云南省玉溪一中2013届高三第三次月考 理科数学

数学试题（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数

i (i是虚数单位)的虚部是（ ） 12iiD．

512iA． B． C．

555【答案】A 【解析】

ii(12i)2i211i，所以虚部是，选A.

512i(12i)(12i)5552．运行如右图的程序后，输出的结果为 ( )

A．13，7 B．7， 4 C．9， 7 D．9， 5 【答案】C

,【解析】第一次，i1时，i112S221i3,2.2二次，第

i415S,521i9,5，第三次条件不成立，打印2S9,i7，选C.

3.下列命题中正确的是( )

22A.命题“xR，xx0”的否定是“xR,xx0”

B.命题“pq为真”是命题“pq为真”的必要不充分条件 C.若“ambm，则ab”的否命题为真 D.若实数x,y[1,1]，则满足xy1的概率为

2222. 4【答案】C

【解析】A中命题的否定式xR,x2x0，所以错误.pq为真，则p,q同时为真，若

pq为真，则p,q至少有一个为真，所以是充分不必要条件，所以B错误.C的否命题为“若

22am2bm2，则ab”，若ambm，则有m0,ab所以成立，选C.

4．若f(x)是偶函数，且当x[0,)时,f(x)x1,则f(x1)0的解集是（ ）

A．（－1，0） B．（－∞，0）（1，2） C．（1，2）

D．（0，2）

【答案】D

【解析】 根据函数的性质做出函数f(x)的图象如图.把函数f(x)向右平移1个单位，得到函数f(x1)，如图，则不等式f(x1)0的解集为(0,2)，选D.

5．数列{an}的通项公式是an＝1nn1，若前n项和为10，则项数n为( )

A．120 B．99 C．11 D．121 【答案】A 【

解

析

】

由

ann1nn1n(nn1)(n1n)，所以

，即a1a2an(21)(32)(n1n)10，即n1110，解得n1121,n120.选A. n1116． 已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（ ）

A．16

B．4

C．8

D．2

【答案】B

【解析】由三视图可知该几何体是三棱锥，且三棱锥的高为1，底面为一个直角三角形，由于底面斜边上的中线长为1，则底面的外接圆半径为1，顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上，由于顶点到底面的距离，与底面外接圆的半径相等则三棱锥的外接球半径R为1，则三棱锥的外接球表面积S4R4，选B.

7.如图所示，曲线yx2和曲线yx围成一个叶形图（阴影部分），则该叶形图的面积是

2（ ）

A.

1111 B. C. D. 246 3【答案】D

2x1x0yx【解析】由，解得或，所以根据积分的应用可得阴影部分的面积为

y1y0yx231312112(xx)dx(xx)0，选D. 033333128．函数y2sin(A.[0,62x)(x[0,])为增函数的区间是( )

3] B.[12,7] 12

C. [3,5] 6 D.[5,] 6【答案】C

32x)2sin(2x)，2k,kZ，由2k2x6626255k,kZ，即函数的增区间为[k,k]kZ，所以当解得kx36365k0时，增区间为[,]，选C.

36【解析】因为y2sin(9．已知在函数y|x|（x[1,1]）的图象上有一点P(t,|t|)，该函数的图象与 x轴、直线x＝－1及 x＝t围成图形（如图阴影部分）的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为（ ）



【答案】B

【解析】由题意知，当1t0时，面积原来越大，但增长的速度越来越慢.当t0时，S的增长会越来越快，故函数S图象在y轴的右侧的切线斜率会逐渐增大，选B．

x2y210．已知点F右焦点，过F1，F2分别是双曲线221(a0,b0)的左、1且垂直于x 轴

ab的直线与双曲线交于A，B两点，若ABF2是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）

A．(21,) B．(31,) C．(12,) D．(1,12) 【答案】C

b22c，【解析】 由题设条件可知△ABC为等腰三角形，只要∠AF2B为钝角即可，所以有 a即b2ac，所以ca2ac，解得e12，选C. 11．已知定义在R上的函数f(x)、g(x)满足

222f(x)) ax，且f'(x)g(x)f(x)g'(x，

g(x)f(n)31f(1)f(1)5nN*，若有穷数列（）的前项和等于，则n等于( ) n32g(1)g(1)2g(n)A．4 B．5 C．6 D． 7 【答案】B 【解析】[f(x)fx'(gx)(f)xg(x)'()x)]'，因为f'(x)g(2g(x)g(x)f(x)g，x所以

[f(x)f'(x)g(x)f(x)g'(x)f(x)，即函数ax单调递减，所以0a1.又]'02g(x)g(x)g(x)5151f(1)f(1)5a2aa1aa2，即a2，解得2.所以g(1)g(1)2，即（舍去）或11f(x)1f(n)1()x，即数列()n为首项为a1，公比q的等比数列，所以

22g(x)2g(n)21n1()a(1q)121(1)n，由1(1)n31得(1)n1，解得n5，选B. Sn12322321q21122n12．定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x),f(x2)f(x2),且x(1,0)时，

f(x)2x1,则f(log220)（ ） 4A．1 B． C．1 D．

55【答案】C

【解析】由f(x)f(x),f(x2)f(x2),可知函数为奇函数，且f(x4)f(x)，

5log204log4log2050log20412222所以函数的周期为4，，，即4，所以

5f(log220)f(log2204)f(log2)f(log2)f(log2)，因为445142l52log，

所

0以

f(4f(lo252l2g4o5g1)250，41所5)以

1(logf(ogf220)l，选oC. g2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡中横线上．

x1,x013、已知函数f(x)x，则f(f(0)3) 。

e,x0【答案】1

0【解析】f(0)e1，所以f(0)3132，f(f(0)3)f(2)211.

14．若(a1)【答案】

12(32a)，则实数a的取值范围是 。

1223a 32a1011【解析】原不等式等价为，即a132a，所以32a0，即a132aa132aa1323a，解得a.

3222a315．在ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD，AD=2，∠ADB=135，若AC=2AB，则BD= .

0

【答案】25 【解析】作AH⊥BC于H,则AH1,DH1 则BHBD1,CH2BD1.

2222222AB(BD1)1AB(BD1)1， ABBHAH又,所以 ，即,

AC2AH22AB2AH22AB21(2BD1)2，所以2AB2(2BD1)21，

222(BD1)2(2BD1)1，整理得2BD28BD20，即BD24BD10，即

解得BD25或BD25（舍去）.

16. 设动点P在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上，记钝角时，则的取值范围是 。 【答案】(,1)

D1P。当APC为D1B13【解析】由题设可知，以、、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D

﹣xyz，则有A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,1)，则D1B(1,1,1)，得

D1PD1B(,,)，所以

PAPD1D1A(,,)(1,0,1)(1,,1)， PCPD1DC(,,)(0,1,1)(,1,1) 1显然APC不是平角，所以APC为钝角等价于PAPC0，即

11)0，解得1，因此的取值范(1)(1)(1)20，即(1)(33围是(,1)。

13

三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17、（本小题满分12分）如图A,B是单位圆O上的动点，且A,B分别在第一,二象限.C是圆与x轴正半轴的交点，AOB为正三角形. 若A点的坐标为(x,y). 记COA． sin2sin234（1）若A点的坐标为,,求的值； 255coscos2y B O A C （2）求|BC|2的取值范围.

x 18、（本小题满分12分）一个口袋中有2个白球和n个红球（n2，且nN*），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖。

（1）试用含n的代数式表示一次摸球中奖的概率P； （2）若n3，求三次摸球恰有一次中奖的概率；

（3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为f(p)，当n为何值时，f(p)取最大值。

19、（本小题满分12分）如图，在长方体

ABCDA1B1C1D1，中，ADAA11,AB2，点E

D1

A1

B1 C1

在棱AB上移动.

（1）证明：D1EA1D；

A

D E

B

C

（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离； （3）AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为

20、（本小题满分12分）已知定点A(1,0)和定直线x1上的两个动点E、F，满足AEAF，动点P满足EP//OA,FO//OP（其中o为坐标原点）. (1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)过点B(0,2)的直线l与（1）中轨迹C相交于两个不同的点M、N，若AMAN0，求直线l的斜率的取值范围.

21、（本小题满分12分）已知函数f(x)(xk)e. (1)求f(x)的单调区间；

(2)若对x(0,)，都有f(x)

22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

2xk. 41，求k的取值范围。 e2xt2(t是参数)，圆C的极坐标方程为2cos()． 已知直线l的参数方程是42yt422

（1）求圆心C的直角坐标；

（2）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．

23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)=|x+1|+|x﹣2|﹣m （I）当m5时，求f(x) >0的解集；

（II）若关于x的不等式f(x) ≥2的解集是R，求m的取值范围．

玉溪一中高2013届高三上学期第三次月考

数学试题（理科）参

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．A 2．C 3. C 4．D 5．A 6．B 7．D 8．C 9．B 10.C 11、B 12．C 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡中横线上． 13、1 14、

231a 15. 2+5 16. ,1 323三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 3417、解：（Ⅰ）因为A点的坐标为,，根据三角函数定义可知，

5502,sin43，得cos，.................................2分 55sin2sin2sin22sincos所以＝20..........................5分

cos2cos23cos21（Ⅱ）因为三角形AOB为正三角形，所以AOB600， 所以

cosCOB=cos(COA600)=cos(60)...............................6分

所以|BC|2|OC|2|OB|22|OC||OB|cosBOC=22cos().........7分

362,255 , coscos()cos, 36632即3cos()0,.................................9分 232|BC|232.................................10分

18、解：（1）一次摸球从n2个球中任选两个，有Cn22种选法，其中两球颜色相同有Cn2C22种

22CnC2n2n22选法；一次摸球中奖的概率P............ 4分 2Cnn3n22（2）若n3，则一次摸球中奖的概率是P

12一次中奖的概率是P3(1)C3P(1P)2

，三次摸球是重复实验，三次摸球中恰有5

................ 8分 125（3）设一次摸球中奖的概率是p，则三次摸球中恰有一次中奖的概率是

1f(p)C3p(1p)23p36p23p，0p1，

f'(p)9p212p33p13p1

11f(p)在0,是增函数，在,1是减函数，

33当p1时，f(p)取最大值 ................10分 3n2n21（n2,nN)， p2

n3n23n2，故n2时，三次摸球中恰有一次中奖的概率最大。.............. 12分

19、解：以D为坐标原点，直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AEx，

D1 A1

B1 C1

则

A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0),C(0,2,0)„„„

„2分

D

A

E

B

C

（1）因为DA1,D1E(1,0,1),(1,x,1)0,所以DA1D1E.„„„„„„4分

（2）因为E为AB的中点，则E(1,1,0)，从而D1E(1,1,1),AC(1,2,0)，

nAC0, AD1(1,0,1)，设平面ACD1的法向量为n(a,b,c)，则nAD0,1也即a2b0a2b，得，从而n(2,1,2)，所以点E到平面ACD1的距离为

ac0ac|DEn|2121h1.„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分

33|n|（3）设平面D1EC的法向量n(a,b,c)， ∴CE(1,x2,0),D1C(0,2,1),DD1(0,0,1),

nDC0,2bc01由 令b1,c2,a2x， ab(x2)0.nCE0,∴n(2x,1,2).

|nDD1|222依题意cos.

4|n||DD1|22(x2)25∴x123（不合，舍去），x223 . ∴AE23时，二面角D1ECD的大小为

. „„„„„„„„„„12分 420、 解：（1）设P(x,y),E(1,y1),F(1,y2)(y1、y2均不为0） 由EP//OA得y1y,即E(1,y)„„„„„„„„„„„„2分 由FO//OP得y2yy,即F(1,)„„„„„„„„„„„„4分

xx由AEAF得AEAF0(2,y1)(2,y2)0y1y24y24x(x0) ∴动点P的轨迹C的方程为y24x(x0)„„„„„„„„6分

2y12y2,y1),N(,y2) （2）设直线l的方程ykx2(k0),M(44联立得ykx22消去x得ky4y80 2y4xy1y248,y1y2,„„„„„„„„„„„„8分 kk1且1632k0即k.

222y12y2y12y2AMAN(1,y1)(1,y2)(1)(1)y1y2

444422y1y2122(y1y2)y1y21 14116168k12()1 „„„„„„„„„„10分

kkk24k2kAMAN0,12k0. „„„„„„„„„„„„12分

x122kf(x)(xk)e/fk21、解：(1)，令(x)0得xk

/当k0时，f(x)在(,k)和(k,)上递增，在(k,k)上递减；

当k0时，f(x)在(,k)和(k,)上递减，在(k,k)上递增

(2) 当k0时，

f(k1)ek1k11f(x)e； e；所以不可能对x(0，)都有

4k2f(k)f(x)(0,)k0e，所以对x(0，)都当时有（1）知在上的最大值为f(x)有

1e

14k2111[,0)f(x)k0e时，k的取值范围为2e2即e，故对x(0，)都有。

22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

解：（I）2cos2sin，

22cos2sin， „„„„（2分） 圆C的直角坐标方程为x2y22x2y0， „„„„（3分）

即(x222222)(y)1，圆心直角坐标为(,)．„„„„（5分） 2222（II）方法1：直线l上的点向圆C 引切线长是

(22222t)(t42)21t28t40(t4)22426， 2222 „„„„（8分） ∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是26 „„„„（10分） 方法2：直线l的普通方程为xy420， „„„„（8分）

|圆心C到直线l距离是

2242|225，

2∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是521226 „„„„（10分） 23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

解：（I）由题设知：|x1||x2|5，

不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：

x21x2x1，或，或， x1x25x1x25x1x25解得函数f(x)的定义域为(,2)(3,)； „„„„（5分） （II）不等式f(x) ≥2即|x1||x2|m2，

∵xR时，恒有|x1||x2||(x1)(x2)|3， 不等式|x1||x2|m2解集是R，

∴m23，m的取值范围是(,1]． „„„„（10分）