一、选择题(共10小题,共30分)
1.下面的图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列从左边到右边的变形,属于因式分解的是( ) A.(x+1)(x﹣1)=x2﹣1 C.a(x﹣y)=ax﹣ay 3.若分式A.x≠﹣2
B.x2﹣2x+1=x(x﹣2)+1 D.x2+2x+1=(x+1)2
有意义,则x的取值范围是( )
B.x≠2
C.x>2
D.x≠0
4.下列不等式变形正确的是( ) A.由4x﹣1≥0得4x>1 C.由﹣2x<4得x<﹣2
5.+的运算结果正确的是( ) A.
B.
C.
D.a+b
B.由5x>3得x>15 D.由>0得y>0
6.如图,在Rt△ABC中∠C=90°,BD是∠ABC的平分线,若CD=4,AB=14,则S△ABD
=( )
A.56 B.28 C.14 D.12
7.如图,将边长相等的正方形、正五边形和正六边形摆放在平面上,则∠1为( )
A.32° B.36° C.40° D.42°
8.如图,已知AB=AC,AB=10,BC=6,以A,B两点为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点M、N,直线MN与AC相交于点D,则△BDC的周长为( )
A.16 B.20 C.22 D.26
9.如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形,照此规律闪烁,第2021次闪烁呈现出来的图形是( )
A. B. C. D.
10.如图,在▱ABCD中,已知AD=15cm,点P在AD边上以1cm/s的速度从点A向点D运动,点Q在BC边上以4cm/s的速度从点C出发在BC上往返运动,两个点同时出发,当点P到达点D时停止运动(同时Q点也停止),设运动时间为t(s)(t>0),若以P、D、Q、B四点为顶点的四边形是平行四边形,则t的值错误的是( )
A.6 B.8 C.10 D.12
二、填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分) 11.因式分解:x2﹣4x= .
12.点M(2,﹣1)先向左平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度得到的点的坐标是 .
13.已知实数x、y满足|x﹣6|+(y﹣7)2=0,则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长为 . 14.分式方程
的解是 .
15.▱ABCD中,∠A+∠C=200°,则∠A= .
16.如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB交AB于点D,∠A=30°,BD=1.5cm,则AD= cm.
17.如图,在△ABC和△ECD中,∠ACB=∠ECD=90°,AC=BC,EC=DC,△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上.下列结论:①连接BD,∠BDC=45°;②∠DAB=∠ACE;③AE+AC=AD;④AE2+AD2=2AC2.请写出所有正确结论的序号是 .
三、解答题(一)(本大题3小题,每小题6分,共18分) 18.解不等式组:
,并把解集在数轴上表示出来.
19.先化简,再求值:(﹣1)÷,其中x=2021.
20.如图,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB边上的垂直平分线DE,交AC于点D,交AB于点E,连接BD,求证:BD平分∠CBA.
四、解答题(二)(本大题3小题,每小题8分,共24分)
21.如图,方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度,Rt△ABC的三个顶点分别为A(2,﹣2),B(0,﹣5),C(0,﹣2).
(1)画△A1B1C1,使它与△ABC关于点C成中心对称,则A1的坐标为 .(2)平移△ABC,使点B的对应点B2的坐标为(2,3),画出平移后对应的△A2B2C2,则A2的坐标为 .
(3)若将△A1B1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2,则旋转中心的坐标为 .
22.如图1,在△ABC中,D、E分别为AB、AC的中点,延长BC至点F,使CF=BC,连接CD和EF.
(1)求证:四边形DEFC是平行四边形.
(2)如图2,当△ABC是等边三角形且边长是8,求四边形DEFC的面积.
23.2021年2月1日后,南海区将用1年时间实现“双百目标”,即全区生活垃圾分类示范100%达标创建、生活垃圾产生源100%达标创建,我区的生活垃圾分类工作正式进入“提速”模式.某小区准备购买A、B两种分类垃圾桶,通过市场调研得知:A种垃圾桶每组的单价比B种垃圾桶每组的单价少150元,且用8000元购买A种垃圾桶的组数量与用11000元购买B种垃圾桶的组数量相等. (1)求A、B两种垃圾桶每组的单价.
(2)该小区物业计划用不超过18000元的资金购买A、B两种垃圾桶共40组.则最多可以购买B种垃圾桶多少组?
五、解答题(三)(本大题2小题,每小题10分,共20分)
24.在学习一元一次不等式与一次函数中,小明在同一个坐标系中发现直线l1:y1=kx+b(k≠0)与x轴交于点A且与直线l2:y2=x交于点B,并且有如下信息:①当x>2时,y1<y2;当x<2时,y1>y2.②当y1<0时,x<﹣4. 根据信息解答下列问题: (1)求直线l1的表达式. (2)过点A的直线l3:y3=
与直线l2交于点C,求△ABC的面积.
(3)若点D是x轴上的动点,点E是直线AB上的动点,是否存在以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出所有满足条件的D点坐标.若不存在,请说明理由.
25.如图,两个全等的等边三角形△ABC与△ACD,拼成的四边形ABCD中,AC=6,点E、F分别为AB、AD边上的动点,满足BE=AF,连接EF交AC于点G,连接BD与CE、
AC、CF分别交于点M、O、N,且AC⊥BD. (1)求证:△CEF是等边三角形.
(2)△AEF的周长最小值是 . (3)若BE=3,求证:BM=MN=DN.
参
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分,在每小题的四个选项中,只有一项正确)
1.下面的图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
解:A.既是轴对称图形,又是中心对称图形,故此选项符合题意; B.不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项不合题意; C.不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项不合题意; D.是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意; 故选:A.
2.下列从左边到右边的变形,属于因式分解的是( ) A.(x+1)(x﹣1)=x2﹣1 C.a(x﹣y)=ax﹣ay
B.x2﹣2x+1=x(x﹣2)+1 D.x2+2x+1=(x+1)2
解:A、(x+1)(x﹣1)=x2﹣1,从左到右是整式的乘法运算,不合题意; B、x2﹣2x+1=(x﹣1)2,不合题意; C、a(x﹣y)=ax﹣ay,不合题意;
D、x2+2x+1=(x+1)2,从左到右是因式分解,符合题意. 故选:D. 3.若分式A.x≠﹣2 解:∵分式∴x﹣2≠0,
有意义,则x的取值范围是( )
B.x≠2 有意义,
C.x>2
D.x≠0
∴x≠2, 故选:B.
4.下列不等式变形正确的是( ) A.由4x﹣1≥0得4x>1 C.由﹣2x<4得x<﹣2
B.由5x>3得x>15 D.由>0得y>0
解:A、由4x﹣1≥0得4x≥1,原变形错误,故此选项不符合题意; B、由5x>3得x>,原变形错误,故此选项不符合题意; C、由﹣2x<4得x>﹣2,原变形错误,故此选项不符合题意; D、由>0得y>0,原变形正确,故此选项符合题意; 故选:D.
5.+的运算结果正确的是( ) A.
B.
C.
D.a+b
解:+ ==
+
.
故+的运算结果正确的是故选:C.
6.如图,在Rt△ABC中∠C=90°,BD是∠ABC的平分线,若CD=4,AB=14,则S△ABD
=( )
A.56 B.28 C.14 D.12
解:如图,过点D作DE⊥AB于E, ∵BD是∠ABC的平分线,∠C=90°, ∴DE=CD=4,
∴△ABD的面积=AB•DE=×14×4=28. 故选:B.
7.如图,将边长相等的正方形、正五边形和正六边形摆放在平面上,则∠1为( )
A.32° B.36° C.40° D.42°
解:正方形的内角为90°, 正五边形的内角为正六边形的内角为
=108°, =120°,
∠1=360°﹣90°﹣108°﹣120°=42°, 故选:D.
8.如图,已知AB=AC,AB=10,BC=6,以A,B两点为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点M、N,直线MN与AC相交于点D,则△BDC的周长为( )
A.16 B.20 C.22 D.26
解:∵AB=AC,AB=10, ∴AC=10,
由作法得MN垂直平分AB, ∴DA=DB,
∴△BDC的周长=DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=10+6=16. 故选:A.
9.如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形,照此规律闪烁,第2021次闪烁呈现出来的图形是( )
A. B. C. D.
解:观察图形的变化可知:每旋转一次,旋转角为90°,即每4次旋转一周, ∵2021÷4=505...1,
即第2021次与第1次的图案相同. 故选:A.
10.如图,在▱ABCD中,已知AD=15cm,点P在AD边上以1cm/s的速度从点A向点D运动,点Q在BC边上以4cm/s的速度从点C出发在BC上往返运动,两个点同时出发,当点P到达点D时停止运动(同时Q点也停止),设运动时间为t(s)(t>0),若以P、D、Q、B四点为顶点的四边形是平行四边形,则t的值错误的是( )
A.6 B.8 C.10 D.12
解:设经过t秒,以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形, ∵P在AD上运动, ∴t≤15÷1=15,即t≤15,
∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形, ∴DP=BQ,
分为以下情况:①点Q的运动路线是C﹣B﹣C, 由题意得:4t﹣15=15﹣t, 解得:t=6;
②点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B, 由题意得:15﹣(4t﹣30)=15﹣t, 解得:t=10;
③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C, 由题意得:4t﹣45=15﹣t, 解得:t=12;
综上所述,t的值为6或10或12, 故选:B.
二、填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分) 11.因式分解:x2﹣4x= x(x﹣4) . 解:x2﹣4x=x(x﹣4). 故答案为:x(x﹣4).
12.点M(2,﹣1)先向左平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度得到的点的坐标是 (﹣1,1) .
解:点M(2,﹣1)先向左平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度得到的点的坐标是(2﹣3,﹣1+2),即(﹣1,1), 故答案为:(﹣1,1).
13.已知实数x、y满足|x﹣6|+(y﹣7)2=0,则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长为 19或20 .
解:根据题意得x﹣6=0,y﹣7=0, 解得x=6,y=7,
①6是腰长时,三角形的三边分别为6、6、7,能组成三角形,三角形的周长为19. ②6是底边时,三角形的三边分别为6、7、7,能组成三角形,三角形的周长为20. 故答案为19或20. 14.分式方程
的解是 x=3 .
解:去分母得:x=3(x﹣2), 去括号得:x=3x﹣6, 解得:x=3,
经检验x=3是分式方程的解.
15.▱ABCD中,∠A+∠C=200°,则∠A= 100° . 解:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠A=∠C,
又∵∠A+∠C=200°, ∴∠A=100°. 故答案是:100°.
16.如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB交AB于点D,∠A=30°,BD=1.5cm,则AD= 4.5 cm.
解:∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴∠BCD+∠ACD=90°,∠A+∠ACD=90°, ∴∠BCD=∠A=30°, ∵BD=1.5cm,
∴BC=2BD=3cm,AB=2BC=6cm, ∴AD=AB﹣BD=4.5cm. 故答案是:4.5.
17.如图,在△ABC和△ECD中,∠ACB=∠ECD=90°,AC=BC,EC=DC,△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上.下列结论:①连接BD,∠BDC=45°;②∠DAB=∠ACE;③AE+AC=AD;④AE2+AD2=2AC2.请写出所有正确结论的序号是 ①②④ .
解:∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,
∴CA=CB,CE=CD,∠ACB=∠ECD=90°,∠E=∠CDE=45°,∠CAB=∠CBA=45°,
∵∠DAB+∠CAB=∠ACE+∠E, ∴∠DAB=∠ACE,故②正确;
∴∠ACE+∠ACD=∠ACD+∠DCB=90°, ∴∠ACE=∠DCB, 在△ACE和△BCD中,
,
∴△ACE≌△BCD(SAS), ∴∠CDB=∠E=45°,故①正确; ∴AE=BD,∠CEA=∠CDB=45°, ∴∠ADB=∠CDB+∠EDC=90°, ∴△ADB是直角三角形, ∴AD2+BD2=AB2, ∴AD2+AE2=AB2,
∵△ABC是等腰直角三角形, ∴AB=
AC,
∴AE2+AD2=2AC2,故④正确;
在AD上截取DF=AE,连接CF,如图所示: 在△ACE和△FCD中,
,
∴△ACE≌△FCD(SAS), ∴AC=FC,
当∠CAF=60°时,△ACF是等边三角形,
则AC=AF,此时AE+AC=DF+AF=AD,故③不正确; 故答案为:①②④.
三、解答题(一)(本大题3小题,每小题6分,共18分) 18.解不等式组:
,并把解集在数轴上表示出来.
解:解①得:x>2, 解②得:x≥﹣1,
∴不等式组的解集是x>2,将不等式组的解集表示在数轴上如下:
19.先化简,再求值:(﹣1)÷,其中x=2021.
解:(﹣1)÷
===﹣
,
•
当x=2021时,原式=﹣=﹣.
20.如图,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB边上的垂直平分线DE,交AC于点D,交AB于点E,连接BD,求证:BD平分∠CBA.
【解答】证明:∵DE是AB边上的中垂线,∠A=30°, ∴AD=BD,
∴∠ABD=∠A=30°, ∵∠C=90°,
∴∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°, ∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=60°﹣30°=30°, ∴∠ABD=∠CBD, ∴BD平分∠CBA.
四、解答题(二)(本大题3小题,每小题8分,共24分)
21.如图,方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度,Rt△ABC的三个顶点分别为A(2,﹣2),B(0,﹣5),C(0,﹣2).
(1)画△A1B1C1,使它与△ABC关于点C成中心对称,则A1的坐标为 (﹣2,﹣2) .(2)平移△ABC,使点B的对应点B2的坐标为(2,3),画出平移后对应的△A2B2C2,则A2的坐标为 (4,6) .
(3)若将△A1B1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2,则旋转中心的坐标为 (1,2) .
解:(1)如图,△A1B1C1即为所求,A1的坐标为(﹣2,﹣2).
故答案为:(﹣2,﹣2).
(2)如图,△A2B2C2即为所求,A2的坐标为(4,6). 故答案为:(4,6).
(3)旋转中心P的坐标为(1,2), 故答案为:(1,2).
22.如图1,在△ABC中,D、E分别为AB、AC的中点,延长BC至点F,使CF=BC,连接CD和EF.
(1)求证:四边形DEFC是平行四边形.
(2)如图2,当△ABC是等边三角形且边长是8,求四边形DEFC的面积.
【解答】(1)证明:∵D、E分别为AB、AC的中点, ∴DE是△ABC的中位线, ∴DE=BC,DE∥BC, ∵CF=BC, ∴DE=CF,
∴四边形DEFC是平行四边形.
(2)解:过点D作DH⊥BC于H,如图2所示: ∵△ABC是等边三角形,D为AB的中点 ∴∠B=60°,BD=AB=4, ∵∠DHB=90°, ∴∠BDH=30°, ∴BH=DB=2, ∴DH=
∵CF=CB=4,
∴S四边形DEFC=CF•DH=4×2
=8
.
=
,
23.2021年2月1日后,南海区将用1年时间实现“双百目标”,即全区生活垃圾分类示范100%达标创建、生活垃圾产生源100%达标创建,我区的生活垃圾分类工作正式进入“提速”模式.某小区准备购买A、B两种分类垃圾桶,通过市场调研得知:A种垃圾桶每组的单价比B种垃圾桶每组的单价少150元,且用8000元购买A种垃圾桶的组数量与用11000元购买B种垃圾桶的组数量相等. (1)求A、B两种垃圾桶每组的单价.
(2)该小区物业计划用不超过18000元的资金购买A、B两种垃圾桶共40组.则最多可以购买B种垃圾桶多少组?
解:(1)设A种垃圾桶每组的单价为x元,则B种垃圾桶每组的单价为(x+150)元, 依题意得:解得:x=400,
,
经检验,x=400是原方程的解,且符合题意, ∴x+150=400+150=550(元).
答:A种垃圾桶每组的单价为400元,B种垃圾桶每组的单价为550元. (2)设购买B种垃圾桶y组,则购买A种垃圾桶(40﹣y)组, 依题意得:400(40﹣y)+550y≤18000, 解得:y≤
,
又∵y为正整数, ∴y的最大值为13.
答:最多可以购买B种垃圾桶13组.
五、解答题(三)(本大题2小题,每小题10分,共20分)
24.在学习一元一次不等式与一次函数中,小明在同一个坐标系中发现直线l1:y1=kx+b(k≠0)与x轴交于点A且与直线l2:y2=x交于点B,并且有如下信息:①当x>2时,y1<y2;当x<2时,y1>y2.②当y1<0时,x<﹣4. 根据信息解答下列问题: (1)求直线l1的表达式. (2)过点A的直线l3:y3=
与直线l2交于点C,求△ABC的面积.
(3)若点D是x轴上的动点,点E是直线AB上的动点,是否存在以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出所有满足条件的D点坐标.若不存在,请说明理由.
解:(1)∵当x>2时,y1<y2;当x<2时,y1>y2, ∴点B的横坐标为2, 当x=2时,y2=×2=3,
∴直线l1,l2的交点坐标为B(2,3), ∵当y1<0时,x<﹣4,
∴直线l1与x轴的交点坐标为A(﹣4,0), 将A(﹣4,0),B(2,3)代入y1=kx+b中, ∴
,
解得:,
∴直线l1的表达式为y1=x+2;
(2)联立,
解得:,
∴直线l2,l3的交点坐标为C(﹣1,﹣), ∴S△ABC=(3)存在,
∵点E是直线AB上的动点,点D是x轴上的动点, ∴设E点坐标为(x,x+2),D点坐标为(m,0), 又∵A(﹣4,0),C(﹣1,﹣),
在以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形中, ①当AC,DE为平行四边形的对角线时,
,解得
, =9;
∴此时D点坐标为(2,0),
②当AD,CE为平行四边形的对角线时,
,解得
,
此时D点坐标为(2,0),
③当AE,CD为平行四边形的对角线时,
,解得
,
此时D点坐标为(﹣10,0),
综上,满足条件的点D的坐标为(2,0)或(﹣10,0).
25.如图,两个全等的等边三角形△ABC与△ACD,拼成的四边形ABCD中,AC=6,点E、F分别为AB、AD边上的动点,满足BE=AF,连接EF交AC于点G,连接BD与CE、AC、CF分别交于点M、O、N,且AC⊥BD. (1)求证:△CEF是等边三角形. (2)△AEF的周长最小值是 6+3
.
(3)若BE=3,求证:BM=MN=DN.
【解答】(1)证明:∵△ABC,△ACD是全等的等边三角形, ∴AC=BC,∠ABC=∠DAC=∠BCA=60°, ∵AF=BE,在△CBE和△CAF中,
,
∴△BEC≌△AFC(SAS), ∴CE=CF,∠BCE=∠ACF, ∴∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE, ∴∠ECF=∠BCA=60°, ∴△CEF是等边三角形.
(2)解:∵△AEF的周长=AE+AF+EF=AE+BE+EF=AB+EF=6+EF, ∴EF的值最小时,△AEF的周长最小,
∵△ECF是等边三角形, ∴EF=CE,
∴当CE⊥AB时,CE的值最小,此时CE=AC•sin60°=3∴△AEF的周长的最小值为6+3故答案为:6+3
(3)证明:∵△ABC,△ACD是全等的等边三角形,AC⊥BD ∴AO=CO,BO=DO,∠ABO=∠ABC=30° ∵BE=3,AB=AC=6,
∴点E为AB中点,点F为AD中点, ∴AO=AB=3, ∴BO=∴BD=6
,
, .
,
,
∵△ABC是等边三角形,BE=AE=3, ∴CE⊥AB, ∴BM=2EM, ∴∴BM=2
,
,
同理可得DN=2
∴MN=BD﹣BM﹣DN=2∴BM=MN=DN.
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