云南玉溪一中2014届高三第一次月考理科数学

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）已知集合A{y|y20}，集合B{x|x22x0}，则AB等于

（A）[0,)

（B）(,2]

（C）[0,2)(2,)

（D）

ai是纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值为 12i112 （A）2 （B） （C） （D）

2551（3）若tan2，则的值等于

sin2 （A） （B） （C）（D）

4455（2）若复数

（4）若曲线f(x)acosx与曲线g(x)xbx1在交点(0,m)处有公切线， 则ab （A）1 （B）0 （C）1 （D）2

（5）下列命题中，真命题的个数有

①xR,x2x210； 4②x0,lnx12； lnx ③“ab”是“ac2bc2”的充要条件； ④y2x2x是奇函数.

（A）1个 （B）2个（C）3个（D）4个 （6）一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积是 （A）426（B）46

（C）422（D）42

正视图侧视图

x2y2（7）设双曲线221(a0,b0)的左、右焦点分别为

abF1、F2，A是双曲线渐近线上的一点，AF2F1F2，原点O到

直线AF1的距离为

俯视图

1OF1，则渐近线的斜率为 3（D）

（A）5或5（B）2或2（C）1或1

22或 22（8）在ABC中，AB1，AC3，D是BC边的中点，则ADBC

- 1 -

（A）4 （B）3 （C）2 （D）1

x1,x0，（9）已知函数fx若关于x的方程fx2xk0有且只有两个不同

x21,x0.的实根，则实数k的取值范围为 （A）1,2 （B）,12,（C）0,1 （D）1,

（10）(4x2x)6的展开式中的常数项是 （A）1（B）6（C）15（D）20

（11）数列{an}的首项为1，数列{bn}为等比数列且bn（A）20（B）512（C）1013（D）1024

（12）设函数f(x)满足f(x)f(x),且当x0时，f(x)()x，又函数g(x)xsinx，则函数h(x)f(x)g(x)在an1，若b10b112，则a21 an141,2上的零点个数为 2（A）3（B）4（C）5（D）6

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡上. （13）抛物线yx与直线xy20所围成的图形的面积为．

（14）从某学习小组10名同学中选出3人参加一项活动，其中甲、乙两人都被选中的概率是． （15）已知抛物线x4y的焦点为F，准线与y轴的交点为M,N为抛物线上的一点，且

满足NFMN，则的取值范围是． （16）已知三棱锥DABC的顶点都在球O的球面

上,AB4,BC3,ABBC,AD12,且AD平面ABC,则三棱锥ABOD的体积等于．

三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

ac（17）（12分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，

3cosAsinC（Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）若a6，求bc的取值范围.

（18）（12分）某地区因干旱缺水，向市民宣传节约用水，并进行广泛动员.三个月后，统计部门在一个小区随机抽取了100户家庭，分别调查了他们在动员前后三个月的月平均用水量（单位：吨），将所得数据分组，画出频率分布直方图（如图所示）

22 - 2 -

频率/组距0.1600.200频率/组距0.1200.0900.0700.0300.0150.1200.1050.0300.015O246810121416用水量（吨）O2468101214用水量（吨）动员前 动员后

（Ⅰ）已知该小区共有居民10000户，在进行节水动员前平均每月用水量是8.96104吨，请估计该小区在动员后比动员前平均每月节约用水多少吨；

（Ⅱ）为了解动员前后市民的节水情况，媒体计划在上述家庭中，从动员前月均用水量在[12,16)范围内的家庭中选出5户作为采访对象，其中在[14,16)内的抽到X户，求X的分布列和期望.

（19）（12分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点M是A1B的中点，点N是B1C的中点，连接MN．

（Ⅰ）证明：MN//平面ABC；

B（Ⅱ）若AB=1，AC=AA1=3，BC=2， 求二面角A—A1C—B的余弦值的大小．

NC

C1AM B1A1x2y2（20）（12分）已知F(c,0)是椭圆C:221(ab0)的右焦点，圆

abF:(xc)2y2a2与x轴交于E、D两点，B是椭圆C与圆F的一个交点，且BD3BE. （Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）过点B与圆F相切的直线l与C的另一交点为A，且△ABD的面积为圆C的方程.

（21）（12分）设f(x)ln(x1)ax（aR且a0）． （Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；

（Ⅱ）若a1，证明：x(0,5)时，f(x)

- 3 -

246c，求椭139x成立． x1选考题（本小题满分10分）

请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. （22）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为x4cos（为参数），以坐标原点

y3sinO为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，得曲线C2的极坐标方程为

． 6sin8cos0（0）

（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

x2t（Ⅱ）直线l：  (t为参数)过曲线C1与y轴负半轴的交点，求与直线l平行3yt2且与曲线C2相切的直线方程.

（23）选修4-5：不等式选讲 已知f(x)|x2|

（Ⅰ）解不等式：xf(x)30；

（Ⅱ）对任意x3,3，不等式f(x)mx成立，求实数m的取值范围.

- 4 -

玉溪一中高2014届高三第一次月考数学试卷参（理科）

一、选择题：

1、A2、A3、B4、C 5、C6、A

7、D8、A 9、A10、C 11、D 12、C 二．填空题： 13. 三．解答题：

（17）（12分）解：（Ⅰ）由条件结合正弦定理得，a3cosAca sinCsinA29114、15、[,1]16、12

2215从而sinA3cosA，tanA3∵0A，∴A（Ⅱ）法一：由已知：b0,c0，bca6 由余弦定理得：36b2c22bccos3．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

31(bc)23bc(bc)2(bc)2(bc)2

443（当且仅当bc时等号成立） ∴（(bc)2436，又bc6， ∴6bc12，从而bc的取值范围是(6,12].．．．．．．．．．．12分 法二：由正弦定理得：

bc643.∴b43sinB，c43sinC， sinBsinCsin32bc43(sinBsinC)43sinBsin(B)3333112sinB. 43sinBcosB12sinBcosB22622∵

6B65，∴612sinB12，

663即6bc12（当且仅当B时，等号成立） 从而bc的取值范围是(6,12]．．．12分（18）

（12分）解：（Ⅰ）根据直方图估计该小区在动员后平均每户居民的月均用水量为

(10.01530.03050.10570.20090.120110.030)26.88（吨）

于是可估计该小区在动员后比动员前平均每月可节约用水

8.961046.881042.08104（吨）………………………………………6分

（Ⅱ）由动员前的直方图计算得月平均用水量在[12,14)范围内的家庭有6户，在[14,16)范围

内的有3户，因此X的可能取值有0,1,2,3，

514C6C3C661455P(X0)5， P(X1)， 5C912621C912614 - 5 -

332C32C6C3C66010155， ， P(X2)P(X3)55C912621C9122所以X的分布列为

X 1 2 0 3 5P 1 5 10 21142142151055∴EX0123……………………………12分

211421423

(19)（12分）（Ⅰ）证明：连接AB1，

∵四边形A1ABB1是矩形，点M是A1B的中点， ∴点M是AB1的中点；∵点N是B1C的中点， ∴MN//AC，∵MN平面ABC，AC平面ABC， ∴MN//平面ABC．…………………6分

（Ⅱ）解 ：（方法一）如图，作ADA1C，交AC 1于点D，

A 由条件可知D是AC1中点，

连接BD，∵AB=1，AC=AA1=3，BC=2， ∴AB＋AC= BC，∴AB⊥AC，

∵AA1⊥AB，AA1∩AC=A，∴AB⊥平面ACC1A1

∴AB⊥A1C, ∴A1C⊥平面ABD，∴BDAC∴ADB为二面角A—A1C—B的平面角，在12

2

2

AM BNC

C1A1B1

A1M BDNC1B1

C

RtAAC1中，ADAA1AC336， BCBA12， AC6， 1A1C26在等腰CBA1中，D为AC1中点，BD10， ∴ABD中，BAD90， 2RtABD中，tanADBAB6， AD315…………12分 5AM A1∴二面角A—AC1—B的余弦值是

（方法二） 三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，

∴ABAA1，ACAA1，AB1，AC

- 6 -

z B13， By CNC1x BC2， ∴AB2AC2BC2，∴ABAC

如图，建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0), B(0,1,0), C(3,0,0), A1(0,0,3)，

如图，可取aAB(0,1,0)为平面AAC的法向量， 1设平面A1BC的法向量为b(m,l,n)，

（3，1，0）(3,0,3)， 则BCb0,AC,AC1b0,又BC1则由BCb0,A1Cb0,又

l3m0l3m,nm，不妨取m=1，则b(1,31)，， 3m3n0可

求

得

15cosa,b5y， BAEOFDx15…………二面角AA1CBD的余弦值为5…12分

（20）解：（Ⅰ）由题意，B(0,b)，E(ca,0)，D(ca,0)，

∵BD3BE，EBD90 ，得BE21EDa， 2由BE(ca)2b2a2， 得a2c， 即椭圆C的离心率e1………（4分） 2x2y21（Ⅱ）C的离心率e，令a2c，b3c，则C:221

4c3c2直线lBF，设l:y3x3c 3x2y221224531634c3c由得A(c,c)，ABc

131313y3x3c3

- 7 -

又点D(3c,0)到直线l的距离d3c03c23c，

ABD的面积S11632432461， 解得c2 c3ccABd21313132x2y2故椭圆C:1………（12分）

86

1ax2(a1)x1(21)（12分）解：（Ⅰ）f(x)的定义域为(0,)，f(x)ax(a1)，

xx（1）当0a1时，f(x)0解得0x1或x11；f(x)0解得1x aa11所以函数f(x)在(0,1)，(,)上单调递增，在(1,)上单调递减；

aa（2）当a1时，f(x)0对x0恒成立，所以函数f(x)在(0,)上单调递增；

11；f(x)0解得x1 aa11所以函数f(x)在(0,)，(1,)上单调递增，在(,1)上单调递减. ……（6分）

aa2x（Ⅱ）证明:不等式等价于lnx2xx0

x1x1因为x1，所以xx1，

22x2xx1因此lnx2x xlnx2xx1x12（3）当a1时，f(x)0解得x1或0x35x32x2x12xx12令g(x)lnx2x，则g(x)2 2x(x1)x12令h(x)33595x2x2x1得：当x1时h(x)x24x0， 2222所以h(x)在(1,)上单调递减，从而h(x)h(1)0. 即g(x)0，

g(x)在(1,)上单调递减，得:g(x)g(1)0， 当x1时，f(x)

122xxx.. ……（12分） 2x1x2y21； ……………… 2分 （22）解：（Ⅰ）曲线C1的普通方程为：

169

- 8 -

由6sin8cos0得6sin8cos0，

∴曲线C2的直角坐标方程为：xy8x6y0 ……………… 4分 (或：曲线C2的直角坐标方程为：(x4)(y3)25 )

2222x2y2（Ⅱ）曲线C1：1与y轴负半轴的交点坐标为(0,3)，

169x2t02t3又直线l的参数方程为：，∴，得， 334yt3t22x2t即直线l的参数方程为：33

yt24得直线l的普通方程为：3x4y120， …………… 6分

设与直线l平行且与曲线C2相切的直线方程为：3x4yk0 ……… 7分 ∵曲线C2是圆心为(4,3)，半径为5的圆，

得

1212k55，解得k1或k49 ……………… 9分

故所求切线方程为：3x4y10或3x4y490 …………… 10分 (23) 解：（Ⅰ）不等式为x|x2|30

当x2时，不等式为x22x30，即(x1)20，此不等式恒成立，故

2x2， …………… 2分

当x2时，不等式为x22x30，得1x3，故1x2， ∴原不等式的解集为：

{xx1} …………… 4分

（Ⅱ）不等式f(x)mx为|x2|xm

由于

- 9 -

(x2)x(x0)2x(x2)x(0x2) (x2)x(x2)2(x0)x22(0x2) …………… 7分 2x2(x2)作出函数y|x2|x的图象如右， 当3x3时，2x2x8，

所以对任意x3,3，不等式f(x)mx成立，则m8. - 10 -

…… 10分yx