云南省玉溪一中2013届高三第五次月考 理科数学

107班数学试题8

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设全集

UR,Axxx30,Bxx1,则下图中阴影部分表示的集合为（ ）

A．x3x1 B．x3x0 C．{x|1x0} D．xx3 2.下面是关于复数z2的四个命题：其中的真命题为（ ） 1i p1:z2 p2:z22i p3:z的共轭复数为1i p4:z的虚部为1 A．p2,p3 B． p1,p2 C．p,p D．p,p

1x,则tan=（ ） 334 A. B. C. D.

34434.已知|a|6，|b|3，ab12，则向量a在向量b方向上的投影是( )

3. 设是第二象限角,Px,4为其终边上的一点,且cosA．－4 B．4 C．－2 D．2 5.下列命题中，假命题为（ ） A．存在四边相等的四边形不是正方形 ．

B．z1,z2C,z1z2为实数的充分必要条件是z1,z2为共轭复数 C．若x,yR，且xy2,则x,y至少有一个大于1

01nCnCn D．对于任意nN,Cn都是偶数

6.设随机变量服从正态分布N(3,4)，若P(2a3)P(a2)，则a的值为 （ ） A．5 B．3 C．

57 D． 332an(n为正奇数)7.已知数列｛an｝满足a11，an1，则其前6项之和是( )

an1(n为正偶数)A.16 B.20 C.33 D.120

- 1 -

8. 从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )

A. 24 B. 18 C. 12 D. 6

9. 一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形．该四棱锥的体积等于（ ）

A.3 B．23

C．33 D．63

xy1110. 若x，y满足不等式组2yx2，且yx的最大值为2，则实数m的值为（ ）

2ymxA. 2

B. C. 1 D. 2 2223311. 直线2axby1与圆xy1相交于A,B两点(其中a,b是实数),且△AOB是直角三角形(O是坐标原点),则点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最大值为 ( )

A.21

B.2

C.2

D.21

12.设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2的偶函数，f(x)是f(x)的导函数，当

x0,时，0f(x)1；当x(0,)且x2时 ，(x2)f(x)0，则函数

yf(x)sinx在[2,2] 上的零点个数为( )

A.2 B.4 C.5 D. 8

二、填空题：把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.每小题5分，共20分。 13.若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F，则满足三角形ABF为等边三角形的椭圆的离心率是 。 14.已知不等式1233，则(10的解集为（-1,2）)dx 。

0xaxa15.已知函数f(x)e2xa有零点，则a的取值范围是 。

x

- 2 -

16.正三棱柱ABCA1B1C1内接于半径为1的球，则当该棱柱体积最大时，高h 。 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. （本小题满分12分）已知数列an满足的前n项和为Sn，且Sn()n1,(nN).

n13（1）求数列an的通项公式；

（2）若数列{bn}的通项公式满足bnn(1an)，求数列{bn}的前n项和Tn。

18. （本小题满分12分）为考查某种药物预防疾病的效果,进行动物试验,得到如下丢失数据的列联表:

设从没服用药的动物中任取两只,未患 病数为;从服用药物的动物中任取两只,

未患病数为,工作人员曾计算过P(=0)=（1）求出列联表中数据x,y,M,N的值;

（2）求与的均值(期望)并比较大小,请解释所得结论的实际含义; （3）能够以99%的把握认为药物有效吗?

没服用药 服用药 总计 患病 20 x M 未患病 30 y N 总计 50 50 100 38P(=0). 9n(adbc)2公式参考:K= 

(ab)(cd)(ac)(bd)2

①当K2≥3.841时有95%的把握认为、有关联; ②当K2≥6.635时有99%的把握认为、有关联。 19．（本小题满分12分）在边长为5的菱形ABCD中， A M B D AC＝8.现沿对角线BD把△ABD折起，

折起后使∠ADC的余弦值为

9

. 25

M A B D （1）求证：平面ABD⊥平面CBD；  （2）若M是AB的中点，求折起后

C C AC与平面MCD所成角的正弦值。

20. （本小题满分12分）已知点F0,1，直线l：y1，P为平面上的动点，过点P作直

- 3 -

线l的垂线，垂足为Q，且QPQFFPFQ． （1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）已知圆M过定点D0,2，圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、

B两点，设DAl1，DBl2，求

l1l2的最大值。 l2l121．（本小题满分12分）已知函数f(x)lnxax(Ⅰ)当a1a1(aR). x1时，讨论f(x)的单调性； 212（Ⅱ）设g(x)x2bx4.当a时，若对任意x1(0,2)，存在x21,2，使

4f(x1)g(x2)，求实数b取值范围。

请考生在第22,23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分， 做答时请写清题号。

22、（本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

x5cos(为参数） 坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，椭圆C方程为y3sin（1）求过椭圆的右焦点，且与直线x42t(t为参数）平行的直线l的普通方程。

y3t（2）求椭圆C的内接矩形ABCD面积的最大值。 23．（本小题满分10分）选修45：不等式选讲 （1）已知关于x的不等式2x27在x(a,)上恒成立，求实数a的最小值； xa （2）已知|x|1,|y|1，求证：|1xy||xy|．

玉溪一中高2013届高三第五次月考试卷

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数学（理）参

一、选择题： 题号 1 选项 C 二、填空题

2 C 3 D 4 A 5 B 6 D 7 C 8 B 9 A 10 D 11 A 12 B 13.

323 ； 14.23ln3 ； 15.(,2ln22] ； 16. 23三、解答题

17.【解】⑴由，Sn()n1,(nN)13n

当n1时得a1S1， 当n2时得anSnSn11132， n3又a112满足上式，所以：数列an的通项公式为an1n. 332n. 3n⑵由bnn(1an) 所以Tn2122232n12122232n23n，得 Tn234n1 33333333321111n相减得：Tn2(23nn1)

33333332n3∴Tn. n22318.

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19．【解】 (1)证明 在菱形ABCD中，记AC，BD的交点为O，AD＝5，

∴OA＝4，OD＝3，翻折后变成三棱锥A－BCD，在△ACD中，

AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos ∠ADC

9

＝25＋25－2×5×5×＝32，

25在△AOC中，OA＋OC＝32＝AC， ∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC， 又AO⊥BD，OC∩BD＝O， ∴AO⊥平面BCD，

又AO⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面CBD.

(2)由(1)知OA，OC，OD两两互相垂直，分别以OC，OD，OA所在直线为x，y，z轴建立3→空间直角坐标系，则A(0,0,4)，B(0，－3,0)，C(4,0,0)，D(0,3,0)，M0，－，2，MC＝2→4，3，－2，→

2DC＝(4，－3,0)，AC＝(4,0，－4)， 

2

2

2

- 6 -

→n·MC＝0

设平面MCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则由

→n·DC＝0令y＝4，有n＝(3,4,9)，

34x＋y－2z＝0

2，得4x－3y＝0

，

→

设AC与平面MCD所成的角为θ，sin θ＝|cos 〈AC，n〉|＝

3

∴AC与平面MCD所成角的正弦值为53.

5320. 【解】（1）设Px,y，则Qx,1，

3

53， ＝

106·3253

12－36

∵QPQFFPFQ，

∴0,y1x,2x,y1x,2．

2即2y1x2y1，即x4y，

2所以动点P的轨迹C的方程x4y．

（2）解：设圆M的圆心坐标为Ma,b，则a24b． ①

圆M的半径为MDab2．

22圆M的方程为xaybab2． 22令y0，则xabab2，

2222222整理得，x22ax4b40． ② 由①、②解得，xa2． 不妨设Aa2,0，Ba2,0， ∴l1a224，l2a224．

l1l2l12l222a216∴ 4l2l1l1l2a 2a2816a2， ③ 2144aa2

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当a0时，由③得，

l1l2161621≤2122．

l2l128a22a当且仅当a22时，等号成立． 当a0时，由③得，

l1l22． l2l1故当a22时，21. 【解】

l1l2的最大值为22． l2l1

（Ⅱ）当a1时，f(x)在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意x1(0,2)， 4 - 8 -

11，又已知存在x21,2，使f(x1)g(x2)，所以g(x2)，x21,2， 2219即存在x1,2，使g(x)x22bx4，即2bxx2，

2291711即2bx2[,]

42，x有f(x1)f(1)=-所以2b171717，解得b，即实数b取值范围是[,)。 48822题：（1）由已知得椭圆的右焦点为4,0，已知直线的参数方程可化为普通方程：

x2y20，所以k1,于是所求直线方程为x2y40。 2（2）S4xy60sincos30sin2， 当2

23．【解】

2时，面积最大为30。

2x （1）

2272(xa)72a72a4xaxa，

a

32

2222 （2）因为|1xy||xy|(1x)(1y)0，所以|1xy||xy|

- 9 -