2020-2021学年广东省佛山市南海区八年级(下)期末数学试卷 (解析版)

一、选择题（共10小题，共30分）

1．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

2．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 C．a（x﹣y）＝ax﹣ay 3．若分式A．x≠﹣2

B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1 D．x2+2x+1＝（x+1）2

有意义，则x的取值范围是（ ）

B．x≠2

C．x＞2

D．x≠0

4．下列不等式变形正确的是（ ） A．由4x﹣1≥0得4x＞1 C．由﹣2x＜4得x＜﹣2

5．+的运算结果正确的是（ ） A．

B．

C．

D．a+b

B．由5x＞3得x＞15 D．由＞0得y＞0

6．如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，若CD＝4，AB＝14，则S△ABD

＝（ ）

A．56 B．28 C．14 D．12

7．如图，将边长相等的正方形、正五边形和正六边形摆放在平面上，则∠1为（ ）

A．32° B．36° C．40° D．42°

8．如图，已知AB＝AC，AB＝10，BC＝6，以A，B两点为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，直线MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为（ ）

A．16 B．20 C．22 D．26

9．如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第2021次闪烁呈现出来的图形是（ ）

A． B． C． D．

10．如图，在▱ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD边上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以4cm/s的速度从点C出发在BC上往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），设运动时间为t（s）（t＞0），若以P、D、Q、B四点为顶点的四边形是平行四边形，则t的值错误的是（ ）

A．6 B．8 C．10 D．12

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 11．因式分解：x2﹣4x＝ ．

12．点M（2，﹣1）先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点的坐标是 ．

13．已知实数x、y满足|x﹣6|+（y﹣7）2＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长为 ． 14．分式方程

的解是 ．

15．▱ABCD中，∠A+∠C＝200°，则∠A＝ ．

16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB交AB于点D，∠A＝30°，BD＝1.5cm，则AD＝ cm．

17．如图，在△ABC和△ECD中，∠ACB＝∠ECD＝90°，AC＝BC，EC＝DC，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．下列结论：①连接BD，∠BDC＝45°；②∠DAB＝∠ACE；③AE+AC＝AD；④AE2+AD2＝2AC2．请写出所有正确结论的序号是 ．

三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分） 18．解不等式组：

，并把解集在数轴上表示出来．

19．先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝2021．

20．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E，连接BD，求证：BD平分∠CBA．

四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）

21．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点分别为A（2，﹣2），B（0，﹣5），C（0，﹣2）．

（1）画△A1B1C1，使它与△ABC关于点C成中心对称，则A1的坐标为 ．（2）平移△ABC，使点B的对应点B2的坐标为（2，3），画出平移后对应的△A2B2C2，则A2的坐标为 ．

（3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标为 ．

22．如图1，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．

（1）求证：四边形DEFC是平行四边形．

（2）如图2，当△ABC是等边三角形且边长是8，求四边形DEFC的面积．

23．2021年2月1日后，南海区将用1年时间实现“双百目标”，即全区生活垃圾分类示范100%达标创建、生活垃圾产生源100%达标创建，我区的生活垃圾分类工作正式进入“提速”模式．某小区准备购买A、B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的单价比B种垃圾桶每组的单价少150元，且用8000元购买A种垃圾桶的组数量与用11000元购买B种垃圾桶的组数量相等． （1）求A、B两种垃圾桶每组的单价．

（2）该小区物业计划用不超过18000元的资金购买A、B两种垃圾桶共40组．则最多可以购买B种垃圾桶多少组？

五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）

24．在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中发现直线l1：y1＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A且与直线l2：y2＝x交于点B，并且有如下信息：①当x＞2时，y1＜y2；当x＜2时，y1＞y2．②当y1＜0时，x＜﹣4． 根据信息解答下列问题： （1）求直线l1的表达式． （2）过点A的直线l3：y3＝

与直线l2交于点C，求△ABC的面积．

（3）若点D是x轴上的动点，点E是直线AB上的动点，是否存在以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的D点坐标．若不存在，请说明理由．

25．如图，两个全等的等边三角形△ABC与△ACD，拼成的四边形ABCD中，AC＝6，点E、F分别为AB、AD边上的动点，满足BE＝AF，连接EF交AC于点G，连接BD与CE、

AC、CF分别交于点M、O、N，且AC⊥BD． （1）求证：△CEF是等边三角形．

（2）△AEF的周长最小值是 ． （3）若BE＝3，求证：BM＝MN＝DN．

参

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确）

1．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：A．

2．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 C．a（x﹣y）＝ax﹣ay

B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1 D．x2+2x+1＝（x+1）2

解：A、（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，从左到右是整式的乘法运算，不合题意； B、x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，不合题意； C、a（x﹣y）＝ax﹣ay，不合题意；

D、x2+2x+1＝（x+1）2，从左到右是因式分解，符合题意． 故选：D． 3．若分式A．x≠﹣2 解：∵分式∴x﹣2≠0，

有意义，则x的取值范围是（ ）

B．x≠2 有意义，

C．x＞2

D．x≠0

∴x≠2， 故选：B．

4．下列不等式变形正确的是（ ） A．由4x﹣1≥0得4x＞1 C．由﹣2x＜4得x＜﹣2

B．由5x＞3得x＞15 D．由＞0得y＞0

解：A、由4x﹣1≥0得4x≥1，原变形错误，故此选项不符合题意； B、由5x＞3得x＞，原变形错误，故此选项不符合题意； C、由﹣2x＜4得x＞﹣2，原变形错误，故此选项不符合题意； D、由＞0得y＞0，原变形正确，故此选项符合题意； 故选：D．

5．+的运算结果正确的是（ ） A．

B．

C．

D．a+b

解：+ ＝＝

+

．

故+的运算结果正确的是故选：C．

6．如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，若CD＝4，AB＝14，则S△ABD

＝（ ）

A．56 B．28 C．14 D．12

解：如图，过点D作DE⊥AB于E， ∵BD是∠ABC的平分线，∠C＝90°， ∴DE＝CD＝4，

∴△ABD的面积＝AB•DE＝×14×4＝28． 故选：B．

7．如图，将边长相等的正方形、正五边形和正六边形摆放在平面上，则∠1为（ ）

A．32° B．36° C．40° D．42°

解：正方形的内角为90°， 正五边形的内角为正六边形的内角为

＝108°， ＝120°，

∠1＝360°﹣90°﹣108°﹣120°＝42°， 故选：D．

8．如图，已知AB＝AC，AB＝10，BC＝6，以A，B两点为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，直线MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为（ ）

A．16 B．20 C．22 D．26

解：∵AB＝AC，AB＝10， ∴AC＝10，

由作法得MN垂直平分AB， ∴DA＝DB，

∴△BDC的周长＝DB+DC+BC＝DA+DC+BC＝AC+BC＝10+6＝16． 故选：A．

9．如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第2021次闪烁呈现出来的图形是（ ）

A． B． C． D．

解：观察图形的变化可知：每旋转一次，旋转角为90°，即每4次旋转一周， ∵2021÷4＝505...1，

即第2021次与第1次的图案相同． 故选：A．

10．如图，在▱ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD边上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以4cm/s的速度从点C出发在BC上往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），设运动时间为t（s）（t＞0），若以P、D、Q、B四点为顶点的四边形是平行四边形，则t的值错误的是（ ）

A．6 B．8 C．10 D．12

解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形， ∵P在AD上运动， ∴t≤15÷1＝15，即t≤15，

∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形， ∴DP＝BQ，

分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B﹣C， 由题意得：4t﹣15＝15﹣t， 解得：t＝6；

②点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B， 由题意得：15﹣（4t﹣30）＝15﹣t， 解得：t＝10；

③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C， 由题意得：4t﹣45＝15﹣t， 解得：t＝12；

综上所述，t的值为6或10或12， 故选：B．

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 11．因式分解：x2﹣4x＝ x（x﹣4） ． 解：x2﹣4x＝x（x﹣4）． 故答案为：x（x﹣4）．

12．点M（2，﹣1）先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点的坐标是 （﹣1，1） ．

解：点M（2，﹣1）先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点的坐标是（2﹣3，﹣1+2），即（﹣1，1）， 故答案为：（﹣1，1）．

13．已知实数x、y满足|x﹣6|+（y﹣7）2＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长为 19或20 ．

解：根据题意得x﹣6＝0，y﹣7＝0， 解得x＝6，y＝7，

①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、7，能组成三角形，三角形的周长为19． ②6是底边时，三角形的三边分别为6、7、7，能组成三角形，三角形的周长为20． 故答案为19或20． 14．分式方程

的解是 x＝3 ．

解：去分母得：x＝3（x﹣2）， 去括号得：x＝3x﹣6， 解得：x＝3，

经检验x＝3是分式方程的解．

15．▱ABCD中，∠A+∠C＝200°，则∠A＝ 100° ． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，

又∵∠A+∠C＝200°， ∴∠A＝100°． 故答案是：100°．

16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB交AB于点D，∠A＝30°，BD＝1.5cm，则AD＝ 4.5 cm．

解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，

∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°， ∴∠BCD＝∠A＝30°， ∵BD＝1.5cm，

∴BC＝2BD＝3cm，AB＝2BC＝6cm， ∴AD＝AB﹣BD＝4.5cm． 故答案是：4.5．

17．如图，在△ABC和△ECD中，∠ACB＝∠ECD＝90°，AC＝BC，EC＝DC，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．下列结论：①连接BD，∠BDC＝45°；②∠DAB＝∠ACE；③AE+AC＝AD；④AE2+AD2＝2AC2．请写出所有正确结论的序号是 ①②④ ．

解：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，

∴CA＝CB，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，∠E＝∠CDE＝45°，∠CAB＝∠CBA＝45°，

∵∠DAB+∠CAB＝∠ACE+∠E， ∴∠DAB＝∠ACE，故②正确；

∴∠ACE+∠ACD＝∠ACD+∠DCB＝90°， ∴∠ACE＝∠DCB， 在△ACE和△BCD中，

，

∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴∠CDB＝∠E＝45°，故①正确； ∴AE＝BD，∠CEA＝∠CDB＝45°， ∴∠ADB＝∠CDB+∠EDC＝90°， ∴△ADB是直角三角形， ∴AD2+BD2＝AB2， ∴AD2+AE2＝AB2，

∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AB＝

AC，

∴AE2+AD2＝2AC2，故④正确；

在AD上截取DF＝AE，连接CF，如图所示： 在△ACE和△FCD中，

，

∴△ACE≌△FCD（SAS）， ∴AC＝FC，

当∠CAF＝60°时，△ACF是等边三角形，

则AC＝AF，此时AE+AC＝DF+AF＝AD，故③不正确； 故答案为：①②④．

三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分） 18．解不等式组：

，并把解集在数轴上表示出来．

解：解①得：x＞2， 解②得：x≥﹣1，

∴不等式组的解集是x＞2，将不等式组的解集表示在数轴上如下：

19．先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝2021．

解：（﹣1）÷

＝＝＝﹣

，

•

当x＝2021时，原式＝﹣＝﹣．

20．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E，连接BD，求证：BD平分∠CBA．

【解答】证明：∵DE是AB边上的中垂线，∠A＝30°， ∴AD＝BD，

∴∠ABD＝∠A＝30°， ∵∠C＝90°，

∴∠ABC＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°， ∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣30°＝30°， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴BD平分∠CBA．

四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）

21．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点分别为A（2，﹣2），B（0，﹣5），C（0，﹣2）．

（1）画△A1B1C1，使它与△ABC关于点C成中心对称，则A1的坐标为 （﹣2，﹣2） ．（2）平移△ABC，使点B的对应点B2的坐标为（2，3），画出平移后对应的△A2B2C2，则A2的坐标为 （4，6） ．

（3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标为 （1，2） ．

解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，A1的坐标为（﹣2，﹣2）．

故答案为：（﹣2，﹣2）．

（2）如图，△A2B2C2即为所求，A2的坐标为（4，6）． 故答案为：（4，6）．

（3）旋转中心P的坐标为（1，2）， 故答案为：（1，2）．

22．如图1，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．

（1）求证：四边形DEFC是平行四边形．

（2）如图2，当△ABC是等边三角形且边长是8，求四边形DEFC的面积．

【解答】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE＝BC，DE∥BC， ∵CF＝BC， ∴DE＝CF，

∴四边形DEFC是平行四边形．

（2）解：过点D作DH⊥BC于H，如图2所示： ∵△ABC是等边三角形，D为AB的中点 ∴∠B＝60°，BD＝AB＝4， ∵∠DHB＝90°， ∴∠BDH＝30°， ∴BH＝DB＝2， ∴DH＝

∵CF＝CB＝4，

∴S四边形DEFC＝CF•DH＝4×2

＝8

．

＝

，

23．2021年2月1日后，南海区将用1年时间实现“双百目标”，即全区生活垃圾分类示范100%达标创建、生活垃圾产生源100%达标创建，我区的生活垃圾分类工作正式进入“提速”模式．某小区准备购买A、B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的单价比B种垃圾桶每组的单价少150元，且用8000元购买A种垃圾桶的组数量与用11000元购买B种垃圾桶的组数量相等． （1）求A、B两种垃圾桶每组的单价．

（2）该小区物业计划用不超过18000元的资金购买A、B两种垃圾桶共40组．则最多可以购买B种垃圾桶多少组？

解：（1）设A种垃圾桶每组的单价为x元，则B种垃圾桶每组的单价为（x+150）元， 依题意得：解得：x＝400，

，

经检验，x＝400是原方程的解，且符合题意， ∴x+150＝400+150＝550（元）．

答：A种垃圾桶每组的单价为400元，B种垃圾桶每组的单价为550元． （2）设购买B种垃圾桶y组，则购买A种垃圾桶（40﹣y）组， 依题意得：400（40﹣y）+550y≤18000， 解得：y≤

，

又∵y为正整数， ∴y的最大值为13．

答：最多可以购买B种垃圾桶13组．

五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）

24．在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中发现直线l1：y1＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A且与直线l2：y2＝x交于点B，并且有如下信息：①当x＞2时，y1＜y2；当x＜2时，y1＞y2．②当y1＜0时，x＜﹣4． 根据信息解答下列问题： （1）求直线l1的表达式． （2）过点A的直线l3：y3＝

与直线l2交于点C，求△ABC的面积．

（3）若点D是x轴上的动点，点E是直线AB上的动点，是否存在以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的D点坐标．若不存在，请说明理由．

解：（1）∵当x＞2时，y1＜y2；当x＜2时，y1＞y2， ∴点B的横坐标为2， 当x＝2时，y2＝×2＝3，

∴直线l1，l2的交点坐标为B（2，3）， ∵当y1＜0时，x＜﹣4，

∴直线l1与x轴的交点坐标为A（﹣4，0）， 将A（﹣4，0），B（2，3）代入y1＝kx+b中， ∴

，

解得：，

∴直线l1的表达式为y1＝x+2；

（2）联立，

解得：，

∴直线l2，l3的交点坐标为C（﹣1，﹣）， ∴S△ABC＝（3）存在，

∵点E是直线AB上的动点，点D是x轴上的动点， ∴设E点坐标为（x，x+2），D点坐标为（m，0）， 又∵A（﹣4，0），C（﹣1，﹣），

在以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形中， ①当AC，DE为平行四边形的对角线时，

，解得

， ＝9；

∴此时D点坐标为（2，0），

②当AD，CE为平行四边形的对角线时，

，解得

，

此时D点坐标为（2，0），

③当AE，CD为平行四边形的对角线时，

，解得

，

此时D点坐标为（﹣10，0），

综上，满足条件的点D的坐标为（2，0）或（﹣10，0）．

25．如图，两个全等的等边三角形△ABC与△ACD，拼成的四边形ABCD中，AC＝6，点E、F分别为AB、AD边上的动点，满足BE＝AF，连接EF交AC于点G，连接BD与CE、AC、CF分别交于点M、O、N，且AC⊥BD． （1）求证：△CEF是等边三角形． （2）△AEF的周长最小值是 6+3

．

（3）若BE＝3，求证：BM＝MN＝DN．

【解答】（1）证明：∵△ABC，△ACD是全等的等边三角形， ∴AC＝BC，∠ABC＝∠DAC＝∠BCA＝60°， ∵AF＝BE，在△CBE和△CAF中，

，

∴△BEC≌△AFC（SAS）， ∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF， ∴∠BCE+∠ACE＝∠ACF+∠ACE， ∴∠ECF＝∠BCA＝60°， ∴△CEF是等边三角形．

（2）解：∵△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+BE+EF＝AB+EF＝6+EF， ∴EF的值最小时，△AEF的周长最小，

∵△ECF是等边三角形， ∴EF＝CE，

∴当CE⊥AB时，CE的值最小，此时CE＝AC•sin60°＝3∴△AEF的周长的最小值为6+3故答案为：6+3

（3）证明：∵△ABC，△ACD是全等的等边三角形，AC⊥BD ∴AO＝CO，BO＝DO，∠ABO＝∠ABC＝30° ∵BE＝3，AB＝AC＝6，

∴点E为AB中点，点F为AD中点， ∴AO＝AB＝3， ∴BO＝∴BD＝6

，

， ．

，

，

∵△ABC是等边三角形，BE＝AE＝3， ∴CE⊥AB， ∴BM＝2EM， ∴∴BM＝2

，

，

同理可得DN＝2

∴MN＝BD﹣BM﹣DN＝2∴BM＝MN＝DN．