中学数学教学参考 数 教 成 郑毓信（南京大学哲学系） ５作为研究者的教师 除去教学能力以外，一定的教学研究能力显然也 应被看成数学教师专业能力的又一重要内涵，以下是 笔者关于一线教师应当如何去开展教学研究的一些 体验，甚至还可带有一定的个人色彩。 进而，相对于上述建议而言，笔者更加强调这样 一种关于教师工作的新定位：“作为研究者的教 己的全部工作，这应成为教师实现自身专业成长的主 师”［１引，这也就是指，我们应当将教学研究渗透于自 要途径。 具体意见（对此可参见另文《“教师研究”的现状与发 展》，《全球教育展望》，２００５年第７期）： （１）加强“问题意识”。问题应当被看成教师教学 研究的直接出发点，我们应切实立足实际教学活动以 从根本上说，上述的主张应被看成是由教学工作 的复杂性所直接决定的：由于教学活动涉及多个不同 的因素，包括教学对象、教学内容、教学环境等，从而 就不可能被完全纳入任何一个固定的模式，我们也不 可能单纯依靠某一现成的理论就可顺利地解决教学 中所面临的种种问题；毋宁说，在绝大多数情况下我 发现值得研究的问题，而不应停留于纯粹的“无事呻 吟”。 （２）努力做到“小中见大”。教学研究不仅应当切 实立足实际教学活动，也应采取更为广泛的视角，即 从更为一般的角度去指明研究的意义。 （３）应有一定的创新成分，如达到了更大的分析 们都必须依靠自身创造性地去进行工作，特别是，及 时作出各种判断和决定。也正因此，就如前面所提及 的，教师的教学能力主要地就应被看成一种“实践性 深度，揭示了新的联系或方面，提供了新的不同视角， 提出了拓展性的新问题，等等。这也就是说，教学研 究应当“言之有物”，而不是简单地重复别人的现成结 论，或是希望依托某些“宏大理论”即能“短平快”地生 智慧”，后者的发展主要依赖于实践基础之上的认真 总结与反思，或者说，我们应将反思与总结看成一线 教师密切联系自己的教学工作去开展教学研究最为 基本的形式。 当然，上面的论述又不应被理解成完全否定了理 产出所谓的“研究成果”。 （４）用案例说话。这关系到教学研究的这样一个 优点：与实际教学活动的密切联系。更为一般地说， 这也就是指，与形式上的“完整性”和表面上的“深刻 论对于教学实践的指导或促进作用，但与片面强调 “理论指导下的自觉实践”这一传统定位相比较，我们 确又应当更加重视理论与教学实践之间的辩证关系， 特别是，这更可被看成一线教师开展教学研究最为重 性”相比较，我们应当更加重视研究工作的“丰富性” 和“直接性”，包括如实反映本人在教学工作中的亲身 说明：把所证不等式每个分式化简，就是约掉分 要的两个方向，即“理论的实践性解读”与“教学实践 从如上的例题证明过程中我们不难发现，挖掘不 子、分母中的共同因式，进而提炼出两个有用的同序 的序列。代数变形其实是一种推理，推理要有目标， 等式中变量的大小次序，构造应用重要不等式的使用 环境，这是证明不等式的关键所在。难在排序，妙在 排序，巧在合理使用排序不等式、切比雪夫不等式。 其中的奥妙和窍门，需要读者通过类似题目的训练而 获得感悟。 参考文献： 要有方向，要讲道理，要不断地化简。 练习：（２０１１年波里的海数学竞赛试题）设非负 实数ａ、ｂ、ｃ、ｄ满足ａ＋ｂ＋ｃ＋ 一４，求证： 口４－－ｂ ４－ｆ４－ 一．／４ Ｅｌｉ Ｐｈａｍ．Ｋｉｍ Ｈｕｎｇ，隋振林译．不等式的秘密（第一卷） Ｉ－Ｍ］．哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，２０１２． 口。＋８。ｂ ３＋８‘ｃ。＋８’ｄ ３＋８ ９。 ＷＷＷ ｚｌ１ｏｎｇｓｔｕｌｅａｎ．Ｃｏｉｌｌ 中学数学教学参考 的理论性反思”。 三，就当前而言，这也正是很多教师所特别缺乏的一 种能力，即如何能够跳出“细节”并从整体上去进行分 析思考。 （１）所谓“理论的实践性解读”，这主要是指，面对 任一新的口号或理论主张，我们都应认真地去思考这 样三个问题： 最后，还应指出的是，正如以上实例所清楚表明 的，我们事实上并不应将“理论的实践性解读”与“教 学实践的理论性反思”绝对地分割开来，因为，在实际 的教学研究中这两者往往密切相关、相互渗透；当然， 这又应被看成这方面工作更为基本的一条原则，即我 什么是这一新的主张或口号的主要内涵？ 这一主张或口号对于我们改进教学究竟提供了 哪些新的启示和教益？ 什么又是其固有的局限性或可能的错误？ 例如：针对２０１１年版“数学课程标准”颁发以后 所出现的“解读热”，特别是对于“由‘双基’到‘四基”’ 的高度评价，我们就应认真地去思考：相关的论述是 否真有道理，特别是，所说的发展对于我们改进教学 究竟有哪些新的启示和教益？这一主张从理论的角 度看又有哪些问题或不足之处，或者说，相关的教学 实践很可能会出现哪些问题或弊病［１ ？因为，只有 通过这样的思考和分析，我们才能更好地吸取相关理 论主张中的合理成分，同时又能切实防止对于时髦潮 流的盲目追随，乃至因此而对实际工作造成严重的消 极影响。当然，这又是这方面工作应当十分重视的一 点，即我们应当将这方面的具体思考与自己的教学工 作很好地结合起来，包括如何能够通过积极的实践对 相关理论做出必要的检验和进一步的发展。 （２）上面所提及的“小中见大”即可被看成“教学 实践的理论性反思”的基本涵义，这也就是指，教学实 践的总结与反思不应“就事论事”，而应从更为一般的 角度进行分析思考，从而引出具有更大普遍性的问 题、启示和教训等。 以下就是这方面的一个实例：由相关课例的综合 分析可以看出，这正是数学概念的教学在当前应当注 意纠正的一些现象：第一，教学中人们往往只是注意 如何引导学生通过自主探究去发现相关对象的性质， 但却忽视了还应帮助学生很好地认识与把握相关概 念的准确涵义；第二，相关的教学往往又只是强调了 概念在日常生活中的应用，但却忽视了数学概念还有 这样一个十分重要的作用，即为我们深入地开展认识 活动提供了必要的理论工具；第三，人们在教学中往 往又只是注意了概念的生成，但却忽视了概念的分析 与组织。 进而，这又是出现上述现象最为重要的一些原 因：第一，课改中对于“动手实践”的突出强调，从而在 很大程度上忽视了这样一点，即数学教学的主要目标 是应当促进学生积极地去进行思考（动脑），而不是动 手；第二，对于数学教学“生活化”的不恰当强调；第 们应当密切联系自己的教学工作去开展研究，从而不 仅可以有效地促进自身的专业成长，也可对改进教学 发挥积极的促进作用。 ６专业成长道路上的不断追求 就数学教师的专业成长而言，笔者一直持有这样 一个观点，即认为对此可以区分出三个不同的层次或 境界：第一，如果仅仅停留于知识的传授，你就是一个 “教师匠”；第二，如果能够帮助学生通过数学学会思 维，你就是一个智者，因为你能给人以智慧；第三，如 果能给学生无形的文化熏陶，那么，哪怕你是个小学 老师，哪怕你身处深山老林、偏僻农村，你也是一个真 正的大师！ 有的教师会认为上述目标离我们太远，以下再借 助北京教育学院刘加霞教授的用语表达笔者的这样 一个心愿，即希望我们大家都能成为“大气的数学教 师”。 以下就是“大气的数学教师”最为基本的一个涵 义，即视野开阔，有远大的抱负与志向，从而就能较好 地超世脱俗、淡泊名利；但同时也应真正做到从小处 着手，而不是好高骛远，妄自尊大，并能切实地做好自 己的本职工作。 特殊地，这显然也就是我们在专业成长的道路能 否始终具有足够动力的必要条件；另外，在笔者看来， 这也正是以下一些实例为什么能够深深地打动我们 的真正原因，尽管当事者未必是“特级教师”或是“教 授级的中小学教师”，他们在很多情况下显然也不够 “时尚”，因为，这或许即应被看成教师专业成长的一 个必要经历，即耐得住寂寞，坐得住冷板凳，或者说， 与“光环下的成长”相比较，我们应重视“教师专业成 长的民间道路”，相对于各种荣誉与名利而言，我们更 应提倡对于教学工作的“痴迷”： “其实，……孕育‘思考’的土壤，就是生活， 就是日常教学，就是每天的课堂，就是和孩子们的每 一句真实的对话。” 中学数学教学参考 “从某种角度讲，我的课堂有那么一点闪亮的思 想，就是因为我远离了那些‘专业比赛’，剔除了一些 权威思想的干扰和传统思维的束缚，长期扎根于日常 实践的田野式生长，保持了最为可贵的性。” “我之所以要强调这些有‘思想含量’的课是家常 课，因为只有家常课，才是我们教师思考的最佳 土壤。”［１８３ 以下是北京四中语文老师李家声的课堂，不是公 开课： 他讲《离骚》，“好像被屈原附体一样，散发出一种 人性的光芒，（让我们）心里有说不出的感动。”（学生 语）他朗读《离骚》，时而激扬，时而悲愤，学生不得不 “被屈原那种灵魂的美、精神的美，所深深吸引”。“虽 然《离骚》只上了两节课，但一名从前不喜欢语文的理 科学生，课后，不知花了多少时间来读《离骚》，３７５句 差不多都能背下来了。”…… “他讲《满江红》，不是讲，而是吟唱，每次唱，都会 哭。”一名考上北大的女生回忆道：“开始时，我望着 他，他微蹙着眉头，凝视着前方，几根发丝微微颤动。 但很快，我低下头，不敢再抬起来，因为我知道，自己 的双颊已经红得发烫，眼中的泪水，已经涨到收不回 的程度。”唱到“待从头收拾旧山河，朝天阙”时，先生 已满眼是泪，学生也满眼是泪。歌罢，教室里，立刻响 起雷鸣般的掌声。“我们把手拍红了，却都不愿意停 下来。就这样，掌声一浪接一浪地响了不知多长 时间。” 一茬茬的学生，成了他忘年的知音。“先生给予 了我空灵、明净和透亮的灵魂，教我们怎样做一个知 识分子，做一个铁骨铮铮、处世、横而不流的知识 分子。”Ｅ１９３ “优质的教育从来不肯迎合儿童当下的兴趣；优 质的教育从来都是从适宜的高度引导学生——带领 学生围绕伟大的事物起舞、成长；优质的教育要求教 师的心中首先装着伟大的事物，然后才是学生。否 则，爱学生就是一句空话；否则，我们拿什么去爱他 们，帮助他们。” “自由从来不是自上而下赐予的，它是凭借信念 和意志争取到的，自由的程度从来都取决于我们坚守 正道、向善向美的信念和信心！”ｌ＿２ 另外，从上述角度去分析，相信读者也可更好地 理解以下的论述：教室事实上可以被看成各种力量与 思想观念实际交会的地方，不仅包括整体性的教育目 标，以及各种教育理论的影响，也包括社会上普遍性 的观念或传统的无形力量，还包括学校的具体要求， ＊ ｗｗｗ．ｚｈｏｎｇｓｈＩｌ（ １１．Ｃ０１￣１ 家长的殷切期望，学生的实际评价等，当然还有升学 的巨大压力；但是，教室又并非纯粹的“反应发生器”， 教师在其中所发挥的也不只是“触媒”的作用：尽管必 不可少，但对反应结果却没有任何实质性的影响，毋 宁说，我们在此应清楚地看到人的作用，后者并可被 看成“教学活动的实践观念”的核心，后者即是指，我 们应当先注意教课的人，然后再看他是怎样教课的！ 进而，依据上述的分析我们也可更好地认识教师 对于教育事业深入发展，包括课程改革的特殊重要 性，因为，真正的人，总是有一定理想、一定追求的。 从教育的角度看，这也就是指，只要教师具有对于学 生健康成长与社会进步的高度责任感，在他身上就一 定可以看到对于改革的渴望与认同，他的教学实践更 可能在不知不觉中表现出与新的先进教育理念的高 度一致，从而就可被看成教育改革“在这片土壤中 ……的种子”。 更为一般地说，教师的素养不仅应当被看成决定 教育改革成败的关键，更构成了教育的本，教育的根！ 例如：这显然也就是以下论述的精髓所在：“毫不夸张 地说，现实之中，教师的选择、建构能力远远超出专家 的理论想象。他们会听从内心的召唤，对各种新理 念、新思想做出自己的判断和选择。……这是强大的 惯性之外，最不可小觑的一种自我建设、自我修正的 力量。”［ ］ 当然，从专业的角度看，对于所说的“文化熏陶” 我们又不应单纯地理解成教师个人品格的无形影响， 而应同时肯定“言教”的重要作用，特别是，作为一名 数学教师，我们更应很好地承担起“培养学生的理性 精神”这样一个任务。更为一般地说，这也就是指，我 们必须由纯粹的“教师职责”过渡到“学科责任”与“学 科自觉”。 具体地说，这显然可以被看成这里所说的“理性 精神”最为基本的一个涵义，即勇于坚持真理，而不是 盲目地去崇拜权威或权力；进而，这也正是“理性精 神”的又一重要内涵，即很好地认识自我，包括勇于承 认错误和改正错误，并能通过认真的总结与反思，以 及向别人学习，不断取得新的进步。 在此我们并应清楚地看到在“理性精神”与人的 思维方式与行为方式之间所存在的重要联系，特别 是，这更可被看成“数学文化”的一个基本涵义，即是 指人们通过数学活动（包括数学学习与数学教学）所 形成的行为方式、思维方式和价值观念等。显然，从 这一角度去分析，我们也就可以更好地理解这样一个 论述，即我们应当将“思维”看成全部数学教学工作的 Ｗｗｗ．ｚｈｏｎｇｓｈｕｃａｎ ＣＯＩＩＩ 核心，特别是，就只有以数学思维的分析带动具体数 学知识的教学，我们才能帮助学生很好地掌握相关的 知识和技能，而且也能使自己的教学真正超出单纯知 识学习的范围，并帮助学生逐步学会数学地思维，包 括在不知不觉之中受到“数学文化”的熏陶，从而逐步 养成数学的理性精神。例如：在笔者看来，这也正是 我国著名数学家齐民友先生的以下论述所给予我们 的主要启示：“数学把理性思维发挥得淋漓尽致，提供 了认识世界的最有力的工具。数学是向两个方向生 长的，一个研究宇宙规律，另一是研究自己。探索宇 宙，也研究自己——所达到的理性思维的深度，从逻 辑性和理性思维的角度讲，是任何其他学科所不及 的。数学提供了一种思维的方法与模式，不仅仅是认 识世界的工具，而实际上成为一种思维合理性的重要 标准，成为一种理念、一种精神。”［２ ］ 其次，从实践的角度看，笔者以为，这也应被看成 “大气的数学教师”的又一重要涵义，即对于自身专业 成长的高度自觉性，特别是，即能针对实际情况制订 切实可行的发展计划，既有长期目标，也有当前的工 作重点，既能有效地促进自己的教学工作，也能在专 业成长的道路上不断取得新的进步。 在此我们并可特别提及大学梁贯成教授的 一个论述：“首先，对数学知识的理解是很重要的。如 果你自己的数学根底不好的话，教学效果肯定不会很 好。……除此以外，很多时候老师要多一点反思。比 如，对数学是什么进行思考。我觉得数学哲学、数学 教育哲学，这些课程是很有用的。这种反思，就是要 求我们要退一步，我们常常做数学，我们要退一步想： 数学是什么？怎么样才是一个数学的态度？所以，教 师自己要反省，才可影响他的学生。”［２３］ 由此可见，这事实上也应成为数学教师专业成长 的一个自觉追求，即努力成为具有哲学思维的数学教 师，因为，只有从哲学高度进行思考和分析，包括不断 地总结与反思，我们才能明确进一步的努力方向，从 而也就不仅能将自己的本职工作做得更好，而且也能 真正活出精彩！ 最后，笔者特别强调这样一个论点，因为，这不仅 清楚地表明了上述６个方面之间的重要联系，在很大 程度上也可被看成“什么是真正的好教师？”提供了具 体解答：教师的特色不应主要体现于教学方法或模 式，而应反映出自身对教学内容的深刻理解，体现出 对学习和教学活动本质的深入思考，以及对理想课堂 与教师自身价值的执着追求与深刻理解。 愿我们大家都能在上述方向做出不懈的努力１ 中学数学教学参考 ２０１５年第６期（上旬） 参考文献： ［１］ＮＣＴＭ Ｎｅｗｓ Ｂｕｌｌｅｔｉｎ［Ｊ］．１９９８（２）． ［２］张奠宙．张奠宙数学教育随想录［Ｍ］．上海：华东师范大 学出版社，２０１３． ［３］钟静．建构导向教学与数学教学有效性之探讨［ｃ］．２００８ 两岸四地小学数学教育研讨会资料，２００８，１０—２７． ［４］郑毓信．数学方［Ｍ］．南宁：广西教育出版社，２００８． ［５］ 郑毓信．数学思维与数学方［Ｍ］．成都：四川教育出 版社，２００１． ［６］郑毓信．“数学与思维”之深思［Ｊ］．数学教育学报，２０１５ （１）：１—５． ［７］Ｄ．Ｋａｈｎｅｍａｎ．Ｔｈｉｎｋｉｎｇ，Ｆａｓｔ ａｎｄ Ｓｌｏｗ［Ｍ］．Ｐｅｎｇｕｉｎ Ｂｏｏｋｓ，２０１１． ［８］赵雄辉．数学课程改革中值得注意的几个方面［Ｊ］．湖南 教育，２０１３（９）：２２—２６． ［９］ 贲友林．现场与背后——“以学为中心”的数学课堂 ［Ｍ］．南京：江苏教育出版社，２０１４． ［１０］郑毓信．数学教师的三项基本功［Ｍ］．南京：江苏教育 出版社，２０１１． ［１１］Ｌ．Ｍａ．Ｋｎｏｗｉｎｇ ａｎｄ Ｔｅａｃｈｉｎｇ Ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ［Ｍ］．Ｌａｗｒｅｎｃｅ Ｅｒｌｂａｕｍ Ａｓｓｏｃｉａｔｅ，１９９９． ［１ ２］ Ｊ．Ｈｉｅｂｅｒｔ＆Ｐ．Ｃａｒｐｅｎｔｅｒ，Ｌｅａｒｎｉｎｇ ａｎｄ Ｔｅａｃｈｉｎｇ ｗｉｔｈ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇ［Ｃ］．Ｈａｎｄｂｏｏｋ ｏｆ Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ Ｍａｔｈｅ— ｍａｔｉｃａｌ Ｔｅａｃｈｉｎｇ ａｎｄ Ｌｅａｒｎｉｎｇ．ｅｄ．ｂｙ Ｄ．Ｇｒｏｕｗｓ．Ｍａｃ— ｍｉｌｌａｎ，１９９２． ［１３］ 钟静．论数学课程近十年之变革［Ｊ］．教育研究月刊（台 湾）．（Ｉ３３）：Ｉ２４－１３４． ［１４］赖配根，钱丽欣．重建课堂一广东省佛山市第九小学 教学变革侧记［Ｊ］．人民教育，２０１１（２Ｏ）：３５—４０． ［１５］唐彩斌．怎样教好数学——小学数学名家访谈录［Ｍ］． 北京：教育科学出版社，２０１３． ［１６］Ｃ．Ｂｒｅｅｎ，Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｔｅａｃｈｅｒｓ ａｓ ｒｅｓｅａｒｃｈｅｒｓ：ｌｉｖｉｎｇ ｏｎ ｔｈｅ ｅｄｇｅ？［ｃ］．Ｓｅｃｏｎｄ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｈａｎｄｂｏｏｋ ｏｆ Ｍａｔｈ— ｅｍａｔｉｃｓ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ．Ｅｄ．Ｂｙ Ａ．Ｂｉｓｈｏｐ．Ｋｌｕｗｅｒ，２００２． ［１７］郑毓信．《数学课程标准（２０１１）》的“另类解读”［Ｊ］．数学 教育学报，２０１３（１）：１－７． ［１８］刘发建．思想含量来自思考［Ｊ］．人民教育，２０１０ （８）：６２—６３． ［１９］董月玲．师说［Ｎ］．中国青年报，２００８—０７—１６． Ｅ２ｏ］薛瑞萍．做一个朗读者［Ｊ］．人民教育，２０１０（１）：３８—４４． ［２１］余慧娟．年终综述：十年课改的深思与隐忧［Ｊ］．人民教 育，２０１２（２）：３１—３５． ［２２］郑隆忻，等．论齐民友的数学观与数学教育观［Ｊ］．数学 教育学报，２０１４（４）：７－１２． ［２３］陈汉君，等．儒家文化视角下华人数学教育的发展—— 专访２０１３年弗赖登塔尔奖得主梁贯成教授［Ｊ］．数学教 育学报，２０１４（３）：１６—２０． （续完）
