截长补短法教案

截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。 截长法：

（1）过某一点作长边的垂线

（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。 补短法

（1）延长短边。

（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。 例题：

（1） 正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAF=45。 求证：EF=DE+BF

oABFDEC变式a：正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，EAF=45。 请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？

变式b

ABoEDCF正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，EAF=45。 请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？

FABoDCE 1

变式c

正三角形ABC中，E在AB上，F在AC上EDF=45。DB=DC，BDC=120。 请问现在EF、BE、CF又有什么数量关系？

变式d

ooooAFEBjCD正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，AD=3，EAD=15，FAB=30。求AEF的面积

ABFDEC练习：在正方形ABCD中，DE=DF，DGCE，交CA于G，GHAF，

CFDEHP交AD于P，交CE延长线于H，请问三条粗线DG，GH，CH的数量关系

B

方法一（好想不好证） 方法二（好证不好想）

F DCFD C EE

H

P GP GBMA B

GAHA2

（1）解：（简单思路）

延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。

由四边形ABCD是正方形得：ADG=ABF=90，AD=AB oAB又DG=BF ∴ADGABF（SAS） ∴GAD=FAB AG=AF 由四边形ABCD是正方形得

DAB=90o=DAF+FAB=DAF+GAD=GAF

∴GAE=GAF-EAF=90o-45o=45o

GAE=FAE=45o

又AG=AF AE=AE

∴EAGEAF（SAS） EF=GE=GD+DE=BF+DE 变形a解：（简单思路）

解：数量关系为：EF= BF-DE.理由如下： 在BC上截取BG，使得BG=DF，连接AG。 由四边形ABCD是正方形得

ADE=ABG=90o，AD=AB

又DE=BG

∴ADEABG（SAS） ∴EAD=GAB， AE=AG 由四边形ABCD是正方形得

DAB=90o=DAG+GAB=DAG+EAD=GAE

∴GAF=GAE-EAF=90o-45o=45o

GAF=EAF=45o

又AG=AE AF=AF

∴EAFGAF（SAS） EF=GF=BF-BG=BF-DE 变形b解：（简单思路）

解：数量关系为：EF=DE-BF.理由如下： 在DC上截取DG，使得DG=BF，连接AG。 由四边形ABCD是正方形得

ADG=ABF=90o，AD=AB

又DG=BF

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FGDCEABGEDCFFABDCEG∴ADGABF（SAS） ∴GAD=FAB， AG=AF 由四边形ABCD是正方形得

DAB=90o=DAG+GAB=BAF+GAB=GAF

∴GAE=GAF-EAF=90-45=45 ∴GAE=FAE=45

又AG=AF，AE=AE

∴EAGEAF（SAS） EF=EG=ED-GD=DE-BF 变形c解：（简单思路）

解：数量关系为：EF=BE+FC.理由如下 延长AC到点G，使得CG=BE，连接DG。 由ABC是正三角形得：ABC=ACB=60

DoooooAFEBCGo又∵DB=DC，BDC=120 ，∴DBC=DCB=30

∴DBE=ABC+DBC=60+30=90，ACD=ACB+DCB=60+30=90 ∴GCD=180

oooooooo-ACD=90

oo

∴DBE=DCG=90

又∵DB=DC，BE=CG，∴DBEDCG（SAS） ∴EDB=GDC， DE=DG

又DBC=120=EDB+EDC=GDC+EDC=EDG ∴GDF=EDG-EDF=120-60=60 ∴GDF=EDF=60

又DG=DE DF=DF

∴GDFEDF（SAS） EF=GF=CG+FC=BE+FC 变形d解：（简单思路）

延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。 过E作EHAG.前面如（1）所证， ADGABF，EAGEAF

oooooGAD=FAB=30o，SEAG=SEAF

4

在RtADG中，

GAD=30

o，AD=3

AGD=60o，AG=2

设EH=x

在RtEGH中和RtEHA中

AGD=60

o，

HAE=45

o

HG=3x，AH=x

3AG=2=HG+AH=3x+x,EH=x=3-33

SEAF=SEAG=EHAG2=3-3.

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