三角形面积公式的五种推导方法

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六年制小学数学第九册«三角形面积的计算»一节，教材上是这样布置的：一、明白目的；二、用数格的方式不能确定三角形的面积；三、能否转化成以前学过的图形停止计算？四、拿两个全等的直角三角形可以拼成以前学习过的学习过的长方形战争行四边形，直角三角形的面积是长方形战争行四边形面积的一半；五、验证锐角三角形和钝角三角形能否也能拼成平行四边形；六、三次实验确定一切类型的三角形能转化成平行四边形，两者的关系是〝等底等高，面积一半〞；七、总结三角形的面积公式。

我们在屡次的课堂教学实际和课下辅导进程中，发现下面的几个〝环节〞有些中央不太契合先生的认知特点。详细剖析一下：

第一步没什么效果，每个教员都有自己的导入新课的方式。 第二步也没有什么：先生在学习长方形和正方形的面积时用的是〝数格〞的方式。学习平行四边形时用的是切割再组合的方式，就是所谓的〝转化〞。在大局部先生对面积这个概念的了解还不十分透彻的状况下，面对三角形，先生们的首选方法就是〝数格〞。由于这是先生学习有关面积计算的第

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一阅历，第一印象，第一个技巧。也是最复杂，最直接〔当然也是最费事〕的方法。

关于第三步：教材上只要一句话：能不能把三角形转化成曾经学过的图形再计算面积。这是化未知为的思想方式，我们常给初中先生提起这些认知战略，但它的基础却在小学阶段和先生的日常生活阅历中。教材把这个重要的数学思想一笔带过，把开掘其外延，为先生树立辩证观念的重担留给了教员。但很多教员并不特别注重这句话，只是把它当作一个过渡句，当成进入下面环节的引言。

第四步。转化是一定的。但是，转化成什么？怎样转化？把三角形转化成〝能计算的图形〞大致有五种状况。教材引荐的是第五种〔如图〕。教材上的引导方式只要教员的主导性，而无视了先生的主体位置。

前面提到，先生计算三角形面积的首选方法是数格，那么次选方法是什么？他们的第二方案应该还是在自己的阅历中寻觅协助。这些阅历当中，与计算面积有关的直接、复杂、容易操作的内容就是在前面的几节课刚学过的〝切割平行四边构生长方形〞的方法。他们对〝切割〞这个举措浮光掠影。由于：一、这个技巧刚刚学过；二、切割是个举措，但这个举措能把不规那么变规那么，所以印象深入；三、这个复杂的举措能完成面积计算的义务。所以他们的下一步举措会是模拟上一节课的做法，想方法切割三角形的某一角移动

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填补另一角，变三角构生长方形或平行四边形。按这个说法，先生在寻觅计算三角形面积的方法时，他首先会在他手中所拿的三角形卡片上揣摩，对这个三角形停止加工处置。在不得要领，或是找到了方法，效果处置了，但心缺乏味，继续探求下去时才会思索到应用其他内容扩展思索空间，再找一个一样的三角形牵线搭桥，把思绪引到效果的外面。 教材中还有一点缺失：先生在教员的引导下用两个〝全等〞三角形停止拼接时，是一个尝试的进程。教材举例说：小华拼出了一个长方形一个平行四边形。小林拼出了两个三角形——一团体拼的全是能应用的，一团体拼的全是不能用的，两团体的对比太大。我们想这不是教材的疏漏，是为了突出教学义务和目的。另外，教材举的例子是两个三角形能拼成一个长方形和一个平行四边形。但实践上能拼成两个平行四边形，加上长方形就是有三个图形是曾经学习过的，都能用来推算三角形面积。教材疏忽这个没有列出的平行四边形，我们猜能够是由于它的倾斜渡过大，在视觉上有一种要〝倒〞的觉得。假设先生受视觉效果的影响，留意力分散，会影响到他们剖析两种图形的底、高和面积的关系。也能够是基于复杂化原那么，有两个就够了，何必要三个。但是按这个说法，要一个就够了，何必两个。

依照教材设定的思绪，我们可以想象：先熟手拿三角形，听教员布置完义务。怎样拼，能拼出什么都不太清楚，只能先

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随意的拼一下试试。假设运气好或许预想才干较强，能够直接拼出平行四边形和长方形。先生在实验时，会发现不等边拼接没有后续效果，由于这些组合图形都不规那么，不能掌握。然后，先生会把留意力放在那些特殊图形上。一类是那些中心对称的平行四边形，这是学习过的内容；一类是那些左右对称的凸多边形，这是猎奇心驱使，随后即会坚持。先生的实验，末尾能够是无序形状，随着留意的集中，目的一个一个的出现，先生的看法中肯定会对自己刚才的一切拼接停止回忆〔很多时分这个回忆是无看法的〕，找到拼出一切图形的方法得出两个全等三角形能依次拼出三个外形不同的平行四边形的结论，使自己的思想进入有序形状。 教材把这个进程缩减了，有些教员那么更希望把它紧缩成一个或几个举措，为前面的解说和练习挤出时间，不愿把时间精神糜费在这个非目的、非重点、也责难点的中间环节上。以为只需知道了转换的道理，就有了〝等底等高，面积2倍〞这个重点的打破。在入手操作上延伸时间，势必影响教学目的的解说和强调。

其实这是个曲解。公式的推导进程自身也是对公式的熟习进程，进程熟习了，结果也就熟习了。以后也就无须用多的吓人的练习题让先生做，把公式强印到先生的脑子中。举一个化学上的例子：两种物质能发作反响，这是先决条件。但是反响所需求的环境如加热、电击、搅拌或是放在溶液中使其

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反响更充沛，以及催化剂等这些控制反响停止的要素也很重要，甚至是必需的。先生在探寻知识的进程中所取得的阅历和经验就是知识发扬作用的控制要素。普通上，我们以为把知识放在效果中，处置效果，知识的作用就发扬出来了。但是，效果从何而来？来自思想。思索什么？思索我们看到的，觉失掉的。假设对周围事物的开展、变化、规律、联络、相互作用、矛盾抵触以及相似性、特殊点〔这些名词、概念确实存在于我们的看法和思想中〕没有任何的反响，就不会发生效果、提出效果。不会发现效果的人，普通也不会自动回答他人的效果。让先生自己入手就是为了训练先生的入手才干观察才干和感受性。

假设先生在图形的拼接进程中能集中留意力，边拼接边总结，最后到达能快速有节拍的拼出一切图形的水平。那么先生至少有两点除直接为教学目的效劳之外的收获。其一是实验肉体，这种质量是在面临一切新效果时都必需具有的。这一点不用多说。

第二点是个技巧：要想拼出一切图形，必需以陈列组合的方式依照一定的顺序，挨着个的来。假设我们能对这个技巧善加培育，就会构成一种才干或是一种肉体质量。在许多新编的实验教材中都布置了很多这样类型的训练内容。这些训练的目的，并不在这些详细的效果自身，而在于让先生扩展自己的思想空间。思想空间的扩展并不是说让先生知道更多的

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东西，而是说让先生遗忘自己道的、已掌握的东西——需求的时分，能马上从看法中提取。想到达这种水平，需求做到体系化和结构化。人的思想有限广阔，但是假设其中的内容杂乱无章，互无联络，就等于有限的物质占据了有限的空间。就象是假设没有天体星系之间的吸引力和运动形成的静态平衡，就会宇宙大乱。人类就不能够看法这个世界。会毁在这种无序形状之中。但运动能看的见，吸引力却难捉摸。 在我们一切的看法活动中，都有一个从混沌到有序，从不明所以的细节看法到掌握事物的结构，确定各局部间的联络和作用方式的全体感知的进程。假设先生拥有了这个进程的心思体验，就会促使他们在特性开展上构成一种良好的肉体质量。就会意思坚决，举措迅速，思想矫捷。但我们却经常在课堂上打断先生的这个思想进程，系之以我们以为最正确的知识体系。却不知单纯以逻辑作结合的知识在先生看来只是内容上的堆砌，会对先生形成庞大的肉体压力。只要以心思体验做基础才干真正将知识内化，到达〝有〞既是〝无〞的空明之境。自己的努力常被他人打断的人，有一种受制于人的觉得。经常这样，先生会变的没有自信，心浮气燥，尝试进程中会发生否认心思：否认错误，顽固己见；否认效果：这个效果不能够有解；甚至否认自己：我做不出来了，再努力也是白费时间。

推导三角形的面积公式，大致有五种方式。依据各种推导方

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式的不同特点，我们可以协助先生设定两种学习思绪。 第一种：前三种推导方式，适宜用〝先确定探求目的，然后从阅历中自创和搜索处置方法〞的学习方式：先熟手拿一个详细的三角形卡片，经过怎样办，怎样变，怎样算等思想进程，然后经过验证，将怎样变舍去，把怎样算紧缩概括为一个计算顺序，这就是公式。第二种：用后两种推导方式，可以这样引导先生〝长方形战争行四边形的面积公式除了能计算平行四边形和长方形的面积，还可以计算其他图形的面积。大家可以尝试一下……〞。先熟手拿长方形战争行四边形，经过折叠、剪切逐渐转化为三角形和梯形，再总结成公式。这两种引导方式是不应该混杂在一同出现给先生的。 无论是那一种方法，只需真正是先生的入手操作和思想的效果——教员的责任和义务是导引而非强行推进——对先生来说都有十分严重的意义。除知识的累积外，尚有许多教员可以讲清却无法给予的心思体验和才干。比如： 前面提到的实验肉体和以陈列组合的方式对事情的开展停止调控，增强思想的有序性。

树立数学模型，把实际效果数学化。这是许多人不了解数学为何物的关键之处。

预算和预想。先生拿着三角形和剪刀，不会直接下手，会先停止比对和预想：从这里下刀，向这个角度截下的角能补到哪？能把顶角补齐吗？估量相差不大，试一下……有许多处

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置效果和发明活动的前期预备都是在头脑中预演的。预演的进程虽不十分准确，但节拍快，内容多，可以跳过许多不用要的中间顺序。

入手才干。这是大家都十分注重的一个词。证据之一：小孩子在玩沙时，大人有耐烦看着他们完本钱人的作品，直至失掉兴味。在课堂上我们为先生预备了许多学具。这些学具，是依据我们想要先生完成的操作举措精心设计的。能最大限制的表达教员的要求。先生在用学具对教员停止模拟，或参照课本完成教员的细致要求时。时常被我们的〝好了！大家停一下。坐好了！〞或〝如今我们来看……〞一类的声响打断。先生们一听到这些话，就会习气性的把手拿开放到面前。许多教员要求先生坐直，抬头挺胸，手放面前。而且时不时来一句〝看谁坐的直！〞。先生坐好以后，对自己的休息效果不再看一眼，眼睛直盯着黑板和教员。就好象桌子上什么东西都没有，刚才自己什么也没做过一样。毕竟，入手才干没有留意听讲重要。

证据之二：有时分我们会很自豪的说：假设先生不会，我就手把手地教。实践上，手把手的作用并不大：教员拿着先生的手，先生的留意和力气被分散了。教员的力气加在先熟手上，先生会自然的发生反作用力。但他明白他应该顺应教员所以他要控制自己的反作用力。先生的一局部精神就用在了二者的协调上。先生不能够在手把手的进程中真正体会到教

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员是如何用力的。觉得只能是自己发生，他人能给的只是外部抚慰。手把手的益处能够是能对那些自决计缺乏的先生以抚慰和鼓舞，以及提示先生模拟参照教员，想象体会教员的觉得。

实验进程中规律和直感阅历的运用和掌握。在截切三角形时第一次会用较多的时间，失败的能够性很大。第二次找截切点和角度的速度会加快。也能够，第二次还没有停止完，先生就得出结论：这一次是失败的，准确位置应该在那儿。速度加快和直接下刀，说明先生曾经感知这个截切点的特殊性，应该就在三角形的半腰处。左边是这样，左边也应该…… 前三种用割补法变三角形为平行四边形，应用的是以前的阅历，模拟的方式。想到后两种填充法和拼接法，应该算是经过观察效果存在的周边环境而找到的方法，发明的成份比拟多。这是把事情或效果放在背景和环境中思索，是一种全体认知的看法和才干。既如荀子在«劝学»中说的〝善假于物也〞，此〝物〞既存于人的阅历看法和周边环境中。 假设发扬先生的主体看法，先生找到后两种推导方法的心思机制比拟复杂，我们还难以掌握。先生能够是误打误撞找到的，也能够是由于先生有生活方面的此类阅历，迁移才干较强。不论先生是怎样找到的，也不论是先生的功劳还是教员的指点，这几种方法所携带的辨证观念是我们应该特别关注的。即使是由于先生的年龄特点不能给予方式内容上的增

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强，最少可以给先生以肉体自在和意志自在，做到不防碍它的开展。

肉体意志的自在虽不能直接激起思想和发明，却可以发生真正的积极性和自动性。先生不把自己领先生，当成探求生活和世界的强者，教员不把自己当教员，当作协作者〔尤其是备课的时分〕，由此思想自在而发生的发明，要比我们用装模作样、花招创新来吸引先生留意力，以团体、荣誉、表扬、攀比、他人的目光来约束先生的思想，以教鞭、纪律来规范先生的言行，高潮迭起、节拍紧凑、有声有色，先生却象是提线木偶的课堂来得彻底、来得有效率。

阿基米德说：给我一个支点，我能把地球翘起来。找到支点和作用方式先生的力气是庞大的。学习知识、掌握技巧、提高才干的作用点不在于紧盯目的和义务，下死时间塞到头脑里。就好象翘起地球的支点不会在地球上，必需到太空中寻觅一样，提高学习效率的支点应该存在于先生们比太空还空虚还广漠的肉体世界里。它的空虚之处在于，先生能随时找到行进路途上的踏脚基石。广漠之处在于，先生情愿并能吸收容纳更多更新的体验。先生课堂学习的基础是他们的肉体世界，他们的肉体世界植根于生活。所以说提高学习效率的基本方法从丰厚多彩的生活中凝练思想。

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