探 ｜索 簟 磐｜０ 谬譬 对分数除法教学的初步研究 杨健辉石旭红 一、研究这个课例的起因 上先教分数除以整数，再教分数除以分数，由此总结 我们知道，分数除法计算方法的教学历来是小学 出分数除法的一般方法。教材为了引导学生探索并 数学教学的重点和难点，却很少有人提到它（至今还 理解分数除法的算法和算理，提供了现实情境，借助 是我们教学中的一个被忽略点）：其所包含的数学思 操作与图示，采用手脑并用、数形结合的策略引领教 想方法对学生数学思想的初步形成所产生的巨大影 学。与之相对应的是，教师在教学时的重点，也是力 响。其实作为体现一种重要的数学思想的内容，分数 求通过精心设计的教学活动，引导学生探索并理解 除法的计算方法仅仅是把除法转化成了乘法来计 分数除法的算法和算理。由此可见，教材和教师更为 算，但对小学生而言，这不仅仅是简单的转变，更是 关注的是学生对分数除法算理的理解和算法的应用 将一种运算变为另一种运算的神奇转化，这对于一 （这是非常正确和必须的），但问题是所有现行的教 直将加、减、乘、除运算看成并列的四种运算的小学 学活动并没有关注到分数除法计算方法中所运用的 生而言，是一个极大的挑战与冲击。 转化思想对学生有可能产生的巨大影响，在教学中 对于这一点，在当前的教学中并没有引起教材 也就放弃了引导学生对方法转化后所产生的方便、编写者和教师教学足够的关注，ｌ：ｋ￣ｎ分数除法的内 好处等内容的体会与感受。所以常常会出现有许多 容（人教版教材六上，本文均以人教版教材为例）在 学生问“除法有没有交换律”之类的问题。我们还可 教材中是这样编排的：在教学分数除法意义的基础 注意到，在高等数学的教材中，通常对于一个数学命 ｚｏ ｓ年 ｏ月ｃ／３７ 探 索 题的证明往往只需从加、乘的角度给予证实，这是因 重点是解决如何帮助学生想到“转化成乘这个整数 为引进了负数和倒数后，就能将减法和除法的情形 的倒数”这一问题。 分别转化为加法和乘法的情形来处理，当然这也充 分体现了数学学科的简洁之魅力。 特别要注意的是，这种运算方法之间的第一次 一教学时，由于一个数除以一个整数ｎ（ｏ除外）， 相当于把这个数平均分成ｎ份后的一份，即ｔ／，分之 ，那么，怎样从除法想到变为乘法呢？可以这样设 转化就出现在小学数学教学分数除法时。因此，我们 计：先给出若干道除法算式题（包括整数除法、小数 完全有理由抓住这个教学契机，结合计算法则的教 除法等，女Ⅱ４５÷１５，１３５÷５，１３５÷１，４．８÷０．６，４．８÷ 学，采取小学生能接受的方式，帮助他们初步地感知 １，９．５４÷０．９，９．５４÷１），让学生计算并发现当除数为１ 这种转化思想，并通过简单的应用初步体会其作用 时，其计算最为简便，即Ａ÷Ｉ＝Ａ的情形。那么在计算 与价值。为此，本文将采用对课例进行整体研究的方 分数除以一个整数ｎ时，有没有可能把除数变为“１” 式，从学习重（难）点分析、教学主体设想、教学研究 思考等几个方面说明我们对此教学内容的一些认 识、思考与实践。 二、分数除法的学习重（难）点分析 使得计算简便呢？（例如÷÷２，古÷５等）这样做又 需要什么前提和理论保证呢？（商不变性质）由于学 生喜欢计算“除数是１的除法算式”，这种“喜欢”就 学生是在教师的引导下，结合具体的问题情境， 激发学生想办法把除数变为１，同时也不难想到根据 通过动手操作、直观图示等方式学习分数除法的计算 “商不变性质”就可以把“除数变为１”，从而引导学生 方法的。那么，学生在学习过程中遇到的困惑及难点 尝试得出：会是怎样的呢？教学时需要重点解决什么呢？ 首先，学生在学习分数除以整数时，对“除以一 个整数就等于乘这个整数的倒数”不难理解，但怎样 引导学生更加自然地发现“除以一个整数可以转化 ×成乘这个整数的倒数”则要下一番工夫。在学习分数 除以分数时，学生有了对分数除以整数计算方法的 ÷２＝（ ×｛）÷（２× １）＝詈× ÷ ＝詈 吉＝ ， 舌÷５＝（吾× ）÷（５×÷）＝吾×了１÷ ＝吾 了１＝ ７， 学习经历，能较容易想到把“除以一个整数转化成乘 这个整数的倒数”的方法迁移进来。但此时的关键是 引导学生思考：能不能把“除以一个整数”的计算方 在此基础上再引导学生从中发现并总结出“除 法推广到“除以一个分数”的情形上？另外，学生在学 习分数除法这部分内容的过程中，记住和运用分数 除法的计算法则是重点，会投入很多的精力，但是体 会不到将除法转化成乘法这一战略性改变的价值和 作用，教学时需要补充和加强。 三、分数除法教学主体设想 以一个整数就等于乘这个整数的倒数”的结论。 接着告诉学生，因为推导时运用了商不变性质， 所以其对所有整数均成立，故上述结论和方法的正 确性得到保证。然后安排相关的练习，巩固新知。 第二部分（Ｐ３０～３１的例３：分数除以分数），教 学重点是将这种方法尝试迁移到除数是分数的情境 中，教学时要引导学生思考两个问题：一是这种方法 本文在此之所以称为“教学主体设想”，主要是 可否迁移，二是这种方法的合理性怎么样说明。研究 以下只对这一内容的教学主体及重点部分进行分析 这两个问题时要善于运用教材所提供的情境进行分 和设计。 析、解释和说明。 我们将有关“分数除法”计算方法的教学分为三 教学时可先复习上一节课所学到的除数是整数 部分： 的计算法则，并进行适当的复习，然后引导学生思 第一部分：教学分数除以整数及练习 考：能不能把“除以一个整数”的计算方法推广到“除 第二部分：教学分数除以分数及练习 以一个分数”上？说说你的想法？ 第三部分：综合练习训练 教学时借助Ｐ３０～３１的例３（计算２÷ 与 ÷ 基于教材的编排情况和对学情的简要分析，每 ｊ ｏ 部分的教学重点以及教学设想可安排如下： 第一部分（Ｐ２９的例２：分数除以整数），教学 ），从计算２÷ 开始进行探究。 ｚ。 ｓ钜 ｏＮｃ／３８ 探 根据“速度、时间和路程”的关系，并运用画线段 ４＝８× Ｉ× Ｉ＝图分析： ８×｛× Ｉ，’等题目，通过颠倒变乘、 已知 小时走了２ｋｍ，可以先求出÷小时走了 交换位置和约分简算让学生计算和感受。尽管数量 ｊ ｊ 不多，难度也不大，但确实可以让学生的思维受到一 ｌｋｍ，算式是２× ；再求Ｉ小时即３个÷小时走了 些冲击和影响，从中初步感受到将除法转化成乘法 ｊ 的重要价值和作用，以及为今后解答“除法有没有交 多少千米，算式是２×去×３，得出：２÷÷＝２× × 换律”之类的疑惑做好准备。 ０ 附可参考的练习题组： ３＝２×要＝３，与运用“除以一个整数”的计算方法“２÷ 题组一：除以一个分数的练习（参考Ｐ３２第４题 和Ｐ３５第５题） ＝ｊ ２ Ｘ要＝３”Ｚ 进行比较，发现能把“除以一个整数” 的计算方法推广到“除以一个分数”上。 计算：５÷ ３÷ １ ６÷詈 １２÷詈 至此，暂不探究 ÷ 的计算方法，先补充计算 ： ４ ５ １４‘２１ １８‘１８ １０‘９ ｏ ｌ石 ６÷导，引导学生分别用所发现的计算方法和结合问 题组二：除以一个整数和除以一个小数的练习 ］ 题情境、画线段图等从算理上进行分析研究。学生在 计算：詈÷６ ÷ ４ 号÷０．２ 探究过程中进一步从算理上理解“除以一个分数等 ２÷Ｏ５ ２０÷Ｏ．．１ 于乘这个分数的倒数”，并认识“除以一个整数”的计 算方法可以推广到“除以一个分数”上。 题组三：利用乘法的一些运算性质与内容计算 得到了整数除以分数的计算方法后，再教学计 除法的练习 计算：８×６÷４ ３５÷６÷７ （１８９＋９６３）÷９ 算分数除以分数： ÷ ，可让学生在自学阅读、小 。 上 题组四：综合练习（选用Ｐ３５第５题的部分题） 组讨论和教师讲解的过程中理解并掌握相关结论。 最后结合例１和例２帮助学生得出一般性的计 计算：÷÷ ３ ÷５ ２１÷了３ 算法则：“除以一个不等于０的数，等于乘这个数 ： 堡 ７’３５ ２７‘９ １５‘４５ 的倒数”，从而完成新知教学，转入巩固练习。 四、对课例“分数除法”进行初步研究后的几点 第三部分（综合练习课），教学重点是通过练习 思考 巩固和深化知识：先进行运用分数除法计算法则进行 １．进行课例研究时，不仅需要研究某一节课的教 计算的相关练习，再让学生尝试运用乘法的运算性 学，更多的时候需要对教学的整体内容进行研究，要 质和内容解决一些除法运算的练习，从中感受将除 善于在系统的大背景下研究并思考其整体教学的思 法转化成乘法后进行计算的重要价值和作用。 路和设想。 教学时可采用练习题组的形式，安排和设计运 ２．在进行教学时，尤其是进行计算教学时，不能 用法则进行计算的相关练习。以“除以一个分数”的 只单纯注重技能的教学，同样要注重对数学思想和 练习为主，再适当加人“除以一个整数”和“除以一个 方法的教学，特别要注意分析其对学生进一步学习 小数”的练习（可以给出除以一些简单的特殊的小 数学时所具有的价值和作用。 数，如导÷０．２， ÷０．５， ３．对于一些重要的数学思想和方法，在教学中要 ， ｉＤ ２二上 ０÷０．１等，因为学生对于 ０．２、０．５、０．Ｉ这样常见的小数，知道其分别对应的分 及时地运用学生能接受的方式进行适当的解释、说 数），从而保证练习的重点既是体会运用法则计算， 明，并通过简单的应用，让学生初步感受数学思想和 又体现了结论的完备性。 方法的作用与魅力，而不只是停留在贴标签似的展 而对于简单运用乘法的一些运算性质与内容解 示水平上。 决除法运算的练习，则可以设计一些较为简单的练 （作者单位：广州市教育局教学研究室广州市 天河区盈彩美居小学） 习题，女口“８×６÷４＝８×６ Ｘ÷＝８×÷×６，８÷６÷ ｚ。 ｓ年 。月ｃ／３９ 索
