的运算法则求出复数z，再利用复数的模公式求出|z|,本题属于基础题，注意运算的准确性. 5.【2015高考北京，理1】复数i(2−i)=（ ） A．1+2i 【答案】A

B．1−2i

C．−1+2i

D．−1−2i

考点定位：本题考查复数运算，运用复数的乘法运算方法进行计算，注意i2=−1. 【名师点睛】本题考查复数的乘法运算，本题属于基础题，数的概念的扩充部分主要知识点有：复数的概念、分类，复数的几何意义、复数的运算，特别是复数的乘法与除法运算，运算时注意i2=−1，注意运算的准确性,近几年高考主要考查复数的乘法、除法，求复数的模、复数的虚部、复数在复平面内对应的点的位置等.

6.【2015高考湖北，理1】 i为虚数单位，i607的共轭复数为（ ） ．．．．

A．i B．−i C．1 D．−1 【答案】A

【解析】i607=i4151i3=−i,所以i607的共轭复数为i，选A . ．．．．【考点定位】共轭复数. 【

名

师

点

睛

】

复

数

中

，

i是虚数单

位,i2=−1；i4n+1=i，i4n+2=−1，i4n+3=−i，i4n=1(nZ) 7.【2015高考山东，理2】若复数z满足

z=i，其中i为虚数为单位，则z=（ ） 1−i（A）1−i （B）1+i （C）−1−i （D）−1+i

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【答案】A 【解析】因为

z=i，所以，z=i(1−i)=1+i ，所以，z=1−i 故选：A. 1−i【考点定位】复数的概念与运算.

【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用复数的乘法和共轭复数的概念进行化简求解.

本题属于基础题，注意运算的准确性.

8.【2015高考安徽，理1】设i是虚数单位，则复数于（ ）

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 【答案】B 【解析】由题意

2i在复平面内所对应的点位1−i2i2i(1+i)−2+2i===−1+i，其对应的点坐标为(−1,1)，位1−i(1−i)(1+i)2于第二象限，故选B.

【考点定位】1.复数的运算；2.复数的几何意义.

【名师点睛】复数的四则运算问题主要是要熟记各种运算法则，尤其是除法运算，

要将复数分母实数化（分母乘以自己的共轭复数），这也历年考查的重点；另外，复数z=a+bi在复平面内一一对应的点为Z(a,b).

9.【2015高考重庆，理11】设复数a+bi（a，bR）的模为3，则（a+bi）（a-bi）=________. 【答案】3

【解析】由a+bi=3得

a2+b2=3，即a2+b2=3，所以

(a+bi)(a−bi)=a2+b2=3. 【考点定位】复数的运算.

【名师点晴】复数的考查核心是代数形式的四则运算，即使是概念的考查也需要相应的运算支持．本题首先根据复数模的定义得a+bi=a2+b2，复数相乘可根据平方差公式求得(a+bi)(a−bi)=a2−(bi)2

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=a2+b2，也可根据共轭复数的性质得(a+bi)(a−bi)=a2+b2．

10.【2015高考天津，理9】i是虚数单位，若复数(1−2i)(a+i) 是纯虚数，则实数a的值为 . 【答案】−2

【解析】(1−2i)(a+i)=a+2+(1−2a)i是纯虚数，所以a+2=0，即a=−2. 【考点定位】复数相关概念与复数的运算.

【名师点睛】本题主要考查复数相关概念与复数的运算.先进行复数的乘法运算，再利用纯虚数的概念可求结果，是容易题.

11.【2015江苏高考，3】设复数z满足z2=3+4（，则z的模为_______. ii是虚数单位）【答案】5

【解析】|z2|=|3+4i|=5|z|2=5|z|=5 【考点定位】复数的模

【名师点晴】在处理复数相等的问题时，一般将问题中涉及的两个复数均化成一般形式，利用复数相等的充要条件“实部相等，虚部相等”进行求解.本题涉及复

z|z||z|2=z2，|z1z2|=|z1||z2|，|1|=1.z2|z2| 数的模，利用复数模的性质求解就比较简便：

1−i)(12.【2015高考湖南，理1】已知

z2，则复数z=（ ） =1+i（i为虚数单位）

A.1+i B.1−i C.−1+i D.−1−i 【答案】D.

【考点定位】复数的计算.

【名师点睛】本题主要考查了复数的概念与基本运算，属于容易题，意在考查学

生对复数代数形式四则运

算的掌握情况，基本思路就是复数的除法运算按“分母实数化”原则，结合复数

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的乘法进行计算，而复数

的乘法则是按多项式的乘法法则进行处理.

13.【2015高考上海，理2】若复数z满足3z+z=1+i，其中i为虚数单位，则

z= ．

11【答案】+i

42

【解析】设z=a+bi(a,bR)，则3(a+bi)+a−bi=1+i4a=1且2b=1z=+i 【考点定位】复数相等，共轭复数

【名师点睛】研究复数问题一般将其设为z=a+bi(a,bR)形式，利用复数相等充要条件：实部与实部，虚部与虚部分别对应相等，将复数相等问题转化为实数问题：解对应方程组问题.复数问题实数化转化过程中，需明确概念，如z=a+bi(a,bR)的共轭复数为z=a−bi(a,bR)，复数加法为实部与实部，虚部与虚部分别对应相加. 【2015高考上海，理15】设z1，z2C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1−z2是虚数”的（ ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B

【解析】若z1、z2皆是实数，则z1−z2一定不是虚数，因此当z1−z2是虚数时，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；当z1、z2中至少有一个数是虚数，z1−z2不一定是虚数，如z1=z2=i，即充分性不成立，选B. 【考点定位】复数概念，充要关系

【名师点睛】形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．判断概念必须从其定义出发，不可想当然.

复数专题及答案（二）

一、选择题

1412学 海 无 涯

1．(2010·全国Ⅰ理)复数

3＋2i

＝( ) 2－3i

A．i B．－i C．12－13i D．12＋13i [答案] A

6＋9i＋4i－6

[解析] ＝＝＝i.

132－3i(2－3i)(2＋3i)

2．(2010·北京文)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )

A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i [答案] C

6－25＋3

[解析] 由题意知A(6,5)，B(－2,3)，AB中点C(x，y)，则x＝2＝2，y＝2＝4，

∴点C对应的复数为2＋4i，故选C.

3．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i表示的点在虚轴上，则实数m的值是( )

A．－1 B．4 C．－1和4 D．－1和6 [答案] C

[解析] 由m2－3m－4＝0得m＝4或－1，故选C.

[点评] 复数z＝a＋bi(a、b∈R)对应点在虚轴上和z为纯虚数应加以区别．虚

3＋2i

(3＋2i)(2＋3i)

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轴上包括原点(参见教材104页的定义)，切勿错误的以为虚轴不包括原点．

4．(文)已知复数z＝A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [答案] B

1－i－1i－111111[解析] z＝2，z＝2＋2，z·i＝－2＋2i.实数－2，虚部2，对应点－2，2在第二象限，故选B.

z2＋1

(理)复数z在复平面上对应的点在单位圆上，则复数z( ) A．是纯虚数 B．是虚数但不是纯虚数 C．是实数 D．只能是零 [答案] C

[解析] 解法1：∵z的对应点P在单位圆上， ∴可设P(cosθ，sinθ)，∴z＝cosθ＋isinθ. z2＋1cos2θ＋isin2θ＋12cos2θ＋2isinθcosθ则z＝＝ cosθ＋isinθcosθ＋isinθ＝2cosθ为实数．

解法2：设z＝a＋bi(a、b∈R)， ∵z的对应点在单位圆上，∴a2＋b2＝1， ∴(a－bi)(a＋bi)＝a2＋b2＝1，

z2＋11

∴z＝z＋z＝(a＋bi)＋(a－bi)＝2a∈R.

1

，则－z·i在复平面内对应的点位于( ) 1＋i

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5．(2010·广州市)复数(3i－1)i的共轭复数是( ) ．．．．A．－3＋i B．－3－i C．3＋i D．3－i [答案] A

[解析] (3i－1)i＝－3－i，其共轭复数为－3＋i.

6．(2010·湖南衡阳一中)已知x，y∈R，i是虚数单位，且(x－1)i－y＝2＋i，则(1＋i)x－y的值为( )

A．－4 B．4 C．－1 D．1 [答案] A

[解析] 由(x－1)i－y＝2＋i得，x＝2，y＝－2，所以(1＋i)x－y＝(1＋i)4＝(2i)2＝－4，故选A.

7．(文)(2010·吉林市质检)复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内对应的点位于( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [答案] D

[解析] ∵z＝z1z2＝(3＋i)(1－i)＝4－2i，∴选D.

(理)现定义：eiθ＝cosθ＋isinθ，其中i是虚数单位，e为自然对数的底，θ∈R，且实数指数幂的运算性质对eiθ都适用，若a＝C50cos5θ－C52cos3θsin2θ＋Ccosθsin4θ，b＝C51cos4θsinθ－C53cos2θsin3θ＋C55sin5θ，那么复数a＋bi等于( )

A．cos5θ＋isin5θ

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B．cos5θ－isin5θ C．sin5θ＋icos5θ D．sin5θ－icos5θ [答案] A

[解析] a＋bi＝C50cos5θ＋iC51cos4θsinθ＋i2C52cos3θsin2θ＋i3C53cos2θsin3θ＋i4Ccosθsin4θ＋i5C55sin5θ＝(cosθ＋isinθ)5＝(eiθ)5＝ei(5θ)＝cos5θ＋isin5θ，选A.

8．(文)(2010·安徽合肥市质检)已知复数a＝3＋2i，b＝4＋xi(其中i为虚数单a

位)，若复数b∈R，则实数x的值为( )

A．－6 B．6 8C.3 8D．－3 [答案] C

a3＋2i(3＋2i)(4－xi)

[解析] b＝＝ 2

4＋xi16＋x

8－3x12＋2x8－3x8＝＋ i∈R，∴＝0，∴x＝. 222316＋x16＋x16＋x

2

(理)(2010·山东邹平一中月考)设z＝1－i(i是虚数单位)，则z2＋z＝( ) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i [答案] C

22[解析] ∵z＝1－i，∴z2＝－2i，z＝＝1＋i，

1－i2

∴z＋z＝1－i，选C.

2

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9．(2010·山东聊城市模拟)在复平面内，复数距离是( )

2A.2 B.2 C．2 D．22 [答案] A

2(1＋i)2

[解析] ∵＝＝1＋i对应点为(1,1)，它到直线x－y＋1＝0距离

1－i(1－i)(1＋i)d＝

12

＝2，故选A. 2

10．(文)(2010·山东临沂质检)设复数z满足关系式z＋|－z|＝2＋i，则z等于( ) 3

A．－4＋i 3B.4－i 3

C.4＋i 3D．－4－i [答案] C

[解析] 由z＝2－|－z|＋i知z的虚部为1，设z＝a＋i(a∈R)，则由条件知a＝2－

3

a2＋1，∴a＝4，故选C.

a＋i

(理)(2010·马鞍山市质检)若复数z＝(a∈R，i是虚数单位)是纯虚数，则|a

1－2i＋2i|等于( )

A．2 B．22 C．4

2

对应的点到直线y＝x＋1的1－i

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D．8 [答案] B

(a＋i)(1＋2i)a－22a＋1

[解析] z＝＝＝5＋5i是纯虚数，∴

51－2i2a＋1

5≠0∴a＝2，

∴|a＋2i|＝|2＋2i|＝22. 二、填空题 a

11．规定运算

c z＝________.

[答案] 1－i

 z i

＝2z＋i2＝2z－1＝1－2i，∴z＝1－i. [解析] 由已知可得

－i 2

b z ＝ad－bc，若d－i

a＋i





a－25＝0

，

i

＝1－2i，设i为虚数单位，则复数2

12．(2010·南京市调研)若复数z1＝a－i，z2＝1＋i(i为虚数单位)，且z1·z2为纯虚数，则实数a的值为________．

[答案] －1

[解析] 因为z1·z2＝(a－i)(1＋i)＝a＋1＋(a－1)i为纯虚数，所以a＝－1. 13．(文)若a是复数z1＝________．

2[答案] －5 [解析] ∵z1＝1∴a＝5. 又z2＝(1－i)3＝1－3i＋3i2－i3＝－2－2i，∴b＝－2.

1＋i2－i

＝(1＋i)(2＋i)

13＝5＋5i，

(2－i)(2＋i)

1＋i

的实部，b是复数z2＝(1－i)3的虚部，则ab等于2－i

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2

于是，ab＝－5. (理)如果复数________．

2

[答案] －3 2－bi1－2i2－2bb＋4

[解析] ＝·＝5－5i，

1＋2i1＋2i1－2i2－2bb＋4

由复数的实数与虚数互为相反数得，5＝5， 2

解得b＝－3.

14．(文)若复数z＝sinα－i(1－cosα)是纯虚数，则α＝________. [答案] (2k＋1)π (k∈Z)

sinα＝0α＝kπ[解析] 依题意，，即，所以α＝(2k＋1)π (k∈Z)．

α≠2kπ1－cosα≠0[点评] 新课标教材把《复数》这一章进行了精简，不再要求复数的三角形式以及复杂的几何形式和性质；对于复数的模的要求很低，了解概念就行．主要考查复数的代数形式以及复数的四则运算，这是我们复习的重点，不要超过范围．

(理)(2010·上海大同中学模考)设i为虚数单位，复数z＝(12＋5i)(cosθ＋isinθ)，若z∈R，则tanθ的值为________．

5

[答案] －12 [解析] z＝(12cosθ－5sinθ)＋(12sinθ＋5cosθ)i∈R， 5

∴12sinθ＋5cosθ＝0，∴tanθ＝－12. 三、解答题

a2－7a＋6

15．(2010·江苏通州市调研)已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)．

a＋1

2－bi

2－bi

(i是虚数单位)的实数与虚部互为相反数，那么实数b等于1＋2i

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试求实数a分别为什么值时，z分别为： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．

2a－5a－6＝0

[解析] (1)当z为实数时，，

a＋1≠0

∴a＝6，∴当a＝6时，z为实数．

2a－5a－6≠0

(2)当z为虚数时，，

a＋1≠0

∴a≠－1且a≠6，

故当a∈R，a≠－1且a≠6时，z为虚数． a2－5a－6≠02

(3)当z为纯虚数时，a－7a＋6＝0

a＋1≠0∴a＝1，故a＝1时，z为纯虚数．

z＋12

＝1且z＋∈R的复数z. 16．(2010·上海徐汇区模拟)求满足

zz－1[解析] 设z＝a＋bi(a、b∈R)， z＋1

＝1⇒|z＋1|＝|z－1|， 由z－1由|(a＋1)＋bi|＝|(a－1)＋bi|，

∴(a＋1)2＋b2＝(a－1)2＋b2，得a＝0， 2

∴z＝bi，又由bi＋bi∈R得， 2

b－b＝0⇒b＝±2，∴z＝±2i.