第五章钢筋混凝土受压构件承载力计算

AssAs （） 0Ndfcdbxfsd由所有的力对受拉边（或受压较小边）钢筋合力作用点取矩的平稳条件，即MAs0得

As(hoaoNdesfcdbx(ho)fsds) （）

由所有的力对受压较大边钢筋合力作用点取矩的平稳条件，即MAs0得

x20Ndesfcdbx(as)sAs(h0as) （）

由所有的力对轴向力作用点取矩的平稳条件，即MN0得

x2xAsefcdbx(esh0)sAsesfsds （）

2在公式（）～（）中，除图中标明的经常使用符号外，应着重说明的有：

（或受压较小边）钢筋的应力，其取值与受压区高度x有关：当xbh0时，s—受拉边

取s=fsd；当x＞ξbh0时，s按公式（ -3）计算；

es—轴向力作用点至受拉边（或受压较小边）钢筋合力作用点的距离；

ese0h0h 2es—轴向力作用点至受压较大边钢筋合力作用点的距离；

ese0has 2eo—轴向力作用点至混凝土截面重心轴的距离，即初始偏心距，eo—偏心矩增大系数，按公式（）计算

Md； Nd应用上述大体方程式计算大偏心受压构件承载力时，为了保证受压钢筋的应力达到其抗压强度设计值，混凝土受压区高度应知足以下条件：

x2as （）

假设不符合公式（）的条件，说明受压钢筋离中性轴太近，构件破坏时，受压钢筋的应

力达不到抗压强度设计值。这时，构件的正截面承载力可按以下近似公式求得：

0NdesfsdAs(h0as) （）

之间时，应用上述大体方程式计算小偏心受压构件，当轴向力作用在纵向钢筋As和As为了避免离轴向力较远一侧混凝土先压坏，尚应知足以下条件：

Ashoas （） oNde)fsdsfcdbh(ho式中 e s—轴向力作用点至受压较大边钢筋合力作用点的距离，其数值应以正值代入上式，

h2hea； 即改成按下式计算，esos2ha—受压较大边钢筋合力作用点至截面受压较小边的距离，hohos。

（二）有效计算方式

在实际设计工作中，偏心受压构件正截面承载力计算通常碰到截面设计和承载力复核两

类问题。

一、截面设计

偏心受压构件的截面尺寸，一般是依照构造要求预先确信好的。因此，截面设计的内容是依照己知的内力组合设计值选择钢筋。

利用上述大体方程式进行配筋设计时，关于非对称配筋情形，存在三个未知数（As、As和x）。可是在大体方程式（）～（）中，只有两个方程式，因此问题的解答有无穷多

个。为了求得合理的解答，必需依照不同的设计要求，预先确信其中一个未知数。

当偏心距较大时（

0e0h00.3），一样是先按大偏心受压构件计算，一般是先假设x

值。按着充分利用混凝土抗压强度的设计原那么，假设xbh0。

x确信后，只剩下两个求知数（As和As），问题是可解的。对大偏心受压构件，取

和受拉钢筋截面，求得受压钢筋截面面积Assfsd，xbh0，别离代入公式（）和（）

面积As：

As0Ndesfcdbxh0x2h0afsdsx0Ndesfcdbx2asfsdh0as （）  （）

As假设按公式（）求得的受压钢筋配筋率小于每侧受压钢筋的最小配筋率（min0.2%），

0.002bh。这时，应按受压钢筋截面面积As已知的情形，从头求那么应按构造要求取As解x和As。

关于这种情形，应第一由MAs0的条件（公式），求得混凝土受压区高度x。假设

xbh0，属于大偏心受压构件，那么取sfsd；假设xbh0，属于小偏心受压构件,应

按公式（）计算s值。然后，将所得x和相应的s值代入公式（），由N0的平稳条件，或代入公式（），由MAs0的平稳条件，求得受拉边（或受压较小边）的钢筋截面面积As。假设按此步骤求得的As值仍小于最小配筋率限值，那么应按构造要求配筋, 取

As=。

当偏心距较小时（

eoho0.3），受拉边（或受压较小边）钢筋应力很小，对截面承载

能力阻碍不大，通常按构造要求取As0.002bh。这时，应按受拉边（或受压较小边）钢筋

。 截面面积As已知的情形，求解x和As关于这种情形，先按小偏心受压构件计算，将S的计算表达式（）代入公式（），由

MAS0的平稳条件，求得混凝土受压高度x。

假设所得x知足bh0xh，那么将其代入公式（）计算s值。然后，将所得x和s。假设按上述步骤求得的值代入公式（）或代入公式（），求得受压较大边钢筋截面面积As0.002bh。 仍小于最小配筋率限值，那么应按构造要求取AsAs假设由公式（）求得的x＞h，即相当于全截面受压的情形。这时，公式中的混凝土应力项中应取x=h，而钢筋应力s仍以包括未知数x的公式代入，并由此式从头确信x值和s。 值。然后，再将s值代入公式，求得钢筋截面面积As（2）对称配筋

在桥梁结构中，常由于荷载作用位置不同，在截面中产生方向相反的弯矩，当其绝对值相差不大时，可采纳对称配筋方案。装配式柱为了保证安装不出过失，有时也采纳对称配筋。

和x）运用大体方程式（）～（），解决对称配筋设计问题，只存在两个未知数（AsAs，

问题是可解的。

若0Ndx0Ndfcdb （）

假设所得xbh0，将其代入公式（），求得钢筋截面面积

AsAsoNdesfcdbxho2fsdhoasx （）

若0Nd>fcdbbh0为小偏心受压构件,将s的计算表达式公式（），代入公式（），联立

，求得x和AsAs。假设bh0xh，那么所得AsAs即解公式（）和（），并令AsAs为所求。

二、承载能力复核

对已初步设计好偏心受压构件进行承载能力复核可分为两种情形：

第一类问题是在维持偏心距不变的情形下，计算构件所能经受的轴向力设计值Ndu，假设Ndu0Nd，说明构件的承载力是足够的。

第二类问题在维持轴向力设计值不变的情形下，计算构件所能经受的弯矩设计值Mdu（或偏心距e0u），假设Mdu0Md（或e0ue0），说明构件的承载力是足够的。

运用大体方程式（）～（），解决第一类偏心受压构件的承载能力复核问题，只存在两个未知数（x和Ndu），问题是可解的。

关于这种情形，应第一由公式（），ΣMN=0的平稳条件，确信混凝土受压区高度x。 当偏心距较大时，可先按大偏心受构件计算，取sfsd代入公式（）：

xAsefcdbxesh0fsdAsesfsds

2展开整理后为一以x为未知数的二次方程，解二次方程求得x。假设xbh0，那么所得x即为所求。

当偏心距较小或按公式（）求得的xbh0时，那么应按小偏心受压构件计算，将公式（）代入公式（）。经展开整理后为一以x为未知数的三次方程，解三次方程求得x值。假设bh0xh，那么所得x即为所求。并代入公式（）计算s值。

假设按小偏心受压构件计算，由公式（）求得x＞h，即相当于混凝土全截面均匀受压的情形，计算混凝土合力及其作用点位置时，应取x=h；计算钢筋应力s时，仍以包括未知数x的公式（）代入，并由公式（）从头确信x值和计算相应的s值。

求得混凝土受压区高度后，将x及与其相对应的s值，代入公式（），求得构件所能经受的轴向力设计值

sAs NdufcdbxfsdAs

式中：当xbh0时，取sfsd；

当xbh0时，s按公式（）计算； 当x＞h时，计算混凝土合力项时取x=h。 若Ndu0Nd，说明构件的承载力是足够的。

运用大体方程式（）~解决第二类偏心受压构件承载力复核问题，存在两个未知数es（或

代入公式，由ΣN=0es）和x，问题是可解的。这时，可先按大偏心受压构件，令sfsd的平稳条件，确信混凝土受压区高度x。假设所得xbh0，那么将所得x值代入公式或，求得许诺偏心距esu（或e'su）。假设esues （或e'sue's）说明构件的承载力是足够的。

由公式求得的xbh0，那么应改成按小偏心受压构件计算，将s计算假设按sfsd表达式代入公式。求得混凝土受压区高度x，假设bh0xh，那么将其代入公式或，计算许诺的偏心距esu（或e'su）。假设esues（或e'sues）说明构件的承载力是足够的。

例题

有一钢筋混凝土偏心受压构件，计算长度L0=10m，截面尺寸为300×600mm，经受的轴向力组合设计值Nd=315kN，弯矩组合设计值Md210kNm，结构重要性系数o1，

280MPa，拟采纳C30混凝土，fcd13.8Mpa；HRB335钢筋，fsd280MPa，fsdEs2105MPa，b0.56。试选择钢筋，并复核承载力。

解：因

L0h1000016.675，故应考虑偏心矩增大系数η的阻碍，η值按公

60011e14000L0 h122式（）计算

h0式中：e0MdNd210103666.7mm； 315 h0has60045555mm(假设asas45mm)； L0=10000mm；h=600mm； 10.22.7e0h00.22.7666.75553.441，取11；

21.150.01代入上式那么得

l0100001.150.010.981。 h600110000110.981.16

666.760014005552计算偏心距为

ese0h0h6001.16666.75551028.4mm 22eseo（1）钢筋选择 因

h600a1.16666.745518.4mm s221.39，显然为大偏心受压构件，取sfsd280Mpa。

e0h01.16666.7555 第一，以xbh00.56555310.8mm代入公式（），求得受压钢筋截面面积

As0Ndesfcdbx(h0)(h0afsds)x2

13151031028.413.8300310.8(555280(55545)310.8)2

1332.1mm2

显现负值，那么应改成按构造要求取As0.002bh0.002300600360mm2，外经选As45mm。 462mm2，仍取as314，供给的As这时，应由公式（）计算混凝土受压高度x

Ash0a0Ndesfcdbx(h0)fsds

x2x13151031028.413.8300x55528046255545

2展开整理后得

x2 - 1110x + = 0

解之得 x=<bh0=×555=

>2a's=2×45=90mm

将所得x值代入公式（），求得受拉钢筋截面面积为

AsAs0Ndfcdbxfsdfsd 313.8300126.752804621315101211mm2280选420，外经供给的As=1256mm2，布置成一排，所需截面最小宽度bmin = 2×30 + 3×30 + 4×= 241mm < b = 300mm，仍取as= 45mm，h0=555 mm（图）

0Nd=315KNe0=773.2e's=518.4es=1028.4453φ14300h0=5556002φ1445300φ8s=2004φ20300 图 偏心受压构件计算简图及配筋（图中尺寸单位为mm） （2）稳固验算 因L0b1000030033.78，应付垂直于弯矩作用平面进行稳固验算。稳固验算时，不考虑弯矩的作用，由公式（）得：

AsAs Ndu0.9fcdbhfsd按L0b33.3，查得φ=，代入上式

Ndu0.90.46713.830060028046212561246.210N1246.2kN0Nd315kN3

计算结果说明，垂直弯矩作用平面的稳固性知足要求。

（3）承载力复核

按实际配筋情形进行承载能力复核时，应由ΣMN=0的平稳条件公式（），确信混凝土受压区高度x，

xAsefcdbxesh0fsdAsesfsds 2x13.8300x1028.455528012561028.4280462518.4

2展开整理后得

x2946.8x142322.460

解之得x=<ξbh0=×555=

'>2as=2×45=90mm

将所得x值，代入（公式）

AsfsdAsNdufcdbxfsd13.8300131.92804622801256 323.9103N323.9kNoNd315kN计算结果说明，结构的承载力是足够的。

例题

有一现浇的钢筋混凝土偏心受压构件，计算长度Lo=，截面尺寸250×500 mm，经受的轴向力组合设计值Nd=1200kN，弯矩组合设计值Md=120kN·m，结构重要性系数0=1。拟

=280MPa，采纳C25混凝土，fcd=，ftd=；纵向钢筋拟采纳HRB335钢筋，fsdEs2.0105MPa，fsd=280MPa，ξb=。试选择钢筋，并复核承载能力。

解：因L0/h=2500/500=5，故可不考虑附加偏心增大系数η的阻碍。假设asas37mm，

h0has50037463mm。计算偏心距为

120103100mmNd1200h500ese0h0100463313mm

22h500e0as100es37113mm22e0Md（一）配筋设计

e0h01004630.216，偏心距较小，先按小偏心受压构件设计。

第一按构造要求，确信受拉边（或受压较小边）钢筋截面面积， As≥=×250×500=250

=30+13.9mm=37mm mm2，选取312，（外经）供给As =339 mm2 ，as2然后，由MA0的条件（公式），求混凝土受压区高度x。式中，s按公式（）计算，

s对C50及以下混凝土，εcu=，β=；HRB335钢筋Es=2×105MPa；h0=463mm，代入后得

scuEs(xho1)0.00332105(0.8370.41)660(1) x463x将上式和有关数据代入公式（）

x370.4120010311311.5250x37660133946337

2x展开整理后得

x3 - 74x2 – x =

采纳Podolsky逐次渐近法求解三次方程得 x= >ξbh0=×463=，说明按小偏心受压构件计算是正确的。

注※：Podolsky逐次渐近法求解三次方程 设f(x)=Ax3+Bx2+Cx+D

令x=x1+Δx1，其中x1为第一次假定值，Δx1为校正值，由台劳公式可得：

x1x12fxfx1x1fx1fx1fx10 1!2!略去Δx1的高次项得：

f(x1)= -Δx1fx

1'因此，x1fx1

fx132fxAxBxCx1D 111则xx1x1x1x12fx13Ax12Bx1C将上式求得的x值，做为第二次假定值，继续试算，一样通过2~3次试算，即可达到要求。

受拉边或受压较小边的钢筋应力为：

scuEs(xho1)660(370.41)x660(370.41)34.7MPa(拉应力)379.5

由ΣN=0的条件（公式），求得受压较大边钢筋截面面积为：

As0NdfcdbxsAsfsd1120010311.5250351.934.7339 280714.5mm2mm。 选取416 , (外经供给A's =804 mm2，as =30+=，取as钢筋按一排布置，所需截面最小宽度bmin=2×30+4×+3×30=受压较小边钢筋已选取312，As =339 mm2， as=37mm，h0=463mm。实际的计算偏心距为

e0=100mm es=313mm es=eo－h/2 +as=100－500/2+40=－108mm 0Nd=1200KN4φ20e's=10825041e=100ho=463es=3130500φ10s=2002φ12250373φ12250 图 偏心受压构件计算简图及配筋（图中尺寸单位为mm） （二）稳固验算 对垂直于弯矩作用平面进行稳固验算，由公式（）得

AsAs Ndu0.9fcdbhfsd由L0/b=2500/250=10，查得φ=，代入上式，

Ndu0.90.9811.5250500280339804155010N1550KN0Nd1200KN计算结果说明，垂直于弯矩作用平面的稳固性知足要求。

3

（三）承载力复核

由ΣMN=0的平稳条件（公式），确信受压区高度x

xAsefcdbxesh0sAsesfsds

2370.4将scuEs16601和有关数据代入上式： xhx0x370.411.5250x3134636601339313280804108

2x展开整理后得

x3－300x2 +－.4=0

解三次方程得x3.1mmbho0.56463259.28mm，属于小偏心受压构件。 受压较小边钢筋应力为

scuEs370.41660130.4MPa拉应力

3.1xh0将所得x和s值代入公式得

AssAsNdufcdbxfsd 11.52503.128080430.4339

1232.9103N1232.9KNoNd1200KN计算结果说明，承载力是足够的。

之间的小偏心受压构件为了避免离纵向力较远一侧混另外，关于轴向力作用于As和As凝土先压坏，尚应知足公式（）的条件

fcdbh(h0)fsdAs(h0'as) 0Ndesh2has50040460mm,es108mm代入上式后得 式中h05001.0120010310811.525050046028033946037

2129.6106Nmm942106Nmm 知足要求。

例题

有一装配式钢筋混凝土柱，计算长度L0=，截面尺寸为250×500㎜。经受的轴向力组合设计值Nd=1328kN，双向变号弯矩组合设计值Md=±m，结构重要性系数01.0。拟采纳

195MPa，b0.62，Es21.105MPa。试C25混凝土，fcd=，ftd=；R235钢筋fsdfsd按对称配筋原那么选择钢筋，并复核承载力。

解：因

L0h25005005，故可不考虑附加偏心增大系数的阻碍，即1。假设

asas37mm，那么h0=h－as=500－37=463mm.

计算偏心距为：

e0MdNd121.9132810391.8mmh50091.8463304.8mm 22h500eea91.837121.2mms0s22ese0h0（1）配筋设计

因相对偏心距较小，可先按小偏心受压构件计算，将

scuEs(xho1)0.00332.1105(0.8463370.41)693(1) xx， 代入公式（），并取AsAsAssAs0dfcdbxfsd6930Ndfcdbxfsd∴AsAs370.4

1Asx0Ndfsdbx693370.41fsdx

132810311.5250x1328103x2875x2=

370.4888x256687.21956931x将上式代入公式（）

Ash0a0Ndesfcdbxh0fsds

x21328103x2875x2x132810304.811.5250x46319546337

2888x256687.23展开整理后得：

x31027.97x24628.32x813947590

解三次方程得：x372mmbho0.62463287.06mm 说明按小偏心受压构件计算是正确的。 受拉边或受压较小边的钢筋应力为

370.4scuEs169313.0Mpa压应力

x372h0所需钢筋截面面积

AsAs0Ndfcdbx

fsds132810311.52503721305.6mm2

19531520mm2，钢筋布置成一排，所需截面最小宽度选取422，供给的AsAs302241mm，h0=500－bmin=2×30+4×22+3×30=238mmAs Ndu0.9fcdbh2fsd由L0b250025010，查得0.98，代入上式

Ndu0.90.9811.525050021951520

1790.7103N1790.7kN0Nd1328kN

（3）承载力复核

由ΣMN=0的条件（公式）确信混凝土受压区高度

xAsefcdbxesh0sAsesfsds 2370.416931和有关数据代入上式， 将scuEsxxh0x370.411.5250x304.845969311520304.81951520121.2

2x展开整理后得：

x3308.4x2198358.6x827284520

解三次方程得：x372.4mmbh00.62459284.6mm 受拉边或受压较小边钢筋应力

370.4scuEs169313.7Mpa(压应力)

x372.4h0将所得x和s值代入公式（）得

AssAs NdufcdbxfsdNdu11.5250372.419515203.71520

=1372.7103N1372.7kN0Nd1328kN

计算结果说明，结构的承载力是足够的。