齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)

线性方程组解的结构（解法）

一、齐次线性方程组的解法

【定义】r(A)=r,ξnr,且满足：

(2)AX=0的)任一解都可由这组解线性表示. 则称ξ1,ξ2,,ξnr为AX=0的基础解系. knrξnr为AX=0的通解。其中k1,k2,…,kn-r为任意常数). 称Xk1ξ1k2ξ2齐次线性方程组的关键问题就是求通解，而求通解的关键问题是求基础解系. 【定理】若齐次线性方程组AX=0有解，则 (1)若齐次线性方程组AX=0（A为mn矩阵）满足r(A)n，则只有零解； (2)齐次线性方程组有非零解的充要条件是r(A)n. （注：当mn时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式A0.） 注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于nr(A). 2、非齐次线性方程组AXB的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AXO所对应的同解方程组。 由上述定理可知，若m是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n是未知量的个数，则有： （1） 当mn时，r(A)mn，此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数 大于方程的个数就一定有非零解； （2）当mn时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式A0； （3）当mn且r(A)n时，若系数矩阵的行列式A0，则齐次线性方程组只有零解； （4）当mn时，若r(A)n，则存在齐次线性方程组的同解方程组；

若r(A)n，则齐次线性方程组无解。

1、求AX=0（A为mn矩阵）通解的三步骤

行C（行最简形）;写出同解方程组CX=0. （1）A来源：网络转载

(2)求出CX=0的基础解系ξ1,ξ2,(3)写出通解Xk1ξ1k2ξ2,ξnr;

knrξnr其中k1,k2,…,kn-r为任意常数.

2x13x【例题1】解线性方程组14x1x13x2x2x22x2x32x33x34x35x4x46x47x40,0,0,0.

解法一：将系数矩阵A化为阶梯形矩阵

显然有r(A)4n，则方程组仅有零解，即x1x2x3x40. 解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即mn）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即mn），不可以用行列式的方法来判断），从而可计算系数矩阵A的行列23112135163270，知方程组仅有零解，即x1x2x3x40. 34式：A1247注：此法仅对n较小时方便 x1x23x2x2【例题2】解线性方程组1x25x14x2x3x32x33x3x4x42x43x4x53x56x5x50,0,0,0. 解：将系数矩阵A化为简化阶梯形矩阵 可得r(A)2n，则方程组有无穷多解，其同解方程组为 x1x3x22x3x42x45x5,6x5.（其中x3，x4，x5为自由未知量） 令x31，x40，x50，得x11,x22； 令x30，x41，x50，得x11,x22； 令x30，x40，x51，得x15,x26， 于是得到原方程组的一个基础解系为

11522611，20，30.

010001所以，原方程组的通解为Xk11k22k33（k1，k2，k3R）. 来源：网络转载

4

二、非齐次线性方程组的解法 求AX=b的解（Amn,r(A)r）

用初等行变换求解，不妨设前r列线性无关

c11c12c22行(Ab)c1rc2rcrrc1nd1c2nd2crndr其中cii0(i1,2,dr100,r),所以知

(1)dr10时,原方程组无解. (2)dr10,rn时,原方程组有唯一解. (3)dr10,r答:错,A为mn,r(A)=m(6)若r(A)=r=n,则AX=b必有唯一解.答:错,A为mn,当mn时,可以r(A|b)=n+1.

来源：网络转载

⑴唯一解：r(A)r(A)n线性方程组有唯一解

x1【例题4】解线性方程组2x14x1x2x2x22x32x34x31,4, 2.11112112r1(2)r20326 2124解：A(AB)r1(4)r341420346x11,可见r(A)r(A)3，则方程组有唯一解，所以方程组的解为x22, x0.3⑵无解：r(A)r(A)线性方程组无解（或若阶梯形方程组出现0dr10，则原方程组无解） 2x1【例题5】解线性方程组x1x1x22x2x2x3x32x31,2, 4.111122121212r1r20333r2r30333，1212解：A(AB)r12r233631124r1(1)r30000可见r(A)3r(A)2，所以原方程组无解. ⑶无穷多解：r(A)r(A)n线性方程组有无穷多解 x1【例题6】解线性方程组2x12x1x2x22x3x32x43x410x43,1, 4.3111231112r(2)r01275 1221031解：A(AB)r12r32021040241410可见r(A)r(A)24，则方程组有无穷多解，其同解方程组为

x12x3x252x35x4,7x4.（其中x3,x4为自由未知量）

25令x30,x40,得原方程组的一个特解.

00来源：网络转载

4

x1x3又原方程组的导出组的同解方程组为x22x35x4,7x4.（其中x3,x4为自由未知量）

令x31，x40，得x11,x22；令x30，x41，得x15,x27，

1527于是得到导出组的一个基础解系为1，2。

1001所以，原方程组的通解为Xk11k22（k1，k2R）. 2x1【例题7】求线性方程组：x1x1x22x2x2x3x32x3x4x4x41,2,的全部解. 3.r1r21122111112r1(2)r2r1(1)r303333 12112解：A(AB)1112130112可见r(A)r(A)34，所以方程组有无穷多解，其同解方程组为 3x1x4,123xx4,（其中x4为自由未知量） 221x1x4.3210令x40，可得原方程组的一个特解. 103xx4,123又原方程组的导出组的同解方程组为x2x4,（其中x4为自由未知量）

21xx4.32令x42（注：这里取-2为了消去分母取单位向量的倍数），得x13,x23,x31，

来源：网络转载

33于是得到导出组的一个基础解系为.

12所以，原方程组的通解为Xk（kR）.

x13x23x32x4x532x6xx3x21234【例题8】求非齐次线性方程组的全部解。

x13x22x3x4x513x19x24x35x4x55解：

12A13316130203211109451503321332111050505331332124005124 24000000240000001因为r(A)r(A)25，所以非齐次线性方程组有无穷多组解，取自由未知量为x2,x4,x5，

x3x23x32x4x53原方程组与方程组1同解 5x3x42x540T34取自由未知量x2,x4,x5为0，得原方程组的一个特解：0,0,,0,0 550x3x23x32x4x50再求其导出组的基础解系，其导出组与方程组1同解 5x3x42x501对自由未知量x2,x4,x5分别取0,001,000，代入上式得到其导出组的一个基础解系为：171355001,2 10,21535100001则原方程组的全部解为：XC11C22C330 三、证明与判断

【例题9】已知1,2,3是齐次线性方程组AX＝0的一个基础解系，证明1,12,123也是齐次线性方程组AX＝0的一个基础解系。 来源：网络转载

4

证：由已知可得：齐次线性方程组AX＝0的基础解系含有3个解向量，并且由齐次线性方程

组解的性质可知1,12,123都是AX＝0的解；因此只要证明

1,12,123线性无关即可。 设存在数k1,k2,k3使

k11k2(12)k3(123)0成立。

整理得：(k1k2k3)1(k2k3)2k330 （1）

已知1,2,3是齐次线性方程组AX＝0的一个基础解系，即得1,2,3线性无关，则由(1)得

k1k2k30k2k30，解得：k1k2k30所以1,12,123线性无关。 k30即1,12,123也是齐次线性方程组AX＝0的一个基础解系。 【例题10】已知ξ1,ξ2,ξ3,ξ4是齐次线性方程组AX＝0的一个基础解系，若1ξ1tξ2,2ξ2tξ3,3ξ3tξ4,4ξ4tξ1。 讨论t满足什么条件时,1,2,3,4是齐次线性方程组AX＝0的一个基础解系 解：首先，1,2,3,4是齐次线性方程组AX＝0的解，只须证1,2,3,4线性无关. 1t由已知有：(1,2,3,4)(ξ1,ξ2,ξ3,ξ4)001t因为：1,2,3,4线性无关0001t0001t01t0001tt0 0101t0001tt01t4， 01t10t0，即0010所以当t1时,1,2,3,4是齐次线性方程组AX＝0的一个基础解系

【例题11】已知n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且r(A)=n-1,求线性方程组AX=0的通解. 解：由r(A)=n-1知AX=0的基础解系有一个非零解向量. 又ai1ai2Xk(1,1,ain0,i1,2,,n，即ai11ai21ain10

,1)T,（k为任意常数）为所求通解.

【例题12】设X1,X2,…,Xt是非齐次线性方程组AX=b0的解向量,

来源：网络转载

证明：对于X0=k1X1+k2X2+…+ktXt

当k1+k2+…+kt=1时,X0是AX=b的解；当k1+k2+…+kt=0时,X0是AX=0的解. 证：AX0=A(k1X1+k2X2+…+ktXt)=k1AX1+k2AX2+…+ktAXt=k1b+k2b+…+ktb=(k1+k2+…+kt)b 故：当k1+k2+…+kt=1时,AX0=b 当k1+k2+…+kt=0时,AX0=0

由此可见,非齐次方程组的解对于线性组合并不一定封闭,只有组合系数的和等于1的时候,解向量组的线性组合才是非齐次方程组的解!

【例题13】已知1,2为AX的两个不同解,ξ1,ξ2是AX=0的一个基础解系.k1,k2为任

意常数.则AX的通解为（）答案B 【例题14】设1,2,3是四元非齐次线性方程组AX＝b的三个解向量，且矩阵A的秩为3，

11,2,3,4T,230,1,2,3T，求AX＝b的通解。 解：因为A的秩为3，则AX＝0的基础解系含有4－3＝1个解向量。 由线性方程组解的性质得：2321(21)(31)是AX＝0的解， 则解得AX＝0的一个非零解为：23212,3,4,5。 T由此可得AX＝b的通解为：1,2,3,4c2,3,4,5。 TT【例题15】设A是4阶方阵,(≠0)是4×1矩阵,r(A)2,1,2,3,4是AX=的解,

232401且满足12,223,334 030831试求方程组AX=的通解. 112解：先求AX=的一个特解(12) 024再求AX=的一个基础解系

021127ξ1(12)(223)，ξ22(12)(334)

1023315因为4R(A)2,ξ1,ξ2线性无关，所以ξ1,ξ2是AX=0的一个基础解系.

来源：网络转载

4

故方程组AX=的通解是

102227Xk1ξ1k2ξ2k1k2，k1,k2为任意常数.

0104315【例题16】设矩阵A＝aijmn,Bbijns。

证明：AB＝0的充分必要条件是矩阵B的每一列向量都是齐次方程组AX=0的解。

证：把矩阵B按列分块：BB1,B2,,Bs，其中Bi是矩阵B的第i列向量(i1,2,s)，

零矩阵也按列分块OmsO1,O2,,Os 则ABAB1,AB2,,ABs 必要性：AB＝0可得：精品文档，你值得期待 ABiOi,(i1,2,,s)，即Bi是齐次方程组AX=0的解。 充分性：矩阵B的每一列向量都是齐次方程组AX=0的解， 即有ABiOi,(i1,2,,s) 得：ABAB1,AB2,,ABsO1,O2,,Os，即证。

来源：网络转载