平远县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

平远县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A．y= B．y=﹣x+ C．y=﹣x|x| D．y=

2． 在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于（ ） A．120° B．60° C．45° D．30°

3． 已知集合A={0，1，2}，则集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}的元素个数为（ ） A．4

B．5

C．6

D．9

C．a＞0，△≥0

C．

D．a＞0，△＞0

4． 不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，那么（ ） A．a＜0，△＜0 B．a＜0，△≤0 和的最小值为（ ） A．3

B．

5． 已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点M（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之

D．

6． 在三棱柱ABCA1B1C1中，已知AA1平面ABC，AA1=2，BC23,BAC 柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（ ）

2,此三棱

322531 B．16 C. D． 332aS57． 设Sn是等差数列{an}的前项和，若5，则9（ ）

a39S5 A．

A．1 B．2 C．3 D．4

8． 执行如图所示的一个程序框图，若f（x）在[﹣1，a]上的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是（ ）

A．（0，1] B．[1，] C．[1，2] D．[，2]

9． 设集合M={x|x＞1}，P={x|x2﹣6x+9=0}，则下列关系中正确的是（ ） A．M=P B．P⊊M C．M⊊P D．M∪P=R

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精选高中模拟试卷

10．下列说法中正确的是（ ） A．三点确定一个平面 B．两条直线确定一个平面

C．两两相交的三条直线一定在同一平面内 D．过同一点的三条直线不一定在同一平面内

11．已知全集U1,2,3,4,5,6,7，A2,4,6，B1,3,5,7，则A(ðUB)（ ）

A．2,4,6 B．1,3,5 C．2,4,5 D．2,5 12．若函数yf(x1)是偶函数，则函数yf(x)的图象的对称轴方程是（ ）111.Com] A．x1 B．x1 C．x2 D．x2

二、填空题

13．设f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣2）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＞0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是 ．

14．

17．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称． 15．数据﹣2，﹣1，0，1，2的方差是 ．

16．若“x＜a”是“x2﹣2x﹣3≥0”的充分不必要条件，则a的取值范围为 ． （2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．给出如下结论：

17．已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；①对任意m∈Z，有f（2m）=0；②函数f（x）的值域为[0，+∞）；③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2，2

k

k+1

）”；其中所有正确

结论的序号是 ．

18．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 ．

三、解答题

19．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，且AD=2CD=2，AA1=2，∠A1AD=为AD的中点，且CD⊥A1O （Ⅰ）求证：A1O⊥平面ABCD；

（Ⅱ）线段BC上是否存在一点P，使得二面角D﹣A1A﹣P为由．

？若存在，求出BP的长；不存在，说明理

．若O

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20．某城市决定对城区住房进行改造，在建新住房的同时拆除部分旧住房．第一年建新住房am2，第二年到第四年，每年建设的新住房比前一年增长100%，从第五年起，每年建设的新住房都比前一年减少 am；已知旧

2

2

住房总面积为32am，每年拆除的数量相同．

2

（Ⅰ）若10年后该城市住房总面积正好比改造前的住房总面积翻一番，则每年拆除的旧住房面积是多少m？

（Ⅱ），求前n（1≤n≤10且n∈N）年新建住房总面积Sn

21．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，且2Sn=an+1+2n． （1）求a2；

（2）求数列{an}的通项公式an；

（3）令bn=（2n﹣1）（an﹣1），求数列{bn}的前n项和Tn．

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22．已知复数z=

（1）求z的共轭复数；

（2）若az+b=1﹣i，求实数a，b的值．

23．衡阳市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的志愿者中 随机抽取100名后按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第 5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.

（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，则应从第3，4，5组 各抽取多少名志愿者？

（2）在（1）的条件下，该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组 至少有一名志愿者被抽中的概率.

．

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24．已知椭圆G：

=1（a＞b＞0）的离心率为

，右焦点为（2

，0），斜率为1的直线l与椭圆

G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2）． （Ⅰ）求椭圆G的方程； （Ⅱ）求△PAB的面积．

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平远县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参）

一、选择题

1． 【答案】C 【解析】解：A.B.

时，y=

在定义域内没有单调性，∴该选项错误； ，x=1时，y=0；

∴该函数在定义域内不是减函数，∴该选项错误；

C．y=﹣x|x|的定义域为R，且﹣（﹣x）|﹣x|=x|x|=﹣（﹣x|x|）； ∴该函数为奇函数；

；

22

∴该函数在[0，+∞），（﹣∞，0）上都是减函数，且﹣0=0；

∴该函数在定义域R上为减函数，∴该选项正确； D.

∵﹣0+1＞﹣0﹣1；

∴该函数在定义域R上不是减函数，∴该选项错误． 故选：C．

【点评】考查反比例函数的单调性，奇函数的定义及判断方法，减函数的定义，以及分段函数单调性的判断，二次函数的单调性．

2． 【答案】A

【解析】解：根据余弦定理可知cosA=

222∵a=b+bc+c， 222

∴bc=﹣（b+c﹣a）

；

∴cosA=﹣

∴A=120° 故选A

3． 【答案】B

【解析】解：①x=0时，y=0，1，2，∴x﹣y=0，﹣1，﹣2； ②x=1时，y=0，1，2，∴x﹣y=1，0，﹣1；

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③x=2时，y=0，1，2，∴x﹣y=2，1，0； ∴B={0，﹣1，﹣2，1，2}，共5个元素． 故选：B．

4． 【答案】A

2

【解析】解：∵不等式ax+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，

∴a＜0，

2

且△=b﹣4ac＜0，

2

综上，不等式ax+bx+c＜0（a≠0）的解集为的条件是：a＜0且△＜0．

故选A．

5． 【答案】B 则F（，0），

【解析】解：依题设P在抛物线准线的投影为P′，抛物线的焦点为F，

．

依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|=|PF|， 则点P到点M（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和， d=|PF|+|PM|≥|MF|=

=

．

即有当M，P，F三点共线时，取得最小值，为故选：B． 想．

6． 【答案】A 【解析】

【点评】本题主要考查抛物线的定题，考查了抛物线的应用，考查了学生转化和化归，数形结合等数学思

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考点：组合体的结构特征；球的体积公式.

【方法点晴】本题主要考查了球的组合体的结构特征、球的体积的计算，其中解答中涉及到三棱柱的线面位置关系、直三棱柱的结构特征、球的性质和球的体积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和学生的空间想象能力，试题有一定的难度，属于中档试题. 7． 【答案】A 【解析】1111]

9(a1a9)S9a2试题分析：951．故选A．111] S55(a1a5)5a32考点：等差数列的前项和． 8． 【答案】B

【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求f（x）=

的值，

当a＜0时，y=log2（1﹣x）+1在[﹣1，a]上为减函数，f（﹣1）=2，f（a）=0⇒1﹣a=，a=，不符合题意；

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2

当a≥0时，f′（x）=3x﹣3＞⇒x＞1或x＜﹣1，

∴函数在[0，1]上单调递减，又f（1）=0，∴a≥1； 又函数在[1，a]上单调递增，∴f（a）=a﹣3a+2≤2⇒a≤

3

．

故实数a的取值范围是[1，故选：B．

]．

【点评】本题考查了选择结构的程序框图，考查了导数的应用及分段函数值域的求法，综合性强，体现了分类讨论思想，解题的关键是利用导数法求函数在不定区间上的最值．

9． 【答案】B

【解析】解：P={x|x=3}，M={x|x＞1}； ∴P⊊M． 故选B．

10．【答案】D

【解析】解：对A，当三点共线时，平面不确定，故A错误； 对B，当两条直线是异面直线时，不能确定一个平面；故B错误；

∵两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，∴当三条直线两两相交且共点时，对C，不一定在同一个平面，如墙角的三条棱；故C错误； 对D，由C可知D正确． 故选：D．

11．【答案】A

考点：集合交集，并集和补集．

【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目. 12．【答案】A 【解析】

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试题分析：∵函数yf(x1)向右平移个单位得出yf(x)的图象，又yf(x1)是偶函数，对称轴方程为x0，yf(x)的对称轴方程为x1.故选A． 考点：函数的对称性.

二、填空题

13．【答案】 （﹣2，0）∪（2，+∞） ．

【解析】解：设g（x）=g′（x）=

，

，则g（x）的导数为：

∵当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＞0成立， 即当x＞0时，g′（x）＞0，

∴当x＞0时，函数g（x）为增函数， 又∵g（﹣x）=

=

=

=g（x），

∴函数g（x）为定义域上的偶函数， ∴x＜0时，函数g（x）是减函数， 又∵g（﹣2）=

=0=g（2），

∴x＞0时，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（2），解得：x＞2， x＜0时，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（﹣2），解得：x＞﹣2， ∴f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣2，0）∪（2，+∞）． 故答案为：（﹣2，0）∪（2，+∞）．

14．【答案】

＞0，

x

【解析】解：∵f（x）=ag（x）（a＞0且a≠1），

∴

=ax，

又∵f′（x）g（x）＞f（x）g′（x）， ∴（∴∴a＞1， ∵

+）′==ax是增函数，

=．

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11

∴a+a﹣=，解得a=或a=2．

综上得a=2． ∴数列{∵数列{

}为{2n}．

}的前n项和大于62，

23n

∴2+2+2+…+2==2n+1﹣2＞62，

即2

n+1

6

＞=2，

∴n+1＞6，解得n＞5． ∴n的最小值为6． 故答案为：6．

【点评】本题考查等比数列的前n项和公式的应用，巧妙地把指数函数、导数、数列融合在一起，是一道好题．

15．【答案】 2 ．

【解析】解：∵数据﹣2，﹣1，0，1，2， ∴=

，

222222

∴S= [（﹣2﹣0）+（﹣1﹣0）+（0﹣0）+（1﹣0）+（2﹣0）]=2，

故答案为2；

【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数，是一道基础题；

16．【答案】 a≤﹣1 ．

2

【解析】解：由x﹣2x﹣3≥0得x≥3或x≤﹣1，

2

若“x＜a”是“x﹣2x﹣3≥0”的充分不必要条件，

则a≤﹣1， 故答案为：a≤﹣1．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据条件求出不等式的等价是解决本题的关键．

17．【答案】 ①②④ ．

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【解析】解：∵x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x． ∴f（2）=0．f（1）=f（2）=0． ∵f（2x）=2f（x），

kk

∴f（2x）=2f（x）．

①f（2m）=f（2•2m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2）=0，故正确； ②设x∈（2，4]时，则x∈（1，2]，∴f（x）=2f（）=4﹣x≥0． 若x∈（4，8]时，则x∈（2，4]，∴f（x）=2f（）=8﹣x≥0． …

mm+1

一般地当x∈（2，2），

m+1

∈（1，2]，f（x）=2﹣x≥0，

则

从而f（x）∈[0，+∞），故正确；

③由②知当x∈（2m，2m+1），f（x）=2m+1﹣x≥0，

nn+1nnn

∴f（2+1）=2﹣2﹣1=2﹣1，假设存在n使f（2+1）=9， nn

即2﹣1=9，∴2=10，

∵n∈Z，

n

∴2=10不成立，故错误；

④由②知当x∈（2k，2k+1）时，f（x）=2k+1﹣x单调递减，为减函数， ∴若（a，b）⊆（2，2

k

k+1

）”，则“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”，故正确．

故答案为：①②④．

18．【答案】 50π

【解析】解：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上， 所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：所以球的半径为：故答案为：50π．

；则这个球的表面积是：

=50π．

，

三、解答题

19．【答案】

【解析】满分（13分）． （Ⅰ）证明：∵∠A1AD=

，且AA1=2，AO=1，

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∴A1O=∴

+AD2=AA12，

=，…（2分）

∴A1O⊥AD．…（3分） 又A1O⊥CD，且CD∩AD=D， ∴A1O⊥平面ABCD．…（5分）

（Ⅱ）解：过O作Ox∥AB，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz（如图）， 则A（0，﹣1，0），A1（0，0，∵且取z=1，得

=

=

，

．…（8分）

），…（6分）

=（x，y，z），

设P（1，m，0）m∈[﹣1，1]，平面A1AP的法向量为

=（1，m+1，0），

又A1O⊥平面ABCD，A1O⊂平面A1ADD1 ∴平面A1ADD1⊥平面ABCD．

又CD⊥AD，且平面A1ADD1∩平面ABCD=AD， ∴CD⊥平面A1ADD1． 不妨设平面A1ADD1的法向量为由题意得

=

=（1，0，0）．…（10分） =

，…（12分）

解得m=1或m=﹣3（舍去）．

∴当BP的长为2时，二面角D﹣A1A﹣P的值为

．…（13分）

【点评】本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想．

20．【答案】

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【解析】解：（I）10年后新建住房总面积为a+2a+4a+8a+7a+6a+5a+4a+3a+2a=42a． 设每年拆除的旧住房为xm，则42a+（32a﹣10x）=2×32a，

2

2

解得x=a，即每年拆除的旧住房面积是am

（Ⅱ）设第n年新建住房面积为a，则an=

n

所以当1≤n≤4时，Sn=（2﹣1）a；

当5≤n≤10时，Sn=a+2a+4a+8a+7a+6a+（12﹣n）a=

故

【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．

21．【答案】

【解析】解：（1）当n=1时，2S1=2a1=a2+2， ∴a2=4…1；

（2）当n≥2时，2an=2sn﹣2sn﹣1=an+1+2n﹣an﹣2（n﹣1）=an+1﹣an+2， ∴an+1=3an﹣2，

∴an+1﹣1=3（an﹣1）…4， ∴

，

∴{an﹣1}从第二项起是公比为3的等比数列…5， ∵∴∴（3）∴∴

，

， ；

…8

①…9

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∴

①﹣②得：=

=（2﹣2n）×3n﹣4，…11 ∴

力，属于中档题． 22．【答案】

【解析】解：（1）∴=1﹣i．

…12

，

②

，

【点评】本题考查等比数列的通项公式，数列的递推公式，考查“错位相减法”求数列的前n项和，考查计算能

．

（2）a（1+i）+b=1﹣i，即a+b+ai=1﹣i， ∴

，

解得a=﹣1，b=2．

【点评】该题考查复数代数形式的乘除运算、复数的基本概念，属基础题，熟记相关概念是解题关键．

23．【答案】（1）3,2,1；（2）【解析】111]

试题分析：（1）根据分层抽样方法按比例抽取即可；（2）列举出从名志愿者中抽取名志愿者有10种情况，其中第组的名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有种，进而根据古典概型概率公式可得结果. 1

7 . 10（2）记第3组的3名志愿者为A1,B2，则从5名志愿者中抽取2名志愿者1,A2,A3，第4组的2名志愿者为B有(A1,B1)，(A1,A2)，(A1,A3)，(A1,B2)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A3,B1)，(A1,B2)，2,A3)，(A3,B2)，(B共10种，其中第4组的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有(A1,B1)，(A2,B2)，(A1,B2)，(A2,B1)，

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(A3,B1)，(A3,B2)，(B1,B2)，共7种，所以第4组至少有一名志愿都被抽中的概率为

考点：1、分层抽样的应用；2、古典概型概率公式. 24．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由已知得，c=解得a=

222

，又b=a﹣c=4，

7. 10，，

所以椭圆G的方程为．

（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m， 由

22

得4x+6mx+3m﹣12=0．①

设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），AB的中点为E（x0，y0）， 则x0=

=﹣

，

y0=x0+m=，

因为AB是等腰△PAB的底边， 所以PE⊥AB， 所以PE的斜率k=解得m=2．

2

此时方程①为4x+12x=0．

，

解得x1=﹣3，x2=0， 所以y1=﹣1，y2=2， 所以|AB|=3

，此时，点P（﹣3，2）．

，

到直线AB：y=x+2距离d=所以△PAB的面积s=|AB|d=．

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