数学：指数函数及其性质

２．１．２指数函数及其性质（２个课时）

一. 教学目标：

１．知识与技能

１通过实际问题了解指数函数的实际背景；

２理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质. ３体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想； ２．情感、态度、价值观

１让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理. ２培养学生观察问题，分析问题的能力. ３．过程与方法

展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质. 二．重、难点

重点：指数函数的概念和性质及其应用. 难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用. 三、学法与教具：

１学法：观察法、讲授法及讨论法. ２教具：多媒体.

第一课时

一．教学设想：

１. 情境设置

１在本章的开头，问题（１）中时间x与GDP值中的y1.073(xx20)与问题(2)

x15中时间t和C-14含量P的对应关系P=[()30]t，请问这两个函数有什么共同特征.

2 ２这两个函数有什么共同特征

1t1573015730把P=[()]变成P[()]t，从而得出这两个关系式中的底数是一个正数，自变量

221为指数，即都可以用ya（a＞0且a≠１来表示）.

二．讲授新课 指数函数的定义

一般地，函数ya（a＞0且a≠１）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.

提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （１）y2x2xx （２）y(2) （３）y2

2xx2（４）y （５）yx （6）y4x

xx（7）yx （8）y(a1) （a＞１，且a2）

x小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a＞0，x是任意一个实数时，a是一个

x确定的实数，所以函数的定义域为实数集R.

x当x0时,a等于0若a0, x当x0时,a无意义若a＜0，如y(2),先时,对于x=,xxx161等等,在实数范围内的函数值不存在. 8x若a=１, y11, 是一个常量，没有研究的意义，只有满足ya(a0,且a1)的形式才能称为指数函数，a为常数,象y=2-3,y=2,yx,y3符合ya(a0且a1)的形式,所以不是指数函数.

xx1xxx5,y3x1等等,不

我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究. 下面我们通过

先来研究a＞１的情况

用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数y2的图象

xx 3.00 2.50 2.00 1.50 1.00 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 1 8y2x 1 4 y 1 2１ y=２x ２ ４

- - - - - - - - - - - - - - 0 x 再研究，0＜a＜１的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数y()的图象.

x12

x 1y()x 22.50 2.00 1.50 1.00 0.00 1.00 1.50 2.00 2.50 1 4 1 2１ ２ ４ x1 y y 2

-

-

0 - - - - - - - - - - - - x

从图中我们看出y2与y()的图象有什么关系?

通过图象看出y2与y()的图象关于y轴对称,实质是y2上的点(-x,y)

xx12xx12x1与y=()x上点(-x,y)关于y轴对称.

21xx讨论：y2与y()的图象关于y轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？

21x1xxx２利用电脑软件画出y5,y3,y(),y()的函数图象.

x351xy5 y 5y3x x1y 30 问题：１：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.

xx从图上看ya（a＞１）与ya（0＜a＜１）两函数图象的特征.

yax(0a1) yax(a1) 0 问题２：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性.

问题３：指数函数ya（a＞0且a≠１），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系.

x 图象特征 函数性质 0＜a＜１ a＞１ a＞１ 0＜a＜１ 向x轴正负方向无限延伸 图象关于原点和y轴不对称 函数图象都在x轴上方 函数图象都过定点（0，１） 自左向右， 图象逐渐上升 在第一象限内的图 象纵坐标都大于１ 在第二象限内的图 象纵坐标都小于１ 自左向右， 函数的定义域为R 非奇非偶函数 函数的值域为R+ a0=１ 增函数 图象逐渐下降 在第一象限内的图 减函数 x＞0，ax＞１ 象纵坐标都小于１ 在第二象限内的图 x＞0，ax＜１ x＜0，ax＜１ 象纵坐标都大于１ x＜0，ax＞１ ５．利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（１）在[a,b]上,f(x)=a（a＞0且a≠１）值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)];

x（２）若x0,则f(x)1;f(x)取遍所有正数当且仅当xR; （３）对于指数函数f(x)a（a＞0且a≠１），总有f(1)a;

x（４）当a＞１时，若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)； 例题：

例１：（P66 例6）已知指数函数f(x)a（a＞0且a≠１）的图象过点（３，π），

x求

f(0),f(1),f(3)的值.

分析：要求f(0),f(1),f(3)的值,只需求出a,得出f(x)=(),再把0，１，３分别代入x，即可求得f(0),f(1),f(3).

提问：要求出指数函数，需要几个条件？ 课堂练习：P68 练习：第１，２，３题

补充练习：１、函数f(x)()的定义域和值域分别是多少? ２、当x[1,1]时,函数f(x)32的值域是多少?

x13x12x解（１）xR,y0 （２）（—

例２：求下列函数的定义域： （１）y24x45，１） 3 （２）y()

x23|x|分析：类为ya(a1,a0)的定义域是R，所以，要使（１），（２）题的定义域，保要使其指数部分有意义就得 .

３．归纳小结

作业：P69 习题２.１ A组第５、6题

１、理解指数函数ya(a0),注意a1与0a1两种情况。

x２、解题利用指数函数的图象，可有利于清晰地分析题目，培养数型结合与分类讨论的数学思想 .

第２课时

教学过程：

１、复习指数函数的图象和性质

２、例题

例１：（P66例7）比较下列各题中的个值的大小 （１）１.7２.５ 与 １.7３ （ ２ ）0.80.1与0.80.2

（ ３ ） １.70.３ 与 0.9３.１

解法１：用数形结合的方法，如第（１）小题，用图形计算器或计算机画出y1.7的

xy1.7x

0 图象，在图象上找出横坐标分别为２.５, ３的点，显然，图象上横坐标就为３的点在横坐标为２.５的点的上方，所以 1.72.51.73.

2.5解法２：用计算器直接计算：1.7所以，1.72.53.77 1.734.91

1.73

解法３：由函数的单调性考虑

因为指数函数y1.7在R上是增函数，且２.５＜３，所以，1.7x2.51.73

仿照以上方法可以解决第（２）小题 .

注：在第（３）小题中，可以用解法１，解法２解决，但解法３不适合 .

由于１.70.３=0.9３.１不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到１，把这两数值分别与１比较大小，进而比较１.70.３与0.9３.１的大小 .

思考：

１、已知a0.8,b0.8,c1.2,按大小顺序排列a,b,c.

0.70.90.8２. 比较a与a的大小（a＞0且a≠0）.

指数函数不仅能比较与它有关的值的大小，在现实生活中，也有很多实际的应用. 例２（P67例8）截止到１999年底，我们人口哟１３亿，如果今后，能将人口年平均均增长率控制在１%，那么经过２0年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？

分析：可以先考试一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题： １999年底 人口约为１３亿

经过１年 人口约为１３（１+１%）亿

经过２年 人口约为１３（１+１%）（１+１%）=１３（１+１%）２亿 经过３年 人口约为１３（１+１%）２（１+１%）=１３（１+１%）３亿 经过x年 人口约为１３（１+１%）x亿 经过２0年 人口约为１３（１+１%）２0亿

解：设今后人口年平均增长率为１%，经过x年后，我国人口数为y亿，则

1312y13(11%)x

当x=２0时，y13(11%)2016(亿)

答：经过２0年后，我国人口数最多为１6亿.

小结：类似上面此题，设原值为N，平均增长率为P，则对于经过时间x后总量

yN(1p)x,像yN(1p)x等形如ykax(KR，a＞0且a≠１）的函数称为指数

型函数 .

思考：P68探究：

（１）如果人口年均增长率提高１个平分点，利用计算器分别计算２0年后，３３年后的我国人口数 .

（２）如果年平均增长率保持在２%，利用计算器２0２0~２１00年，每隔５年相应的人

口数 .

（３）你看到我国人口数的增长呈现什么趋势？ （４）如何看待计划生育？ ３．课堂练习

x（１）右图是指数函数１ya ２yb ３yc ４yd的图象，判断

xxxybxycx ydx yax a,b,c,d与１的大小关系；3x12x（２）设y1a,y2a,其中a＞0，a≠１，确定x为何值时，有：

１y1y2 ２y1＞y2

（３）用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的

3，写出存留污垢y与漂洗次数x的函4数关系式，若要使存留的污垢，不超过原有的１%，则少要漂洗几次（此题为人教社B版１0１页第6题）.

归纳小结：本节课研究了指数函数性质的应用，关键是要记住a＞１或0＜a＜时

yax的图象，在此基础上研究其性质 .本节课还涉及到指数型函数的应用，形如ykax（a＞0且a≠１）.

作业：P69 A组第 7 ，8 题 P70 B组 第 １，４题