第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1)已知集合A{y|y20},集合B{x|x22x0},则AB等于
(A)[0,)
(B)(,2]
(C)[0,2)(2,)
(D)
ai是纯虚数,其中i是虚数单位,则实数a的值为 12i112 (A)2 (B) (C) (D)
2551(3)若tan2,则的值等于
sin2 (A) (B) (C)(D)
4455(2)若复数
(4)若曲线f(x)acosx与曲线g(x)xbx1在交点(0,m)处有公切线, 则ab (A)1 (B)0 (C)1 (D)2
(5)下列命题中,真命题的个数有
①xR,x2x210; 4②x0,lnx12; lnx ③“ab”是“ac2bc2”的充要条件; ④y2x2x是奇函数.
(A)1个 (B)2个(C)3个(D)4个 (6)一个棱锥的三视图如图所示,则该棱锥的全面积是 (A)426(B)46
(C)422(D)42
正视图侧视图
x2y2(7)设双曲线221(a0,b0)的左、右焦点分别为
abF1、F2,A是双曲线渐近线上的一点,AF2F1F2,原点O到
直线AF1的距离为
俯视图
1OF1,则渐近线的斜率为 3(D)
(A)5或5(B)2或2(C)1或1
22或 22(8)在ABC中,AB1,AC3,D是BC边的中点,则ADBC
- 1 -
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
x1,x0,(9)已知函数fx若关于x的方程fx2xk0有且只有两个不同
x21,x0.的实根,则实数k的取值范围为 (A)1,2 (B),12,(C)0,1 (D)1,
(10)(4x2x)6的展开式中的常数项是 (A)1(B)6(C)15(D)20
(11)数列{an}的首项为1,数列{bn}为等比数列且bn(A)20(B)512(C)1013(D)1024
(12)设函数f(x)满足f(x)f(x),且当x0时,f(x)()x,又函数g(x)xsinx,则函数h(x)f(x)g(x)在an1,若b10b112,则a21 an141,2上的零点个数为 2(A)3(B)4(C)5(D)6
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 把答案填在答题卡上. (13)抛物线yx与直线xy20所围成的图形的面积为.
(14)从某学习小组10名同学中选出3人参加一项活动,其中甲、乙两人都被选中的概率是. (15)已知抛物线x4y的焦点为F,准线与y轴的交点为M,N为抛物线上的一点,且
满足NFMN,则的取值范围是. (16)已知三棱锥DABC的顶点都在球O的球面
上,AB4,BC3,ABBC,AD12,且AD平面ABC,则三棱锥ABOD的体积等于.
三.解答题:本大题共6小题,共70分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
ac(17)(12分)在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知,
3cosAsinC(Ⅰ)求A的大小;
(Ⅱ)若a6,求bc的取值范围.
(18)(12分)某地区因干旱缺水,向市民宣传节约用水,并进行广泛动员.三个月后,统计部门在一个小区随机抽取了100户家庭,分别调查了他们在动员前后三个月的月平均用水量(单位:吨),将所得数据分组,画出频率分布直方图(如图所示)
22 - 2 -
频率/组距0.1600.200频率/组距0.1200.0900.0700.0300.0150.1200.1050.0300.015O246810121416用水量(吨)O2468101214用水量(吨)动员前 动员后
(Ⅰ)已知该小区共有居民10000户,在进行节水动员前平均每月用水量是8.96104吨,请估计该小区在动员后比动员前平均每月节约用水多少吨;
(Ⅱ)为了解动员前后市民的节水情况,媒体计划在上述家庭中,从动员前月均用水量在[12,16)范围内的家庭中选出5户作为采访对象,其中在[14,16)内的抽到X户,求X的分布列和期望.
(19)(12分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,点M是A1B的中点,点N是B1C的中点,连接MN.
(Ⅰ)证明:MN//平面ABC;
B(Ⅱ)若AB=1,AC=AA1=3,BC=2, 求二面角A—A1C—B的余弦值的大小.
NC
C1AM B1A1x2y2(20)(12分)已知F(c,0)是椭圆C:221(ab0)的右焦点,圆
abF:(xc)2y2a2与x轴交于E、D两点,B是椭圆C与圆F的一个交点,且BD3BE. (Ⅰ)求椭圆C的离心率;
(Ⅱ)过点B与圆F相切的直线l与C的另一交点为A,且△ABD的面积为圆C的方程.
(21)(12分)设f(x)ln(x1)ax(aR且a0). (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)若a1,证明:x(0,5)时,f(x)
- 3 -
246c,求椭139x成立. x1选考题(本小题满分10分)
请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. (22)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xoy中,曲线C1的参数方程为x4cos(为参数),以坐标原点
y3sinO为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,得曲线C2的极坐标方程为
. 6sin8cos0(0)
(Ⅰ)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;
x2t(Ⅱ)直线l: (t为参数)过曲线C1与y轴负半轴的交点,求与直线l平行3yt2且与曲线C2相切的直线方程.
(23)选修4-5:不等式选讲 已知f(x)|x2|
(Ⅰ)解不等式:xf(x)30;
(Ⅱ)对任意x3,3,不等式f(x)mx成立,求实数m的取值范围.
- 4 -
玉溪一中高2014届高三第一次月考数学试卷参(理科)
一、选择题:
1、A2、A3、B4、C 5、C6、A
7、D8、A 9、A10、C 11、D 12、C 二.填空题: 13. 三.解答题:
(17)(12分)解:(Ⅰ)由条件结合正弦定理得,a3cosAca sinCsinA29114、15、[,1]16、12
2215从而sinA3cosA,tanA3∵0A,∴A(Ⅱ)法一:由已知:b0,c0,bca6 由余弦定理得:36b2c22bccos3.................5分
31(bc)23bc(bc)2(bc)2(bc)2
443(当且仅当bc时等号成立) ∴((bc)2436,又bc6, ∴6bc12,从而bc的取值范围是(6,12]...........12分 法二:由正弦定理得:
bc643.∴b43sinB,c43sinC, sinBsinCsin32bc43(sinBsinC)43sinBsin(B)3333112sinB. 43sinBcosB12sinBcosB22622∵
6B65,∴612sinB12,
663即6bc12(当且仅当B时,等号成立) 从而bc的取值范围是(6,12]...12分(18)
(12分)解:(Ⅰ)根据直方图估计该小区在动员后平均每户居民的月均用水量为
(10.01530.03050.10570.20090.120110.030)26.88(吨)
于是可估计该小区在动员后比动员前平均每月可节约用水
8.961046.881042.08104(吨)………………………………………6分
(Ⅱ)由动员前的直方图计算得月平均用水量在[12,14)范围内的家庭有6户,在[14,16)范围
内的有3户,因此X的可能取值有0,1,2,3,
514C6C3C661455P(X0)5, P(X1), 5C912621C912614 - 5 -
332C32C6C3C66010155, , P(X2)P(X3)55C912621C9122所以X的分布列为
X 1 2 0 3 5P 1 5 10 21142142151055∴EX0123……………………………12分
211421423
(19)(12分)(Ⅰ)证明:连接AB1,
∵四边形A1ABB1是矩形,点M是A1B的中点, ∴点M是AB1的中点;∵点N是B1C的中点, ∴MN//AC,∵MN平面ABC,AC平面ABC, ∴MN//平面ABC.…………………6分
(Ⅱ)解 :(方法一)如图,作ADA1C,交AC 1于点D,
A 由条件可知D是AC1中点,
连接BD,∵AB=1,AC=AA1=3,BC=2, ∴AB+AC= BC,∴AB⊥AC,
∵AA1⊥AB,AA1∩AC=A,∴AB⊥平面ACC1A1
∴AB⊥A1C, ∴A1C⊥平面ABD,∴BDAC∴ADB为二面角A—A1C—B的平面角,在12
2
2
AM BNC
C1A1B1
A1M BDNC1B1
C
RtAAC1中,ADAA1AC336, BCBA12, AC6, 1A1C26在等腰CBA1中,D为AC1中点,BD10, ∴ABD中,BAD90, 2RtABD中,tanADBAB6, AD315…………12分 5AM A1∴二面角A—AC1—B的余弦值是
(方法二) 三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱,
∴ABAA1,ACAA1,AB1,AC
- 6 -
z B13, By CNC1x BC2, ∴AB2AC2BC2,∴ABAC
如图,建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0), B(0,1,0), C(3,0,0), A1(0,0,3),
如图,可取aAB(0,1,0)为平面AAC的法向量, 1设平面A1BC的法向量为b(m,l,n),
(3,1,0)(3,0,3), 则BCb0,AC,AC1b0,又BC1则由BCb0,A1Cb0,又
l3m0l3m,nm,不妨取m=1,则b(1,31),, 3m3n0可
求
得
15cosa,b5y, BAEOFDx15…………二面角AA1CBD的余弦值为5…12分
(20)解:(Ⅰ)由题意,B(0,b),E(ca,0),D(ca,0),
∵BD3BE,EBD90 ,得BE21EDa, 2由BE(ca)2b2a2, 得a2c, 即椭圆C的离心率e1………(4分) 2x2y21(Ⅱ)C的离心率e,令a2c,b3c,则C:221
4c3c2直线lBF,设l:y3x3c 3x2y221224531634c3c由得A(c,c),ABc
131313y3x3c3
- 7 -
又点D(3c,0)到直线l的距离d3c03c23c,
ABD的面积S11632432461, 解得c2 c3ccABd21313132x2y2故椭圆C:1………(12分)
86
1ax2(a1)x1(21)(12分)解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,),f(x)ax(a1),
xx(1)当0a1时,f(x)0解得0x1或x11;f(x)0解得1x aa11所以函数f(x)在(0,1),(,)上单调递增,在(1,)上单调递减;
aa(2)当a1时,f(x)0对x0恒成立,所以函数f(x)在(0,)上单调递增;
11;f(x)0解得x1 aa11所以函数f(x)在(0,),(1,)上单调递增,在(,1)上单调递减. ……(6分)
aa2x(Ⅱ)证明:不等式等价于lnx2xx0
x1x1因为x1,所以xx1,
22x2xx1因此lnx2x xlnx2xx1x12(3)当a1时,f(x)0解得x1或0x35x32x2x12xx12令g(x)lnx2x,则g(x)2 2x(x1)x12令h(x)33595x2x2x1得:当x1时h(x)x24x0, 2222所以h(x)在(1,)上单调递减,从而h(x)h(1)0. 即g(x)0,
g(x)在(1,)上单调递减,得:g(x)g(1)0, 当x1时,f(x)
122xxx.. ……(12分) 2x1x2y21; ……………… 2分 (22)解:(Ⅰ)曲线C1的普通方程为:
169
- 8 -
由6sin8cos0得6sin8cos0,
∴曲线C2的直角坐标方程为:xy8x6y0 ……………… 4分 (或:曲线C2的直角坐标方程为:(x4)(y3)25 )
2222x2y2(Ⅱ)曲线C1:1与y轴负半轴的交点坐标为(0,3),
169x2t02t3又直线l的参数方程为:,∴,得, 334yt3t22x2t即直线l的参数方程为:33
yt24得直线l的普通方程为:3x4y120, …………… 6分
设与直线l平行且与曲线C2相切的直线方程为:3x4yk0 ……… 7分 ∵曲线C2是圆心为(4,3),半径为5的圆,
得
1212k55,解得k1或k49 ……………… 9分
故所求切线方程为:3x4y10或3x4y490 …………… 10分 (23) 解:(Ⅰ)不等式为x|x2|30
当x2时,不等式为x22x30,即(x1)20,此不等式恒成立,故
2x2, …………… 2分
当x2时,不等式为x22x30,得1x3,故1x2, ∴原不等式的解集为:
{xx1} …………… 4分
(Ⅱ)不等式f(x)mx为|x2|xm
由于
- 9 -
(x2)x(x0)2x(x2)x(0x2) (x2)x(x2)2(x0)x22(0x2) …………… 7分 2x2(x2)作出函数y|x2|x的图象如右, 当3x3时,2x2x8,
所以对任意x3,3,不等式f(x)mx成立,则m8. - 10 -
…… 10分yx
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