二次根式知识点总结及练习题大全

二次根式

1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式：

二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质：

（1）（a）=a （a≥0）； （2）a2a

2

a（a＞0） 0 （a=0）； a（a＜0）

5.二次根式的运算：

（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．

（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．

ab=a·b（a≥0，b≥0）； bb（b≥0，a>0）． aa（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及

多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．

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【典型例题】

（2）、平方法

2222当a0,b0时，①如果ab，则ab；②如果ab，则ab。

例1、比较35与53的大小。

例2、比较32与23的大小。

（3）、分母有理化法

通过分母有理化，利用分子的大小来比较。

例3、比较21与的大小。 3121

（4）、分子有理化法

通过分子有理化，利用分母的大小来比较。 例4、比较1514与1413的大小。 （5）、倒数法

例5、比较76与65的大小。 （6）、媒介传递法

适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。 例6、比较73与873的大小。 （7）、作差比较法

在对两数比较大小时，经常运用如下性质： ①ab0ab；②ab0ab

例7、比较212与的大小。 313

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（8）、求商比较法

它运用如下性质：当a>0，b>0时，则： ①

ab1ab； ②

ab1ab

例8、比较53与23的大小。

二次根式的概念和性质

1．判断题（对的打“∨”，错的打“×”）

（1）（121121）=- （ ）;（2）()=- （ ）

2222（3）（-112112

）=- （ ）;（4）（2）=2×=1 （ ）

2222．．

2．下面的计算中，错误的是 （ ）

A．0.0009=±0.03 B．±0.0049=±0.07

C．0.0225=0.15 D．-0.0169=-0.13 3．下列各式中一定成立的是（ ）

2A．3242=32+42=3+4=7 B．(23)=2-3 C．（-21212121）=(2) D．1=1-=

339222222

4．（10）-(10)=________； 5．(5)+（-5）=________．

26．[(6)-6]·6-66；

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7．数a在数轴上的位置如图所示，化简：a2-│1-a│=_______．

8．计算：(2)+(1)=_______．

372372a-2-1012 9．121-0.16-（） 10、

243224()2-|-|

5335

324211．(4)+(3) 12．(23)+(23) 13. 492222

二次根式的乘除练习题

1、填空：

（1）二次根式的乘法法则用式子表示为__________

（2）二次根式的除法法则用式子表示为__________

（3）把分母中的___化去，叫做分母有理化. 将式子

a22分母有理化后等于_________

（4）x216x4x4成立的条件是_________

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2（5）(x2)2x成立的条件是_________

（6）（6）

x1x2x1x2成立的条件是_________

（7）化简： 24 9125 292212

94a2b 4  4abc 24994c23（8）计算： 1015 2xy1125 1 3x361．下列运算正确的是（ ）

2222

A．（5）=-5 B．（-5）=-5 C．-(5)=5 D．(5)=5

2．下面的计算中，正确的是（ ）

2A．0.001=0.1； B．-0.09=-0.03； C．±(13)=±13；

2D．(4)=-4

．．

3．下列命题中，错误的是（ ）

A．如果x2=5，则x=5;

B．若a（a≥0）为有理数，则a是它的算术平方根

2C．化简(3)的结果是-3

D．在直角三角形中，若两条直角边分别是5，25，那么斜边长为5

24．计算(11)+|-11|-112，正确的结果是（ ）

A．-11 B．11 C．22 D．-22

2265．（-5）-9+(2)=________； 6．3=________． a

-2-1012 上海红屋学堂中学数学教研室

22

7．(7)-（27）=__________．

8．比较大小65______73．（填“>”，“＝”，“<”号）

9．数a在数轴上的位置如图所示，化简：│-a-1│-2a2=________． 10．252242=________．

22211．计算：(12)+(23)+(34)+„

2+(20042005)=______．

212．如果(a5)+│b-2│=0，求以a、b为边长的等腰三角形的周长．

1、判断题：下列运算是否正确.

2（ ）（1）(3.14)3.14

（ ）（2）273767 （ ）（3）49(4)(9)366

（ ）（4）91611293 252555（ ）（5）16.540.5

（ ）（6）42324232437

（ ）（7）

82 2313 22

（ ）（8）

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1、运用乘法分配律进行简单的根式运算.

例1 计算 （1）3(2327) （2）(6)24

(1) 2(28) (2) (20a35a)5a

(3) (ab2ba1)ab abab

2、比较两个实数的大小. 例2

比较下列两个数的大小（1）6与7 （2）32与23

1、2.8与2323 2、76与67 3、56与65 4、3与3

3 3、二次根式的乘除混合运算.

（1）3032126ab33222 （2）ab52(ab) 232b2ba

（1）731431b2 （2）ab3(3)(32a) 15222a

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4、运用分母有理化进行计算.

例3 化简

112123134199100

分析：当分母里二次根式的被开方数都相差1时，如果分母有理化后则变为1或-1，就可将原式变为不含分母的二次根式.

思考题：计算

二次根式的加减

1．若ab4b与3ab是同类二次根式，则a=_______，b=_______． 2．在12，34，48，6中能与3进行加减合并的根式有_________．

312423

3．计算：8+18=_________．

4．已知长方形的长和宽分别为3，27，则它的周长是________． 5．在实数范围内分解因式：a-4=_________． 6．5+3与6+2大小关系是_________． 7．下列根式中与其他三个不同类的是（ ）

2

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A．2 B．98 C．48 D．50 8．下列各组二次根式中，可以进行加减合并的一组是（ ）

A．12与72 B．63与78 C．8x3与22x D．18与6 9．下列根式合并过程正确的是（ ）

A．23-3-=2 B．ac+bc=a+bc C．5a+12a=a+1213a D．

133a-143a=

1123a

10．计算：32+50+45-18的值是（ ）

A．2+55 B．2+85 C．62+5 D．122+5 11．若53+y=63，则y值为（ ）

A．3 B．1 C．23 D．3

12．一个等腰三角形的两边分别为23，32，则这个三角形的周长为（ ）

A．32+43 B．62+23 C．62+43 D．32+43或62+23 13．计算：

（1）212+348 （2）52+8-718

（3）181++0.125-6+32 （4）

432

32a+6aa22-3a 18a上海红屋学堂中学数学教研室

14．如果△ABC的三边a=750，b=472，c=298，求周长P． 巩固练习

1. 下列根式中，与3是同类二次根式的是（ ）

A. 24 B. 12 C. 3 D. 18 22. 下面说法正确的是（ ）

A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式 B. 8与80是同类二次根式

C. 2与1不是同类二次根式 D. 同类二次根式是根指数为2的根式 503. 与a3b不是同类二次根式的是（ ）

A. 1babb B. C. D. 32aaab4. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ）

22 A. 0.2b B. 12a12b C. xy D. 5ab2

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★5. 若1x2，则44xx2x22x1化简的结果是（ ） A. 2x1 B. 2x1 C. 3 D. -3

★6. 若3的整数部分为x，小数部分为y，则3xy的值是（ ）

A. 333 B. 3 C. 1 D. 3 7. 下列式子中正确的是（ ）

A. 527 B. a2b2ab

C. axbxabx D. 683432 28. 在8,12,18,20中，与2是同类二次根式的是 。

9.若最简二次根式a12a5与3b4a是同类二次根式，则a____,b____。

10. 一个三角形的三边长分别为8cm,12cm,18cm，则它的周长是 cm。

11. 若最简二次根式324a21与6a21是同类二次根式，则a______。 233312. 已知x32,y32，则xyxy_________。

13. 已知x3，则x2x1________。 3★14.

322000322001______________。

15. 计算：

⑴. 21231513121 48 ⑵. 482331333

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⑶. 743

★16. 计算及化简：

743351 ⑷. 122131213

2222abab2ab11⑴. a ⑵. aababaa

★17. 已知：x,y为实数，且y

二次根式的混合运算

一、填空

22x11x3，化简：y3y28y16。

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1、计算：2.52_______;(16)2_______. 22、化简：61= ，2533= 。 42x1有意义时的x的范围是＿＿＿＿＿＿。

x23、二次根式

224、若(x2)(x2)，则x的范围是 。

5、一个等腰直角三角形的腰长为4，则这个等腰三角形的面积为 。 6、代数式34x2的最大值是__________ 。

7、计算： 24a(3a)_______，26= 。

8、把43的根号外的因式移到根号内得 。

x3有意义，则x2=_______．

9．若3x+ 10．若20m是一个正整数，则正整数m的最小值是________．

11．分母有理化:(1)132=_________;(2) 110=________;(3) =______. 122512．已知x=3，y=4，z=5，那么yzxy的最后结果是_______．

42213．化简xxy=_________．（x≥0）

14．aa1化简二次根式号后的结果是_________． a22

4

15．在实数范围内分解因式①2x－27＝________，②4x－1＝________． 42．设a，b，c为△ABC的三边长，则(abc)2＋|a＋b－c|＝________．

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1143．若0＜a＜1，化简(a)24＝________，a＝________．

aa346．当a<－b<1时，化简：

(ab)2b1ab(b1)2的结果为_____。

二、选择题

16、下列各式中不是二次根式的是 （ ）

（A）x21 （B）4 （C）0 （D）17、下列运算正确的是 （ ）

（A ）x2x3x （B）32221

ab2

（C）2+5=25 （D） axbx(ab)x 18、下列二次根式中与24是同类二次根式的是( ) （A） 18 （B）30 （C） 48 （D） 19、化简(32)2002(32)2003的结果为（ ）

(A) –1 (B)32 (C)32 (D) 32

220、(2)化简的结果是( )

(A) –2 (B) 2 (C) ±2 (D) 4 21、使代数式8aa有意义的a的范围是（ ）

（A）a0 （B）a0 （C）a0 （D）不存在

22、若(x2)(3x)x23x成立。则x的取值范围为：（ ）

（A ）x≥2 （ B）x≤3 （C）2≤x≤3 （D） 2＜x＜3 23、若x1xy0，则x2006y2005的值为： （ ）

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（A ）0 （B）1 （C） -1 （D） 2

224.使式子(x5)有意义的未知数x有（ ）个． A．0 B．1 C．2 D．无数

25．下列各式中15、3a、b21、a2b2、m220、144，二次根式的个数是（ ）． A．4 B．3 C．2 D．1

28．若直角三角形两条直角边的边长分别为15cm和12cm，•那么此直角三角形斜边长是（ ）A．32cm B．33cm C．9cm D．27cm

29．化简a1的结果是（ ）． A．a B．a C．-a D．-a a30．等式x1x1x21成立的条件是（ ）

A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1

31．计算12132121的结果是（ ）A．

735225 B． C．2 D．

7732．如果x（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ）． yxyx（y>0） B．xy（y>0） C．（y>0） D．以上都不对

yy A．33．把（a-1）1中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）． a1 A．a1 B．1a C．-a1 D．-1a 34．在下列各式中，化简正确的是（ ）

A．151=315 B．=±

2322C．a4b=a2 b D． x3x2=xx1

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35．化简22632的结果是（ ）A．- B．- C．- D．-2 3332713236．已知a＝,b32，则a与b的关系是（ ）

A．a＝b B．a＝－b C．a＝

11 D．a＝－ bb2

37．计算（53）（5＋3）－（2＋6）的结果是（ ）

A．－7 B．－7－23 C．－7－43 D．－6－43

38．当x＜5时，(x5)2的值是（ ）

A．x－5 B．5－x C．5＋x D．－5－x 39．若x26x9＝x＋3，则x的取值应为（ ）

A．x≥3 B．x≤3 C．x≥－3 D．x≤－3

|a|a240．当a＜0时，化简的结果是（ ）

2aA．1 B．－1 C．0 D．－2a

41．已知：x＝23，y＝23，则代数式x＋y的值为（ ）

A．4 B．23 C．6 D．2 计算题

10、 

1320.321 11、 9132132

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12、(61)(24222) 13、(331)2

14、

52122 15、

8321824

16、32（212－4

1＋348） 17、（a3bab3ab)ab 8

18、（73＋27） 19、（5＋3＋2）（5－3＋2）

20、（x＋2xy＋y）÷（x＋y） 21、（x－y）÷（x＋y）

2

2

2

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化简：（ababaab)abb

ab 解答题

1、当x是多少时，2x3+1在实数范围内有意义？ x12、已知y=2x+x2+5，求

x的值． y

3、已知a、b为实数，且a5+2102a=b+4，求a、b的值．

24. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│+(x3)+x210x25。

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x25x49x9x5．已知，且x为偶数，求（1+x）的值． 2x1x6x6

x244x216．若x、y为实数，且y=，求xyxy的值．

x2

7．已知：x＝

253，求x－x＋1的值．

2

8．已知：x＝

132，y＝3＋2，求3x25xy3y2的值．

9．已知a＋b－4a－2b＋5＝0，求

22

ab3ba的值．

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10．当|x－2|＜1时，化简(x3)2＋|1－x|．

11、在实数范围内分解下列因式:

（1）x-3 （2）x-4 (3) 2x-3 12、当x是多少时，2x3+

2

4

2

1在实数范围内有意义？ x113、已知y=2x+x2+5，求

x的值． y

14、已知a、b为实数，且a5+2102a=b+4，求a、b的值．

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215. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│+(x3)+x210x25。

x25x49x9x16．已知，且x为偶数，求（1+x）的值． 2x1x6x6

x244x2117．若x、y为实数，且y=，求xyxy的值．

x2

已知：x＝

253，求x－x＋1的值．

2

20．已知：x＝

132，y＝3＋2，求3x25xy3y2的值．

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21．已知a＋b－4a－2b＋5＝0，求

22

ab3ba的值．

22．当|x－2|＜1时，化简(x3)2＋|1－x|．

【综合训练】

1．化简：（1）72__ __；（2）252242___ __ （3）61218___ _；

（4）75x3y2(x0,y0)___ _； （5）204_______。

2.)化简4=_________。

23.计算4的结果是

Ａ.2 Ｂ．±2 Ｃ．-2 Ｄ．4

4. 化简：（1）9的结果是 ；（2）123的结果是 ；

（3）528= ； （4）5x-2（5）3＋（5－3）=_________； （6）

x=_____ _；

；

（7）＝________； （8） ．

5．计算82的结果是

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A、6 B、6 C、2 D、2

6．3的倒数是 。 7. 下列计算正确的是 A．

8.下列运算正确的是

B．

C．

D．

A、1.60.4 B、

1.521.5 C、93 D、

42 939．已知等边三角形ABC的边长为33，则ΔABC的周长是____________；

10. 比较大小：３ 10。

11．使x2有意义的x的取值范围是 ．

12.若式子x5在实数范围内有意义,则x的取值范围是

A.x>-5

B.x<-5

C.x≠-5

D.x≥-5

13. 函数中，自变量的取值范围是 ．

14.下列二次根式中，x的取值范围是x≥2的是

A、2－x B、x+2 C、x－2 D、15.下列根式中属最简二次根式的是

1

x－2

A.a21 B.1 C.8 D.27 216．下列根式中不是最简二次根式的是

A．10 B．8 C．6 D．2 17．下列各式中与是同类二次根式的是

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A．2

B．

C．

D．

18．下列各组二次根式中是同类二次根式的是

A．12与11 B．18与27 C．3与 D．45与 23与

是同类二次根式，则的α值可以是

19.)已知二次根式

A、5 B、6 C、7 D、8 20．若xab,yab，则xy的值为

A．2a B．2b C．ab D．ab 21.若a2b30，则ab ．

222．如图，在数轴上表示实数15的点可能是

A．点P 23.计算：

B．点Q

C．点M

D．点N

（1） （2）

（3）． （4）．

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24.先将x2x÷化简，然后自选一个合适的x值，代入化简后的式子求值。 x2x32x2 25.若

A．

，则的取值范围是 B．

C．

，点

D．关于点

的对称点为点

，则

26.如图，数轴上点A．

所表示的数是

两点表示的数分别为1和

B． C．

巩固训练

D．

21.1 二次根式

1. 使式子x4有意义的条件是 。 2. 当__________时，x212x有意义。 3. 若m1有意义，则m的取值范围是 。 m14. 当x__________时，1x2是二次根式。

5. 在实数范围内分解因式：x49__________,x222x2__________。 6. 若4x22x，则x的取值范围是 。

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7. 已知x222x，则x的取值范围是 。

28. 化简：x2x1x1的结果是 。

9. 当1x5时，x12x5_____________。

10. 把a1的根号外的因式移到根号内等于 。 a11. 使等式x1x1x1x1成立的条件是 。

200512. 若ab1与a2b4互为相反数，则ab_____________。

13. 在式子xx0,2,y1y2,2xx0,33,x21,xy中，二次根2式有（ ）

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 14. 下列各式一定是二次根式的是（ ）

A. 7 B. 32m C. a21 D. a b15. 若2a3，则2a2a3等于（ ）

2A. 52a B. 12a C. 2a5 D. 2a1 16. 若A2a24，则A（ ）

42A. a4 B. a2 C. a2 D. a4

222217. 若a1，则1a3化简后为（ ）

A. a1a1 B. 1a1a C. a11a D. 1aa1

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18. 能使等式xx2x成立的x的取值范围是（ ） x2A. x2 B. x0 C. x2 D. x2 19. 计算：2a1212a2的值是（ ）

A. 0 B. 4a2 C. 24a D. 24a或4a2 20. 下面的推导中开始出错的步骤是（ ）

2322312123223122

23233224A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 21. 若xyy24y40，求xy的值。

22. 当a取什么值时，代数式2a11取值最小，并求出这个最小值。

23. 去掉下列各根式内的分母：

1.3

x12yx1 x0 2.5xx13x

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24. 已知x3x10，求x2212的值。 2x

25. 已知a,b为实数，且1ab11b0，求a

21.2 二次根式的乘除

1. 当a0，b0时，ab3__________。

2. 若2mn2和33m2n2都是最简二次根式，则m_____,n______。 3. 计算：23________;369__________。

2005b2006的值。

4. 计算：

483273_____________。

5. 长方形的宽为3，面积为26，则长方形的长约为 （精确到0.01）。6. 下列各式不是最简二次根式的是（ ）

A. a21 B. 2x1 C. 2b D. 0.1y 47. 已知xy0，化简二次根式xy的正确结果为（ ） x2

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A. y B. y C. y D. y 8. 对于所有实数a,b，下列等式总能成立的是（ ）

A.

ab2ab B. a2b2ab

C. a2b2a2b2 D. 2ab2ab

9. 23和32的大小关系是（ ）

A. 2332 B. 2332 C. 2332 D. 不能确定

10. 对于二次根式x29，以下说法中不正确的是（ ）

A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数 C. 它是最简二次根式 D. 它的最小值为3 11. 计算：

1.

232 2.5x3x3 3.5

ab4a3ba0,b0 4.a3b6aba0,b0

5.2122b33121 6. ab5ab3335ba2

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12. 化简：

1.a3b5a0,b0 2.xyxy

21.3 二次根式的加减

1. 下列根式中，与3是同类二次根式的是（ ）

A. 24 B. 12 C. 32 D. 18 2. 下面说法正确的是（ ）

A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式 B. 8与80是同类二次根式

C. 2与150不是同类二次根式 D. 同类二次根式是根指数为2的根式 3. 与a3b不是同类二次根式的是（ ）

A. ab2 B. ba C. 1ab D. ba3

3.a3a21a 上海红屋学堂中学数学教研室

4. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ）

22 A. 0.2b B. 12a12b C. xy D. 5ab2 5. 若1x2，则44xx2x22x1化简的结果是（ ） A. 2x1 B. 2x1 C. 3 D. -3

6. 若18x2x2x10，则x的值等于（ ） 2x A. 4 B. 2 C. 2 D. 4

7. 若3的整数部分为x，小数部分为y，则3xy的值是（ ）

A. 333 B. 3 C. 1 D. 3 8. 下列式子中正确的是（ ）

A. 527 B. a2b2ab

C. axbxabx D. 683432 29. 在8,12,18,20中，与2是同类二次根式的是 。 10.若最简二次根式a12a5与3b4a是同类二次根式，则a____,b____。 11. 一个三角形的三边长分别为8cm,12cm,18cm，则它的周长是 cm。

12. 若最简二次根式324a21与6a21是同类二次根式，则a______。 233313. 已知x32,y32，则xyxy_________。

14. 已知x32，则xx1________。 3200015.

32322001______________。

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16. 计算：

⑴. 21231513121 48 ⑵. 482331333

⑶. 743

17. 计算及化简：

743351 ⑷. 122131213

2222abab2ab11⑴. a ⑵. aababaa19. 已知：a2211110，求a22的值。

aa20. 已知：x,y为实数，且yx11x3，化简：y3y28y16。

x1的值。 y121. 已知

x3yx29x320，求

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答案：

21.1 二次根式： 1. x4； 2. 2x1； 3. m0且m1； 4. 任意实数； 25. x3x32x3;x2； 6. x0；7. x2； 8. 1x；

29. 4； 10. a； 11. x1； 12. -1； 13——20：CCCABCDB

6xy1x3x,2.321. 4； 22. a，最小值为1； 23. 1.； 22xxx124. 5； 25. -2

21.2 二次根式的乘除： 1. bab； 2. 1、2； 3. 18； 4. -5； 5. 2.83； 6——10： DDCAB

222211. 1.6,2.15x,3.20ab,4.abb,5.1,6.abab；

12. 1ab2ab,2.xy,3.0；

13. 1.5,2.x1

21.3 二次根式的加减： 1——8：BAACCCCC

9. 8,18； 10. 1、1； 11. 5223； 12. 1； 13. 10；

14. 43； 15. 32； 16. 1.23,2.43362,3.4565,4.4； 22xy17. 1.4,2.2b,3.,4.1；

yx

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18. 5； 19. 9210； 20. -1； 21. 2