2015中考数学复习之图形折叠的相关证明与计算

类型一：【三角形折叠的相关计算】 例题：（2014·牡丹江）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A的度数是（ ）

A.30° B.40° C.50° D.60°

【方法指导】对于图形折叠的相关计算，应掌握以下内容：

（1）折叠的性质：①位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称图形；②满足折叠性质即折叠前后的两部分图形全等，对应边、角、线段、周长、面积等均相等；③折叠之后，对应点的连线被折痕垂直平分。

（2）找出隐含的折叠前后的位置关系和数量关系。

（3）一般运用三角形全等，直角三角形、相似三角形等知识及方程思想，设一条边的长为x，再用含x的代数式来表示其他的边，最后设法用勾股定理来求线段的长。 【针对演练】

1、(2015·原创)三角形纸片ABC，已知∠A=65°，∠B=78°，现将纸片一角折叠，使点C落在AB上.若∠1=20°，则∠2=（ ） A.° B.65° C.78° D.37°

2、（2014·济南模拟）如图，将Rt△ABC（∠C=90°）的∠A沿DE翻折，使点A落在CE的中点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为 3、（2014·东营模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=6，点E、F分别在AB、BC上，沿EF将∠EBF翻折，使顶点B落在AC上，则AE的最大值为

4、已知三角形纸片（△ABC）中，AB=AC=5，BC=8，将三角形按照如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为B′，折痕为EF.若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是

类型二：【特殊四边形折叠的相关证明与计算】 例题：如图，将矩形ABCD纸片沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合，若BC=8，CD=6，则CF= 【针对演练】

1、如图：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EFB的大小为（ ）

A.45° B.60° C.65° D.67.5°

2、（2014·舟山）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AD=4cm，点E、F分别是CD和AB的中点，现将这张纸片折叠，使点B落在EF上的点G处，折痕为AH，若HG延长线恰好经过点D，则CD的长为（ ）

A.2cm B.2√3cm C.4cm D.4√3cm 3、（2014·齐齐哈尔）如图，四边形ABCD是矩形，AB=6cm，BC=8cm，把矩形沿直线BD折叠，点C落在点E处，BE与AD相交于点F，连接AE，下列结论：

①△FBD是等腰三角形；②四边形ABDE是等腰梯形；③图有6对全等三角形；④四边形BCDF的周长为cm；⑤AE的长为cm．其中结论正确的个数为（ ）

2

5

53

14

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

4、（2014·德州模拟）如图，菱形ABCD中，E是AD的中点，将△CDE沿CE折叠后，点A和点D恰好重合，若AB=4，则菱形ABCD的面积为

5、（2014·赤峰）如图，E是矩形ABCD中BC的中点，将△ABE沿AE折叠到△AEF，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB=55°，则∠DAF的度数为

6、（2014·泰安模拟）如图，先将一平行四边形纸片ABCD沿AE,EF折叠，使点E，B′，C′在同一直线上，再将折叠的纸片沿EG折叠，使AE落在EF上，则∠AEG= 度．

7、如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=6，F是AD上的点，且AF=2，E在BC上，沿EF折叠，使点A落在BC边上的点A′处，G是FD上的动点，连接AA′,A′G,当△AA′G为直角三角形时，AG的最大值与最小值的差是

8、（2014·南充）如图，有一矩形纸片ABCD，AB=8，AD=17，将此矩形纸片折叠，使顶点A落在BC边的A′处，折痕所在直线同时经过边AB、AD（包括端点），设BA′=x，则x的取值范围是

9、如图，在□ABCD中，点E在AD上，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE,且点G在□ABCD内部，将BG延长交DC于点F，EF平分∠DEG. （1）求证：GF=DF

(2)若BC=DC=4DF，四边形BEFC的周长为14+6√5，求BC的长.

10、（2013·龙岩）如图①，在矩形纸片ABCD中，AB=√3+1，AD=√3.

（1）如图②，将矩形纸片向上方翻折，使点D恰好落在AB边上的D′处，压平折痕交CD于点E，则折痕AE的长为 ； （2）如图③，再将四边形BCED′沿D′E向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′，B′C′交AE于点F，则四边形B′FED′的面积为 ；

（3）如图④，将图②中的△AED′绕点E顺时针旋转α角，得△A′ED″，使得EA′恰好经过顶点B，求弧D′D″的长．（结果保留π）

11、（2014·山西）课题学习：正方形折纸中的数学

动手操作：如图1，四边形ABCD是一张正方形纸片，先将正方形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平，然后沿直线CG折叠，使B点落在EF上，对应点为B′． 数学思考：（1）求∠CB′F的度数；（2）如图2，在图1的基础上，连接AB′，试判断∠B′AE与∠GCB′的大小关系，并说明理由； 解决问题：

（3）如图3，按以下步骤进行操作：

第一步：先将正方形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平，然后继续对折，使AB与DC重合，折痕为MN，再把这个正方形展平，设EF和MN相交于点O； 第二步：沿直线CG折叠，使B点落在EF上，对应点为B′，再沿直线AH折叠，使D点落在EF上，对应点为D′；

第三步：设CG、AH分别与MN相交于点P、Q，连接B′P、PD′、D′Q、QB′，试判断四边形B′PD′Q的形状，并证明你的结论．