高一数学函数对称性及周期性作业

高一函数图像对称性及函数周期性作业

高中数学中函数图像的对称性主要以考查轴对称为主，关于点对称主要结合奇函数一起考查，对于轴对称，我们应该首先回顾以下初中学的点的横纵坐标对称，以及水平线、竖直线、轴对称等一些基础概念；而周期性则是重点在于一些选择题、填空题里作为解题关键，考查周期的性质中“周期”性质运用为主。高中阶段对于函数对称性与周期性的学习，教师在授课过程中抓住先以图像分析为先掌握其真正含义再以数学符号的形式表现出来，最常用的轴对称及周期结合奇偶性的考查，记住对称与周期在自变量形式上的体现及求法即能学好此知识点.

1 对称性基础回顾练习（学习对称性注意数形结合）

A13，B2，2C31，3E31，2，F2，，D2，基础练习1 在直角坐标系中，已知点：，，，

（1）在直角坐标系中找出以上点关于原点的对称点；

（2）在直角坐标系中找出以上点分别关于x轴、y轴、轴线x4以及轴线y3的对称点.

基础练习2 写出下列函数的对称轴线方程：

1x2

2 （1）f(x)x3x5 （2）

f(x) （3）

f(x)x2 （4）

f(x2)1x2

1f(x)2x23x4，g(x)2x，h(x)7xxx基础练习3 已知：

（1）写出f(x)，g(x)，h(x)关于轴x2对称的函数解析式；

1

2)对称的函数解析式. （2）写出f(x)，g(x)，h(x)关于点A(2，2 周期性质基础练习

2当x1，2f(x)x2x3，求f(3)、f(x)T3练习1 已知函数为周期函数，且为函数的一个周期，时，

f(7)、f(19)、f(2009)以及f(2013)的值.

3 周期性与对称性考点解析

周期性：考查周期性题型解答抓住周期函数定义，关键是否能找到非零实数T使之f(x)f(xT)恒成立，则T为函数一个周期，kT(kZ)也为函数的一个周期.

常用抽象周期函数结论：函数yfx在其定义域内的任一实数x满足(a，b为常数且ab) （1）fxafxb恒成立，则fx是以Tab为周期的周期函数； （2）fxafx恒成立，则fx是以T2a为周期的周期函数；

1fx（3）

fxa恒成立，则fx是以T2a为周期的周期函数；

（4）函数yf(x)满足f(ax)f(ax)（a0）恒成立，若f(x)为奇函数，则其周期为T4a，若f(x)为偶

函数，则其周期为T2a．

f(x)xR的图象关于直线xa和xbab都对称，则函数f(x)是以2ba为周期的周期函

（5）函数y数

总结：周期函数模型很多，常用的为以上几种类型，可以发现，上述模型最终都可以推导出f(x)f(xT)

2

恒成立的形式，也就是说一个函数可以最终推断出等式两边变量相减为常数的形式（可以结合图像分析），则为周期函数，反之亦然.

1例1 函数f(x)对任意实数x满足

f(x3)f(x)，若f(1)3，f(5) .

解析：抽象函数周期推导总是以原恒成立等式推到而出

f(x33)11f(x3)1f(x)f(x6)解：由题意有

f(x)，故函数是周期函数，其中一个周期为6，故

f(1)f(16)f(5)3.

练习1 函数f(x)对任意实数x满足

f(x4)1f(x)，若f(1)3，f(7) . 练习2 函数f(x)对任意实数x满足

f(x2)1f(x)，当x0，3时，

f(x)x23x1，f(9) . 例2 函数f(x)对任意实数x满足f(x3)f(x)0，若f(1)3，f(5) .

解析：周期函数模型，由题目已知恒等式推导出周期等式

解：由题意f(x3)f(x)，则f(x6)f((x3)3)f(x3)f(x)，故f(5)f(56)f(1)3

练习1 函数f(x)对任意实数x满足f(x2)f(x)0，若f(1)5，f(5) .

练习2 函数f(x)对任意实数x满足f(x32)f(x)0，若f(1)0，则f(1)f(4)f(7) .

3

2f(x)xx3，则f(5) . f(x)0x2例3 已知函数是以4为周期的奇函数，且当时，

解析：此题考查周期与奇偶性的结合，

解： f(5)f(1)f(1)(113)1

例4 已知函数f(x)为定义在R上的偶函数，且对于任意的x满足f(2x)f(4x)，f(1)3，则f(7) .

解析：周期结合奇偶性，由奇偶性及题目等式推导出周期，然后求值

解：f((x4)2)f(4(x4))f(x)f(x)，故f(x)是周期为6的偶函数，f(7)f(1)3

52f(x)xx3x5，则f(7) . f(x)0x1练习1已知函数是以3为周期的奇函数，且当时，

2f(x)x3x4，则f(6) . f(x)3x1练习2已知函数是以5为周期的偶函数，且当时，

练习3函数f(x)为定义在R上的偶函数，且对于任意的x满足f(2x)f(2x)，f(1)3，则f(7) .

练习4函数f(x)为定义在R上的奇函数，且对于任意的x满足f(4x)f(4x)，f(1)3，则f(7) .

对称性：本章重点讲解轴对称，对于函数本身而言，从函数图像上分析轴对称必有对称轴，那么函数在恒等式中的体现即为等式两边的自变量相加为常数，常数的一半即为函数对称轴，对于函数之间的对称，可以通过图像分析得到.

b2a

二次函数对称轴：

f(x)ax2bxc对称轴x0 抽象函数关于对称常用结论：

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（1）

f(xa)f(bx)对称轴x0ab2（本身对称）

（2）f(xa)与f(bx)关于

x0ba2对称（两个函数间对称）

题型：

2f(x)xx3，函数g(x)与f(x)的图像关于轴x03对称，求函数g(x)例1 （两函数对称求值）已知函数

4在区间3，上的最值.

解析：设(x，g(x))为函数g(x)图像任意上一点，则此点关于轴x03对称的点为(6x，g(x))，由题意此点

3，4必在函数f(x)的图像上，即有g(x)f(6x)，由此可解出g(x)的解析式，进一步即能求得g(x)在上的最值.

224g(x)f(6x)(6x)(6x)3x13x45，由此可以得出g(x)在区间3，解： 由题意上单调递减，故

最大值为g(3)15，最小值为g(4)9.

2f(x)xax4，g(x)f(x)且g(2)5，若h(x)与f(x)的图像关于轴R练习1 已知定义域均为的函数

x01对称，求函数h(x)的值域.

例2 （函数本身对称）已知函数f(x)定义域为R，且对于任意实数x满足f(x2)f(6x)，当0x2时，

f(x)x22xx35，则f(1)f(3) .

解析：由题意可以得出函数f(x)图像关于轴x2对称，故f(3)f(1)，随即可求出f(1)f(3)的值.

6222f(3)f(1)121135122对称，故有，则有

解：由题意函数f(x)的图像关于轴

xf(1)f(3)144.

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练习1 已知函数f(x)定义域为R，且对于任意实数x满足f(x1)f(5x)，当0x2时，

f(x)x22xx35，则f(0)f(4) . 6