贵州省遵义航天中学2015届高三下学期最后一模数学(理)试卷

贵州省遵义航天中学2015届高考数学最后一模试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若（1+2ai）•i=1﹣bi，其中a，b∈R，则|a+bi|=( ) A．

B．

C．

D．

2．下列命题中是假命题的是( )

A．∀x∈R，2＞0 B．∀x∈N，（x﹣1）＞0 C．∃x∈R，lgx＜1 D．∃x∈R，tanx=2

3．如图程序运行结果为( )

x﹣1

﹡

2

A．3

B．4

2

C．5

2

*）

D．6

4．已知数列{an}满足：a1=1，an＞0，an+1﹣an=1（n∈N，那么使an＜5成立的n的最大值为( ) A．4 B．5 C．24 D．25

5．已知三棱锥的俯视图与侧视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( )

A．

B． C． D．

6．若x，y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为( )

A．2

B．﹣2 C． D．﹣

7． AD，BE分别是△ABC的中线，若• A．

8．已知底面边长为

=( )

B．

=||=1，且与的夹角为120°，则

C． D．

的正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，若点P为底面A1B1C1的中心，

则PA与平面ABC所成角的大小为( ) A．

B．

C．

D．

9．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c．若cosB= A．4

B．3

，则b=( )

C．2

D．1

10．已知0＜x1＜x2＜x3，a=

系为( ) A．c＜a＜b

，则a、b、c的大小关

B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a

11．设点P为双曲线C1：

﹣

=1（a＞0，b＞0）和圆C2：x+y=a+b的一个交点，F1，

2222

F2为双曲线C1的左、右焦点．若2∠PF1F2=∠PF2F1，则双曲线C1的离心率为( ) A．+1 B．+1 C． D．2

12．若（2x﹣1）值为( ) A．

B．﹣

C．

D．﹣

2015

=a0+a1x+a2x+…+a2015x

22015

（x∈R），则的

二、填空题：本大题共四小题，每小题5分. 13．已知数列{an}满足a1=0，a2=1，an+2=3an+1﹣2an．Sn是{an}的前n项和，则S5=__________．

14．已知函数f（x）=lnx+2，则不等式f（x﹣3）＜2的解集为__________．

15．某校举办数学科优质课比赛，共有6名教师参加．如果第一场比赛教师只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一场只能从甲、乙两人中产生，则不同的安排方案共有__________ 种．（用数字作答）

16．直线l过抛物线y=x的焦点F，交抛物线于A、B两点，且点A在x轴上方．若直线l的倾斜角θ≥

，则|FA|的取值范围是__________．

2

x

2

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．设函数f（x）=2sin之间的距离为

2

的图象上两个相邻的最低点

（1）求函数f（x）的最大值，并求出此时x的值； （2）若函数g（x）的图象是由f（x）的图象向右平移

个单位长度，再沿y轴对称后得

到的，求函数g（x）的单调减区间．

18．某校对数学、物理两科进行学业水平考前辅导，辅导后进行测试，按成绩（满分100分）划分为合格（成绩大于或等于70分）和不合格（成绩小于70分）．现随机抽取两科各100名学生的成绩统计如下：

成绩（单位：分） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100] 数学 8 12 40 32 8 物理 7 18 40 29 6 （1）试分别估计该校学生数学、物理合格的概率；

（2）数学合格一人可以赢得4小时机器人操作时间，不合格一人则减少1小时机器人操作 时间；物理合格一人可赢得5小时机器人操作时间，不合格一人则减少2小时机器人操作时间．在（1）的前提下，

（i）记X为数学一人和物理一人所赢得的机器人操作时间（单位：小时）总和，求随机变量X 的分布列和数学期望；

（ii）随机抽取5名学生，求这5名学生物理考前辅导后进行测试所赢得的机器人操作时间不少于14小时的概率．

19．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1B1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1． （1）求证：CD=C1D．

（2）求二面角A﹣A1D﹣B的平面角的余弦值．

20．设椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与

+

=，过A，Q，F2三点的圆的半径为

AF2垂直的直线交z轴负半轴于点Q，且

2．过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）． （I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线l的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，请说明理由．

21．已知函数f（x）=+lnx﹣1（a是常数，e=2.71828）．

（Ⅰ）若x=2是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）当a=1时，方程f（x）=m在x∈[，e]上有两解，求实数m的取值范围； （Ⅲ）求证：ln

（n＞1，且n∈N）．

*

2

二.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22．如图，点C是圆O的直径BE的延长线上一点，AC是圆O的切线，A是切点，∠ACB的平分线CD与AB相交于点D，与AE相交于点F． （1）求∠ADF的值； （2）若AB=AC，求

的值．

23．选修4﹣4：坐标系与参数方程

平面直角坐标系xOy中，点A（2，0）在曲线C1：

，（a＞0，φ为参数）上．以

原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为：ρ=acosθ

（Ⅰ）求曲线C2的普通方程

（Ⅱ）已知点M，N的极坐标分别为（ρ1，θ），（上，求

+

的值．

），若点M，N都在曲线C1

24．选修4﹣5：不等式选讲 已知函数f（x）=|x﹣3|+|x+1|．

（Ⅰ）求使不等式f（x）＜6成立的x的范围； （Ⅱ）∃x0∈R，f（x0）＜a，求实数a的取值范围．

贵州省遵义航天中学2015届高考数学最后一模试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若（1+2ai）•i=1﹣bi，其中a，b∈R，则|a+bi|=( ) A．

B．

C．

D．

考点：复数求模．

专题：数系的扩充和复数．

分析：利用复数的运算法则、复数相等、模的计算公式即可得出． 解答： 解：∵（1+2ai）•i=1﹣bi，其中a，b∈R， ∴i﹣2a=1﹣bi， ∴﹣2a=1，﹣b=1，

解得a=﹣，b=﹣1， 则|a+bi|=|﹣﹣i|=

=

．

故选：C．

点评：本题考查了复数的运算法则、复数相等、模的计算公式，属于基础题．

2．下列命题中是假命题的是( )

A．∀x∈R，2＞0 B．∀x∈N，（x﹣1）＞0 C．∃x∈R，lgx＜1 D．∃x∈R，tanx=2

考点：四种命题的真假关系． 专题：简易逻辑．

分析：本题考查全称命题和特称命题真假的判断，逐一判断即可． 解答： 解：B中，x=1时不成立，故选B． 答案：B．

点评：本题考查逻辑语言与指数函数、二次函数、对数函数、正切函数的值域，属容易题．

3．如图程序运行结果为( )

x﹣1

﹡

2

A．3 C．5 D．6

考点：循环结构．

专题：算法和程序框图．

分析：根据题意，模拟程序的运行过程，得该程序运行的结果是什么，输出的内容是什么． 解答： 解：模拟程序的运行过程，得该程序运行的结果是计算 s=10+9+8+…+n；

当s=10+9+8+7+6=40≥40时，输出的是n=5． 故选：C．

点评：本题考查了算法程序的应用问题，解题时应模拟程序运行的运行过程，以便得出程序运行的结果是什么，是基础题．

B．4

4．已知数列{an}满足：a1=1，an＞0，an+1﹣an=1（n∈N，那么使an＜5成立的n的最大值为( ) A．4 B．5 C．24 D．25

22*）

考点：数列的函数特性． 专题：计算题．

2

分析：由题意知an为首项为1，公差为1的等差数列，由此可知an=，再结合题设条件解不等式即可得出答案．

22

解答： 解：由题意an+1﹣an=1，

2

∴an为首项为1，公差为1的等差数列，

2

∴an=1+（n﹣1）×1=n，又an＞0，则an=， 由an＜5得＜5， ∴n＜25．

那么使an＜5成立的n的最大值为24． 故选C．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意整体数学思想的应用．

5．已知三棱锥的俯视图与侧视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( )

A． B． C． D．

考点：简单空间图形的三视图． 专题：计算题．

分析：利用俯视图与侧视图，我们可以画出其直观图，根据直观图，我们即可得到该三棱锥的正视图的形状．

解答： 解：由俯视图可知三棱锥的底面是个边长为2的正三角形，

由侧视图可知三棱锥的一条侧棱垂直于底面，且其长度为2， 故其主视图为高为2的三角形，且中间有一虚线． 故选：C． 点评：本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，其中根据已知中三棱锥的侧视图与俯视图，画出其直观图，是解答本题的关键．

6．若x，y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为( )

A．2 B．﹣2 C． D．﹣

考点：简单线性规划．

专题：数形结合；不等式的解法及应用．

分析：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，当k≥0时，可行域内没有使目标函数z=y﹣x取得最小值的最优解，k＜0时，若直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的左边，z=y﹣x的最小值为﹣2，不合题意，由此结合约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案． 解答： 解：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，可知直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的右边，

故由约束条件作出可行域如图，

由kx﹣y+2=0，得x=∴B（﹣

）．

，

由z=y﹣x得y=x+z．

由图可知，当直线y=x+z过B（﹣此时

，解得：k=﹣．

）时直线在y轴上的截距最小，即z最小．

故选：D．

点评：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

7．AD，BE分别是△ABC的中线，若•

=( )

=|

|=1，且

与

的夹角为120°，则

A． B． C． D．

考点：平面向量数量积的运算． 专题：平面向量及应用．

分析：由=||=1，且与的夹角为120°，利用数量积定义可得：

，

．解得

，

．由AD，

BE分别是△ABC的中线，利用平行四边形法则可得

=

量积定义即可．

解答： 解：如图所示， ∵∴

=|=

|=1，且

与

的夹角为120°，

=

=﹣．

=

，再利用数

∵AD，BE分别是△ABC的中线， ∴解得∴===． 故选：C．

==

，

，

=

．

=

．

点评：本题考查了数量积定义及其平行四边形法则、三角形法则等基础知识与基本技能方法，属于中档题．

8．已知底面边长为

的正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，若点P为底面A1B1C1的中心，

则PA与平面ABC所成角的大小为( )

A． B． C． D．

考点：直线与平面所成的角．

专题：空间位置关系与距离；空间角．

分析：利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，即为∠APA1为PA与平面ABC所成角．利用三棱锥的体积计算公式

可得AA1，再利用正三角形的性质可得A1P，在Rt△AA1P中，利用tan∠APA1=得出

解答： 解：如图所示，

∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角， ∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角． ∵S△A1B1C1=∴

×（

）=

2

即可

，．

×AA1=，解得AA1=

．

=AA1×S△A1B1C1=

又P为底面正三角形A1B1C1的中心， ∴A1P=×A1D=×

=1，

在Rt△AA1P中，tan∠APA1=

=，

∠APA1=故选：B

．

点评：熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键，把空间角转化为平面角问题求解．

9．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c．若cosB=

，则b=( )

A．4 B．3 C．2 D．1

考点：余弦定理；正弦定理． 专题：解三角形．

分析：已知第二个等式利用正弦定理化简得到c=2a，根据cosB的值求出sinB的值，利用三角形面积公式列出关系式，把sinB及c=2a代入求出a的值，进而求出c的值，利用余弦定理求出b的值即可．

解答： 解：把sinC=2sinA利用正弦定理化简得：c=2a，

∵cosB=，B为三角形的内角， ∴sinB=

∵S△ABC=acsinB=

2

2

=， ，c=2a，

∴2a=2，即a=1， 解得：a=1，c=2a=2，

222

由余弦定理得：b=a+c﹣2accosB=1+4﹣1=4， 解得：b=2． 故选：C．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

10．已知0＜x1＜x2＜x3，a=

系为( ) A．c＜a＜b B．b＜a＜c

考点：对数函数的图像与性质．

，则a、b、c的大小关

C．a＜b＜c D．c＜b＜a

分析：令f（x）=log2（2x+2），构造新函数g（x）=单调性，最后利用单调性比较大小即可． 解答： 解：令f（x）=log2（2x+2）， 令g（x）=

，数形结合判断函数g（x）的

，其几何意义为f（x）图象上的点（x，f（x））与原点（0，0）连线的

斜率

由图可知函数g（x）为（﹣1，+∞）上的减函数 ∵0＜x1＜x2＜x3，

∴g（x1）＞g（x2）＞g（x3）， 即a＞b＞c， 故选：D 点评：本题考查了对数函数的图象，数形结合判断函数单调性的方法，利用单调性比较大小，转化化归的思想方法

11．设点P为双曲线C1：

﹣

=1（a＞0，b＞0）和圆C2：x+y=a+b的一个交点，F1，

2

2

2

2

F2为双曲线C1的左、右焦点．若2∠PF1F2=∠PF2F1，则双曲线C1的离心率为( ) A．+1 B．+1 C． D．2

考点：双曲线的简单性质．

专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：根据圆与双曲线的方程的交点，确定三角形的各角的大小，进一步确定各边长，从而确定双曲线的离心率．

解答： 解：已知点P为双曲线C1：且∠PF2F1=2∠PF1F2=60° 所以F1F2=2c，PF2=c，PF1=所以2a=c﹣c 所以e=

=

+1．

﹣=1（a＞0，b＞0）与圆x+y=a+b的交点，

2222

c，

故选：A．

点评：本题考查的知识点：双曲线定义的应用，双曲线的离心率，考查学生的计算能力，比较基础．

12．若（2x﹣1）值为( ) A．

B．﹣

C．

D．﹣

2015

=a0+a1x+a2x+…+a2015x

22015

（x∈R），则的

考点：二项式定理的应用． 专题：计算题；二项式定理．

分析：赋值，求出a0=﹣1，a1+得出结论．

a2+…+a2015=1，由二项式定理可得a1=4030，即可

解答： 解：由题意，令x=，则0=a0+a1+令x=0，可得a0=﹣1， ∴a1+

a2+…+

a2015=1，

a2+…+a2015，

由二项式定理可得a1=4030， ∴

=+

（1﹣2015）=

．

故选：C．

点评：本题考查二项式定理的应用，考查赋值法的运用，考查学生的计算能力，比较基础．

二、填空题：本大题共四小题，每小题5分.

13．已知数列{an}满足a1=0，a2=1，an+2=3an+1﹣2an．Sn是{an}的前n项和，则S5=26．

考点：数列的求和．

专题：等差数列与等比数列．

分析：an+2=3an+1﹣2an，变形为an+2﹣an+1=2（an+1﹣an），a2﹣a1=1．利用等比数列的通项公

﹣n1

式可得an+1﹣an=2．即可得出．

解答： 解：∵an+2=3an+1﹣2an，∴an+2﹣an+1=2（an+1﹣an），a2﹣a1=1﹣0=1． ∴数列{an+1﹣an}是等比数列，首项为1，公比为2．

n﹣1

∴an+1﹣an=2．

∴a3=a2+2=3，a4=

=7，=15．

∴S5=0+1+3+7+15=26． 故答案为：26．

点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

14．已知函数f（x）=lnx+2，则不等式f（x﹣3）＜2的解集为（﹣2，2）．

考点：指、对数不等式的解法． 专题：函数的性质及应用．

x2

）∪（，

分析：根据基本初等函数的单调性及“增+增=增”的性质，可得f（x）=lnx+2在（0，+∞）

2

上为增函数，结合f（1）=2，可得不等式f（x）＜2的解集，进而得到不等式f（x﹣3）＜2的解集．

x

解答： 解：∵y=lnx和y=2在（0，+∞）上均为增函数，

x

故f（x）=lnx+2在（0，+∞）上为增函数， 由f（1）=2，

故不等式f（x）＜2的解集为（0，1）， 由x﹣3∈（0，1）得：x∈（﹣2，）∪（，2） 故答案为：（﹣2，）∪（，2）

点评：本题考查的知识点是指数，对数不等式的解法，熟练掌握指数，对数函数的单调性，是解答此类问题的关键．

15．某校举办数学科优质课比赛，共有6名教师参加．如果第一场比赛教师只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一场只能从甲、乙两人中产生，则不同的安排方案共有96 种．（用数字作答）

考点：计数原理的应用． 专题：排列组合．

x

2

分析：分两类，第一类若第一场比赛从甲或乙开始，最后一场从甲或乙产生，第二类若第一场比赛从丙开始，最后一场从甲或乙产生，根据分类计数原理即可得到答案．

24

解答： 解：若第一场比赛从甲或乙开始，则最后一场从甲或乙产生，故A2A4=48种，

14

若第一场比赛从丙开始，最后一场从甲或乙产生，故A2A4=48种， 根据分类计数原理，不同的安排方案共有48+48=96种， 故答案为：96．

点评：本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于基础题．

16．直线l过抛物线y=x的焦点F，交抛物线于A、B两点，且点A在x轴上方．若直线l的倾斜角θ≥

，则|FA|的取值范围是（，1+

]．

2

考点：抛物线的简单性质．

专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：设A（x1，y1），依题意可求得抛物线y=x的焦点F（，0）与准线方程x=﹣，利用抛物线的定义，将|AF|转化为点A到其准线的距离，通过解方程组即可求得|FA|的最大值，从而可得|AF|的取值范围．

解答： 解：设A（x1，y1），依题意，抛物线y=x的焦点F（，0），准线方程为x=﹣， 由抛物线的定义知，|FA|=x1+

当θ=180°时，x1=0，|FA|=，此时直线和抛物线只有一个交点，与题意不符； 当θ=45°时，|FA|最大，此时直线FA的方程为：y=x﹣，

2

2

由得x﹣x+

2

=0，

解得x=∴|FA|max=

或x=﹣+=1+

（舍）． ．

]．

∴|AF|的取值范围是（，1+故答案为：（，1+

]．

点评：本题考查抛物线的简单性质，考查方程思想与等价转化思想，考查运算能力，属于中档题．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．设函数f（x）=2sin之间的距离为

2

的图象上两个相邻的最低点

（1）求函数f（x）的最大值，并求出此时x的值； （2）若函数g（x）的图象是由f（x）的图象向右平移

个单位长度，再沿y轴对称后得

到的，求函数g（x）的单调减区间．

考点：二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦；正弦函数的定义域和值域；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题：三角函数的图像与性质． 分析：（1）函数解析式两项利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后根据函数图象上两个相邻的最低点之间的距离求出周期，利用周期公式求出ω的值，即可求出f（x）的最大值，以及此时x的值；

（2）利用平移规律，以及对称性质求出g（x）解析式，找出单调减区间即可．

解答： 解：（1）（fx）=1﹣cos（2ωx+）+1+cos2ωx=2+sin2ωx+cos2ωx=2+

，

sin（2ωx+），

∵函数图象上两个相邻的最低点之间的距离为∴2ω=3，即ω=， ∴f（x）=2+则当3x+

sin（3x+

），

=2kπ﹣，k∈Z，即x=kπ﹣，k∈Z时，f（x）的最大值为2+）+

）=2+

sin（3x﹣π，k∈Z，

），

；

（2）根据题意得：g（x）=2+令2kπ+

≤3x﹣

≤2kπ+

sin（3（x﹣

，k∈Z，得到kπ+

π，kπ+

π≤x≤kπ+

则g（x）的单调减区间为[kπ+π]，k∈Z．

点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及三角函数的平移规律及对称规律，熟练掌握公式是解本题的关键．

18．某校对数学、物理两科进行学业水平考前辅导，辅导后进行测试，按成绩（满分100分）划分为合格（成绩大于或等于70分）和不合格（成绩小于70分）．现随机抽取两科各100名学生的成绩统计如下：

成绩（单位：分） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100] 数学 8 12 40 32 8 物理 7 18 40 29 6 （1）试分别估计该校学生数学、物理合格的概率；

（2）数学合格一人可以赢得4小时机器人操作时间，不合格一人则减少1小时机器人操作

时间；物理合格一人可赢得5小时机器人操作时间，不合格一人则减少2小时机器人操作时间．在（1）的前提下，

（i）记X为数学一人和物理一人所赢得的机器人操作时间（单位：小时）总和，求随机变量X 的分布列和数学期望；

（ii）随机抽取5名学生，求这5名学生物理考前辅导后进行测试所赢得的机器人操作时间不少于14小时的概率．

考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差． 专题：概率与统计． 分析：（Ⅰ）结合所给的表格，把数学合格的人数除以100，可得数学合格的概率，把物理合格的人数除以100，可得物理合格的概率． （Ⅱ）（ⅰ）随机变量X的所有取值为9，4，2，﹣3，求出相应的概率，可得随机变量X的分布列和数学期望； （ii）根据抽查5位同学物理成绩所赢得的机器人操作时间不少于14个，求出抽查5位同学物理分数，合格人数，即可求抽查5位同学物理成绩所赢得的机器人操作时间不少于14个的概率．

解答： 解：（Ⅰ）结合所给的表格可得数学合格的概率约为率约为

．

，物理合格的概

（Ⅱ）（ⅰ）随机变量X的所有取值为9，4，2，﹣3．则P（X=9）==

；P（X=2）=

；P（X=﹣3）=

；P（X=4）

所以，随机变量X的分布列为： X 9 4 2 ﹣3 P EX=

．

（ⅱ）抽查5位同学物理分数，合格n人，则不合格有5﹣n人， 依题意，得5n﹣2（5﹣n）≥14，解得n≥

所以n=4或n=5．

设“抽查5位同学物理考前辅导后进行的测试所赢得的机器人操作时间不少于14小时为事件A，则P（A）=

点评：本题主要考查求离散型随机变量的分布列，古典概率及其计算公式，属于中档题．

19．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1B1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1． （1）求证：CD=C1D．

（2）求二面角A﹣A1D﹣B的平面角的余弦值．

考点：二面角的平面角及求法；棱柱的结构特征． 专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．

分析：（I）连接B1A交BA1于O，由已知条件推导出△ACD≌△PC1D，由此能够证明CD=C1D； （II）以A1为坐标原点，以A1B1，A1C1，A1A所在直线建立空间直角坐标系，利用平面法向量与二面角的大小之间的关系求出二面角的大小． 解答： （Ⅰ）证明：连接B1A交BA1于O，

∵PB1∥平面BDA1，B1P⊂面AB1P，面AB1P∩面BA1D=OD，… ∴B1P∥OD，又O为B1A的中点， ∴D为AP中点，∴C1为A1P中点，… ∴△ACD≌△PC1D，∴CD=C1D．…

（Ⅱ）解：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=，AB=AC=1， ∴AB⊥AC，…

以A1为坐标原点，以A1B1，A1C1，A1A所在直线建立空间直角坐标系如图所示． 由（Ⅰ）知C1为A1P中点，

∴A1（0，0，0），B（1，0，1），D（0，1，），P（0，2，0）， ∴

=（1，0，1），

=（0，1，），

设平面BA1D的一个法向量为=（a，b，c），则∴=（1，，﹣1）

又=（1，0，0）为平面AA1D的一个法向量， ∴cos＜，＞=．

故二面角A﹣A1D﹣B的平面角的余弦值为．…

，

点评：此题重点考查了利用空间向量的方法求点到平面的距离和二面角的大小，还考查了利用方程的思想求解坐标中所设的变量的大小．

20．设椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与

+

=，过A，Q，F2三点的圆的半径为

AF2垂直的直线交z轴负半轴于点Q，且

2．过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）． （I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线l的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，请说明理由．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：（I）因为，知a，c的一个方程，再利用△AQF的外接圆与直线l相

切得出另一个方程，解这两个方程组成的方程组即可求得所求椭圆方程；

（II）设l的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系利用向量的坐标表示，利用基本不等式，即可求得m的取值范围． 解答： 解：（I）因为

，所以F1为F2Q中点．

设Q的坐标为（﹣3c，0），

2222

因为AQ⊥AF2，所以b=3c×c=3c，a=4c×c=4c， 且过A，Q，F2三点的圆的圆心为F1（﹣c，0），半径为2c 因为该圆与直线l相切，所以

，解得c=1，

所以a=2，b=，所以所求椭圆方程为；

2

2

（Ⅱ）设l的方程为y=kx+2（k＞0），与椭圆方程联立，消去y可得（3+4k）x+16kx+4=0． 设G（x1，y1），H（x2，y2），则x1+x2=﹣∴

=（x1﹣m，y1）+（x2﹣m，y2）=（x1+x2﹣2m，y1+y2）．

=（x1+x2﹣2m，k（x1+x2）+4） 又

=（x2﹣x1，y2﹣y1）=（x2﹣x1，k（x2﹣x1））．

）•

=0，

由于菱形对角线互相垂直，则（

所以（x2﹣x1）[（x1+x2）﹣2m]+k（x2﹣x1）[k（x1+x2）+4]=0．

2

故（x2﹣x1）[（x1+x2）﹣2m+k（x1+x2）+4k]=0． 因为k＞0，所以x2﹣x1≠0．

22

所以（x1+x2）﹣2m+k（x1+x2）+4k=0，即（1+k）（x1+x2）+4k﹣2m=0． 所以（1+k）（﹣解得m=﹣

，即

2

）+4k﹣2m=0．

因为k＞，可以使，所以

）．

故存在满足题意的点P且m的取值范围是[

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查基本不等式的运用，解题时应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，属于中档题．

21．已知函数f（x）=+lnx﹣1（a是常数，e=2.71828）．

（Ⅰ）若x=2是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）当a=1时，方程f（x）=m在x∈[，e]上有两解，求实数m的取值范围； （Ⅲ）求证：ln

（n＞1，且n∈N）．

*

2

考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：导数的概念及应用． 分析：（Ⅰ）对f（x）进行求导，因为x=2是函数f（x）的极值点，可得f′（2）=0，求得a的值，求出切点根据导数与斜率的关系求出切线方程；

（Ⅱ）把a=1代入函数f（x）=+lnx﹣1，对其进行求导，方程f（x）=m在x∈[，e]上有两解，将问题转化为求f（x）的值域，利用导数研究函数f（x）的最值问题； （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，a=1时，由（2）知f（x）=令x=

+lnx在[1，+∞）上为增函数，可以

2

，得到一个不等式，利用此不等式进行放缩证明；

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=，x=2是函数f（x）的极值点，

∴f′（2）=0，可得=0，得a=2，

∴f′（1）=1﹣a=﹣1， 点（1，f（1））即（1，1）， ∴y﹣2=（﹣1）（x﹣1），即x+y﹣1=0 ∴切线方程为x+y﹣1=0；

（Ⅱ）当a=1时，f（x）=+lnx﹣1，f′（x）=

，其中x∈[，e]，

2

当x∈[，1）时，f′（x）＜0； x∈（1，e]时，f′（x）＞0，

∴x=1是f（x）在[，e]上唯一的极小值点， ∴[f（x）min]=f（1）=0； f（）=e﹣2，f（e）=f（）﹣f（e）=e﹣2﹣

2

2

2

2

+lne﹣1=﹣1＜0，

2

+1，

综上，所以实数m的取值范围为{m|0≤m≤e﹣2}； （Ⅲ）若a=1时，由（2）知f（x）=当n＞1时，令x=

+lnx在[1，+∞）上为增函数，

，则x＞1，故f（x）＞f（1）=0，

即f（）=+ln=﹣+ln＞0，

∴ln＞（n＞1，且n∈N）；

*

点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调区间及函数的最值问题，此题考查的知识点比

较全面，第三问难度比较大，需要用到前两问的结论，此题是一道中档题；

二.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22．如图，点C是圆O的直径BE的延长线上一点，AC是圆O的切线，A是切点，∠ACB的平分线CD与AB相交于点D，与AE相交于点F． （1）求∠ADF的值； （2）若AB=AC，求

的值．

考点：与圆有关的比例线段． 专题：综合题；推理和证明． 分析：（1）利用切线的性质和角平分线的性质可得∠ADF=∠AFD．再利用BE是⊙O直径，可得∠BAE=90°．即可得到∠ADF=45°．

（2）利用等边对等角∠B=∠ACB=∠EAC．由（I）得∠BAE=90°，∠B+∠AEB=∠B+∠ACE+∠EAC=3∠B=90°，即可得到∠B=30°．进而得到△ACE∽△BCA，

于是=tan30°．

解答： 解：（1）∵AC是⊙O的切线，∴∠B=∠EAC． 又∵DC是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠DCB， ∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD，∴∠ADF=∠AFD． ∵BE是⊙O直径，∴∠BAE=90°． ∴∠ADF=45°．

（2）∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=∠EAC．

由（1）得∠BAE=90°，∴∠B+∠AEB=∠B+∠ACE+∠EAC=3∠B=90°， ∴∠B=30°．

∵∠B=∠EAC，∠ACB=∠ACB， ∴△ACE∽△BCA， ∴

=tan30°=

．

点评：熟练掌握圆的性质、切线的性质和角平分线的性质、弦切角定理、相似三角形的性质等是解题的关键．

23．选修4﹣4：坐标系与参数方程

平面直角坐标系xOy中，点A（2，0）在曲线C1：

，（a＞0，φ为参数）上．以

原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为：ρ=acosθ

（Ⅰ）求曲线C2的普通方程

（Ⅱ）已知点M，N的极坐标分别为（ρ1，θ），（上，求

+

的值．

），若点M，N都在曲线C1

考点：圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程． 专题：计算题．

分析：（Ⅰ）由点A在曲线C1：

，（a＞0，φ为参数）上求出a的值，代入ρ=acosθ

后化为普通方程可得曲线C2的普通方程；

（Ⅱ）求出曲线C1的直角坐标方程，化点M，N的极坐标为直角坐标后代入曲线C1的直角坐标方程，整理后即可得到

+

的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵点A（2，0）在曲线C1上，∴∵a＞0，∴a=2，∴ρ=2cosθ． 由

，得（x﹣1）+y=1．

2

2

2

2

，

所以曲线C2的普通方程为（x﹣1）+y=1； （Ⅱ）由（Ⅰ）得曲线C1：

的普通方程为

．

由题意得点M，N的直角坐标分别为（ρ1cosθ，ρ1sinθ），

．

∵点M，N在曲线C1 上， ∴

，

．

∴+==．

点评：本题考查了圆的参数方程，简单曲线的极坐标方程，考查了数学转化与化归的思想方法，训练了三角函数的诱导公式．本题出现最多的问题是计算上的问题，是中档题．

24．选修4﹣5：不等式选讲 已知函数f（x）=|x﹣3|+|x+1|．

（Ⅰ）求使不等式f（x）＜6成立的x的范围；

（Ⅱ）∃x0∈R，f（x0）＜a，求实数a的取值范围．

考点：绝对值不等式的解法；特称命题． 专题：不等式的解法及应用． 分析：（I）由绝对值的几何意义可知x的取值范围；

（Ⅱ）∃x0∈R，f（x0）＜a，即a＞f（x）min．由绝对值的几何意义知：|x﹣3|+|x+1|可看成数轴上到3和﹣1对应点的距离和．可得f（x）min=4，即可得出． 解答： 解：（I）∵f（﹣2）=6=f（4），∴由绝对值的几何意义可知x的取值范围为（﹣2，4）．

（Ⅱ）∃x0∈R，f（x0）＜a，即a＞f（x）min．

由绝对值的几何意义知：|x﹣3|+|x+1|可看成数轴上到3和﹣1对应点的距离和． ∴f（x）min=4，即∴a＞4． 所求a的取值范围为（4，+∞）．

点评：熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键．