把握数学课堂教学追问的时机 四川省宣汉县中小学教学研究室 ６３６１５０ 赵绪昌 追问，即对某一问题或某一内容，在一问之后又二 次、三次等多次提问，“穷追不舍”，它是在对问题深入探 究的基础上追根究底地继续发问．追问不是一般的对 话，对话是平铺直叙地交流，而追问是对事物的深刻挖 掘，是逼近事物本质的探究．就教学来说，追问就是围绕 教学目标，设置一系列问题，将系列问题与课堂临时生 成的问题进行整合，巧妙穿插，进行由浅入深，由此及彼 地提问，以形成严密而有节奏的课堂教学流程．追问作 为“关注过程”的一种具体的手段，有着其他提问技巧 不可企及的优越性，毕竟学生的自觉检验和主动思考难 免有肤浅疏漏之处，追问正是教师不可或缺的深层次引 导的教学手段，是激发学生积极思维的动力，是开启学 生智慧之门的钥匙，是信息输出与反馈的桥梁，是深化 学生思维的铁锹，也是提升学生思维高度的云梯，是沟 通师生思想认识和产生情感共鸣的纽带，所以我们应充 分发挥课堂追问的效能．实践证明，追问必须要适时，才 能达到教学预期的效果．随着课程改革的实施，当下的 不少数学课堂，教师独霸讲台的身影虽已渐渐淡出，但 师生对话比较频繁，更多的是一种问答式的应景话语， 教师更不能把握追问的时机，导致学生思维的深度和质 量不高，教学效果不令人满意．下面就把握数学课堂教 学追问的时机谈谈拙见，以期抛砖引玉． １ 在粗浅时追问 “问之不切，则听之不专，听之不专，则其取之不 固”．有些问题看似浅显，往往被学生忽视．课堂上，教师 适当的深层次追问，在学生思考粗浅处牵一牵、引一引， 引领学生去探索，能激发、启迪学生思维和想象，将学生 的思维一步一步、循序渐进地深入下去． 案例ｒ学习了“线段”的概念后，学生自学就能记 住“射线和直线的概念”，也能自己解题，但这些概 念是否真正与学生固有认识发生了实质性的联系？教者 对自己原来的教学设计进行了修正，实施了以下教学， 收到了很好的教学效果． 师：孙悟空手中的金箍棒可以近似地看作什么？ 生１：线段． 师（追问）：当金箍棒置于孙悟空的手掌向天空或大 地伸长出去时，金箍棒会发生怎样的变化？ 生２：向两端无限伸展． 师（追问）：能否给两个图形分别命名一下？（学生 默然） 师（追问）：谁能说出它们与线段的不同之处？（引 导学生分小组讨论） 生３：线段有两个端点，也就是有头有尾，能测量长 度，这两个图形一个有头无尾，一个无头无尾，它们的长 度都是无限的，无法测量．那我们就分别称它们有头无 尾线和无头无尾线？（学生大笑，很快得出射线和直线） 师（追问）：大家能否把三种图形归归类． 此刻，学生参与的积极性越来越高，有的根据端点 个数分成三类；有的根据可测量性分成线段，射线和直 线两类；有的根据端点的有无分为线段和射线，直线两 类． 这样，通过教师创设问题情境和追问，使学生的生 活经验和已有的知识经验为其提供了知识迁移及思考 问题的方法，从而建立起了与学生原有认识之间的实质 性的联系，揭示了线段、射线、直线的本质． 案例２ 学习了“圆”的有 关知识后，为了锻炼学生的综合 应用能力，教者在这一章的复习 课中，安排了下面的习题．如图 １，在ＡＡＢＣ中，ＡＢ是ｏ０的直 径， Ａ＝３０。，ＢＣ＝３，求ｏ０的 半径． 图１ 生（看了一遍题目，学生们 便在下面嚷开了）： 太简单了，这不就是一道简单的解直角三角形的题 么！ 师（追问）：本题中，若ＡＢ不是ｏ０的直径，那么 ｏ０的半径还会是３吗？ 不少学生轻率地做出回答：不会． 师（追问）：为什么？ 生１：因为ＡＢ不是直径了，就不能解直角三角形了． 生２：这个圆的内接三角形中就一定不会有上题中 那样的直角三角形？ 师（追问）：想一想，这个圆中会不会有上题中那样 的直角三角形出现呢？ 学生们陷入了思考．圆的直径所对的圆周角是直 角，因此有很多直角三角形供选择，但所构造的直角三 角形，需要能用到已知三角形中的条件，因此学生试着 过Ａ、Ｂ、ｃ三点画了直径，尝试着构造直角三角形来求 ｏ０的直径，终于他们发现了６３０的半径还是３． １ ３ 如图２，添直径ＢＤ，连结ＣＤ即可（也可添直径ＣＤ， 连结ＢＤ）． 生（兴奋地）：原来一样！ 师（看时机成熟，追问）：若 设 ＝ ，ＢＣ＝ａ，试问ｏ０的 师（追问学生３）：你看到的是什么？ 生３：热水瓶、杯子． 师（追问生４）：你来说说，桌子上摆着什么东西？ 生４：热水瓶、杯子、乒乓球． 师（追问）：为什么这三位同学说的都不一样，是不 是有哪位同学说错了？请同学们想一想． 生５：生２、生３说错了，生４说对了！ 直径是多少？有了第二问解决的 经验，学生得出了ｏ０的直径２ｒ ＝ 生一的结论． ８１ｎ Ｏｔ 师（此时要求学生讨论，追问）：生５的回答对吗？ 生（众）：三位同学都没有说错，只因为他们站的位 师（追问）：从这三个问题中 你发现了什么？ 图２ 置不同，即看的角度不一样，所以看到的结果不同． 师（追问）：对．老师在课前事先拍下了从四个不同 学生通过相互补充得出了“任意三角形的外接圆的 的方向所看到的图形，现在请同学们看一看、想一想，屏 直径等于它的一条边与这条边对角的正弦的比值”的结 幕上的四幅图，哪一幅是学生２看到的？哪一幅是学生３ 论． 看到的？（屏幕展示四幅图） 数学中由小题引出规律性结论的题很多，只要教师 深入研究，适时追问，激发学生的好奇心，引导学生积极 在教师的引导下，通过观察几个简单几何体的组 合，学生一起顺利归纳出“不同方向观察同一物体时，看 思维，总结规律，就能加快他们的知识内化． 到不同的图形”的结论． 怎样通过追问使学生的思维品质得到提升？上述教 师的追向和评价，不单纯是泛泛的鼓励和表扬，这当中 师（追问）：那么，是不是同一物体，从不同方向看结 有由表及里的引导，把学生的思维引往“深”处，这当中 果一定不一样呢？是否有特殊的情况？ 还有由此及彼的引导，把学生的思维引向“开阔地带”． 生（大家想到了球体．结论得到修正）：从不同方向 同时教师也很自然地把个别学生的思维成果转化为了 观察同一物体时，可能看到不同的图形． 全班学生的共同财富． 师（接着，教师在讲台上按屏幕上的位置摆放长方 ２ 在矛盾时追问 体、四棱锥、正方体、球模型各一个．）：请同学们想一想， 学生受知识经验的影响，有时思维会遇到障碍或产 下面的六幅图分别是从什么方向、观察什么物体得到 生矛盾，不能进一步思考、解释、分析，此时，教师应针对 的？（用屏幕展示图） 学生的思维矛盾冲突及时追问，积极引导，启发学生的 生（经过思考、小组交流，最终归纳．）：同一物 思维，从而开拓思路． 体，从不同方向看结果可能不一样． 案例３“视图”的教学 师：由此，我们得到这样的结论：从不同方向观察同 一一开始屏幕上投影出庐山雄姿，学生很认真地欣 物体时，可能看到不同的图形． 赏． 案例中，这位教师通过适时地追问，适时地延迟判 师：同学们学过有关庐山的诗吗？ 断，有的放矢，为学生搭设思维跳板，帮助其开拓思路， 生：有，苏东坡的《题西林壁》：“横看成岭侧成峰， 突破难点，活跃思维，并在更高层次上继续思考．教师追 远近高低各不同．不识庐山真面目，只缘身在此山中．” 寻学生的思维轨迹，不断地紧迫不舍，不断地由此及彼， 师（追问）：哪位同学能说说苏东坡是怎样观察庐山 由浅人深，思路就越追越清，问题就越追越明，知识就越 的吗？ 追越多．学生不光自己从中进发了创新的火花，体验了 生１：横看，侧看，近看，身处山中看． 成功的快乐，而且带领老师和同学进入了崭新的思维领 师（追问）：回答得非常好．今天的数学课与古诗中 域，使课堂得到了优化．看似简单、平常的一问一引却 的“看”法有关．因为这首诗同时也隐含着一些数学知 蕴含着智慧，孕育着深刻，点亮了学生的思维火花，引发 识．它体现了我们观察物体的一些方法，这也是我们这 了学生的推测、推理，学生的思维水平又向前迈进了一 节课将要学习的内容——视图．在此，我想先请同学们 步．因此一个有目的、有深度的追问，往往是课堂的点金 一起来做一个小实验．（讲台前面的小桌子上放着热水 之笔，让我们一次次感受到了学生思维的激流勇动，使 瓶、杯子、乒乓球等，先用布盖好） 课堂成为了一方智慧飞扬的天地． （教师请了三位学生，让三位学生分别站在小桌子 ３ 在错误时追问 的前面、左面、右面的位置，站好后，教师掀开盖布） 学习的过程是一个“试误”的过程．所谓“试误”， 师（追问生２）：请告诉大家，你看到桌子上摆放着 就是尝试错误，指暴露学生的思维过程，引导学生全方 什么？ 位、多角度地思维，促成思考方法不断优化，使学生学会 生２：热水瓶、乒乓球． 合理地调整思维方向，提高思维的准确性和灵活性．通 １４ 过“试误”，一方面可充分暴露学生思维过程的薄弱环 节，有利于对症下药；另一方面，错误是正确的先导，有 时错误比正确更具有教育价值．正如当代科学家、哲学 家波普尔所说：“错误中往往孕育着比正确更丰富的发 现和创造因素，发现的方法就是试误方法”．教学中，我 们不以一个“错”字堵学生的嘴巴或亲自把正确答案双 手奉上，而应正确解读学生的错误，弄清产生错误的原 因，把握合理的纠错时机和掌握正确的纠错方法，使之 师（追问）：你有其他的想法吗？ 生２：还不知道是直角三角形，就默认是直角三角形 了． １ 师（追问）：对呀！那么ｓｉｎ ＝÷，能说明什么呢？ 二 生２：只能说明 不能确定． ＝３０。．其他的角度数为多少还 案例中教者以自身特有的敏锐和机智在捕捉到学 更为有效地为教学平添一些美丽．我们可将拒绝隐藏在 巧妙的追问中，通过追问的语气、追问的角度来引导学 生对偏颇的解读，让学生自己认识并纠正失误，即“自识 庐山真面目”． 案例４“直线与圆的位置关系”的教学 作业中有一道题很多学生都做错了．原题是：已知 为ｏ０上一点，曰为６３０外一点，顺次连接点Ａ、Ｂ、０，得 １ ＡＡＢＯ，且ｓｉｎ Ｂ＝ １，能否判定直线 和ｏ０相切？试 二 说明理由． 出示了题目后，许多学生大声回答相切，这时笔者 先找一名学生说明理由． １ 生１：因为ｓｉｎ Ｂ＝÷，二 所以ＡＯＡＢ是直角三角形， 即ＯＡ上ＡＢ．所以ＡＢ是００的切线． １ 师（追Ｉ＇＝－３）：为什么ｓｉｎ Ｂ＝÷，二 △ＯＡＢ就是直角三 角形呢？ １ 生１：（理直气壮地）因为ｓｉｎ Ｂ＝ １，所以／＿Ｂ＝ 。 二 ３０。，所以 ０＝６０。，所以 ＯＡＢ＝９０。，并且可以画出 相对应的图形（如图３）． 生学习过程中的“差错”后，善于发现这“差错”背后隐 藏的教育价值．教师并非立即否定学生，明确指出其错 误，而是抓住学生的错误体验，利用学生的认知冲突，选 择合适的追问策略——将错就错，让学生通过辩论自己 去探索产生错误的原因，引领他们从正反不同角度去修 正错误，提升认识，从而恍然大悟地得出正确结论． ４ 在意外时追问 苏霍姆林斯基曾说过：“教学的技巧并不在于预见 课的所有细节，在于根据当时的具体判断，巧妙在学生 不知不觉中做出相应的变动．”高超地捕捉学生思维闪 光点（课堂中即时生成的资源）的能力是教师教学水平 的集中体现．其实这些意外事件是学生思考后灵感 的萌发、瞬间的创造，是张扬学生个性的最佳途径．因 此，面对学生的“意外”我们应耐心聆听，睿智追问，开 启学生思维，让创造的火花灿烂地绽放，让教学中的“节 外生枝”演绎出独特的价值． 案例５“探索三角形的中位线定理”的教学． 师：在图４中，Ｄ、Ｅ分别是 Ａ 生８：ＡＤ； 曰，ＡＥ＝ＩＡｃ， 师：刚才大家动手剪、画了一些图形，请把它们展 开，使之成如图６、图７所示的情形，图６、图７各是什么图 形？ ，Ａ＝ＬＡ，得到ＡＡＤＥ—ＡＡＢＣ，由此 可得ＬＡＤＥ＝ＬＡＢＣ，ＤＥ＃８Ｃ，ＤＥ＝１ＢＣ 师（追问）：很不错，还有不同的想法吗？ 生９：有，如图５，过Ｄ点作 ＤＦ ＢＣ，△ＡＤＦ—ＡＡＢＣ．电 １ 于Ｅ是Ａｃ的中点，ＡＥ＝÷ ｃ， 吴 因此点Ｅ与点Ｆ重合，这样ＤＥ １ ｆ ＢＣ。ＤＥ＝ ＢＣ． Ｂ Ｃ 师：很精彩，连老师也没有 想到用这种方法． 图５ 以上的证明由老师不失时机的追问“还有不同的想 法吗？”引出，没想到学生的精彩发言为整个课堂增色不 少，这种证明三角形中位线定理的方法，甚至连老师都 没有想到．教师这样处理，不是把“探索三角形的中位 线定理”作为一种知识来教，而是把探究的过程作为一 个方法在教，是一种非常有效的生成．教学实践表明，学 生的思维活动有一个分析和综合的过程，教师对他们的 思维活动结果过早表态往往会压抑他们的思维，导致学 生思维“终止”或浮于表面．教师要暂时不给出答案和 做出评价，让学生自由自在地进行思维活动，再根据各 种信息的反馈，及时有效地通过迫问引导学生的思维， 从而实现知识的动态生成．不言而喻，这般鲜活、灵动又 智慧的课堂与教师适时捕捉，巧妙的追问是分不开的． 追问是课堂有效的催化剂，是知识的升华，凝聚着教师 的智慧和学识．它问出了质量，问出了品位，问出了智慧 ．它掀起了课堂的高潮，演绎了课堂的精彩１ ５ 在难点时追问 教学效果的好坏决定于教师对数学教学的核心—— 数学问题的思考价值的把握程度，数学教学要突出重点、 突破难点，努力突显数学思考．追问是突破教学难点、促 进学生思考的催化剂．教师要善于抓住教学的难点，选准 突破口进行追问，在追问中引领学生透过现象进行深入的 比较和辨析，把一些非本质的属性撇开，把一些本质的属 性抽象出来加以概括，从而突破教学的难点． 案例６ 在进行“轴对称（第一课时）”的教学时， 为了突破难点——比较轴对称图形和两个图形关于某 直线对称的区别和联系，教师实施了如下的教学过程． 第一步：让学生将一张纸折叠一次，剪出自己喜欢 的图形，图形中保留折痕． 第二步：让学生将一张纸折叠一次，在折叠后的两 页纸中夹上复印纸，画出一个自己喜欢的图案． 教师分别在学生第一步和第二步操作的作品中选 取一个． １６ 图６ 图７ 生（众）（（教师引导学生讨论、分析）：图６是轴对称 图形，图７是两个图形关于某直线对称）． 师（追问）：旋转图６中的松树（如图８），并移动图７ 中的一个小人（如图９），经过旋转或移动后的图形与原 图形相比较，改变了什么？没有改变什么？你有什么发 现？ 生１：在旋转图６中松树的过程中，它的形状没有 变，位置变了． 师（追问）：它还是轴对称图形吗？请用一句话归纳 你的发现． 生１：是，轴对称图形是指图形本身具有某种特征， 与位置无关． 师（追问）：很好！谁能类似地说说图７７ 图８ 图９ 生２：在移动图７中一个小人的过程中，两个小人的 形状都没变，但一个小人的位置变了，两个小人不再关 于某直线对称． 师（追问）：还有不同意见吗？ 生３：也就是说，两个图形关于某直线对称，是两个 全等图形之间的相对位置关系，与位置有关． 师（追问）：生２、生３说得对吗？ 生（众）：对的！ 本例通过学生在操作过程中教师的追问——对 “什么变了，什么没变”进行探究，从而得到对问题本质 的认识．这种追问体现了“从学生的兴趣出发，在活动 中生成结论”的教学策略，不仅培养了学生的观察能力， 还培养了学生的归纳和语言组织能力．教师将数学知识 和结论融于数学活动之中，这样，学生学习数学知识的 过程就成了进行数学实验的过程，成了“做学问”的过 程．在这里，教师以数学活动为载体，引导学生研究知识 的形成和发展过程，促使学生形成良好的探究学习习惯 ．思路乱． 学生得到的数学知识是通过自己实验、观察、归纳得到 师（追问）：今后再解决这类问题，你觉得怎么人手 会好些呢？ 的，这样，学生掌握得更加牢固，思维更加灵活． ６ 在困惑时追问 生：我觉得先要想一想折叠的是什么图形，折叠后 会得到几对边相等、几对角相等，要想清楚，但先别急着 “困惑时”即学生由于多种想法交织在一起，没有 很好的判断力进行取舍，觉得这种思路也对，那种方法 标在图中．然后再想哪对相等量会与求证有关系，在图 也好．这时，就需要老师给予更多的有效追问，将思维 中标出，这样图会清晰、简单，便于找到解题思路． 引向深处，找出各种思路、方法的利弊，让学生自己进行 古人也云：“学贵有疑”，“学起于思，思源于疑”，只 比较，从而达到明确的学习目的． 有让学生在质疑、探索、释疑中真正明白自己所困惑的 案例７ 如图１０， 问题，才能使理解和记忆更加深刻，才能把要学习的知 把矩形白纸ＡＢＣＤ沿ＥＦ对Ｊ Ｄ 识和能力内化为个人的发展，同时学生在自我发现、解 折，若 １＝５０。，求 决问题的过程中获得“实现自我”的快乐．案例中教者 ＡＥＦ． 面对盲目做的学生，没有直接回应，而是适时追问：“由 师：由题意你可以得 题意你可以得到哪些结论？”、“四边形中边的元素有几 到哪些结论？ Ｆ Ｃ 个？角的元素有几个？”、“你现在回过头来想一想，你没 生：ＡＥ＝Ａ，Ｅ、ＡＢ＝ １Ｂ１、ＢＦ＝Ｂ１Ｆ、／＿Ａ＝ 图１０ 做出来时哪儿没想明白？”、“今后再解决这类问题，你觉 得怎么人手会好些呢？”等，巧妙地引发学生思考，充分 ／Ａ１、 Ｂ＝ Ｂ１． 暴露学生的思维历程，展现自己的思维方法，让学生自 生（写完后，他思考了一会儿．）： 己体验、反思，消除疑惑，形成解决问题的策略．如果没 这些条件跟要求的角没有关系呀？ 有教师的适时追问，取而代之的是直接回应，其效果会 （看来他在找相等关系时就已经漏掉了关键性的条 大打折扣．其实，追问不仅是了解学情、指导学法的重 件—— １和 Ａ ） 要途径，也是改进教法、实现教学相长的良策．我们何 师（追问）：本题是将什么图形沿着哪条轴进行了折 乐而不为呢？ 叠？ 哈佛大学尼普斯坦教授提出了追问时尽可能做到 生：将四边形沿着边ＥＦ进行了折叠． 十个字：①假：就是以“假如……”的方式提问；②例：即 师（追问）：四边形中边的元素有几个？角的元素有 多举例；③比：比较知识和知识间的异同；④替：让学生 几个？ 多想有什么可以替代的；⑤除：“除了……还有什么”； 生（这时他好像醒悟了）：哦！老师，我知道了还有相 ⑥可：可能会怎么样；⑦想：让学生想多种多样的情况； 等关系：ＬＢＦＥ＝ Ｂ１ＦＥ、ＬＡＥＦ＝ １ＥＦ． ⑧组：把不同的知识组合在一起会如何；⑨六：就是“六 （紧接着他在图中标出了关系．然而，瞬间的高兴 何”检讨策略；即为何，何以，何事，何处，何时，如何；⑩ 过后，他又开始紧皱眉头．） 类：多和学生类推各种可能． 生：老师您看，ＬＡＥＦ：ＬＥＦＣ，所以 Ａ，ＥＦ＝ 著名教育家苏霍姆林斯基认为：“真正的学校乃是 一ＥＦＣ吧，可是这些与问题没有联系呀？ 个积极思考的王国．”课堂中的追问既是一门学问， （此时，教师看到，他的图已经标得非常乱了．这时 更是一门艺术．它是教师教学智慧和教学艺术的体现， 教师已经意识到，过多的相等条件使他画乱了图形，从 是教师真情投入、深情流露、适时捕捉的结果．追问提 而直接扰乱了他的思路．于是教师重新画了一个图形， 高了质量，追问提升了品位，追问开启了智慧，追问掀起 让他静下心来，重新思考相等的量，特别是想一想哪一 了课堂的高潮，追问演绎了课堂的精彩！ 个量是与 １有密切关系的，先在图中标出，就在他标 出／ＢＦＥ＝ＬＢ ＦＥ的一刹那，他兴奋地告诉我：“老 参考文献 师，我会了！” ［１］ 葛素珍．课堂提问要有“度”［Ｊ］．中学数学教育（初中 接下来他顺利地完成了这道题． 版），２００５，（１２）：１９＿．２１． 师（追问）：你现在回过头来想一想，你没做出来时 ［２］ 周建国．体验更有效，发展更全面——体验性课堂教 学研究的几点体会［Ｊ］．中学数学教学参考（初中版）， 哪儿没想明白？ ２００８，（９）：１０—１３． 生：首先，相等的量我没有找全，当我把所有的量找 ［３］ 魏祖成，王黾．让数学教学“材”源茂盛［Ｊ］．中学数学 全后，图又太乱了，我心也乱了，再也找不到解题的途径 教学参考（初中版），２００８，（７）：１４—１７． 了．综合在一起，是我在考虑问题的时候，不能综合已 知和求证去考虑，也就是解题的方向不明确，致使图乱、 作者简介参见本刊２０１０年第６期（总第２４３期） １７
