二次根式
1.二次根式:式子a(a≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式:必须同时满足下列条件: ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母; ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式:
二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质:
(1)(a)=a (a≥0); (2)a2a
2
a(a>0) 0 (a=0); a(a<0)
5.二次根式的运算:
(1)因式的外移和内移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式,•变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.
(2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. (3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.
ab=a·b(a≥0,b≥0); bb(b≥0,a>0). aa(4)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,•乘法对加法的分配律以及
多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算.
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【典型例题】
(2)、平方法
2222当a0,b0时,①如果ab,则ab;②如果ab,则ab。
例1、比较35与53的大小。
例2、比较32与23的大小。
(3)、分母有理化法
通过分母有理化,利用分子的大小来比较。
例3、比较21与的大小。 3121
(4)、分子有理化法
通过分子有理化,利用分母的大小来比较。 例4、比较1514与1413的大小。 (5)、倒数法
例5、比较76与65的大小。 (6)、媒介传递法
适当选择介于两个数之间的媒介值,利用传递性进行比较。 例6、比较73与873的大小。 (7)、作差比较法
在对两数比较大小时,经常运用如下性质: ①ab0ab;②ab0ab
例7、比较212与的大小。 313
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(8)、求商比较法
它运用如下性质:当a>0,b>0时,则: ①
ab1ab; ②
ab1ab
例8、比较53与23的大小。
二次根式的概念和性质
1.判断题(对的打“∨”,错的打“×”)
(1)(121121)=- ( );(2)()=- ( )
2222(3)(-112112
)=- ( );(4)(2)=2×=1 ( )
2222..
2.下面的计算中,错误的是 ( )
A.0.0009=±0.03 B.±0.0049=±0.07
C.0.0225=0.15 D.-0.0169=-0.13 3.下列各式中一定成立的是( )
2A.3242=32+42=3+4=7 B.(23)=2-3 C.(-21212121)=(2) D.1=1-=
339222222
4.(10)-(10)=________; 5.(5)+(-5)=________.
26.[(6)-6]·6-66;
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7.数a在数轴上的位置如图所示,化简:a2-│1-a│=_______.
8.计算:(2)+(1)=_______.
372372a-2-1012 9.121-0.16-() 10、
243224()2-|-|
5335
324211.(4)+(3) 12.(23)+(23) 13. 492222
二次根式的乘除练习题
1、填空:
(1)二次根式的乘法法则用式子表示为__________
(2)二次根式的除法法则用式子表示为__________
(3)把分母中的___化去,叫做分母有理化. 将式子
a22分母有理化后等于_________
(4)x216x4x4成立的条件是_________
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2(5)(x2)2x成立的条件是_________
(6)(6)
x1x2x1x2成立的条件是_________
(7)化简: 24 9125 292212
94a2b 4 4abc 24994c23(8)计算: 1015 2xy1125 1 3x361.下列运算正确的是( )
2222
A.(5)=-5 B.(-5)=-5 C.-(5)=5 D.(5)=5
2.下面的计算中,正确的是( )
2A.0.001=0.1; B.-0.09=-0.03; C.±(13)=±13;
2D.(4)=-4
..
3.下列命题中,错误的是( )
A.如果x2=5,则x=5;
B.若a(a≥0)为有理数,则a是它的算术平方根
2C.化简(3)的结果是-3
D.在直角三角形中,若两条直角边分别是5,25,那么斜边长为5
24.计算(11)+|-11|-112,正确的结果是( )
A.-11 B.11 C.22 D.-22
2265.(-5)-9+(2)=________; 6.3=________. a
-2-1012 上海红屋学堂中学数学教研室
22
7.(7)-(27)=__________.
8.比较大小65______73.(填“>”,“=”,“<”号)
9.数a在数轴上的位置如图所示,化简:│-a-1│-2a2=________. 10.252242=________.
22211.计算:(12)+(23)+(34)+„
2+(20042005)=______.
212.如果(a5)+│b-2│=0,求以a、b为边长的等腰三角形的周长.
1、判断题:下列运算是否正确.
2( )(1)(3.14)3.14
( )(2)273767 ( )(3)49(4)(9)366
( )(4)91611293 252555( )(5)16.540.5
( )(6)42324232437
( )(7)
82 2313 22
( )(8)
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1、运用乘法分配律进行简单的根式运算.
例1 计算 (1)3(2327) (2)(6)24
(1) 2(28) (2) (20a35a)5a
(3) (ab2ba1)ab abab
2、比较两个实数的大小. 例2
比较下列两个数的大小(1)6与7 (2)32与23
1、2.8与2323 2、76与67 3、56与65 4、3与3
3 3、二次根式的乘除混合运算.
(1)3032126ab33222 (2)ab52(ab) 232b2ba
(1)731431b2 (2)ab3(3)(32a) 15222a
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4、运用分母有理化进行计算.
例3 化简
112123134199100
分析:当分母里二次根式的被开方数都相差1时,如果分母有理化后则变为1或-1,就可将原式变为不含分母的二次根式.
思考题:计算
二次根式的加减
1.若ab4b与3ab是同类二次根式,则a=_______,b=_______. 2.在12,34,48,6中能与3进行加减合并的根式有_________.
312423
3.计算:8+18=_________.
4.已知长方形的长和宽分别为3,27,则它的周长是________. 5.在实数范围内分解因式:a-4=_________. 6.5+3与6+2大小关系是_________. 7.下列根式中与其他三个不同类的是( )
2
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A.2 B.98 C.48 D.50 8.下列各组二次根式中,可以进行加减合并的一组是( )
A.12与72 B.63与78 C.8x3与22x D.18与6 9.下列根式合并过程正确的是( )
A.23-3-=2 B.ac+bc=a+bc C.5a+12a=a+1213a D.
133a-143a=
1123a
10.计算:32+50+45-18的值是( )
A.2+55 B.2+85 C.62+5 D.122+5 11.若53+y=63,则y值为( )
A.3 B.1 C.23 D.3
12.一个等腰三角形的两边分别为23,32,则这个三角形的周长为( )
A.32+43 B.62+23 C.62+43 D.32+43或62+23 13.计算:
(1)212+348 (2)52+8-718
(3)181++0.125-6+32 (4)
432
32a+6aa22-3a 18a上海红屋学堂中学数学教研室
14.如果△ABC的三边a=750,b=472,c=298,求周长P. 巩固练习
1. 下列根式中,与3是同类二次根式的是( )
A. 24 B. 12 C. 3 D. 18 22. 下面说法正确的是( )
A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式 B. 8与80是同类二次根式
C. 2与1不是同类二次根式 D. 同类二次根式是根指数为2的根式 503. 与a3b不是同类二次根式的是( )
A. 1babb B. C. D. 32aaab4. 下列根式中,是最简二次根式的是( )
22 A. 0.2b B. 12a12b C. xy D. 5ab2
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★5. 若1x2,则44xx2x22x1化简的结果是( ) A. 2x1 B. 2x1 C. 3 D. -3
★6. 若3的整数部分为x,小数部分为y,则3xy的值是( )
A. 333 B. 3 C. 1 D. 3 7. 下列式子中正确的是( )
A. 527 B. a2b2ab
C. axbxabx D. 683432 28. 在8,12,18,20中,与2是同类二次根式的是 。
9.若最简二次根式a12a5与3b4a是同类二次根式,则a____,b____。
10. 一个三角形的三边长分别为8cm,12cm,18cm,则它的周长是 cm。
11. 若最简二次根式324a21与6a21是同类二次根式,则a______。 233312. 已知x32,y32,则xyxy_________。
13. 已知x3,则x2x1________。 3★14.
322000322001______________。
15. 计算:
⑴. 21231513121 48 ⑵. 482331333
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⑶. 743
★16. 计算及化简:
743351 ⑷. 122131213
2222abab2ab11⑴. a ⑵. aababaa
★17. 已知:x,y为实数,且y
二次根式的混合运算
一、填空
22x11x3,化简:y3y28y16。
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1、计算:2.52_______;(16)2_______. 22、化简:61= ,2533= 。 42x1有意义时的x的范围是______。
x23、二次根式
224、若(x2)(x2),则x的范围是 。
5、一个等腰直角三角形的腰长为4,则这个等腰三角形的面积为 。 6、代数式34x2的最大值是__________ 。
7、计算: 24a(3a)_______,26= 。
8、把43的根号外的因式移到根号内得 。
x3有意义,则x2=_______.
9.若3x+ 10.若20m是一个正整数,则正整数m的最小值是________.
11.分母有理化:(1)132=_________;(2) 110=________;(3) =______. 122512.已知x=3,y=4,z=5,那么yzxy的最后结果是_______.
42213.化简xxy=_________.(x≥0)
14.aa1化简二次根式号后的结果是_________. a22
4
15.在实数范围内分解因式①2x-27=________,②4x-1=________. 42.设a,b,c为△ABC的三边长,则(abc)2+|a+b-c|=________.
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1143.若0<a<1,化简(a)24=________,a=________.
aa346.当a<-b<1时,化简:
(ab)2b1ab(b1)2的结果为_____。
二、选择题
16、下列各式中不是二次根式的是 ( )
(A)x21 (B)4 (C)0 (D)17、下列运算正确的是 ( )
(A )x2x3x (B)32221
ab2
(C)2+5=25 (D) axbx(ab)x 18、下列二次根式中与24是同类二次根式的是( ) (A) 18 (B)30 (C) 48 (D) 19、化简(32)2002(32)2003的结果为( )
(A) –1 (B)32 (C)32 (D) 32
220、(2)化简的结果是( )
(A) –2 (B) 2 (C) ±2 (D) 4 21、使代数式8aa有意义的a的范围是( )
(A)a0 (B)a0 (C)a0 (D)不存在
22、若(x2)(3x)x23x成立。则x的取值范围为:( )
(A )x≥2 ( B)x≤3 (C)2≤x≤3 (D) 2<x<3 23、若x1xy0,则x2006y2005的值为: ( )
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(A )0 (B)1 (C) -1 (D) 2
224.使式子(x5)有意义的未知数x有( )个. A.0 B.1 C.2 D.无数
25.下列各式中15、3a、b21、a2b2、m220、144,二次根式的个数是( ). A.4 B.3 C.2 D.1
28.若直角三角形两条直角边的边长分别为15cm和12cm,•那么此直角三角形斜边长是( )A.32cm B.33cm C.9cm D.27cm
29.化简a1的结果是( ). A.a B.a C.-a D.-a a30.等式x1x1x21成立的条件是( )
A.x≥1 B.x≥-1 C.-1≤x≤1 D.x≥1或x≤-1
31.计算12132121的结果是( )A.
735225 B. C.2 D.
7732.如果x(y>0)是二次根式,那么,化为最简二次根式是( ). yxyx(y>0) B.xy(y>0) C.(y>0) D.以上都不对
yy A.33.把(a-1)1中根号外的(a-1)移入根号内得( ). a1 A.a1 B.1a C.-a1 D.-1a 34.在下列各式中,化简正确的是( )
A.151=315 B.=±
2322C.a4b=a2 b D. x3x2=xx1
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35.化简22632的结果是( )A.- B.- C.- D.-2 3332713236.已知a=,b32,则a与b的关系是( )
A.a=b B.a=-b C.a=
11 D.a=- bb2
37.计算(53)(5+3)-(2+6)的结果是( )
A.-7 B.-7-23 C.-7-43 D.-6-43
38.当x<5时,(x5)2的值是( )
A.x-5 B.5-x C.5+x D.-5-x 39.若x26x9=x+3,则x的取值应为( )
A.x≥3 B.x≤3 C.x≥-3 D.x≤-3
|a|a240.当a<0时,化简的结果是( )
2aA.1 B.-1 C.0 D.-2a
41.已知:x=23,y=23,则代数式x+y的值为( )
A.4 B.23 C.6 D.2 计算题
10、
1320.321 11、 9132132
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12、(61)(24222) 13、(331)2
14、
52122 15、
8321824
16、32(212-4
1+348) 17、(a3bab3ab)ab 8
18、(73+27) 19、(5+3+2)(5-3+2)
20、(x+2xy+y)÷(x+y) 21、(x-y)÷(x+y)
2
2
2
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化简:(ababaab)abb
ab 解答题
1、当x是多少时,2x3+1在实数范围内有意义? x12、已知y=2x+x2+5,求
x的值. y
3、已知a、b为实数,且a5+2102a=b+4,求a、b的值.
24. 若-3≤x≤2时,试化简│x-2│+(x3)+x210x25。
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x25x49x9x5.已知,且x为偶数,求(1+x)的值. 2x1x6x6
x244x216.若x、y为实数,且y=,求xyxy的值.
x2
7.已知:x=
253,求x-x+1的值.
2
8.已知:x=
132,y=3+2,求3x25xy3y2的值.
9.已知a+b-4a-2b+5=0,求
22
ab3ba的值.
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10.当|x-2|<1时,化简(x3)2+|1-x|.
11、在实数范围内分解下列因式:
(1)x-3 (2)x-4 (3) 2x-3 12、当x是多少时,2x3+
2
4
2
1在实数范围内有意义? x113、已知y=2x+x2+5,求
x的值. y
14、已知a、b为实数,且a5+2102a=b+4,求a、b的值.
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215. 若-3≤x≤2时,试化简│x-2│+(x3)+x210x25。
x25x49x9x16.已知,且x为偶数,求(1+x)的值. 2x1x6x6
x244x2117.若x、y为实数,且y=,求xyxy的值.
x2
已知:x=
253,求x-x+1的值.
2
20.已知:x=
132,y=3+2,求3x25xy3y2的值.
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21.已知a+b-4a-2b+5=0,求
22
ab3ba的值.
22.当|x-2|<1时,化简(x3)2+|1-x|.
【综合训练】
1.化简:(1)72__ __;(2)252242___ __ (3)61218___ _;
(4)75x3y2(x0,y0)___ _; (5)204_______。
2.)化简4=_________。
23.计算4的结果是
A.2 B.±2 C.-2 D.4
4. 化简:(1)9的结果是 ;(2)123的结果是 ;
(3)528= ; (4)5x-2(5)3+(5-3)=_________; (6)
x=_____ _;
;
(7)=________; (8) .
5.计算82的结果是
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A、6 B、6 C、2 D、2
6.3的倒数是 。 7. 下列计算正确的是 A.
8.下列运算正确的是
B.
C.
D.
A、1.60.4 B、
1.521.5 C、93 D、
42 939.已知等边三角形ABC的边长为33,则ΔABC的周长是____________;
10. 比较大小:3 10。
11.使x2有意义的x的取值范围是 .
12.若式子x5在实数范围内有意义,则x的取值范围是
A.x>-5
B.x<-5
C.x≠-5
D.x≥-5
13. 函数中,自变量的取值范围是 .
14.下列二次根式中,x的取值范围是x≥2的是
A、2-x B、x+2 C、x-2 D、15.下列根式中属最简二次根式的是
1
x-2
A.a21 B.1 C.8 D.27 216.下列根式中不是最简二次根式的是
A.10 B.8 C.6 D.2 17.下列各式中与是同类二次根式的是
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A.2
B.
C.
D.
18.下列各组二次根式中是同类二次根式的是
A.12与11 B.18与27 C.3与 D.45与 23与
是同类二次根式,则的α值可以是
19.)已知二次根式
A、5 B、6 C、7 D、8 20.若xab,yab,则xy的值为
A.2a B.2b C.ab D.ab 21.若a2b30,则ab .
222.如图,在数轴上表示实数15的点可能是
A.点P 23.计算:
B.点Q
C.点M
D.点N
(1) (2)
(3). (4).
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24.先将x2x÷化简,然后自选一个合适的x值,代入化简后的式子求值。 x2x32x2 25.若
A.
,则的取值范围是 B.
C.
,点
D.关于点
的对称点为点
,则
26.如图,数轴上点A.
所表示的数是
两点表示的数分别为1和
B. C.
巩固训练
D.
21.1 二次根式
1. 使式子x4有意义的条件是 。 2. 当__________时,x212x有意义。 3. 若m1有意义,则m的取值范围是 。 m14. 当x__________时,1x2是二次根式。
5. 在实数范围内分解因式:x49__________,x222x2__________。 6. 若4x22x,则x的取值范围是 。
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7. 已知x222x,则x的取值范围是 。
28. 化简:x2x1x1的结果是 。
9. 当1x5时,x12x5_____________。
10. 把a1的根号外的因式移到根号内等于 。 a11. 使等式x1x1x1x1成立的条件是 。
200512. 若ab1与a2b4互为相反数,则ab_____________。
13. 在式子xx0,2,y1y2,2xx0,33,x21,xy中,二次根2式有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 14. 下列各式一定是二次根式的是( )
A. 7 B. 32m C. a21 D. a b15. 若2a3,则2a2a3等于( )
2A. 52a B. 12a C. 2a5 D. 2a1 16. 若A2a24,则A( )
42A. a4 B. a2 C. a2 D. a4
222217. 若a1,则1a3化简后为( )
A. a1a1 B. 1a1a C. a11a D. 1aa1
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18. 能使等式xx2x成立的x的取值范围是( ) x2A. x2 B. x0 C. x2 D. x2 19. 计算:2a1212a2的值是( )
A. 0 B. 4a2 C. 24a D. 24a或4a2 20. 下面的推导中开始出错的步骤是( )
2322312123223122
23233224A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 21. 若xyy24y40,求xy的值。
22. 当a取什么值时,代数式2a11取值最小,并求出这个最小值。
23. 去掉下列各根式内的分母:
1.3
x12yx1 x0 2.5xx13x
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24. 已知x3x10,求x2212的值。 2x
25. 已知a,b为实数,且1ab11b0,求a
21.2 二次根式的乘除
1. 当a0,b0时,ab3__________。
2. 若2mn2和33m2n2都是最简二次根式,则m_____,n______。 3. 计算:23________;369__________。
2005b2006的值。
4. 计算:
483273_____________。
5. 长方形的宽为3,面积为26,则长方形的长约为 (精确到0.01)。6. 下列各式不是最简二次根式的是( )
A. a21 B. 2x1 C. 2b D. 0.1y 47. 已知xy0,化简二次根式xy的正确结果为( ) x2
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A. y B. y C. y D. y 8. 对于所有实数a,b,下列等式总能成立的是( )
A.
ab2ab B. a2b2ab
C. a2b2a2b2 D. 2ab2ab
9. 23和32的大小关系是( )
A. 2332 B. 2332 C. 2332 D. 不能确定
10. 对于二次根式x29,以下说法中不正确的是( )
A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数 C. 它是最简二次根式 D. 它的最小值为3 11. 计算:
1.
232 2.5x3x3 3.5
ab4a3ba0,b0 4.a3b6aba0,b0
5.2122b33121 6. ab5ab3335ba2
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12. 化简:
1.a3b5a0,b0 2.xyxy
21.3 二次根式的加减
1. 下列根式中,与3是同类二次根式的是( )
A. 24 B. 12 C. 32 D. 18 2. 下面说法正确的是( )
A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式 B. 8与80是同类二次根式
C. 2与150不是同类二次根式 D. 同类二次根式是根指数为2的根式 3. 与a3b不是同类二次根式的是( )
A. ab2 B. ba C. 1ab D. ba3
3.a3a21a 上海红屋学堂中学数学教研室
4. 下列根式中,是最简二次根式的是( )
22 A. 0.2b B. 12a12b C. xy D. 5ab2 5. 若1x2,则44xx2x22x1化简的结果是( ) A. 2x1 B. 2x1 C. 3 D. -3
6. 若18x2x2x10,则x的值等于( ) 2x A. 4 B. 2 C. 2 D. 4
7. 若3的整数部分为x,小数部分为y,则3xy的值是( )
A. 333 B. 3 C. 1 D. 3 8. 下列式子中正确的是( )
A. 527 B. a2b2ab
C. axbxabx D. 683432 29. 在8,12,18,20中,与2是同类二次根式的是 。 10.若最简二次根式a12a5与3b4a是同类二次根式,则a____,b____。 11. 一个三角形的三边长分别为8cm,12cm,18cm,则它的周长是 cm。
12. 若最简二次根式324a21与6a21是同类二次根式,则a______。 233313. 已知x32,y32,则xyxy_________。
14. 已知x32,则xx1________。 3200015.
32322001______________。
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16. 计算:
⑴. 21231513121 48 ⑵. 482331333
⑶. 743
17. 计算及化简:
743351 ⑷. 122131213
2222abab2ab11⑴. a ⑵. aababaa19. 已知:a2211110,求a22的值。
aa20. 已知:x,y为实数,且yx11x3,化简:y3y28y16。
x1的值。 y121. 已知
x3yx29x320,求
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答案:
21.1 二次根式: 1. x4; 2. 2x1; 3. m0且m1; 4. 任意实数; 25. x3x32x3;x2; 6. x0;7. x2; 8. 1x;
29. 4; 10. a; 11. x1; 12. -1; 13——20:CCCABCDB
6xy1x3x,2.321. 4; 22. a,最小值为1; 23. 1.; 22xxx124. 5; 25. -2
21.2 二次根式的乘除: 1. bab; 2. 1、2; 3. 18; 4. -5; 5. 2.83; 6——10: DDCAB
222211. 1.6,2.15x,3.20ab,4.abb,5.1,6.abab;
12. 1ab2ab,2.xy,3.0;
13. 1.5,2.x1
21.3 二次根式的加减: 1——8:BAACCCCC
9. 8,18; 10. 1、1; 11. 5223; 12. 1; 13. 10;
14. 43; 15. 32; 16. 1.23,2.43362,3.4565,4.4; 22xy17. 1.4,2.2b,3.,4.1;
yx
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18. 5; 19. 9210; 20. -1; 21. 2
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