2015届高三数学一轮-----二项分布专项突破

①射击n次，每次可以击中，也可以击不中，当射击条件不变时，可以认为每次射击击中目标的概率P不变。 ②抛一枚骰子N次，每次可以出现5点，也可以出现不是5点，并且，每次出现5点的概率不变。

③种N粒种子，每一粒可能发芽，也可能不发芽，但从整体上看，生产商在包装袋上所注明的每一粒种子出苗率77%是不再变化的。

像①②③中，射击N次，抛N次，种N个种子，相当于N次重复试验，每次实验中，事件A（A可以为击中目标，骰子出现5点，种子发芽）发生的概率总是不变的。 （二）

1、射击3次，每次击中目标的概率均为P，

（1）求3次射击中恰1次击中的概率：

解：P（3次射击中恰1次击中）=P(第1次击中第2、3次未中)+ P(第1次未中第2次击中第3次未中) + P(第1、2次未中第3次击中)=_____________________ 另一个角度： 3次射击相当于3次重复试验，3次射击击中一次，哪一次都有可能，现在3次中任取一次，让他击中，共

C13种取法，余下的2次全部让它击不中，所以P（3次3次射击中恰1次击中）=C13P1

（1-P）2=3P(1-P)2 （2）求3次射击中恰2次击中的概率：

解：P（3次射击中恰2次击中）=P(第1、2次击中3次未中)+ P(第1次中第2未次击中第3次中) + P(第1次未中第2、3次中)=_____________________

另一个角度：

3次射击相当于3次重复试验，3次射击击中一次，哪一次都有可能，现在3次中任取2次，让他击中，共

C23种取

法，余下的1次让它击不中，所以P（3次3次射击中恰2次击中）=C23P2（1-P）1=3P2 (1-P)

（三）重复试验的概率公式：

1、一般地，

n次重复试验中，每次事件A发生的概率恒定不变，均为P，

，那么在n次重复试验中A事件恰好发生k次的概率

Pk)Ckkn(nP(1P)nk．

它是

(1P)Pn展开式的第k1项 2、若变量

可能取值为0,1,2,3，„，n,于是得到随机变量ξ的概率分布如下：

ξ 0 1 … k … n P C00(1P)n C11nPnP(1P)n1 … CkknP(1P)nk … CnPnn(1P)0 由于

Ckknknpq，恰好是二项展开式

(qp)nC00nC11n1kknknn0npqnpqCnpqCnpq中的各项的值，

所以称这样的随机变量ξ服从二项分布

3、随机变量ξ服从二项分布,记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，

二、n次重复试验与相互事件同时发生的概率区别与联系： 1、甲乙丙3人射击一次命中率分别为12,13,14，求一次相互射击中3人恰好2人击中目标的概率。 （对比） 甲乙丙3人射击一次命中率均为13，求一次相互射击中3人恰好2人击中目标的概率。

2、4男3女从中任取2次，每次1人，（1）每次取到女生的概率________,2次中取到女生的人数用X表示,求X的分布列

（一）、n次重复试验强化 1..某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击,此人恰有两次击中目标的概率为

2．小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是

3．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为

45，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是

4、将一颗骰子连掷5次,恰好2次出现3点的概率为 5、某人考试，共有5题,解对4题为及格，若他解一道题正确率为0.6，则他及格概率

6．某篮运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率________．

7．接种某疫苗后，出现发热反应概率0.80，现有5人接种了该疫苗，有3人出现发热反应概率________

8.将一颗骰子连掷5次,恰好2次出现3点的概率为_______

9.已知随机变量X服从二项分布X～B（6，0.5）,则P（X=2）等于_______

10.某气象站天气预报的准确率为0.8计算（结果保留两个有效数字）：（1）5次预报中恰有4次准确的概率；（2）5次预

报中至少有4次准确的概率

11.在反复进行的某种试验中，其每次成功的概率为0.5，该试验进行了5次。（1）求在5次试验中，恰好成功2次

的概率；（2）求出只有第2次和第4次成功的概率。

12．某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房

源是等可能的．该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为_________

13．箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是________

14．位于直角坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为13，向右移动的概率为23，则质点P移动五次后位于点(1,0)的概率是( ) A.4 B.8243 C.4080243243 D.243

15.位于坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是1

2，质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是 A．(1

)3 B．

C25 (12)C．C312312

55 (2)3 D．C5C5(2

)5

16．一只蚂蚁位于数轴x＝0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位，设它向右移动的概率为23，向左移动的概率为13，则3秒后，这只蚂蚁在x＝1处的概率为__________．

．抛掷一枚硬币，出现正、反面的概率都是11 当第n17次出现正面时

2，构造数列{an}，使an＝－1 当第n次出现反面时

，记Sn＝a1＋a2＋„

＋a*

n(n∈N)(1)求S8＝2时的概率；(2)求S2≠0且S8＝2时的概率．

(二)、二项分布了解 1、已知随机变量X服从二项分布X～B（6，0.5）,则P（X=2）等于（ ）

A.

16 B. 1515316 C. D. 5

2.设随机变量~B(2,P)，若P(1)59，则P 。 3．甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为2

3

，则甲以3∶1的比分获胜的概率为( )A.84

27 B.81C.9 D.8

9

4．在三次重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为63，则事件A恰好发生一次的概率为( )A.14 B.39274 C. D.

5．设随机变量ξ ～ B(2，p)，随机变量η ～ B(3，p)，若P(ξ ≥1) ＝5

9

，则P(η≥1) ＝( )

A.13 B.59 C.827 D.1927

6．在4次重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是( )A[0.4,1) B．(0,0.6] C．(0,0.4] D．[0.6,1)

7．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P(ξ＝12)＝( )

三、二项分步试题（可以用公式~B(n,P) 1.某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医，方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医

院和一家社会医院作为本人就诊的医疗机构．若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区有A，B，C三家社区医院，

并且他们的选择相互．设4名参加保险人员选择A社区医院的人数为X，求X的分布列．

2．袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是13，从B中摸出一个红球的概率为p．从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止． (Ⅰ) 求恰好摸5次停止的概率； (Ⅱ) 记5次之内(含5次)

摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布率及期望E

.

3.在一次数学考试中, 第14题和第15题为选做题。规定每位考生必须且只须在其中选做一题. 设4名考生选做这两题的可能性均为12.(Ⅰ)其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率;(Ⅱ)设这4名考生中选做第15题的学生数为X个,求X的分布列及数学期望.

4.某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛中获胜的事件是

的，并且获胜的概率均为13（1）求这支篮球队首次获胜前已经负了两场的概率；（2）求这支篮球队在6场比赛中恰好胜3场概率；（3）求这支篮球队在6场比赛中获胜场数期望

5．一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域，用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数(箭头指向两个区域的边界时重新转动)，且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每位家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为(a，b)(假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动)．若规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品． (1)求某个家庭获奖概率；(2)若共有5个家庭参加家庭抽奖活动，记获奖家庭数为X，求X分布列．

6.为备战2016年奥运会，甲、乙两位射击选手进行了强化训练．现分别从他们的强化训练期间的若干次平均成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：8.3,9.0,7.9,7.8,9.4,8.9,8.4,8.3乙：9.2,9.5,8.0,7.5,8.2,8.1,9.0,8.5

(1)画出甲、乙两位选手成绩的茎叶图；(2)现要从中选派一人参加奥运会封闭集训，从统计学角度，你认为派哪位选手参加合理？简单说明理由；(3)若将频率视为概率，对选手乙在今后的三次比赛成绩进行预测，记这三次成绩中不低于8.5分的次数为ξ，求ξ的分布列及均值E(ξ)．

7.为调查某社区居民的业余生活状况，研究这一社区居民在20：00－22：00时间段的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区80人，得到下面的数据表：

休闲方式 看电视 看书 合计 性别 男 10 50 60 女 10 10 20 合计 20 60 80 将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数

为随机变量X，求X的分布列和数学期望

8．在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做每一道题的概率均为12.(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第22题的学生个数为ξ，求ξ的概率分布．

9.在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其

余的灯泡是正品. （Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a，b的值；（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了

n(nN)个，如果这n个灯泡的等级情况恰好与按．三个．．等级分层抽样．．．．．．

所得的结果相同，求n的最小值； （Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X的分布列

和数学期望. 寿命（天） 频数 频率

[100,200) 20 0.10

[200,300) 30 a

[300,400) 70 0.35

[400,500) b 0.15 [500,600) 50 0.25 合计 200 1

10. 9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。（Ⅰ）求甲坑不需要补种的概率；（Ⅱ）求3个坑

中恰有1个坑不需要补种的概率；（Ⅲ）求有坑需要补种概

11.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在

下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入

A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落

的概率都是12．（Ⅰ）求小球落入A袋中的概率P(A)；（Ⅱ）在容器入口处依次放入4个小球，记为落入A袋中的小球个数，试求3的概率和的数学期望E．

12.近来国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以扰此计算出自己每天的碳排放量。例如：家居用电的

碳排放量（千克）=耗电度数×.785，汽车的碳排放量（千克）=油耗公升数×0.785等。某班同学利用寒假在两个小区逐

户进行了一次生活习惯进否符合低碳观念的调查。若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”。这

二族人数占各自小区总人数的比例P数据如下：

A小区 低碳族 非低碳族 比例P 11 B小区 低碳族 非低碳族

2 2比例P 4 1 55（I）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；

（II）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列。如果2周后随机地从A小区中任选25个

人，记

表示25个人中低碳族人数，求E.

13．某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互的，且各人的选择相互之间没有影响．(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列．

14.一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A类、B类、C类．检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有C类产品或2件都是B类产品，就需要调整设备，否则不需要调整．已知该生产线上生产的每件产品为A类品，B类品和C类品的概率分别为0.9,0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响．(1)求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；

(2)若检验员一天抽检3次，以ξ表示一天中需要调整设备的次数，求ξ的分布列．

15.甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错者得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，213，2，且各人答对正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．

(1)求随机变量ξ的分布列；(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)．

16．某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲.乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为23,中将可以获得2分;方案乙的中奖率为25,中将可以得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中将与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为

X,Y,求

X3的概率;(2)若小

明.小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计的得分的数学期望较大?

四、二项分布（随机变量取值不再是连续的自然数，不能直接用E（）=ｎＰ） 1.某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2min.（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（2）求这名学生在上学路上因

遇到红灯停留的总时间x的分布列.

2．某种植企业同时培育甲、乙两个品种的杉树幼苗，甲品种杉树幼苗培育成功则每株获利润80元，培育失败，则每株亏损20元；乙品种杉树幼苗培育成功则每株获利润150元，培育失败，则每株亏损50元．统计数据表明：甲品种杉树幼苗培育成功率为90%，乙品种杉树幼苗培育成功率为80%.假设每株幼苗是否培育成功相互．(1)求培育3株甲品种杉树幼苗成功2株的概率；

(2)记X为培育1株甲品种杉树幼苗与1株乙品种杉树幼苗可获得的总利润，求X的分布列．

3. 已知投资某项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中价格下降的概率都是 12．设该项目产品价格在一年内进行2次的调整，记产品价格在一年内的下降次数为X，对该项目每投资十万元，X取0、1、2时，一年后相应的利润为1.6万元、2万元、 2.4万元．求投资该项目十万元，一年后获得利润的数学期望及方差 3.一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过 假设这批产品的优质品率为50%,即取出产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互 (1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.

4.一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下

标号。若拿出球的标号是3的倍数，则得1分，否则得1分。（1）求拿4次至少得2分的概率；（2）求拿4次所得分

数

的分布列和数学期望。

5.一袋子中有大小相同的2个红球和3个黑球，从袋子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2

分，取到一个黑球得1分 （Ⅰ）若从袋子里一次随机取出3个球，求得4分的概率； （Ⅱ）若从袋子里每次摸出一个球，

看清颜色后放回，连续摸3次，求得分

的概率分布列及数学期望。

6． 某校举行中学生“日常生活小常识”知识比赛,比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的

方式进行；每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3

题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为23，且相互间没有影响. (Ⅰ）求选手甲进入复赛的概率；(Ⅱ) 设选手甲在初赛中答题的个数为

X，试求

X的分布列和数学期望.

7．甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束,除第五局甲队获胜的概率是12外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是23,假设各局比赛结果相互.(Ⅰ)分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率;(Ⅱ)若比赛结果为3:0或3:1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3:2,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分

X的分布

列及数学期望.

五、与二项分布，相互事件同时发生的概率相关 1．甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束,除第五局甲队获胜的概率是12外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是23,假设各局比赛结果相互.(Ⅰ)分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率;(Ⅱ)若比赛结果为3:0或3:1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3:2,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分

X的分布

列及数学期望.

2.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是2和3，假设两人每次射击是否击中目标相互之间没有影响34 （Ⅰ）求甲射击5次，有两次未击中目标的概率；Ⅱ）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次，且乙恰好击中目标3次概率

3．2014年12月底，一考生参加某大学的自主招生考试，需进行书面测试，测试题中有4道题，每一道题能否正确做出是相互的，并且每一道题被该考生正确做出的概率都是34. (1)求该考生首次做错一道题时，已正确做出了两道题的概率；

(2)若该考生至少正确作出3道题，才能通过书面测试这一关，求这名考生通过书面测试的概率．

4.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是233和4.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响．(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击．问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？

5.加工某种零件需经过三道工序。设第一、二、三道工序的合格率分别为9810、9、78，且各道工序互不影响。 (1) 求该种零件的合格率；(2) 从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率。

6.某校为全面推进新课程改革，在高一年级开设了研究性学习课程，某班学生在一次研究活动课程中，一个小组进行一种

验证性实验，已知该种实验每次实验成功的概率为12（1）求该小组做了5次这种实验至少有2次成功的概率。（2）如果在若干次实验中累计有两次成功就停止实验，否则将继续下次实验，但实验的总次数不超过5次，求该小组所做实验的次

数的概率分布列和数学期望。

7.根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互．(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率；(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙

两种保险都不购买的概率．

8..甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23

3和4.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；每人各次射击是

否击中目标，相互之间也没有影响．(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；

(3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击．问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？

9．现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.(I)求张同学至少取到1道乙类题的概率;(II)

已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是35,答对每道乙类题的概率都是45,且各题答对与否相互.用

X表示张同学答对题的个数,求

X的分布列和数学期望.