二次根式知识点总结及练习题大全

1.二次根式：式子（≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式：

二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质：

（1）（）= （≥0）； （2） 5.二次根式的运算：

（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．

（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．

=·（a≥0，b≥0）； （b≥0，a>0）．

（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．

【典型例题】

（2）、平方法

当时，①如果，则；②如果，则。 例1、比较与的大小。

例2、比较与的大小。

（3）、分母有理化法

通过分母有理化，利用分子的大小来比较。 例3、比较与的大小。

2

（4）、分子有理化法

通过分子有理化，利用分母的大小来比较。 例4、比较与的大小。 （5）、倒数法 例5、比较与的大小。 （6）、媒介传递法

适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。 例6、比较与的大小。 （7）、作差比较法

在对两数比较大小时，经常运用如下性质： ①；②

例7、比较与的大小。 （8）、求商比较法

它运用如下性质：当a>0，b>0时，则： ①； ②

例8、比较与的大小。

二次根式的概念和性质

1．判断题（对的打“∨”，错的打“×”） （1）（）=- （ ）;（2）=- （ ） （3）（-）=- （ ）;（4）（2）=2×=1 （ ） 2．下面的计算中，错误的是 （ ） ．． A．=±0.03 B．±=±0.07 C．=0.15 D．-=-0.13 3．下列各式中一定成立的是（ ）

A．=+=3+4=7 B．=- C．（-）= D．=1-=

4．（）-=________； 5．+（-）=________． 6．[-]·-6；

2

2

22

2

2

7．数a在数轴上的位置如图所示，化简：-│1-a│=_______． 8．计算：+=_______． 9．--（） 10、-|-|

11．+ 12．+ 13.

二次根式的乘除练习题

1、填空：

（1）二次根式的乘法法则用式子表示为__________

（2）二次根式的除法法则用式子表示为__________

（3）把分母中的___化去，叫做分母有理化. 将式子分母有理化后等于_________

（4）成立的条件是_________ （5）成立的条件是_________

（6）（6）成立的条件是_________

（7）化简： （8）计算： 1．下列运算正确的是（ ）

A．（）=-5 B．（-）=-5 C．-=5 D．=5

2

2

2

2．下面的计算中，正确的是（ ）

A．=0.1； B．-=-0.03； C．±=±13； D．=-4 3．下列命题中，错误的是（ ） ．．

A．如果=5，则x=5;

B．若a（a≥0）为有理数，则是它的算术平方根 C．化简的结果是-3

D．在直角三角形中，若两条直角边分别是，2，那么斜边长为5 4．计算+|-11|-，正确的结果是（ ） A．-11 B．11 C．22 D．-22 5．（-）-+=________； 6．=________． 7．-（2）=__________．

a22

8．比较大小6______7．（填“>”，“＝”，“<”号）

9．数a在数轴上的位置如图所示，化简：│-a-1│-2=________． 10．=________．

11．计算：+++…+=______．

12．如果+│b-2│=0，求以a、b为边长的等腰三角形的周长．

1、判断题：下列运算是否正确.

（ ）（1） （ ）（2） （ ）（3） （ ）（4）

（ ）（5） （ ）（6） （ ）（7） （ ）（8）

1、运用乘法分配律进行简单的根式运算.

例1 计算 （1） （2）

-2-1012

(1) (2)

(3)

2、比较两个实数的大小. 例2

1、与 2、与 3、与 4、与 3、二次根式的乘除混合运算. （1） （2）

（1） （2）

4、运用分母有理化进行计算.

例3

化简

比较下列两个数的大小（1）与 （2）与

分析：当分母里二次根式的被开方数都相差1时，如果分母有理化后则变为1或-1，就可将原式变为不含分母的二次根式.

思考题：计算

二次根式的加减

1．若与是同类二次根式，则a=_______，b=_______． 2．在，，，中能与进行加减合并的根式有_________． 3．计算： +=_________．

4．已知长方形的长和宽分别为，，则它的周长是________． 5．在实数范围内分解因式：a2

-4=_________． 6． +与+大小关系是_________．

7．下列根式中与其他三个不同类的是（ ） A． B． C． D．

8．下列各组二次根式中，可以进行加减合并的一组是（ ） A．与 B．与 C．与2 D．18与 9．下列根式合并过程正确的是（ ）

A．2--=2 B．a+b=a+b C．5+=a+ D． -=

10．计算： ++-的值是（ ）

A． +5 B． +8 C．6+ D．12+ 11．若5+=6，则y值为（ ） A． B．1 C．2 D．3

12．一个等腰三角形的两边分别为2，3，则这个三角形的周长为（A．3+4 B．6+2 C．6+4 D．3+4或6+2

13．计算：

（1）2+3 （2）5+-7

）

（3）++-+ （4）+6a-3a

14．如果△ABC的三边a=7，b=4，c=2，求周长P． 巩固练习

1. 下列根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面说法正确的是（ ）

A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式 B.与是同类二次根式 C.与不是同类二次根式 D. 同类二次根式是根指数为2的根式 3. 与不是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D.

4. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. ★5. 若，则化简的结果是（ ） A. B. C. 3 D. -3

2

★6. 若的整数部分为，小数部分为，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 3 7. 下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D.

8. 在中，与是同类二次根式的是 。 9.若最简二次根式与是同类二次根式，则。

10. 一个三角形的三边长分别为，则它的周长是 cm。 11. 若最简二次根式与是同类二次根式，则。 12. 已知，则。 13. 已知，则。 ★14.。 15. 计算： ⑴. ⑵.

⑶. ⑷.

★16. 计算及化简： ⑴. ⑵.

★17. 已知：为实数，且，化简：。

二次根式的混合运算

一、填空 1、计算：

2、化简： = ， = 。

3、二次根式有意义时的的范围是＿＿＿＿＿＿。 4、若，则x的范围是 。

5、一个等腰直角三角形的腰长为4，则这个等腰三角形的面积为 。 6、代数式的最大值是__________ 。 7、计算：， = 。

8、把的根号外的因式移到根号内得 。 9．若+有意义，则=_______．

10．若是一个正整数，则正整数m的最小值是________． 11．分母有理化:(1) =_________;(2) =________;(3) =______. 12．已知x=3，y=4，z=5，那么的最后结果是_______．

13．化简=_________．（x≥0）

14．a化简二次根式号后的结果是_________．

15．在实数范围内分解因式①2x－27＝________，②4x－1＝________． 42．设a，b，c为△ABC的三边长，则＋|a＋b－c|＝________． 43．若0＜a＜1，化简＝________，a＝________． 46．当a<－b<1时，化简：的结果为_____。 二、选择题

16、下列各式中不是二次根式的是 （ ） （A） （B） （C） （D） 17、下列运算正确的是 （ ） （A ） （B） （C）2+=2 （D）

18、下列二次根式中与是同类二次根式的是( ) （A） （B） （C） （D） 19、化简的结果为（ ）

(A) –1 (B) (C) (D) 20、化简的结果是( )

(A) –2 (B) 2 (C) ±2 (D) 4 21、使代数式8有意义的的范围是（ ）

（A） （B） （C） （D）不存在

22、若成立。则x的取值范围为：（ ）

（A ）x≥2 （ B）x≤3 （C）2≤x≤3 （D） 2＜x＜3 23、若，则的值为： （ ）

（A ）0 （B）1 （C） -1 （D） 2

2

4

24.使式子有意义的未知数x有（ ）个． A．0 B．1 C．2 D．无数

25．下列各式中、、、、、，二次根式的个数是（ ）． A．4 B．3 C．2 D．1 28．若直角三角形两条直角边的边长分别为cm和cm，•那么此直角三角形斜边长是（ ）A．3cm B．3cm C．9cm D．27cm

29．化简a的结果是（ ）． A． B． C．- D．- 30．等式成立的条件是（ ）

A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1 31．计算的结果是（ ）A． B． C． D．

32．如果（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ）． A．（y>0） B．（y>0） C．（y>0） D．以上都不对 33．把（a-1）中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）． A． B． C．- D．- 34．在下列各式中，化简正确的是（ ） A． =3 B． =±C． =a2

D． =x

35．化简的结果是（ ）A．- B．- C．- D．- 36．已知a＝，则a与b的关系是（ ）

A．a＝b B．a＝－b C．a＝ D．a＝－ 37．计算（）（＋）－（＋）2

的结果是（ ）

A．－7 B．－7－2 C．－7－4 D．－6－4 38．当x＜5时，的值是（ ）

A．x－5 B．5－x C．5＋x 39．若＝x＋3，则x的取值应为（ ）

A．x≥3 B．x≤3 C．x≥－3 D．x≤－3 40．当a＜0时，化简的结果是（ ） A．1 B．－1 C．0 D．－2a

D．－5－x 41．已知：x＝，y＝，则代数式x＋y的值为（ ）

A．4 B．2 C． D． 计算题

10、 11、

12、 13、

14、 15、

16、3（2－4＋3） 17、（

18、（7＋2）2

19、（＋＋）（－＋）

20、（x＋2＋y）÷（＋） 21、（x－y）÷（＋）

化简：（ 解答题

1、当x是多少时， +在实数范围内有意义？ 2、已知y=++5，求的值．

3、已知a、b为实数，且+2=b+4，求a、b的值．

4. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│++。

22

5．已知，且x为偶数，求（1+x）的值．

6．若x、y为实数，且y=，求的值．

7．已知：x＝，求x－x＋1的值．

8．已知：x＝，y＝＋，求的值．

9．已知a＋b－4a－2b＋5＝0，求的值．

10．当|x－2|＜1时，化简＋|1－x|．

2

2

2

11、在实数范围内分解下列因式:

（1）x-3 （2）x-4 (3) 2x-3 12、当x是多少时， +在实数范围内有意义？

13、已知y=++5，求的值．

14、已知a、b为实数，且+2=b+4，求a、b的值．

15. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│++。

16．已知，且x为偶数，求（1+x）的值．

17．若x、y为实数，且y=，求的值．

2

4

2

已知：x＝，求x－x＋1的值．

20．已知：x＝，y＝＋，求的值．

21．已知a＋b－4a－2b＋5＝0，求的值．

22．当|x－2|＜1时，化简＋|1－x|．

【综合训练】

1．化简：（1）__ __；（2）___ __ （3）___ _；

（4）___ _； （5）。

2.)化简=_________。 3.计算的结果是

Ａ.2 Ｂ．±2 Ｃ．-2 Ｄ．4 4. 化简：（1）的结果是 ；（2）的结果是 ；

2

22

（3）= ； （4）5-2=_____ _； （5）＋（5－）=_________； （6） ； （7）＝________； （8） ． 5．计算的结果是

A、6 B、 C、2 D、 6．的倒数是 。 7. 下列计算正确的是 A． B． C． 8.下列运算正确的是

A、 B、 C、 D、

9．已知等边三角形ABC的边长为，则ΔABC的周长是____________； 10. 比较大小：３ 。

11．使有意义的的取值范围是 ． 12.若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是

A.x>-5

B.x<-5

C.x≠-5

D.x≥-5

D．

13. 函数中，自变量的取值范围是 ． 14.下列二次根式中，的取值范围是≥2的是

A、2－x B、x+2 C、x－2 D、15.下列根式中属最简二次根式的是

A. B. C. D. 16．下列根式中不是最简二次根式的是

A． B． C． D． 17．下列各式中与是同类二次根式的是 A．2 B．

C． D．

1

x－2

18．下列各组二次根式中是同类二次根式的是

A． B． C． D．

19.)已知二次根式与是同类二次根式，则的α值可以是 A、5 B、6 C、7 D、8 20．若，则xy的值为

A． B． C． D． 21.若，则 ．

22．如图，在数轴上表示实数的点可能是

A．点 23.计算：

（1） （2）

（3）． （4）．

24.先将÷化简，然后自选一个合适的x值，代入化简后的式子求值。

25.若，则的取值范围是

A．

B．

C．

D．

B．点

C．点 D．点

26.如图，数轴上两点表示的数分别为1和，点关于点的对称点为点，则点所表示的数是 A．

B． C．

D．

巩固训练

21.1 二次根式

1. 使式子有意义的条件是 。 2. 当时，有意义。

3. 若有意义，则的取值范围是 。 4. 当时，是二次根式。 5. 在实数范围内分解因式：。

6. 若，则的取值范围是 。 7. 已知，则的取值范围是 。 8. 化简：的结果是 。 9. 当时，。

10. 把的根号外的因式移到根号内等于 。 11. 使等式成立的条件是 。 12. 若与互为相反数，则。

13. 在式子中，二次根式有（ ）

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 14. 下列各式一定是二次根式的是（ ）

A. B. C. D. 15. 若，则等于（ ）

A. B. C. D. 16. 若，则（ ）

A. B. C. D. 17. 若，则化简后为（ ）

A. B. C. D.

18. 能使等式成立的的取值范围是（ ）

A. B. C. D. 19. 计算：的值是（ ）

A. 0 B. C. D.或

20. 下面的推导中开始出错的步骤是（ ）

A. B. C. D. 21. 若，求的值。

22. 当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。

23. 去掉下列各根式内的分母：

24. 已知，求的值。

25. 已知为实数，且，求的值。

1. 当，时，。

21.2 二次根式的乘除

2. 若和都是最简二次根式，则。 3. 计算：。 4. 计算：。

5. 长方形的宽为，面积为，则长方形的长约为 （精确到0.01）。6. 下列各式不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D.

7. 已知，化简二次根式的正确结果为（ ） A. B. C. D.

8. 对于所有实数，下列等式总能成立的是（ ） A. B. C. D. 9.和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定

10. 对于二次根式，以下说法中不正确的是（ ）

A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数 C. 它是最简二次根式 D. 它的最小值为3 11. 计算：

12. 化简：

21.3 二次根式的加减

1. 下列根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面说法正确的是（ ）

A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式 B.与是同类二次根式 C.与不是同类二次根式

D. 同类二次根式是根指数为2的根式 3. 与不是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D.

4. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则化简的结果是（ ） A. B. C. 3 D. -3 6. 若，则的值等于（ ） A. 4 B. C. 2 D.

7. 若的整数部分为，小数部分为，则的值是（ ）

A. B. C. 1 D. 3 8. 下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D.

9. 在中，与是同类二次根式的是 。 10.若最简二次根式与是同类二次根式，则。

11. 一个三角形的三边长分别为，则它的周长是 cm。 12. 若最简二次根式与是同类二次根式，则。 13. 已知，则。 14. 已知，则。 15.。 16. 计算： ⑴. ⑵.

⑶. ⑷.

17. 计算及化简： ⑴. ⑵.

19. 已知：，求的值。

20. 已知：为实数，且，化简：。

21. 已知的值。 答案：

21.1 二次根式： 1.； 2.； 3.； 4. 任意实数；5.； 6.；7.； 8.；

9. 4； 10.； 11.； 12. -1； 13——20：CCCABCDB

21. 4； 22.，最小值为1； 23.； 24.； 25. -2

21.2 二次根式的乘除： 1.； 2. 1、2； 3. 18；6——10： DDCAB 11.； 12.； 13.

21.3 二次根式的加减： 1——8：BAACCCCC

； 5. 2.83； 4. -5 9.； 10. 1、1； 11.； 12. 1； 13. 10； 14.； 15.； 16.； 17.；

18. 5； 19.； 20. -1； 21. 2