沈丘县第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

沈丘县第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 设a,b,c分别是ABC中，A,B,C所对边的边长，则直线sinAxayc0与

bxsinBysinC0的位置关系是（ ）

A．平行 B． 重合 C． 垂直 D．相交但不垂直

x2y22． 已知双曲线C:221(a0,b0)，F1,F2分别在其左、右焦点，点P为双曲线的右支上

ab的一点，圆M为三角形PF1F2的内切圆，PM所在直线与轴的交点坐标为(1,0)，与双曲线的一条渐

近线平行且距离为2，则双曲线C的离心率是（ ） 2A．5 B．2 C．2 D．3． 设集合

2 2,,则( )

A BCD

4． 已知f（x）=4+ax﹣1的图象恒过定点P，则点P的坐标是（ ） A．（1，5） B．（1，4） C．（0，4） D．（4，0） 5． “x2﹣4x＜0”的一个充分不必要条件为（ ） A．0＜x＜4 B．0＜x＜2 C．x＞0 D．x＜4

6． 如图在圆O中，AB，CD是圆O互相垂直的两条直径，现分别以OA，OB，OC，OD为直径作四个 圆，在圆O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）

A

D

O B

C

A．

111111 B． C． D．

2242

【命题意图】本题考查几何概型概率的求法，借助圆这个载体，突出了几何概型的基本运算能力，因用到圆的

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几何性质及面积的割补思想，属于中等难度．

7． 等差数列{an}中，已知前15项的和S15=45，则a8等于（ ） A．

B．6

C．

D．3

x8． 已知全集UR，集合A{x||x|1,xR}，集合B{x|21,xR}，则集合AA.[1,1] B.[0,1] C.(0,1] D.[1,0) 【命题意图】本题考查集合的运算等基础知识，意在考查运算求解能力. 9． 若如图程序执行的结果是10，则输入的x的值是（ ）

CUB为（ ）

A．0 B．10 C．﹣10 D．10或﹣10

10．平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（ ）

A． B． C．4 D．12

11．连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量=（m，n），向量=（1，﹣2），则⊥的概率是（ ） A．

B．

C．

D．

12．“1＜x＜2”是“x＜2”成立的（ ） A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

二、填空题

13．已知平面上两点M（﹣5，0）和N（5，0），若直线上存在点P使|PM|﹣|PN|=6，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中：

①y=x+1 ②y=2 ③y=x ④y=2x+1 是“单曲型直线”的是 ．

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14．若函数f（x）=3sinx﹣4cosx，则f′（

15．设双曲线

﹣

）= ．

=1，F1，F2是其两个焦点，点M在双曲线上．若∠F1MF2=90°，则△F1MF2的面积

是 ．

16．函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣2，则f（1）+f′（1）= ．

17．已知函数

，则

__________；

的最小值为__________．

18．已知圆O：x2+y2=1和双曲线C：

﹣=1（a＞0，b＞0）．若对双曲线C上任意一点A（点A在圆O

﹣

= ．

外），均存在与圆O外切且顶点都在双曲线C上的菱形ABCD，则

三、解答题

19．已知等差数列{an}中，其前n项和Sn=n2+c（其中c为常数）， （1）求{an}的通项公式；

（2）设b1=1，{an+bn}是公比为a2等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn．

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20．某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米．池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米． （Ⅰ）求底面积并用含x的表达式表示池壁面积； （Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？

21．已知函数f（x）=|x﹣m|，关于x的不等式f（x）≤3的解集为[﹣1，5]． （1）求实数m的值；

222

（2）已知a，b，c∈R，且a﹣2b+2c=m，求a+b+c的最小值．

22．设函数f（x）=x2ex． （1）求f（x）的单调区间；

（2）若当x∈[﹣2，2]时，不等式f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围．

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23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=1，曲线C2的参数方程为

（θ为参数）．

（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；

（Ⅱ）试判断曲线C1与C2是否存在两个交点？若存在，求出两交点间的距离；若不存在，说明理由．

*24．数列{an}中，a18，a42，且满足an22an1an0(nN).

（1）求数列{an}的通项公式； （2）设Sn|a1||a2|

|an|，求Sn.

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沈丘县第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参） 一、选择题

1． 【答案】C 【解析】

试题分析：由直线sinAxayc0与bxsinBysinC0，

则sinAba(sinB)2RsinAsinB2RsinAsinB0，所以两直线是垂直的，故选C. 1 考点：两条直线的位置关系. 2． 【答案】C 【解析】

试题分析：由题意知1,0到直线bxay0的距离为线，离心率为2.故本题答案选C. 1 考点：双曲线的标准方程与几何性质．

【方法点睛】本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质.求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造a,b,c的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中a,b,c与椭圆中a,b,c的关系不同.求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出a,c的值,可得；（2）建立a,b,c的齐次关系式,将用a,c表示,令两边同除以或a化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围.

22b2，那么，得ab，则为等轴双曲2222ba3． 【答案】C

【解析】送分题,直接考察补集的概念,4． 【答案】A

x1

【解析】解：令x﹣1=0，解得x=1，代入f（x）=4+a﹣得，f（1）=5，

,故选C。

则函数f（x）过定点（1，5）．

故选A．

5． 【答案】B

2

【解析】解：不等式x﹣4x＜0整理，得x（x﹣4）＜0 ∴不等式的解集为A={x|0＜x＜4}，

因此，不等式x﹣4x＜0成立的一个充分不必要条件，

2

对应的x范围应该是集合A的真子集．

写出一个使不等式x﹣4x＜0成立的充分不必要条件可以是：0＜x＜2，

2

故选：B．

6． 【答案】C

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【解析】设圆O的半径为2，根据图形的对称性，可以选择在扇形OAC中研究问题，过两个半圆的交点分别向OA，OC作垂线，则此时构成一个以1为边长的正方形，则这个正方形内的阴影部分面积为

21，扇形

OAC的面积为，所求概率为P27． 【答案】D

111． 2=15a8=45，则a8=3．

【解析】解：由等差数列的性质可得：S15=故选：D．

8． 【答案】C.

，，B(,0]，∴A【解析】由题意得，A[11]9． 【答案】D

CUB(0,1]，故选C.

的值，

【解析】解：模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出y=当x＜0，时﹣x=10，解得：x=﹣10 当x≥0，时x=10，解得：x=10 故选：D．

10．【答案】B

【解析】解：由已知|a|=2，

|a+2b|2=a2+4ab+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12， ∴|a+2b|=故选：B．

．

【点评】本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，根据和的模两边平方，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可．两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦 的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定．

11．【答案】A

【解析】解：因为抛掷一枚骰子有6种结果，设所有连续抛掷两次骰子得到的点数为（m，n），有36种可能，而使⊥的m，n满足m=2n，这样的点数有（2，1），（4，2），（6，3）共有3种可能； 由古典概型公式可得⊥的概率是：故选：A．

；

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【点评】本题考查古典概型，考查用列举法得到满足条件的事件数，是一个基础题．

12．【答案】A

【解析】解：设A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜2}， ∵A⊊B，

故“1＜x＜2”是“x＜2”成立的充分不必要条件． 故选A．

【点评】本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件判断，其中熟练掌握集合法判断充要条件的原则“谁小谁充分，谁大谁必要”，是解答本题的关键．

二、填空题

13．【答案】 ①② ．

【解析】解：∵|PM|﹣|PN|=6∴点P在以M、N为焦点的双曲线的右支上，即对于①，联立

，消y得7x﹣18x﹣153=0，

2

，（x＞0）．

2

∵△=（﹣18）﹣4×7×（﹣153）＞0，∴y=x+1是“单曲型直线”．

对于②，联立2

，消y得x=

，∴y=2是“单曲型直线”．

对于③，联立，整理得144=0，不成立．∴不是“单曲型直线”．

对于④，联立2

，消y得20x+36x+153=0，

2

∵△=36﹣4×20×153＜0∴y=2x+1不是“单曲型直线”．

故符合题意的有①②． 故答案为：①②．

【点评】本题考查“单曲型直线”的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线定义的合理运用．

14．【答案】 4 ．

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【解析】解：∵f′（x）=3cosx+4sinx， ∴f′（

）=3cos

+4sin

=4．

故答案为：4．

【点评】本题考查了导数的运算法则，掌握求导公式是关键，属于基础题．

15．【答案】 9 ．

【解析】解：双曲线

222

可得c=a+b=13，

﹣

=1的a=2，b=3，

，∠F1MF2=90°，

又||MF1|﹣|MF2||=2a=4，|F1F2|=2c=2在△F1AF2中，由勾股定理得： |F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2

=（|MF1|﹣|MF2|）2+2|MF1||MF2|，

22

即4c=4a+2|MF1||MF2|， 2

可得|MF1||MF2|=2b=18，

即有△F1MF2的面积S=|MF1||MF2|sin∠F1MF2=×18×1=9． 故答案为：9．

【点评】本题考查双曲线的简单性质，着重考查双曲线的定义与a、b、c之间的关系式的应用，考查三角形的面积公式，考查转化思想与运算能力，属于中档题．

16．【答案】 4 ．

【解析】解：由题意得f′（1）=3，且f（1）=3×1﹣2=1 所以f（1）+f′（1）=3+1=4． 故答案为4．

【点评】本题主要考查导数的几何意义，要注意分清f（a）与f′（a）．

17．【答案】

【解析】【知识点】分段函数，抽象函数与复合函数 【试题解析】

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当当故

时，时，的最小值为

故答案为：

18．【答案】 1 ．

【解析】解：若对双曲线C上任意一点A（点A在圆O外）， 均存在与圆O外切且顶点都在双曲线C上的菱形ABCD， 可通过特殊点，取A（﹣1，t），

则B（﹣1，﹣t），C（1，﹣t），D（1，t）， 由直线和圆相切的条件可得，t=1． 将A（﹣1，1）代入双曲线方程，可得故答案为：1．

【点评】本题考查双曲线的方程和运用，同时考查直线和圆相切的条件，属于基础题．

﹣

=1．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）a1=S1=1+c，a2=S2﹣S1=3，a3=S3﹣S2=5﹣﹣﹣﹣﹣（2分） 分） 分）

（2）a2=3，a1+b1=2∴﹣（8分） ∴ ∴分）

因为等差数列{an}，所以2a2=a1+a3得c=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4∴a1=1，d=2，an=2n﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12

【点评】本题主要考查等差数列的定义及数列求和的方法，考查学生的运算求解能力，属中档题．

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20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）设水池的底面积为S1，池壁面积为S2， 则有

（平方米），

米，则

可知，池底长方形宽为（Ⅱ）设总造价为y，则当且仅当

，即x=40时取等号，

所以x=40时，总造价最低为297600元． 答：x=40时，总造价最低为297600元．

21．【答案】

【解析】解：（1）|x﹣m|≤3⇔﹣3≤x﹣m≤3⇔m﹣3≤x≤m+3，由题意得（2）由（1）可得a﹣2b+2c=2，

2222222

由柯西不等式可得（a+b+c）[1+（﹣2）+2]≥（a﹣2b+2c）=4， 222

∴a+b+c≥

，解得m=2；

当且仅当，即a=，b=﹣，c=时等号成立，

222

∴a+b+c的最小值为．

【点评】本题主要考查绝对值三角不等式、柯西不等式的应用，属于基础题．

22．【答案】

【解析】解：（1）令

…

∴f（x）的单增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）； 单减区间为（﹣2，0）．… （2）令

∴x=0和x=﹣2，…

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∴

2

∴f（x）∈[0，2e]…

∴m＜0…

23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由曲线C1的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=1，可得它的直角坐标方程为x+y=1， 根据曲线C2的参数方程为

（Ⅱ）把曲线C1与C2是联立方程组故曲线C1与C2是相交于两个点． 解方程组求得

，或

，可得这2个交点的坐标分别为（0，1）、（，﹣）．

（θ为参数），可得它的普通方程为

2

+y2=1．

，化简可得 5x﹣8x=0，显然△=＞0，

【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程，把参数方程化为普通方程的方法，求两条曲线的交点，属于基础题．

29nn(n5)24．【答案】（1）an102n；（2）Sn2．

n9n40(n5)【解析】

试题分析：（1）由an22an1an0，所以{an}是等差数列且a18，a42，即可求解数列{an}的通项公式；（2）由（1）令an0，得n5，当n5时，an0；当n5时，an0；当n5时，an0，即可分类讨论求解数列Sn．

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当n5时，Sn|a1||a2|29nn(n5)∴Sn2.1

n9n40(n5)|an|a1a2an9nn

2

考点：等差数列的通项公式；数列的求和．

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